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分层作业
25.2.2 公式法
目录
A 组巩固过关
题型01 根据根的判别式判定一元二次方程根的情况
题型02 根据一元二次方程根的情况求参数
题型03 用公式法解一元二次方程
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
根据根的判别式判定一元二次方程根的情况
1．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（
）
A．
2
1
0
x
B．
2
1
0
x
x
C．
2
2
1
0
x
x
D．
2
4
4
1
0
x
x
2．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）下列关于x 的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（
）
A．
2
1
0
x
B．
2
2
2
0
x
x
C．
2
2
1
0
x
x
D．
2
2
1
0
x
x
3．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
（
0
a
），当
2
4
0
ac
b
时，方程的
解为（
）
A．
1
2
b
x
a
，
2
2
b
x
a
B．
1
b
x
a
，
2
b
x
a
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C．
1
2
2
b
x
x
a
D．
1
2
2
b
x
x
a
4．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
kx
k
的实数根的情况，下列说法正
确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．实数根的个数与k 的取值有关
D．没有实数根
5．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于x 的一元二次方程
2
2
2
6
6
0
x
x
k
根的情况为（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
题型02
根据一元二次方程根的情况求参数
6．（25-26 八年级下·浙江温州·期末）关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
m
有两个不相等的实数根，则m 的
取值范围是（
）
A．
9
4
m
B．
9
4
m
C．
9
4
m
D．
9
4
m
7．（2026·河南平顶山·三模）若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
k
没有实数根，则k 的取值范围是（
）
A．
0
k
B．
0
k
C．
0
k
D．
0
k
8．（2026·北京通州·三模）若关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
m
有两个不相等的实数根，则实数m 的取
值范围是（
）
A．
1
m
B．
1
m
C．
1
m
D．
1
m
9．
（2026·北京·三模）若关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
c
有两个不等的实数根，则实数c的值可以为（
）
A．16
B．8
C．6
D．2
10．已知关于x 的一元二次方程
2
4
1
4
1
0
ax
a
x
a
有两个实数根，求a 的取值范围．
题型03
用公式法解一元二次方程
11．用公式法解方程
2
2
6
3
t
t
时，a，b，c 的值分别为（
）
A．2，6，3
B．2，6
，3
C．2
，6，3
D．2，6，3
12．（25-26 九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程
2
2
5
7
x
x
时，得
2
7
4 2
5
2 2
x
，则
“□”处应填（）
A．7
B．5
C．5
D．7
13．某一元二次方程的根用求根公式表示为
2
2
2
4 3
1
2 3
x
，则该一元二次方程为（
）
A．
2
2
3
1
0
x
x
B．
2
3
2
1
0
x
x
-
- =
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C．
2
2
3
1
0
x
x
D．
2
3
2
1
0
x
x
14．（25-26 九年级上·河北邢台·期中）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程
用公式法解方程：
2
3
5
2
x
x
解：将方程化为一般形式，得
2
3
5
2
0
x
x
，
第一步，
3
a
，
5
b
，
2
c
，
第二步；
2
2
4
5
4 3 2
1
0
b
ac
，
第三步；
5
1
5 1
2 3
6
x
第四步，
即
1
2
3
x
，
2
1
x
第五步．
(1)开始出现错误的步骤是第___________步；
(2)请给出此题正确的解答过程．
15．（25-26 九年级上·吉林延边·阶段检测）用公式法解方程：
2
4
2
0
x
x
16．
（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）若关于x 的方程
2
1
1
0
m
x
x
有实数根，则m 的取值范围是（
）
A．
5
4
m
B．
5
4
m
C．
5
4
m
且
1
m
D．
5
4
m
且
1
m
17．（2026·广东清远·三模）若关于方程
2
4
0
ax
x
a
有且只有一个实数根，则实数a的值是（
）
A．
0
a
或
2
a
B．
2
a
C．
2
a
D．
0
a
18．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）若关于x 的方程
2
1
2
mx
x
（m 为常数）有两个不相等的实数根，则
m 的取值范围为________．
19．已知关于x 的方程
2
2
2
0
x
ax
a
b
，其中a、b 为实数．
(1)若此方程有一个根为
2
0
a a
，判断a 与b 的大小关系__________；
(2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b 的取值范围为__________．
20．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数a，b 定义新运算：
2
a
b
a
ab
※
，例如：
2
3 2
3
3 2
3
※
．若
关于x 的方程
2
x
m
※
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．
21．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）解下列方程：
(1)
2
4
2
0
x
x
(配方法)；
(2)
2
3
2
1
0
x
x
(公式法)．
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22．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，给出下列说法：
①若方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实根；
②若c是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
③若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，则
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
；
④存在实数
m
n m
n
，
，使得
2
2
am
bm
c
an
bn
c
．
其中正确的是（
）
A．只有①③
B．只有①②
C．只有①③④
D．①②③④
23．若直线y
x
m
不经过第三象限，则关于x 的方程
2
1
0
mx
x
的实数根有（
）个
A．0
B．1
C．2
D．1 或2
24．（25-26 九年级下·江苏南通·阶段检测）在ABC 中，
2
AB
AC
，BC 边上的高是10，则BC 的最小值为（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
25．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）等腰三角形边长分别为a，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程
2
6
2
0
x
x
n
的两个根，则n 的值为______．
26．（25-26 八年级下·四川成都·期末）已知二次方程
2
2
2
4
3
3
0
m
x
m
x
m
的两根一个大于1，一
个小于1，则实数m 的取值范围为________．
27．一元二次方程
2
2
1
2 1
1
0
m
x
m x
有两个实数根，则m 的取值范围是_____．
28．（25-26 九年级上·福建漳州·期末）定义：
2
0
cx
bx
a
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程．则下
列四个结论：
①如果
2
x
是
2
2
0
x
x
c
的倒方程的解，则
5
4
c
；
②如果
0
ac
，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程
2
2
0
ax
x
c
无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程
2
0
ax
bx
c
有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中
正确的有_____（填正确的序号）．
29．（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）设m 满足不等式
40
m
，且关于x 的一元二次方程
2
2
2
(
2)
(
)
2
2
x
a
m
mx
a
am
有两个整数根，则符合条件的整数m 的个数为______．
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30．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）关于x 的方程
2
2
1
0
kx
k
x
k
有两个不相等的实根，则k 的取值
范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数k 的最小值为__________．
31．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知,p q分别为满足条件的最大整数，关于x 的方程
2
4
2
0
x
x
p
没
有实数根，而方程
2
5
2
0
x
x
q
有两个不相等的实数根．
(1)求,p q的值；
(2)试判断关于x 的方程
2
0
x
px
q
的根的情况；
(3)若
2
4
4
1
5
3
x
q n
x
p
n
为完全平方式，求常数n 的值．
32．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
kx
根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
33．
（2026·安徽·中考真题）已知关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
b
a
a
有两个相等的实数根，则b
a
（
）
A．2
B．
1
2
C．1
2
D．2
34．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a、b ，定义运算“☆”如下：
2
a
b
ab
ab
☆
，例如：
2
3
2
3 2
3 2
6
☆
，则方程2
3
x
☆
的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
