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22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质 分层作业
基础训练
1．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小
【详解】解：抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是顶点坐标都是（0，0），对称轴都是y轴，
故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
2下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－1 2时，y有最大值为8，最小值为0
【详解】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；
二次函数y=2x2的图象的对称轴是直线 y轴，故选项B不合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；
二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D
符合题意；
故选：D．
3．已知点A（－2，y），B（1，y），C（3，y）在二次函数 图象上，则y，y，y 的大小关系是
1 2 3 1 2 3
（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵点A（-2，y），B（1，y），C（3，y）在二次函数y=-2x2图象上，
1 2 3
∴y=-2×4=-8；y=-2×1=-2；y=-2×9=-18，
1 2 3
∴y＜y＜y．
3 1 2
故选：D．
4．抛物线 ， ， 的图象开口最大的是（ ）A． B． C． D．无法确定
【详解】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1， ）（1，-3），（1，1），
∵| |＜|1|＜|-3|，
∴抛物线 开口最大．
故选A．
5．若二次函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解： 二次函数 的图象经过点 ，
，
解得 ．
故选：A．
6．下列说法错误的是（ ）
A．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图像开口越小，a越小图像开口越大
B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0
C．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
【详解】解：A. 抛物线y=ax2（a≠0）中， 越大图像开口越小， 越小图像开口越大，该选项说法错误，
符合题意；
B. 二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0，说法正确，不符合题意；
C. 二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；
D. 不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，说法正确，不符合题意．
故选：A．
7．若抛物线 的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则a的值为（ ）
A． B．﹣ C．± D．0【详解】解：∵抛物线 的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴ ，
解得a＝ ，
故选：A．
8．关于抛物线 ，给出下列说法：
①物线开口向下，顶点是原点；
②当 时，y随x的增大而减小；
③当 时， ；
④若 、 是该抛物线上两点，则 ．
其中正确的说法有 _____．
【详解】解：∵ ，
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为 ，当 时，y随x的增大而减小，故该项正确；
③当 时， 时取最大值0， 时取最小值 ，因此 ，故该项错误；
④若 、 是该抛物线上两点，则两点关于直线 对称，因此 ，故该项正确．
故答案为：①②④．
9．如图，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点．
（1）求b值；（2）求 的值．
【详解】（1）∵直线 过点 ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴直线的解析式为 ，
由 得 ，
∴ ．
10．若二次函数 的图象开口向下，求m的值．
晓丽的解题过程如下：
【解】∵ 是二次函数，（第一
步）
∴ ，解得 或 ．（第二步）
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程．
【详解】解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．
正确的解题过程如下：
∵ 是二次函数，
∴ ，解得 或 ，
∵抛物线图象开口向下，
∴ ，解得 ，
∴ ．
能力提升
1．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）A． B． C． D．
【详解】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A
错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
2．二次函数 的图象经过原点，则k的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．3
【详解】解：∵二次函数的解析式为： ，
∴（k−2）≠0，
∴k≠2，
∵二次函数 的图象经过原点，
∴ ，
∴k＝2或−2，
∵k≠2，
∴k＝−2．
故选：B．
3．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝ 的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
则对角线AC的长为（ ）
A．2 B． C． D．【详解】设点B（x，y）
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝ 的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴AC=BO， +x=6，
解得 （舍去），
∴B（2，4），
∴BO= = ，
∴AC= ，
故选C．
4．（2023·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系 中，点 的图象如图所示，
则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：将 代入 中时，得： ，将 代入 中时，得： ，
根据图像可知， 时 的函数值 ，当 时， 的函数值 ，
则有： ，解得： ，
故选B．
5．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A
作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两
点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．【详解】解：将点 代入抛物线 中，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设CD、EF分别与 轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线 中，
得到： ，
解得 ， (负值舍去)，
∴ ，
故答案为： ．6．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，若B点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正
方形OABC的面积为_____．
【详解】解：∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，
∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0．
∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴x+x2＝6，
解得x＝2，x＝﹣3（不合题意舍去），
1 2
∴B（2，4），
∴OB2＝22+42＝20，
∴正方形OABC的面积＝ OB•AC＝ OB2＝10．
故答案为10．
7．如图，已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求 ， 的值；
（2）求点 的坐标；
（3）求 ．【详解】（1） 二次函数 与一次函数 的图象相交于 ，
则 ，解得
，解得
二次函数解析式为：
一次函数解析式为：
（2）由题意可知，已知二次函数 与一次函数 的图象相交于 ， 两点
联立
解得
（3）设直线 与 轴的交点为 ,如图，
由 ，令 ，解得，
拔高拓展
1．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函数 ，
分别交于A、B和C、D，若 ，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【详解】解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线 与二次函数 交于A、B，
∴当 时， ，得 ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴CD=4 ，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2 ，∴D（2 ，2），
将点D的坐标代入 ，得8a=2，
解得a= ，
故选：B．
2．已知，如图：直线 过x轴上的点 ，且与抛物线 相交于B，C两点，点B的坐标为 ．
（1）求直线 和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点D，使得 ，求点D的坐标．
【详解】（1）设直线 的解析式为
，
解得直线 的解析式为 ，
抛物线 过点
抛物线的函数解析式为 ；
（2） 直线 与抛物线 相交于B，C两点， ，
即
解得
当 时，
直线
令 ，得
所以
当 时，
