文档内容
22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质 导学案
学习目标
1）利用描点法画二次函数y=ax2的图象。
2）通过观察图象能说出二次函数y=ax²的图象特征和性质。
3）由二次函数y=ax2（a>0）的图象及性质类比地学习二次函数y=ax2（a<0）的图象及性质，并能比较它
们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
重点难点突破
二次函数y=ax²的图象特征和性质
核心知识
二次函数y=ax²的图象特征和性质思维导图
引入新课
【提问1】画一个函数图象需要哪些步骤？
y
【提问2】画一次函数y=3x+2的图象？
9
6
3
x
-3 O 3
【提问3】一次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是是什么形状？
新知探究
【问题】用描点法画二次函数 y=x2 的图象。
y
9
6
3
x
-3 O 3
【问题】观察y=x2的图象，它有什么特征？它的形状像什么？【提问】抛物线y=x2是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？
【提问】抛物线y=x2与对称轴交点坐标为________叫做抛物线线y=x2的_______,它是抛物线y=x2的最
_______点.
【提问】观察y=x2的图象，讨论x与y的变化趋势？
1
【提问】对比函数y= x2， y=x2 ，y = 2x2的图象，有什么共同点与不同点？
2
（提示：从开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面考虑）
1
【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数y=- x2 ，y=-x2 ，y=-2x2的图象.对比函数图象，有什么
2
相同点与不同点？
y
x
-3 O 3
-3
-6
-9【问题】对比抛物线y=x2和y=-x2，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=-ax2呢？
【总结】二次函数y=ax²的图象特征和性质:
典例分析
1
例1．已知函数y=− x2，不画图象，回答下列各题：
3
1）其图象的开口方向：________2）其图象的对称轴：________
3）其图象的顶点坐标：________
4）当x>0时，y随x的增大而_______；
5）当x__时，函数y的最_____值是________
[针对训练]
1．抛物线y= x2的对称轴是 ______________，顶点坐标是_________________．
2
2．已知下列二次函数①y=−x2；②y= x2；③y=15x2；④y=−4x2；⑤y=4x2．
5
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下并且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）．
3．下列说法中正确的序号是_____________
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
1
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
2
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
例2．如果抛物线y=（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是__________．
例3．已知抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，则a=______．
[针对训练]
1．若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是_______．
2．已知二次函数 的图象开口向下，则m的值为_______ ．
y=(m−1)xm2−3
3．二次函数 的图象开口向下，则m值为_________．
y=(m+1)xm2−2m−6
4． 若点A(2,m)在抛物线 y=x2上，则 m 的值为___________，点 A 关于 y 轴对称点的坐标是
___________．
5．根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
1
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线y=− x2的形状相同；
2例4．已知抛物线 经过 、 、 三点，则 、 、 的大小关
y=ax2(a>0) A(−2,y ) B(1,y ) C(3,y ) y y y
1 2 3 1 2 3
系是_______________；（用“<”连接）
[针对训练]
1．若点A、B是二次函数y＝-5x2图像上的两点，已知x , =,<”）
1 2 1 2
2．若点（-2，y ）和（❑√3，y ）在函数y=x2的图象上，则y __y （填“＞”、“＜”或“＝”）
1 2 1 2
例5．二次函数的图像如图所示，则m ____ n（填“＞”或“＜”）．
[针对训练]
1．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则
a、b、c、d的大小关系为_____．
2．在同一个平面直角坐标系 中，二次函数 ， ， 的图像如图所示，则
xOy y =a x2 y =a x2 y =a x2
1 1 2 2 3 3
， ， 的大小关系为 _____（用“＞”连接）．
a a a
1 2 3例6．如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与
y=−2x2的图象，则阴影部分的面积是__．
[针对训练]
1．如图，⊙O的半径为2，C 是函数y=2x2的图象，C 是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积
1 2
为_______．
2.如图，正方形的边长为2,图中阴影部分的面积为________.
