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25.2.3 因式分解法—解一元二次方程
知识点一 因式分解的方法
常见的因式分解的方法：
（1）提取公因式法：𝑎𝑚+ 𝑏𝑚= 𝑚(𝑎+ 𝑏)；
（2）公式法：
平方差公式：𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎−𝑏)；
完全平方公式：𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎± 𝑏)2
（3）十字相乘法：
对形似于𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的二次三项式，若𝑐= 𝑚𝑛且𝑚+ 𝑛= 𝑏，则𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐=
(𝑥+ 𝑚)(𝑥+ 𝑛)。
对形似于𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的二次三项式，若𝑎= 𝑚𝑛，𝑐= 𝑝𝑞，且𝑚𝑞+ 𝑛𝑝= 𝑏，
则𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= (𝑚𝑥+ 𝑝)(𝑛𝑥+ 𝑞)。
例如：对2𝑥2 + 5𝑥+ 3因式分解
𝑎= 2 , 𝑐= 3 , 𝑏= 5
𝑎= 𝑚𝑛= 2 × 1 , 𝑐= 𝑝𝑞= 3 × 1，即𝑚= 2, 𝑛= 1, 𝑝= 3, 𝑞= 1
𝑚 𝑝
2 3
𝑚𝑞+ 𝑛𝑝= 2 × 1 + 1 × 3 = 5 = 𝑏
𝑛 𝑞
1 1 2𝑥2 + 5𝑥+ 3 = (2𝑥+ 3)(𝑥+ 1)
拓展延伸
对十字相乘法因式分解的认知，不能只停留在“凑数”上，还要充分意识到当多项式中
的元素增加，或出现整体结构时，需要利用整体思想对因式分解进行降维打击。
(Ⅰ)二元二次齐次式的“降维”分解
核心思想：将其中一个字母（如𝑦）视为“已知常数系数”，另一个字母（如𝑥）作
为主元进行十字相乘法的因式分解。
常见形式：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥𝑦+ 𝑐𝑦2
例：𝑥2 −5𝑥𝑦+ 6𝑦2
第二十五章
一元二次方程
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将6𝑦2看作𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐中的常数项𝑐，在原十字相乘法的因式分解中，我们认
为𝑐是由两个常数相乘得到的，因此在该例中，我们也同样认为，6𝑦2是由某两个含
有𝑦的单项式相乘得到的，进而将6𝑦2拆分为(−2𝑦) × (−3𝑦)，交叉验证(−2𝑦) +
(−3𝑦) = −5𝑦，最终分解为(𝑥−2𝑦)(𝑥−3𝑦)
(Ⅱ)含参字母（系数）的“动态”十字相乘
核心思想：待定系数中不仅包含数字，还包含另一个字母（如𝑚, 𝑘），要求根据“交
叉项”的系数反推因式分解的配凑
例：𝑥2 −(2𝑎+ 1)𝑥+ (𝑎2 + 𝑎)
这里的常数项为(𝑎2 + 𝑎)，可以将其拆分为(−𝑎)[−(𝑎+ 1)]，交叉验证−𝑎+
[−(𝑎+ 1)] = −(2𝑎+ 1)恰好等于一次项系数，最终分解为(𝑥−𝑎)[𝑥−(𝑎+ 1)]
(Ⅲ)利用十字相乘解决“高次方程”的降次
核心思想：十字相乘法的因式分解不限于二次，当遇到可以分解的三次或四次方
程，可以先提取公因式或换元，再用十字相乘法因式分解
例1：𝑥3 −5𝑥2 + 6𝑥
先提取公因式𝑥，得𝑥(𝑥2 −5𝑥+ 6),再对括号内的二次三项式十字相乘法因式
分解，可得𝑥(𝑥−2)(𝑥−3)，进而直接求出方程的三个根
例2：𝑥4 −13𝑥2 + 36
将𝑥2视为整体𝑡，即𝑡2 −13𝑡+ 36，再对该式十字相乘因式分解可得
(𝑡−4)(𝑡−9)，将𝑥2回代，得到(𝑥2 −4)(𝑥2 −9)，再利用平方差公式彻底分解即可
特别提醒
①建立分解“工具”的优先级意识。因式分解的手法有：提取公因式法、公式法（平方
差公式、完全平方式）、十字相乘法。在解题时，必须建立清晰的优先级思维：先看有
无公因式可提，再看能否用公式，最后才尝试十字相乘。对于系数较大或较复杂的式
子，切勿一上来就盲目拆项；
②十字相乘法的“符号判定”技巧：这是很多学生的“心理门槛”。当𝑐> 0时，分解出的
两个常数同号（且都与𝑏同号）；当𝑐< 0时，分解出的两个常数异号（绝对值较大的那个
与𝑏同号）。这是“符号预判法则”，能大幅降低试错成本。
归纳总结
