25.2.1配方法（分层作业）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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分层作业
25.2.1 配方法
目录
A 组巩固过关
题型01 直接开平方法解一元二次方程
题型02 配方法解一元二次方程
题型03 配方法的应用
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
直接开平方法解一元二次方程
1（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程

2
2
4
x 

时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一
个方程为
2
2
x 

，则另一个方程为（
）
A．
2
2
x 

B．
2
2
x 

C．
2
2
x 

D．
2
2
x 

【答案】B
【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程．
【详解】解：原方程为

2
2
4
x 

，对等式两边开平方可得，
2
2
x 

或
2
2
x 
，
故另一个方程为
2
2
x 
．
2（25-26 九年级上·江苏淮安·期末）方程
2
4
0
x 

的解是（
）
A．
1
2
2
x
x


B．
1
2
x 
，
2
2
x 
C．
1
2
2
x
x


D．
1
2
2
x
x


【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可．
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【详解】解：
2
4
0
x 

2
4
x 
∴
2
x ，
即
1
2
x 
，
2
2
x ．
故选：B．
3．（25-26 九年级上·陕西渭南·期中）方程

2
1
16
x 

的根是（
）
A．
1
2
5
3
x
x


，
B．
1
2
3
5
x
x


，
C．
1
2
1
5
x
x


，
D．
3
x


【答案】A
【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通
过直接开平方的方法求解方程，得到两个根．
【详解】解：∵

2
1
16
x 

，
∴
1
4
x
或
1
4
x ，
当
1
4
x
时，
3
x 
，
当
1
4
x 时，
5
x ，
∴方程的根为
1
2
5,
3
x
x


，
故选：A．
4．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）若
2
(
1)
4
x 

，该方程的解为______．
【答案】
1
3
x ，
2
1
x 
【详解】解：
2
(
1)
4
x 

1
2
x 
或
1
2
x 
∴
1
3
x ，
2
1
x ．
5．（25-26 九年级上·江苏南京·期末）解方程
2
3(
1)
18
0
x 


．
【答案】
1
2
1
6,
1
6
x
x


【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键．先移项，然后运
用直接开平方法求解即可．
【详解】解：

2
3
1
18
0
x 


，


2
3
1
18
x 

，


2
1
6
x 

，
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1
6
x 
，
解得
1
2
1
6,
1
6
x
x


．
题型02
配方法解一元二次方程
6．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）方程
2
6
7
0
x
x



经过配方可变形为（
）
A．
2
(
3)
16
x 

B．
2
(
3)
16
x 

C．
2
(
6)
16
x 

D．
2
(
6)
16
x 

【答案】A
【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方．
【详解】解：∵
2
6
7
0
x
x



，
移项得
2
6
7
x
x


，
方程两边同时加9，得
2
6
9
7
9
x
x




，
整理得
2
(
3)
16
x 

．
7．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程
2
6
2
0
x
x



，将方程变为
2
(
)
x
m
n


的形式，则m ，
n 的值分别为（
）
A．9，4
B．9，5
C．3，5
D．3，7
【答案】D
【分析】按照配方法的步骤将方程整理为
2
(
)
x
m
n


的形式，对比即可得到m ，n 的值．
【详解】解：∵
2
6
2
0
x
x



，
移项得
2
6
2
x
x

，
配方，两边同时加上一次项系数一半的平方
2
6
(
)
9
2


，得
2
6
9
2
9
x
x



，
整理得
2
(
3)
7
x 

，
对比
2
(
)
x
m
n


，可得
3
m 
，
7
n 
，
故选：D．
8．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x 的方程
2
0
x
mx
n



通过配方可变形为
2
1
15
4
16
x







，则m
n
的值为_____．
【答案】
4
7

【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m 和n 的值，代入
计算即可．
【详解】解：
2
1
15
4
16
x