【设计意图】考查二次函数y=ax2 的对称性。
例7．在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x2与直线y=x+1交于点A(a,b)和点B(c,d)，其中a>c，
点O为原点，求ΔABO的面积.[针对训练]
1．抛物线y=ax2与直线y=2x−3交于点A(1,b)．
（1）求a，b的值；
（2）求抛物线y=ax2与直线y=−2的两个交点B，C的坐标（点B在点C右侧）．
能力提升
1．已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
y=(k+2)xk2+k−4
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
2．函数 为二次函数，
y=(m−2)xm2−3m−2
（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；
（2）若当x≥0时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．
3．已知函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？感受中考
1．（2020·四川南充中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），
（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
9 9 3 3
2．（辽宁本溪中考真题）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax−1经过的象限是（
）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
课堂小结
1.如何画出函数y=ax2的图象？
2.函数y=ax2具有哪些性质？
3. 谈谈你对本节课学习的体会？4.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？
【参考答案】
引入新课
【提问1】画一个函数图象需要哪些步骤？列表、描点、连线
【提问2】画一次函数y=3x+2的图象？
【提问3】一次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是是什么形状？
一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条曲线
新知探究
【问题】用描点法画二次函数 y=x2 的图象。【问题】观察y=x2的图象，它有什么特征？它的形状像什么？
从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中
所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数
y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
【提问】抛物线y=x2是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？
抛物线y=x2是轴对称图形，它的对称轴是y轴.
【提问】抛物线y=x2与对称轴交点坐标为___（0，0）_____叫做抛物线线y=x2的____顶点___,它是抛物线
y=x2的最___低____点.
【提问】观察y=x2的图象，讨论x与y的变化趋势？
当x＜0时，y随x的增大而__减小___；当x＞0时，y随x的增大而___增大__.
1
【提问】对比函数y= x2， y=x2 ，y = 2x2的图象，有什么共同点与不同点？
2
（提示：从开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面考虑）
1）开口都向上（a>0） ，对称轴都是y轴。
2）当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大。
3）顶点是原点（最小值）。
4）a值越大抛物线开口越小。
1
【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数y=- x2 ，y=-x2 ，y=-2x2的图象.对比函数图象，有什么
2
相同点与不同点？
1）开口都向上（a<0） ，对称轴都是y轴。
2）当x<0时，y随x增大而增大；
当x>0时，y随x增大而减小。
3）顶点是原点（最大值）。4）a值越小抛物线开口越小。
【问题】对比抛物线y=x2和y=-x2，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=-ax2呢？
二次项系数互为相反数，则它们关于x轴对称，且抛物线开口方向相反，大小相同.
【总结】二次函数y=ax²的图象特征和性质:
典例分析
1
例1．已知函数y=− x2，不画图象，回答下列各题：
3
1）其图象的开口方向：____向下____
2）其图象的对称轴：____y轴____
3）其图象的顶点坐标：___（0，0）_____
4）当x>0时，y随x的增大而___减小____；
5）当x=0__时，函数y的最___大__值是____0____
[针对训练]
1．抛物线y= x2的对称轴是 _______y轴_______，顶点坐标是________（0，0）_________．
2
2．已知下列二次函数①y=−x2；②y= x2；③y=15x2；④y=−4x2；⑤y=4x2．
5（1）其中开口向上的是____②③⑤____（填序号）；
（2）其中开口向下并且开口最大的是____①__（填序号）；
（3）有最高点的是___①④____（填序号）．
3．下列说法中正确的序号是______①②④_______
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
1
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
2
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
例2．如果抛物线y=（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是_____m<−1_____．
例3．已知抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，则a=__±2____．
[针对训练]
1．若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是___a>1____．