对二次三项式𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)因式分解时，注意用法的优先级：提取公因式法、
公式法、十字相乘法。当出现高次多项式时，可以采用分组分解法。其中，公式法最快；
十字相乘法需要观察系数。
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知识点二 因式分解法解一元二次方程
基本步骤：
①整理一元二次方程，对其进行移项，使得方程等号右边为 0 ；
②对方程等号左侧进行 因式分解 ，将其分解为两个或多个整式的乘积的形式；
③分别令等号左侧的整式等于 0 ，得到两个或多个一元一次方程；
④解这些一元一次方程，一元一次方程的解合并起来就是一元二次方程的解。
特别提醒
在方程中，因式分解大前提为方程等号右边必须为“0”，若方程等号右边不为“0”,绝不
能先分解左边再强行令因式乘积等于“0”，所以第一步必须是“移项、合并、归零”；；
归纳总结
因式分解法解方程：
① 将方程先整理为一般式；
② 等号左侧因式分解，右侧等于0；
③ 分别令左侧的整式等于0；
④ 求解。
知识点三 整体法或换元法解一元二次方程
定义：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用
一个简单的字母表示，达到简化方程的目的，再解方程的方法叫做整体法或换元法。
例如：解方程(𝑥+ 1)2 −5(𝑥+ 1) + 6 = 0
解：令𝑡= 𝑥+ 1，原方程可化为𝑡2 −5𝑡+ 6 = 0
对该式因式分解，可得(𝑡−2)(𝑡−3) = 0
解得 𝑡= 2或3
∴𝑥+ 1 = 2或𝑥+ 1 = 3，解得𝑥1 = 1，𝑥2 = 2
拓展延伸
整体换元下的“大十字”结构
核心思想：当出现重复的代数式（如𝑥2 + 𝑥、𝑥+
1
𝑥）时，将其视为一个整体𝑡，先对𝑡十
字相乘因式分解，再回代分解内部的因式。
⚫
类型𝐴：直接整体替换
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例：解方程(𝑥2 + 𝑥)2 −8(𝑥2 + 𝑥) + 12 = 0
解：令𝑡= 𝑥2 + 𝑥，原方程可化为𝑡2 −8𝑡+ 12 = 0
对该式因式分解，可得(𝑡−2)(𝑡−6) = 0
解得𝑡= 2或6
将𝑥2 + 𝑥代回至𝑡中，可得𝑥2 + 𝑥= 2或𝑥2 + 𝑥= 6
分别对上式进行移项和因式分解，可得(𝑥−1)(𝑥+ 2) = 0或
(𝑥−2)(𝑥+ 3) = 0
解该方程，可得𝑥1 = 1，𝑥2 = −2，𝑥3 = 2，𝑥4 = −3
⚫
类型𝐵：互为倒数式
例：解方程𝑥2 +
1
𝑥2 −3 (𝑥+
1
𝑥) + 2 = 0
解：∵𝑥2 +
1
𝑥2 = (𝑥+
1
𝑥)
2
−2
∴原式可化为(𝑥+
1
𝑥)
2
−2 −3 (𝑥+
1
𝑥) + 2 = 0
即(𝑥+
1
𝑥)
2
−3 (𝑥+
1
𝑥) = 0
令𝑡= 𝑥+
1
𝑥，原方程可化为𝑡2 −3𝑡= 0
对该式因式分解，可得𝑡(𝑡−3) = 0
解得𝑡= 0或3
将𝑥+
1
𝑥代回至𝑡中，可得𝑥+
1
𝑥= 0或𝑥+
1
𝑥= 3
解得𝑥1 =
3+√5
2 ，𝑥2 =
3−√5
2
归纳总结
整体换元法的目的是将复杂的、重复出现的代数式视为一个“新字母”（设为𝑡），从
而把高次方程降为低次方程，把分式方程化为整式方程，把复杂因式分解化为基本
公式法或十字相乘法。换元前后，代数式的“结构关系”并没有发生改变，只是将
“运算层级”降低。因此，整体换元法遵循设元、换元、解元、回代的步骤，其中
回代是最容易遗忘的一步，需要重点关注。
易错点 1 “约分式”的致命错误
•
错例：求解方程𝑥2 = 3𝑥时，两边直接除以𝑥，求得𝑥= 3，漏掉𝑥= 0
•
错因：潜意识认为未知数“天然不为0”，或默认字母代表非零数，忽视了𝑥= 0是
方程的一个解
•
规避方法：明确一个认知：未知数在未确定前，身份未知，可以等于0.凡含未知
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数的项，一律移项至等号一侧，提取公因式，禁止直接约去
易错点 2 未归零直接因式分解
•
错例：求解方程𝑥2 −4 = 3𝑥，直接携程(𝑥+ 2)(𝑥−2) = 3𝑥，然后陷入死胡同
•
错因：机械记忆因式分解，忘记了解方程的基本流程，受“代数式化简”的思维
负迁移影响
•
规避方法：做题第一步用红笔在等号右边画圈，写上“必须为0”
易错点 3 因式分解不彻底
•
错例：求解方程2𝑥2 −8𝑥= 0，只分解成2(𝑥2 −4𝑥) = 0或𝑥(2𝑥−8) = 0，漏掉可继
续分解的因子
•
错因：提取公因式不彻底，因式分解的最终形式概念模糊，未化为“最简整式乘