，
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∴
2
1
1
15
2
16
16
x
x



，
即
2
1
7
0
2
8
x
x



，
∵方程
2
0
x
mx
n



通过配方可变形为
2
1
15
4
16
x







，
∴
1
7
,
2
8
m
n


，
∴
7
7
8
1
4
2
m
n



．
9．用配方法
．．．解方程：
2
6
3
0
x
x



．
【答案】
1
3
6
x 
，
2
3
6
x 
【分析】利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵
2
6
3
0
x
x



，
∴
2
6
3
x
x

，
∴
2
6
9
3
9
x
x



，
∴

2
3
6
x 

，
∴
3
6
x 

，
∴
1
3
6
x 
，
2
3
6
x 
．
10．（25-26 九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程
2
2
6
1
0
x
x


的解题步骤如下：
解：
2
2
6
1
x
x

①
2
1
3
2
x
x


②
2
2
3
1
3
2
2
x
x









③
2
3
1
2
2
x








④
该方程没有实数根⑤
(1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________．
(2)请写出用配方法解方程
2
2
6
1
0
x
x


的正确过程．
【答案】(1)第③步，方程两边未同时加上
2
3
2






(2)见解析
【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可；
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（2）利用配方法得出
2
2
2
3
1
3
3
2
2
2
x
x
















，解方程即可．
【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上
2
3
2






．
（2）解：
2
2
6
1
0
x
x


2
2
6
1
x
x


2
1
3
2
x
x


2
2
2
3
1
3
3
2
2
2
x
x
















2
3
7 .
2
4
x








3
7
2
2
x


3
7
2
2
x 

或
3
7
2
2
x 

1
2
7
3
7
3
2
2
2
2
x
x





，
题型03
配方法的应用
11．若把代数式
2
2
3
x
x

化为
2
(
)
x
m
k


的形式，其中
,
m k 为常数，结果为______．
【答案】
2
(
1)
2
x 

【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
将代数式配方后，即求出结果．
【详解】解：
2
2
3
x
x


2
(
2
1)
2
x
x




2
(
1)
2
x



，
故答案为：
2
(
1)
2
x 

．
12．（25-26 九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知代数式
2
2
6
x
x


的最小值是_________．
【答案】5
【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为

2
1
5
x 

，再根据偶次方的非负
性可得答案．
【详解】解：
2
2
6
x
x




2
2
1
5
x
x




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

2
1
5
x



，
∵

2
1
0
x 

，
∴

2
1
5
5
x 


，
∴原代数式的最小值为5，
故答案为：5．
13．例如：代数式


2
2
2
3
1
2
x
x
x





，因为

2
1
0
x 

，所以当
1
x 时，

2
1
2
x 

的最小值是2；则当
x __时，代数式
2
8
12
5
x
x


有最小值，最小值为______．
【答案】
3
4
1
2
【分析】本题考查了配方法的应用，先整理
2
2
3
1
8
12
5
8
4
2
x
x
x











，因为对于任意实数x 都有
2
3
0
4
x








，故当
3
4
x 
时，代数式
2
8
12
5
x
x


有最小值，最小值为1
2 ，即可作答．
【详解】解：由题意可得：
2
2
2
3
9
9
3
1
8
12
5
8
5
8
2
16
16
4
2
x
x
x
x
x






















∵对于任意实数x 都有
2
3
0
4
x








∴
2
2
3
1
1
8
12
5
8
4
2
2
x
x
x












∴当
3
4
x 
时，代数式
2
8
12
5
x
x


有最小值，最小值为1
2 ．
故答案为：3 1
4 2
，．
14．求证：不论x，y 取任何实数，多项式
2
2
2
4
16
x
y
x
y




的值总为正数．
【答案】见解析
【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可．
【详解】证明：






2
2
2
2
2
2
2
4
16
2
1
4
4) 11
1
2
11 11
x
y
x
y
x
x
y
y
x
y

















，
不论x，y 取任何实数，多项式
2
2
2
4
16
x
y
x
y




的值总为正数．
15．我们知道：对于任何实数x ，
①
2
2
8
9
0
x
x



，
2
2(
2)
1
0
x



；②
2
(
2)
0
x 

，
2
2(
2)
0
x



．
请模仿上述方法解答：
(1)求证：对于任何实数x ，都有
2
2(
2)
1
0
x 

；
(2)不论x 为何实数，请通过运算，比较多项式
2
3
5
1
x
x

与
2
3
10
x
x


的值的大小．
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【答案】(1)见解析
(2)
2
2
3
5
1
3
10
x
x
x
x




