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分层作业
25.2.4 一元二次方程方程的根与系数的关系
目录
A 组巩固过关
题型01 一元二次方程根与系数关系的基础应用
题型02 利用一元二次方程根与系数关系求值
题型03 利用一元二次方程根与系数关系求值
题型04 利用一元二次方程根与系数关系构造方程
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
一元二次方程根与系数关系的基础应用
1．A
2．C
3．D
4．D
5．1
题型02
利用一元二次方程根与系数关系求值
6．A
2 / 8
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7．D
8．B
9．12
10．
4
5
题型03
利用一元二次方程根与系数关系求值
11．C
12．A
13．A
14．【详解】（1）解：∵方程
2
2
0
x
x
k
有两个实数根
1x ，
2x ，
∴
2
Δ
2
4 1
0
k
，
解得：
1
k ；
（2）解：∵方程
2
2
0
x
x
k
有两个实数根
1x ，
2x ，
∴
1
2
1
2
2,
x
x
x x
k
，
∵
1
2
1
2
3
k x
x
x x
，
∴2
3
k
k
，
解得：
3
k
．
15．【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴
2
6
4 1
2
1
0
m
，
即36
8
4
0
m
，
解得
4
m
；
（2）解：∵
1x 与
2x 是该方程的两个实数根，
∴
1
2
1
2
6,
2
1
x
x
x x
m
，
∵
2
2
1
2
22
x
x
，
∴
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
36
2 2
1
22
x
x
x
x
x x
m
解方程36
4
2
22,
m
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得
3
m
．
题型04
利用一元二次方程根与系数关系构造方程
16．A
17．D
18．
2
4
3
0
x
x
19．2
20．
2
6
0
x
x
21．B
22．C
23．
1
2
k
24．1
3
25．【答案】(1)证明：方程
2
3
2
1
0
x
k
x
k
中，
1
a ，
3
b
k
，
2
1
c
k
，
∴
2
2
2
2
4
3
4 1
2
1
2
5
1
4
b
ac
k
k
k
k
k
．
∵无论k 取何值，
2
1
0
k
，
∴
2
1
4
4
0
k
，
即无论k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)
2
k
【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定
0
即可得证；
（2）由一元二次方程根与系数关系得到
1
2
3
x
x
k
，
1
2
2
1
x x
k
，整体代入已知等式解一元二次方程即
可．
【详解】（1）解：略
（2）解：关于x 的一元二次方程
2
3
2
1
0
x
k
x
k
，
1
2
3
x
x
k
，
1
2
2
1
x x
k
，
∵
2
1
2
1
2
8
x x
x
x
k
k
，
4 / 8
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∴
2
2
1
3
8
k
k
k
k
，
∴
2
4
4
0
k
k
，即
2
2
0
k
，解得
2
k
．
26．【答案】(1)
是，理由如下：
解：
2
2
5
2
0
x
x
(2
1)(
2)
0
x
x
解得
1
2
x
，
2
1
2
x
两个根均为非零实数，且其中1
2 是2的倒数，符合“逆根方程”的定义
一元二次方程
2
2
5
2
0
x
x
是“逆根方程”；
(2)
方程的两个根为2
3
和2
3
【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可；
（2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出a 的值，再代入原方程求解即可得
到两个根．
【详解】（1）略
（2）解：设方程
2
(1 3 )
1
0(
0)
ax
a x
a
的两个根为
1
2
,
x x
该方程是“逆根方程”
1
2
1
x x
由一元二次方程根与系数的关系得
1
2
1
x x
a
1
1
a
，
解得
1
a
将
1
a
代入原方程得：
2
4
1
0
x
x
整理得
2
4
1
0
x
x
由求根公式得
4
16
4
2
3
2
x
方程的两个根为2
3
和2
3
．
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27．C
28．C
29．C
30．B
31．19
14
32．11或60 或
5
4
33．
5
4
n
34．
21
35．【详解】（1）解：
2
2
3
0
x
x
因式分解：(
3)(
1)
0
x
x
，
得
1
2
1,
3
x
x
．
方程1：
1,
2,
3
a
b
c
，
1 2 ( 3)
6
abc
方程2：
2,
1,
p
q
r
k
，
2 1
2
pqr
k
k
由abc
pqr
：
2
6
k
3
k
把
3
k 代入
2
2
0
x
x
k
因式分解：(2
3)(
1)
0
x
x
，
根为
3
1,
2
x
x
．
两个方程只有唯一公共根
1
x ，满足“有且只有一个相同根”．
3
k
，相同根为
1
x
（2）解：方程①：
2
3
2
0
x
x
m
，
3 2
6
abc
m
m
方程②：
2
3
4
0
x
x
n
，
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3 4
12
pqr
n
n
6
12
m
n
，即
2
m
n
，
只有一个公共根，设公共根为t
2
2
3
2
0
3
4
0
t
t
m
t
t
n
两式相减：2
0
t
n
m
把
2
m
n
代入：
2
n
t
将
,
2
2
n
t
m
n
代入
2
3
2
0
t
t
m
：
化简得3 (
4)
0
n n
已知
0
mn
，故
0
n
，
得
4
n ．
则
2
2 ( 4)
8
m
n
．
检验：
方程①：
2
3
2
8
0
x
x
，根
1
2
4 ,
2
3
x
x
方程②：
2
3
4
4
0
x
x
，根
1
2
2 ,
2
3
x
x
只有唯一公共根
2
x ，符合题意．
8,
4
m
n
36．【详解】（1）解：
一元二次方程
2
3
3
0
x
x
的两根为
1x ，
2x ，
1
2
3
3
1
b
x
x
a
，
1
2
3
3
1
c
x x
a
；
（2）解：当m
n
时，
实数m 、n 满足
2
3
2
0
m
m
，
2
3
2
0
n
n
，
m
、n 可看作方程
2
3
2
0
x
x
的两根，
1
3
m
n
，
2
3
mn
，
原式
2
2
2
1
2
2
2
13
9
3
2
6
3
m
n
mn
n
m
mn
mn
，
当m
n
时，则原式
1 1
2
；
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综上所述，原式的值为
13
6
或2；
（3）解：
5
a
b
c
，
16
5
ab
c
，
∴
5
a
b
c
，
16
5
a
b
c
，
将a 、b
看作是方程
2
16
5
0
5
x
c
x
c
的两实数根，
2
16
Δ
5
4 1
0
5
c
c
，
又∵
5
c
，即
5
0
c
，
3
5
64
c
，
5
4
c
，即
1
c ，
c
的最大值为1．
37．22
38．
1
8
39．【答案】(1)
证明：∵原方程为
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
k
，
∴
2
2
Δ
(2
1)
4 1
2
k
k
k
2
2
4
4
1
4
4
8
k
k
k
k
9
0
，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)
k 的值为4或5
【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合
1
2
2
x
x
的条件，得到关于k 的一元二次方程，求解即
可得到k 的值．
【详解】（1）略
（2）解：∵方程的两个实数根为
1
2
,
x x ，
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∴
1
2
2
1
x
x
k
，
2
1
2
2
x x
k
k
，
∵
1
2
2
x
x
，
∴
2
2
2
2
1
x
x
k
，
∴
2
2
1
3
k
x
，
∴
1
2(2
1)
3
k
x
，
代入
2
1
2
2
x x
k
k
得：
2
2
2(2
1)
2
9
k
k
k
，
整理得
2
20
0
k
k
，
解得
4
k
或
5
k
．