积”
•
规避方法：定义因式分解的终点是“括号内不再有公因式，且不能再套公式”。每
经过一次因式分解，都要检查系数和字母，是否还有能继续提取的项，再检查是否符
合特殊公式形式（好比平方差公式、完全平方式），直到不能再提取，不能再分解为止
易错点 4 十字相乘符号全反
•
错例：对𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0十字相乘因式分解，误分解成(𝑥+ 2)(𝑥+ 3) = 0
•
错因：忽略了常数项𝑐与一次项系数𝑏的同号/异号匹配关系，靠盲猜试错
•
规避方法：十字相乘因式分解前，先看𝑐。若𝑐为正，因式同号，看𝑏定正负；若𝑐
负，因式异号，看𝑏定绝对值大的符号。并在草稿纸上写出两数之和与两数之积的验证
小算式。
易错点 5 对𝒂≠𝟎的忽视
•
错例：对于方程𝑘𝑥2 −3𝑥= 0，直接两边除以𝑥或默认它为一元二次方程
•
错因：含参方程中，忽略最高次项系数为0 的可能性，导致解法不严谨。
•
规避方法：分类讨论前置：虽然初三以整数系数为主，但遇到字母系数，须明
确：当𝑘= 0时，方程退化为一次方程，必须单独讨论；当𝑘≠0时，才可用因式分解
法
题型一：因式分解法—解一元二次方程
方法技巧
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因式分解法解方程的步骤：
①整理一元二次方程，对其进行移项，使得方程等号右边为0；
②对方程等号左侧进行因式分解，将其分解为两个或多个整式的乘积的形式；
③分别令等号左侧的整式等于0，得到两个或多个一元一次方程；
④解这些一元一次方程，一元一次方程的解合并起来就是一元二次方程的解。
1.方程
2
2
x
x
=
的根是（ ）
A．
2
x =
B．
1
2
2
x
x
=
=
C．
2
x = −
D．
1
2
0,
2
x
x
=
=
2.关于x 的一元二次方程(
)1
x x
x
+
=
的解为（ ）
A．
1
1
x = −，
2
0
x =
B．
1
2
0
x
x
=
=
C．
1
2
1
x
x
−
=
=
D．
1
1
x = −，
2
1
x =
3.已知关于x 的一元二次方程
2
2
6
0
x
kx
+
−
=
的一个根是2，则它的另一个根是（ ）
A．3
−
B．3
C．
3
2
−
D．3
2
4.已知a 是关于x 的一元二次方程
2
3
4
0
x
x
+
−
= 的一个解，则
2
2
6
1
a
a
+
+ 的值为（ ）
A．8
B．8
−
C．9
D．9
−
5.方程
2
2
3
0
x
x
+
−
=
的解为（ ）
A．
1
1
x = ，
2
2
x =
B．
1
1
x = ，
2
2
x = −
C．
1
1
x = ，
2
3
x = −
D．
1
1
x = −，
2
3
x =
6.已知1，m 是方程
2
2
1
0
x
ax
+
−=
的两个实数根，则
1
m−的值为（ ）
A．3
−
B．
3
2
−
C．1
−
D．1
2
7.解方程：
(1)
2
2
0
x
x
−
=
．
(2) (
)
1
1
x x +
= ．
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8.解方程：
2
2
5
3
0
x
x
−
+
=
．
9.解方程．
(1)
2
4
5
0
x
x−
−
=
(2)
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
(3)
2
4
5
x
x
+
=
；
(4)(
)
(
)
2
3
2
3
x
x x
−
=
−
10.解方程：
(1)
2
4
0
x
x
−
=
；
(2)
2
4
5
0
x
x−
−
=
．
题型二：整体换元法解一元二次方程
方法技巧
在高次方程中，出现重复的项的时候，我们可以令该重复项为新的字母“𝑡”，将原方
程转化为含有𝑡的一元二次方程后，求𝑡。最后将求出的𝑡的值，赋予重复项，再次解
方程，即可得到方程的根。
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1.已知实数a，b 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
2
3
10
a
b
a
b
+
+
−
=
，则
2
2
2
a
b
+
的值为（ ）
A．5 或2
−
B．5
−或2
C．5
D．2
2.当(
)(
)
2
2
2
2
2
1
0
m
n
m
n
+
−
+
+ =
时，
2
2
m
n
+
的值为（ ）
A．1
−
B．1
C．1 或1
−
D．0