【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系．
（1）根据非负数的性质解答；
（2）利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）证明：
2
(
2)
0
x 

，
2
2(
2)
1
0
x



；
（2）解：
2
2
2
2
2
2
(3
5
1)
(
3
10)
3
5
1
3
10
2
8
9
2(
2)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x















，
2
(
2)
0
x 

，
2
2(
2)
0
x



，
2
2(
2)
1
0
x 

．
2
2
3
5
1
3
10
x
x
x
x





．
16．已知关于x 的一元二次方程


2
0
m x
h
k



（m，h，k 均为常数且
0
m 
）的解是
1
2
x 
，
2
5
x 
，则关
于x 的一元二次方程


2
1
m x
h
k



的解是（）
A．
1
2
2
5
x
x


，
B．
1
2
4
1
x
x




，
C．
1
2
1
4
x
x


，
D．
1
2
3
6
x
x


，
【答案】D
【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出h ，再将h 代入新方程即可求解．
【详解】解：由题意，关于x 的一元二次方程


2
0
m x
h
k



有解，
解方程得
k
x
h
m


，
∵一元二次方程
2
(
)
m x
h
k


（
0
m 
）的解是
1
2
x 
，
2
5
x 
，
∴2
k
h
m


，5
k
h
m


，
∴
2
5
3.5
2
h



，
将
2
x 
，
3.5
h 
代入原方程得
2
(2
3.5)
2.25
k
m 


，
对于方程
2
(
1)
m x
h
k



，
整理得：
2
(
1)
2.25
k
x
h
m




，
代入
3 5
h . 得
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4.5
1.5
x 

，
解得
1
3
x ，
2
6
x ．
17．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）把关于x 的一元二次方程


2
1
0
a
x
m
n



与


2
2
0
a
x
m
n



称为“同
构二次方程”．比如

2
2
2
4
0
x 


与

2
3
2
4
0
x 


就是“同构二次方程”．已知两个关于x 的一元二次方程


2
2
1
1
0
x 

与



2
1
2
2
0
a
x
b
x




是“同构二次方程”，则a
b

___________．
【答案】6

【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个
方程可得
,1
1
m
n

，因此第二个方程可整理为


2
1
1
1
0
a
x



，通过比较两个方程展开式的对应系数
相等建立方程组求解,a b ，再计算a
b

的值.
【详解】解：∵

2
2
1
1
0
x 

与



2
1
2
2
0
a
x
b
x




是“同构二次方程”，
故方程



2
1
2
2
0
a
x
b
x




可化为方程


2
1
1
1
0
a
x



，







2
2
1
2
2
1
1
1
a
x
b
x
a
x








，










2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
a
x
b
x
a
x
a
x
a











，




2
1
2
1
1
2
a
b
a









，
解得：
2
4
a
b






，
2
4
6
a
b


．
18．我们用符号min{ , }
p q 表示p ，q两实数中较小的数，如min{ 1,2}
1

，若


2
2
min (
1) ,
9
x
x


，则
x _______．
【答案】3
或4
【分析】本题需依据


min
,p q 的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是
否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到x 的值．
【详解】解：根据


min
,p q 表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析：
1．当

2
2
1
x
x


时，




2
2
2
min
1
,
9
x
x
x



，
根据有理数的乘方运算，解得
3
x 
或
3
x


，
验证：当
3
x 
时，



2
2
1
3 1
4
x 



，
2
9
x 
，此时9
4

，不满足

2
2
1
x
x


的前提，舍去，
当
3
x


时，



2
2
1
3 1
16
x 


，
2
9
x 
，此时16
9

，满足前提条件，故
3
x


是有效解；
2．当

2
2
1
x
x


时，






2
2
2
min
1 ,
1
9
x
x
x




，
用直接开平方法解方程，得
1
3
x 
或
1
3
x ，
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即
4
x 
或
2
x ，
验证：当
4
x 
时，

