25.2.1配方法（分层作业）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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分层作业
25.2.1 配方法
目录
A 组巩固过关
题型01 直接开平方法解一元二次方程
题型02 配方法解一元二次方程
题型03 配方法的应用
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
直接开平方法解一元二次方程
1（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程

2
2
4
x 

时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一
个方程为
2
2
x 

，则另一个方程为（
）
A．
2
2
x 

B．
2
2
x 

C．
2
2
x 

D．
2
2
x 

2（25-26 九年级上·江苏淮安·期末）方程
2
4
0
x 

的解是（
）
A．
1
2
2
x
x


B．
1
2
x 
，
2
2
x 
C．
1
2
2
x
x


D．
1
2
2
x
x


3．（25-26 九年级上·陕西渭南·期中）方程

2
1
16
x 

的根是（
）
A．
1
2
5
3
x
x


，
B．
1
2
3
5
x
x


，
C．
1
2
1
5
x
x


，
D．
3
x


4．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）若
2
(
1)
4
x 

，该方程的解为______．
5．（25-26 九年级上·江苏南京·期末）解方程
2
3(
1)
18
0
x 


．
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题型02
配方法解一元二次方程
6．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）方程
2
6
7
0
x
x



经过配方可变形为（
）
A．
2
(
3)
16
x 

B．
2
(
3)
16
x 

C．
2
(
6)
16
x 

D．
2
(
6)
16
x 

7．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程
2
6
2
0
x
x



，将方程变为
2
(
)
x
m
n


的形式，则m ，
n 的值分别为（
）
A．9，4
B．9，5
C．3，5
D．3，7
8．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x 的方程
2
0
x
mx
n



通过配方可变形为
2
1
15
4
16
x







，则m
n
的值为_____．
9．用配方法
．．．解方程：
2
6
3
0
x
x



．
10．（25-26 九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程
2
2
6
1
0
x
x


的解题步骤如下：
解：
2
2
6
1
x
x

①
2
1
3
2
x
x


②
2
2
3
1
3
2
2
x
x









③
2
3
1
2
2
x








④
该方程没有实数根⑤
(1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________．
(2)请写出用配方法解方程
2
2
6
1
0
x
x


的正确过程．
题型03
配方法的应用
11．若把代数式
2
2
3
x
x

化为
2
(
)
x
m
k


的形式，其中
,
m k 为常数，结果为______．
12．（25-26 九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知代数式
2
2
6
x
x


的最小值是_________．
13．例如：代数式


2
2
2
3
1
2
x
x
x





，因为

2
1
0
x 

，所以当
1
x 时，

2
1
2
x 

的最小值是2；则当
x __时，代数式
2
8
12
5
x
x


有最小值，最小值为______．
14．求证：不论x，y 取任何实数，多项式
2
2
2
4
16
x
y
x
y




的值总为正数．
15．我们知道：对于任何实数x ，
①
2
2
8
9
0
x
x



，
2
2(
2)
1
0
x



；②
2
(
2)
0
x 

，
2
2(
2)
0
x



．
请模仿上述方法解答：
(1)求证：对于任何实数x ，都有
2
2(
2)
1
0
x 

；
(2)不论x 为何实数，请通过运算，比较多项式
2
3
5
1
x
x

与
2
3
10
x
x


的值的大小．
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16．已知关于x 的一元二次方程


2
0
m x
h
k



（m，h，k 均为常数且
0
m 
）的解是
1
2
x 
，
2
5
x 
，则关
于x 的一元二次方程


2
1
m x
h
k



的解是（）
A．
1
2
2
5
x
x


，
B．
1
2
4
1
x
x




，
C．
1
2
1
4
x
x


，
D．
1
2
3
6
x
x


，
17．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）把关于x 的一元二次方程


2
1
0
a
x
m
n



与


2
2
0
a
x
m
n



称为“同
构二次方程”．比如

2
2
2
4
0
x 


与

2
3
2
4
0
x 


就是“同构二次方程”．已知两个关于x 的一元二次方程


2
2
1
1
0
x 

与



2
1
2
2
0
a
x
b
x




是“同构二次方程”，则a
b

___________．
18．我们用符号min{ , }
p q 表示p ，q两实数中较小的数，如min{ 1,2}
1

，若


2
2
min (
1) ,
9
x
x


，则
x _______．
19．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程：
(1)

2
1
9
x 

；
(2)
2
6
4
0
x
x



．
20．（25-26 九年级下·广东惠州·开学考试）阅读下列关于解方程：
2
2
9
0
x
x



的解题过程，解决下列问题．
解：
2
2
9
x
x


①
2
2
1
9
x
x

②


2
1
9
x 

③
1
3
x 
或
1
3
x ④
1
2
4,
2
x
x


⑤
(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）；
(2)请你写出正确的解答过程．
21．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于x 的一元二次方程