3.已知方程
2
0
2
8
x
x +
−
=
的解是
2
x =
或4
−，则方程(
)
(
)
2
2
2
2
8
0
x
x
+
+
+
−
=
的解是（ ）
A．
1
2
4,
6
x
x
=
= −
B．
1
2
4,
2
x
x
=
= −
C．
1
2
0,
6
x
x
=
= −
D．
1
2
0,
2
x
x
=
= −
4.已知一元二次方程(
)
(
)
2
0
0
a x
m
n
a
+
+
=
的两根分别为3
−、1，则方程
(
)
(
)
2
2
0
0
a x
m
n
a
+
−
+
=
的两根分别为（ ）．
A．3
−、1
B．1
−、3
C．5
−、1
−
D．无法确定
5.一元二次方程
2
(
1)
2(
1)
1
0
x
x
−
−
−
+ =
可化为（ ）
A．
2
0
x =
B．
2
(
1)
0
x −
=
C．
2
(
2)
0
x −
=
D．
2
(
2)
0
x +
=
6.已知方程
2
3
0
ax
bx
+
−
=
的解是
1
1
x = ，
2
3
x = −，则另一个方程(
)
(
)
2
3
3
3
0
a x
b x
+
+
+
−
=
的解是（ ）
A．
1
2
x =
，
2
6
x =
B．
1
2
x = −，
2
6
x = −
C．
1
1
x = −，
2
3
x =
D．
1
1
x = ，
2
3
x = −
7.若关于x 的一元二次方程
(
)
2
5
0
0
ax
bx
a
+
+
=
有一根为
2025
x =
，则一元二次方程
(
)
2
2
2
5
a x
bx
b
−
+
−
= −有一个根为（ ）
A．2021
B．2023
C．2025
D．2027
8.解方程：(
)
(
)
2
4
1
10 4
1
24
0
x
x
−
−
−
−
=
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9.解方程：(
)
(
)
2
2
2
4
9
4
36
0
x
x
x
x
−
−
−
−
=
10.解方程：
(
)
2
(3
5)
3 3
5
2
0
x
x
+
−
+
+
=
．
11.降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程
4
2
12
0
x
x
−
−
=
时，可以将
2
x 看成一个整体，设
2x
y
=
，则
4
2
x
y
=
，原方程可化为
2
12
0
y
y
−
−
=
，解得
1
4
y =
，
2
3
y = −．当
4
y =
时，
2
4
x =
，(
)(
)
2
2
0
x
x
+
−
=
，所以
1
2
x = −，
2
2
x =
；当=
3
y −
时，此方程没有实数根，所以原方程的根为
1
2
x = −，
2
2
x =
．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程：
(1)
4
2
16
0
y
y
−
=
；
(2)(
)(
)
2
2
3
3
3
1
5
y
y
y
y
−
−
−
+
=
．
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12.阅读下面的材料：
解方程
4
2
7
12
0
x
x
−
+
=
这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设
2x
y
=
，则
4
2
x
y
=
，∴原方程可化为：
2
7
12
0
y
y
−
+
= ，解得
1
3
y =
，
2
4
y =
，当
3
y =
时，
2
3
x =
，
3
x =
，当
4
y =
时，
2
4
x =
，
2
x = ．∴原方程有四个根是：
1
3
x =
，
2
3
x = −
，
3
2
x =
，
4
2
x = −，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转
化思想，运用上述方法解答下列问题．
已知实数a ，b 满足(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
10
0
a
b
a
b
+
−
+
−
=
，试求
2
2
a
b
+
的值．
13.阅读下列例题的解答过程：
解方程：(
)
(
)
2
3
2
7
2
4
0
x
x
−
+
−
+
=
．
解：设
2
x
y
−
=
，则原方程化为：
2
3
7
4
0
y
y
+
+
=
，
3,
7,
4
a
b
c
=
=
=
，
2
2
4
7
4 3 4
1
b
ac
−
=
−
= ，
7
1