2
1
9
x 

，
2
16
x 
，此时9
16

，满足

2
2
1
x
x


的前提，故
4
x 
是有效解，
当
2
x 时，

2
1
9
x 

，
2
4
x 
，此时4
9

，不满足

2
2
1
x
x


的前提，舍去，
综上，
3
x


或
4
x 
，
故答案为：3
或4
19．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程：
(1)

2
1
9
x 

；
(2)
2
6
4
0
x
x



．
【答案】(1)
4
x 
或
2
x 
(2)
13
3
x 
或
13
3
x 

【分析】（1）利用直接开平方法求解，即对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解；
（2）利用配方法求解，先配方凑完全平方式，再开平方转化为一次方程求解．
【详解】（1）解：

2
1
9
x 

，
1
3
x ，
1
3
x 
或
1
3
x ；
解得：
4
x 
或
2
x ；
（2）
2
6
4
0
x
x



，
2
6
9
9
4
0
x
x





，


2
3
13
0
x 


，


2
3
13
x 

，
3
13
x 

，
所以
3
13
x 
或
3
13
x 

，
解得：
13
3
x 
或
13
3
x 
．
20．（25-26 九年级下·广东惠州·开学考试）阅读下列关于解方程：
2
2
9
0
x
x



的解题过程，解决下列问题．
解：
2
2
9
x
x


①
2
2
1
9
x
x

②


2
1
9
x 

③
1
3
x 
或
1
3
x ④
1
2
4,
2
x
x


⑤
(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）；
(2)请你写出正确的解答过程．
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【答案】(1)②
(2)见解析
【分析】（1）步骤②中，等式两边没有同时加1；
（2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1，
故答案为：②；
（2）解：
2
2
9
x
x


，
配方得
2
2
1
9 1
x
x


，即

2
1
10
x 

，
开方得
1
10
x 
或
1
10
x 
，
∴
1
2
1
10,
1
10
x
x


．
21．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于x 的一元二次方程


2
1
0
a
x
h
k



与


2
2
0
a
x
h
k



称
为“同形二次方程”（
1
2
0
a a


）．现有关于x 的方程

2
3
2
5
0
x 


与方程



2
2
1
4
3
0
a
x
b
x





是“同形
二次方程”．则代数式
2
2
2026
ax
bx



的最大值是（
）
A．2022

B．2024

C．2026

D．2028

【答案】A
【分析】先由“同形二次方程”对



2
2
1
4
3
0
a
x
b
x





变形，从而确定
2
2
4
8
4
4
2
1
2
1
b
x
x
x
x
a
a








，
得出关于a
b
、的等式求解出a
b
、的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．
【详解】解：
关于x 的方程

2
3
2
5
0
x 


与方程



2
2
1
4
3
0
a
x
b
x





是“同形二次方程”，
则将方程



2
2
1
4
3
0
a
x
b
x





变形为



2
2
1
4
8
5
0
a
x
b
x










，
由“同形二次方程”定义可知






2
2
2
1
4
8
2
1
2
a
x
b
x
a
x







，
“同形二次方程”定义中
1
2
0
a a


，
2
1
0
a


，
则






2
2
2
1
4
8
2
1
2
a
x
b
x
a
x







两边同时除以2
1
a 得
2
2
4
8
4
4
2
1
2
1
b
x
x
x
x
a
a








，
4
8
4
,
4
2
1
2
1
b
a
a






①
②，
由②得
1
2
a 
，
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将
1
2
a 
代入①得
4
b 
，
∴代数式


2
2
2
2
2026
4
2026
2
2022
2022
ax
bx
x
x
x










．
22．
（25-26 八年级下·安徽淮北·期中）已知直角ABC 两条边长分别是方程
2
14
48
0
x
x



的两根，则ABC
的周长为__________．
【答案】2 7
14

或24
【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，
再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解．
【详解】解：解方程
2
14
48
0
x
x