2
1
0
a
x
h
k



与


2
2
0
a
x
h
k



称
为“同形二次方程”（
1
2
0
a a


）．现有关于x 的方程

2
3
2
5
0
x 


与方程



2
2
1
4
3
0
a
x
b
x





是“同形
二次方程”．则代数式
2
2
2026
ax
bx



的最大值是（
）
A．2022

B．2024

C．2026

D．2028

22．
（25-26 八年级下·安徽淮北·期中）已知直角ABC 两条边长分别是方程
2
14
48
0
x
x



的两根，则ABC
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的周长为__________．
23．（25-26 八年级下·山东威海·期中）关于x 的一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




的一个根是1

，且a，
b 满足
3
3
2
b
a
a





，用配方法解关于y 的方程
2
0
ay
by
c



.
24．（25-26 八年级上·贵州六盘水·期中）【阅读材料】问题：已知
3
1
x 
，求
2
2
2
x
x


的值．
小明的做法：
因为
3
1
x 
，
所以
1
3
x 
，
所以

2
1
3
x 

，
所以
2
2
1
3
x
x


，
所以
2
2
2
x
x


，
所以
2
2
2
2
2
4
x
x





．
小明的做法是将已知条件适当变形，再整体代入
所求代数式进行解答．
小丽的做法：
因为
2
2
2
x
x


2
2
1 1
x
x





2
1
1
x



所以当
3
1
x 
时，
原式

2
3
1 1
1
3 1
4




．
小丽的做法是将结论中代数式适当变形，再将已知条
件代入变形式进行解答．
【解决问题】
(1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：
已知
5
3
x 
，求
2
6
4
x
x


的值．
(2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：
已知
10
2
3
x


，求
3
2
6
11
x
x

的值．
25．（25-26 八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将
一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题．
例如：分解因式










2
2
2
2
2
3
2
1
4
1
2
1
2
1
2
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x















．又如，求代数
式
2
2
4
6
x
x


的最小值，我们可以通过配方得到：






2
2
2
2
2
4
6
2
2
3
2
2
1
4
2
1
8
x
x
x
x
x
x
x
















．因为

2
1
0
x 

，所以

2
2
1
0
x 

，则


2
2
1
8
8
x 

，当
1
x 时，
2
2
4
6
x
x


有最小值，最小值是8
．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：
2
8
7
x
x


；
(2)当x 为何值时，多项式
2
2
4
5
x
x



有最大值？并求出这个最大值．
(3)若多项式
2
4
x 
与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式．
26．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解
一元二次方程的方法，以解一元二次方程
2
3
10
0
x
x



为例：
将方程
2
3
10
0
x
x



写成

3
10
x x 

；
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如图1，大正方形由4 个小长方形与中间的小正方形组成，
大正方形面积为

2
3
x
x


，4 个小长方形与正方形的面积的和为


2
4
3
3
x x 

，即4 10
9
49



．
所以，

2
3
49
x
x



．易得一个正实数根
2
x 
．
请用构造几何图形方法解决下列问题：
(1)一元二次方程
2
2
24
0
x
x



的一个正实数根为；
(2)关于x 的一元二次方程
2
5
0
x
x
n



（n 为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元
二次方程的正实数根及n 的值．（在图2 虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）．
；该一元二次方程的正实数根为
2
x 
；
14
n 
27．（25-26 七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一
个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式
的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成
2
2
a
b

(a，b 为整数)的形式，则称
这个数为“完美数”．例如，13 是“完美数”，理由：因为
2
2
13
2
3


，所以13 是“完美数”．
解决问题：
(1)已知41是“完美数”，请将它写成
2
2
a
b

(a，b 为整数)的形式；
(2)若
2
6
1
x
x

可配方成

2
x
m
n


(m，n 为常数)，求mn 的值；
(3)已知
2
2
4
4
12
S
x
y
x
y
k





(x，y 是整数，k 是常数)，要使S 为“完美数”，试求出k 值．
28．（25-26 八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式
的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成
2
2
a
b

（a ，
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b 是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为
2
2
10
3
1


，所以10是“和
谐数”．
【解决问题】
(1)判断40是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”）
【探究问题】
(2)若
2
8
25
a
a


可配方成

2
2
a
m
n


（m ，n 为常数），则mn 的值________．
(3)已知
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k





（a，b 是整数，k 是常数），要使M 为“和谐数”，试求出符合条件的一个
k 值，并说明理由．
【拓展应用】
(4)已知实数x ，y 满足
2
5
10
y
x
x



，当x 为多少时，y
x
能取得最小值，并求出最小值．
29．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c 是三个不为零的实数，且
2
a
bc

，则
2
2
2
c
a
b

的最小值为____．