2．已知二次函数 的图象开口向下，则m的值为___ ____ ．
y=(m−1)xm2−3 −❑√5
3．二次函数 的图象开口向下，则m值为_____ ____．
y=(m+1)xm2−2m−6 −2
4．若点A(2,m)在抛物线y=x2上，则m的值为_____4______，点A关于y轴对称点的坐标是_____
(−2，4)______．
5．根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
1
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线y=− x2的形状相同；
2
【详解】解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2；
2
(2)由题意得，3a-2＜0，解得a< ；
3
(3)由题意得， | 1|，解得 5， 3
|a+2|= − a =− a =−
2 1 2 2 2
例4．已知抛物线 经过 、 、 三点，则 、 、 的大小关
y=ax2(a>0) A(−2,y ) B(1,y ) C(3,y ) y y y
1 2 3 1 2 3
系是_______y , =,<”）
1 2 1 2
2．若点（-2，y ）和（❑√3，y ）在函数y=x2的图象上，则y __y （填“＞”、“＜”或“＝”）
1 2 1 2
例5．二次函数的图像如图所示，则m __＞__ n（填“＞”或“＜”）．
[针对训练]
1．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则
a、b、c、d的大小关系为___a＞b＞d＞c__．
2．在同一个平面直角坐标系 中，二次函数 ， ， 的图像如图所示，则
xOy y =a x2 y =a x2 y =a x2
1 1 2 2 3 3
， ， 的大小关系为 __ ___（用“＞”连接）．
a a a a >a >a
1 2 3 3 2 1
例6．如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与
y=−2x2的图象，则阴影部分的面积是_8_．
[针对训练]1．如图，⊙O的半径为2，C 是函数y=2x2的图象，C 是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积
1 2
为____2π___．
2.如图，正方形的边长为2,图中阴影部分的面积为____2____.
【设计意图】考查二次函数y=ax2 的对称性。
例7．在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x2与直线y=x+1交于点A(a,b)和点B(c,d)，其中a>c，
点O为原点，求ΔABO的面积.
【详解】解：由题意得：{y=2x2
y=x+1
1
解得：x=− 或x=1
2
∵点A(a,b)和点B(c,d)，其中a>c
1 1
∴A(1,2)，B(− , )
2 2
直线y=x+1与y轴的交点坐标为：（0，1）
1 1 1 3
∴ SΔABO = × × 1 + × 1 × 1=
2 2 2 4
[针对训练]
1．抛物线y=ax2与直线y=2x−3交于点A(1,b)．
（1）求a，b的值；
（2）求抛物线y=ax2与直线y=−2的两个交点B，C的坐标（点B在点C右侧）．【详解】
解：（1）∵点A(1,b)在直线y=2x−3上，
∴b=−1，∴点A坐标(1,−1)，
把点A(1,−1)代入y=ax2得到a=−1，
∴a=b=−1．
（2）由{y=−x2解得{x=❑√2或{x=−❑√2，
y=−2 y=−2 y=−2
∴点C坐标(−❑√2，-2)，点B坐标(❑√2，-2)．
能力提升
1．已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
y=(k+2)xk2+k−4
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
【详解】解：（1）由 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
y=(k+2)xk2+k−4
{k2+k−4=2，解得k=-3；
k+2<0
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
2．函数 为二次函数，
y=(m−2)xm2−3m−2
（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；
（2）若当x≥0时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．
【详解】解：∵函数 为二次函数，
y=(m−2)xm2−3m−2
∴m2﹣3m﹣2＝2，且m-2≠0，
解得，m＝4，m＝﹣1．
1 2
（1）∵其函数图象开口向上，∴m﹣2＞0，解得m＞2，∴m＝4．
∴函数关系式为y＝2x2；
（2）∵当x≥0时，y随x的增大而减小，∴m﹣2＜0，∴m＜2，∴m＝﹣1，
∴函数关系式为y＝﹣3x2．3．已知函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？
【详解】解：
（1）∵函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数，
∴k满足k2﹣4k+5＝2，且k﹣2≠0，
∴解得：k ＝1，k ＝3；
1 2
（2）∵抛物线有最高点，∴图象开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，∴k＝1，
∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．
（3）∵函数有最小值，∴图象开口向上，即k﹣2＞0，∴k＝3，
∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
感受中考
1．（2020·四川南充中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），
（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ A ）
1 1 1 1
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
9 9 3 3
2．（辽宁本溪中考真题）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax−1经过的象限是（ D
）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