，
整理可得
2
14
49
1
x
x


，
即

2
7
1
x 
，解得
1
8
x ，
2
6
x ，
当两个根是两条直角边时，斜边长为
2
2
8
6
10


，
∴此时ABC 的周长为8
6
10
24



；
当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为
2
2
8
6
2 7


，
∴此时ABC 的周长为8
6
2 7
2 7
14




．
23．（25-26 八年级下·山东威海·期中）关于x 的一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




的一个根是1

，且a，
b 满足
3
3
2
b
a
a





，用配方法解关于y 的方程
2
0
ay
by
c



.
【答案】
1
5
3
y 
，
2
1
y 
【分析】根据方程的根的定义得到
0
a
b
c



，根据二次根式有意义的条件求出,a b 的值，进而求出c的值，
再利用配方法解方程即可.
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




的一个根是1
，
∴
0
a
b
c



，
∵
3
3
2
b
a
a





，
∴
3
0,3
0
a
a




，
∴
3
3
0
a
a




，
∴
3,
2
a
b

，
∴3
2
0
c



，
∴
5
c ，
∴方程可化为
2
3
2
5
0
y
y



，
∴
2
2
5
0
3
3
y
y



，
∴
2
2
5
3
3
y
y


，
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∴
2
2
2
2
1
5
1
3
3
3
3
y
y
















，
∴
2
1
16
3
9
y








，
∴
1
4
3
3
y 

，
解得：
1
5
3
y 
，
2
1
y .
24．（25-26 八年级上·贵州六盘水·期中）【阅读材料】问题：已知
3
1
x 
，求
2
2
2
x
x


的值．
小明的做法：
因为
3
1
x 
，
所以
1
3
x 
，
所以

2
1
3
x 

，
所以
2
2
1
3
x
x


，
所以
2
2
2
x
x


，
所以
2
2
2
2
2
4
x
x





．
小明的做法是将已知条件适当变形，再整体代入
所求代数式进行解答．
小丽的做法：
因为
2
2
2
x
x


2
2
1 1
x
x





2
1
1
x



所以当
3
1
x 
时，
原式

2
3
1 1
1
3 1
4




．
小丽的做法是将结论中代数式适当变形，再将已知条
件代入变形式进行解答．
【解决问题】
(1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：
已知
5
3
x 
，求
2
6
4
x
x


的值．
(2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：
已知
10
2
3
x


，求
3
2
6
11
x
x

的值．
【答案】(1)－8
(2)2
【分析】本题考查完全平方公式的运用和整体代入思想，将条件和所求式通过配方、去根号、降次等方法
进行转化是解题关键．
（1）将原式通过配方转化为完全平方式，将 
5
3
x 
变形后整体代入求解．
（2）将条件
10
2
3
x


进行变形，分两次整体代入求解．
【详解】（1）解：仿照“小丽的做法”，


2
2
13
6
3
4
x
x
x





，
5
3
x 
可化为
3
5
x 

，
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


2
2
6
4
5
13
x
x




5 13


8
．
（2）解：仿照“小明的做法”，
10
2
3
x


，
3
2
10
x 

，


2
3
2
10
x 

，

2
9
12
4
10
x
x



，

2
3
4
2
x
x


，

2
6
8
4
x
x


，





3
2
2
2
6
11
6
8
3
4
3
4
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x









．
25．（25-26 八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将
一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题．
例如：分解因式










2
2
2
2
2
3
2
1
4
1
2
1
2
1
2
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x















．又如，求代数
式
2
2
4
6
x
x


的最小值，我们可以通过配方得到：






2
2
2
2
2
4
6
2
2
3
2
2
1
4
2
1
8
x
x
x
x
x
x
x
















．因为

2
1
0
x 

，所以

2
2
1
0
x 

，则


2
2
1
8
8
x 

，当
1
x 时，
2
2
4
6
x
x


有最小值，最小值是8
．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：
2
8
7
x
x


；
(2)当x 为何值时，多项式
2
2
4
5
x
x



有最大值？并求出这个最大值．
(3)若多项式
2
4
x 
与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式．
【答案】(1)


