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21.2.1 解一元二次方程（配方法） 分层作业
基础训练
1．一元二次方程 ，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：移项得：x2-8x=1，
配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17，
故选：A．
2．将一元二次方程 化成 （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69
【详解】解：
移项得 ，
配方得 ，
即 ，
∴a=-4，b=21．
故选：A
3．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，
解得：
故选C
4．用配方法解方程 时．变形结果正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先给方程两边同除2，然后再根据完全平方公式和等式的性质配方即可．
【详解】解：
．
故选A．
5．《代数学》中记载，形如 的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为
的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的矩形，得到大正方形的面积为 ，
则该方程的正数解为 ．”小聪按此方法解关于 的方程 时，构造出如图2所示的图
形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6 B． C． D．
【详解】x2+6x+m=0，x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x= ，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大
正方形的面积为36+（ ）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为 ．
故选：B．
6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A． 化为 B． 化为
C． 化为 D． 化为
【详解】
故B错误．且ACD选项均正确，
故选：B
7．对方程 进行配方，得 ，其中 ______．
【详解】解：由题意得：m= ，
故答案为： ．
8．如果方程x2＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）2﹣3＝0，那么（n﹣m）2020＝______．
【详解】解：把方程x2＋4x＋n＝0进行配方，
得： ；
由已知可得： ，化简 ，∴ ；
故答案为：1．
9．下面是用配方法解关于 的一元二次方程 的具体过程，
解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步： ，
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接
开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二
次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是
________．
【详解】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；
第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；
第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；
故答案为：④①③②．
10．用配方法解下列方程：
(1)3x2−5x=2；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．【详解】（1）解：3x2−5x=2
移项得：x2- x= ，
配方得：x2- x+ = + ，
合并得：（x- ）2= ，
解得：x= + =2，x= - =- ；
1 2
（2）解：x2+8x=9
配方得：x2+8x +16=9+16，
合并得：（x+4）2=25，
解得x=1，x=-9；
1 2
（3）解：x2+12x−15=0
移项得：x2+12x+36=15+36，
配方得：（x+6）2=51
解得x=-6＋ ，x=-6-
1 2
（4）解： x2−x−4=0
去分母得： ，
移项得： ，
配方得：x2-4 x+4=16+4，
合并得：（x-2）2=20，
解得：x=2＋2 ，x=2－2 ；
1 2
（5）解：2x2+12x+10=0
系数化为1得： ，
移项得： ，
配方得：x2+6x+9=-5+9，
合并得：（x+3）2=4，
解得：x=-1，x=--5；
1 2（6）解：x2+px+q=0，
移项得： ，
配方得：x+px+ =-q+ ，
合并得：(x+ )2= ，
解得x= ．
能力提升
1．阅读下列材料：
早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾
股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解
该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富
我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）：
第一步：构造
已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形．
第二步：推理
根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172．
由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000．
所以（x+17）2 = 71000 + 172．
所以（x+17）2 = 71289．
直接开方可得正根x = 250．
依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容与第二步中
“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ．
【详解】解：第一步：“构造”
内容为：已知小正方形边长为x，将其边长增加 ，得到大正方形；
第二步：“推理”，
∵ ，得 ，
∴ ，
故答案为： ．
2．若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为____．
【详解】解：x2﹣2x﹣4084440＝0，
x2﹣2x＝4084440，
x2﹣2x+1＝4084441，即（x﹣1）2＝4084441，
∵方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021，
∴x﹣1＝±2021，
∴x＝2022，x＝﹣2020．
1 2
故答案为：x＝2022，x＝﹣2020．
1 2
3．已知实数a，b满足 ，解关于x的一元二次方程 ．
【详解】解：∵ ， ，且 ，
∴a－4＝0，b+2=0，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
，
∴ ， ．
4．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
所以， 第六步
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第
________步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
【详解】解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公
式是完全平方公式，
在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上 ，
∴第二步开始出现错误，
故答案是：配方法，完全平方公式，二；
任务二：解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ．
拔高拓展
1．已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好有一个相同
的实数根 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，
相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+ ）2+ ＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