7
1
x
x


(2)当
1
x 时，最大值为7．
(3)4x、4x

、
4
1
16 x ．
【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果；
（2）将所求式子变形为


2
2
1
7
x



，结合

2
1
0
x 

得出


2
2
1
0
x



，从而即可得出结果；
（3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果．
【详解】（1）解：
2
8
7
x
x




2
8
16
9
x
x






2
4
9
x



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


4
3
4
3
x
x






7
1
x
x



；
（2）解：
2
2
4
5
x
x





2
2
2
1
7
x
x






2
2
1
7
x



，


2
1
0
x 

，


2
2
1
0
x




，
当
1
x 时，


2
2
1
0
x



，
2
2
4
5
x
x



取得最大值为7．
（3）解：当


2
2
4
4
2
x
x
x




，需要加单项式4x；
当


2
2
4
4
2
x
x
x




，需要加单项式4x

；
当
2
2
4
2
1
1
4
2
16
4
x
x
x










，需要加单项式
4
1
16 x ．
所以满足条件的单项式为：4x、4x

、
4
1
16 x ．
26．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解
一元二次方程的方法，以解一元二次方程
2
3
10
0
x
x



为例：
将方程
2
3
10
0
x
x



写成

3
10
x x 

；
如图1，大正方形由4 个小长方形与中间的小正方形组成，
大正方形面积为

2
3
x
x


，4 个小长方形与正方形的面积的和为


2
4
3
3
x x 

，即4 10
9
49



．
所以，

2
3
49
x
x



．易得一个正实数根
2
x 
．
请用构造几何图形方法解决下列问题：
(1)一元二次方程
2
2
24
0
x
x



的一个正实数根为；
(2)关于x 的一元二次方程
2
5
0
x
x
n



（n 为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元
二次方程的正实数根及n 的值．（在图2 虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）．
【答案】(1)
4
x 
(2)
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；该一元二次方程的正实数根为
2
x 
；
14
n 
【分析】（1）根据题意可得

2
24
x x 

，构造边长为

2
x
x


的大正方形，再仿照例题求解即可；
（2）根据题意可得

5
x x
n


，构造边长为

5
x
x


的大正方形，可求出大正方形的面积为

2
5
x
x


，
也为4
25
n 
，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
24
0
x
x



，
∴
2
2
24
x
x


，
∴

2
24
x x 

；
如图所示，大正方形由4 个小长方形与中间的小正方形组成，
大正方形面积为

2
2
x
x


，4 个小长方形与正方形的面积的和为


2
4
2
2
x x 

，即4
24
4
100



，
∴

2
2
100
x
x



，
∴2
2
10
x 

或2
2
10
x 

，
∴
4
x 
或
6
x ，
∴一元二次方程
2
2
24
0
x
x



的一个正实数根为
4
x 
；
（2）解：∵
2
5
0
x
x
n



，
∴
2
5
x
x
n


，
∴

5
x x
n


；
如图所示（见答案），大正方形由4 个小长方形与中间的小正方形组成，
大正方形面积为

2
5
x
x


，4 个小长方形与正方形的面积的和为


2
4
5
5
x x 

，即4
25
n 
，
∵在所构造的图形中大正方形的面积为81，
∴

2
5
81
x
x



，4
25
81
n 

，
∴2
5
9
x 

或2
5
9
x 
，
14
n 
，
∴
2
x 
或
7
x ，
∴该一元二次方程的正实数根为
2
x 
．
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27．（25-26 七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一
个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式
的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成
2
2
a
b

(a，b 为整数)的形式，则称
这个数为“完美数”．例如，13 是“完美数”，理由：因为
2
2
13
2
3


，所以13 是“完美数”．
解决问题：
(1)已知41是“完美数”，请将它写成
2
2
a
b

(a，b 为整数)的形式；
(2)若
2
6
1
x
x

可配方成

2
x
m
n


(m，n 为常数)，求mn 的值；
(3)已知
2
2
4
4
12
S
x
y
x
y
k





(x，y 是整数，k 是常数)，要使S 为“完美数”，试求出k 值．
【答案】(1)
2
2
41
4
5


(2)
30
mn 
(3)
13
k 
【分析】（1）根据完美数的定义变形成
2
2
41
4
5


，即可得到答案；
（2）将
2
6
1
x
x

根据完全平方公式进行配方即可；
（3）将式子化简成
2
2
2
2
4
4
12
(
2)
(2
3)
13
S
x
y
x
y
k
x
y
k











，根据“完美数”的定义得到
13
0
k 

，
即可得到答案．
【详解】（1）解：
41
4
37
9
32
16
25
36
5








，
其中只有16
25

是两个平方数的和，
2
2
41
4
5



；
（2）解：
2
6
1
x
x


2
6
9
9 1
x
x





2
(
3)
10
x



，
3,
10
m
n



，
30
mn


；
（3）解：
2
2
2
2
2
2
4
4
12
4
4
(4
12
9)
4
9
(
2)
(2
3)
13
S
x
y
x
y
k
x
x
y
y
k
x
y
k




















，
要使S 对任意整数x, y 都为“完美数”，则
13
0
k 

，
解得
13
k 
．
28．（25-26 八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式
的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成
2
2
a
b

（a ，
b 是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为
2
2
10
3
1


，所以10是“和
谐数”．
【解决问题】
(1)判断40是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”）
【探究问题】
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(2)若
2
8
25
a
a


可配方成

2
2
a
m
n


（m ，n 为常数），则mn 的值________．
(3)已知
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k





（a，b 是整数，k 是常数），要使M 为“和谐数”，试求出符合条件的一个
k 值，并说明理由．
【拓展应用】
(4)已知实数x ，y 满足
2
5
10
y
x
x



，当x 为多少时，y
x
能取得最小值，并求出最小值．
【答案】(1)是
(2) 12

(3)符合条件的一个k 值为9，理由如下：
对M 配方：
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k





2
2
2
(
4
4
)
6
a
ab
b
b
b
k






2
2
(
2 )
6
a
b
b
b
k





，
当
9
k 
时，
2
2
6
9
(
3)
b
b
b




，
∴
2
2
(
2 )
(
3)
M
a
b
b




，
∵a ，b 是整数，
∴
2
a
b

和
3
b都是整数，
∴M 是两个整数的平方和，即M 为“和谐数”；
(4)当
3
x 
时，y
x
的最小值为1
【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40 能否写成两个整数的平方和即可；
（2）利用配方法对代数式变形，对比得到m ，n 的值，即可计算mn ；
（3）对M 进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k 值；
（4）先写出y
x
的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值．
【详解】（1）解：∵
2
2
40
6
2


，且6，2 都是整数，
∴40 是“和谐数”；
（2）解：
2
2
2
2
8
25
(
8
16)
9
(
4)
3
a
a
a
a
a









，
2
2
(
4)
3
a 

对比
2
2
(
)
a
m
n


得
4
m 
，
3
n ，
∴
4 ( 3)
12
mn 


；
（3）解：略
（4）解：


2
2
2
5
10
6
10
3
1
y
x
x
x
x
x
x
x










，
∵对于任意实数x，都有

2
3
0
x 

，
∴当

2
3
0
x 

，即
3
x 
时，y
x
取得最小值，最小值为1．
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29．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c 是三个不为零的实数，且
2
a
bc

，则
2
2
2
c
a
b

的最小值为____．
【答案】
1
4

/ 0.25

【分析】利用已知条件
2
a
bc

对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小
值即可．
【详解】解：
2
a
bc

，且, ,
a b c 都不为0，
0
bc


，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
c
bc
c
bc
c
c
b
b
b
b
b
b














，
设
c
t
b

则
0
t 
，原式
2t
t


2
1
1
2
4
t








，
2
1
0
2
t







，

2
1
1
1
2
4
4
t








，当
1
2
t 
时，原式取得最小值
1
4

，
即
2
2
2
c
a
b

的最小值为
1
4

．