7 1
2 3
6
y
−
−
=
=
，
1
2
4
1,
3
y
y
= −
= −
．
当
1
y
−
=
时，
2
1
x −
= −，
1
x
= ；
当
4
3
y = −
时，
4
x
2
3
−
= −
，
2
3
x
=
．
原方程的解为：
1
2
2
1,
3
x
x
=
=
．
请仿照上面的例题解决问题：若(
)(
)
2
2
2
2
2
3
a
b
a
b
+
+
−
= ，求代数式
2
2
a
b
+
的值．
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14.安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你
仔细阅读，并完成任务．
试题：已知(
)(
)
3
4
10
x
y
x
y
+
−
+
+
= −
，求x
y
+
的值．
小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设x
y
t
+
= ，
则原方程可变形为(
)(
)
3
4
10
t
t
−
+
= −
．
即
2
2
0
t
t
+ −
=
；解得1
2
t = −，2
1
t = ，
2
x
y
+
= −或
1
x
y
+
= ．
小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法．
任务：
(1)已知x、y 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
1 2
3
8
x
y
x
y
+
−
+
−
=
，求
2
2
2x
y
+
的值．
(2)若a、b 满足(
)(
)
2
2
2
2
5
6
a
b
a
b
−
−
−
=
，求(
)(
)
a
b
a
b
+
−
的值．
15.阅读下列材料：已知实数m，n 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
1 2
1
80
m
n
m
n
+
+
+
−
=
，试求
2
2
2m
n
+
的
值．
解：设
2
2
2m
n
t
+
= ，则原方程变为(
)(
)
1
1
80
t
t
+
−
=
，整理得
2
2
1
80
81
t
t
=
−
=
，
，
∴
9
t = ．∵
2
2
2
0
m
n
+
，∴
2
2
2
9
m
n
+
=
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂
的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使
复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
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(1)已知实数x，y 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
27
x
y
x
y
+
+
+
−
=
，求
2
2
x
y
+
的值．
(2)设a，b 满足等式(
)(
)
2
2
2
2
2
2
1
3
a
b
a
b
+
+
−
=
，求
2
2
3
1
3
+
−
b
a
的值．
题型三：利用因式分解法求含有参数的一元二次方程
方法技巧
和整体换元法解一元二次方程的差异不大，无非就是在求出方程的根之后，根据题
干所描述的根的特征，列出对应的不等式组。因此该题型可视为题型二的拓展延
伸。
1.设n 是实数，已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
n
n
−
−
+
=
．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根都大于1
−，求n 的取值范围．
2.已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
中，
9
9
6
b
c
c
=
−
−
−
−
．
(1)解：∵
9
0
c −
，9
0
c
−
．
∴9
9
c
，
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∴c = ______，此时b = ______．
(2)若关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个相等的实数根，请求出方程的根．
3.关于x 的一元二次方程
(
)
2
3
3
0
x
m
x
m
−
+
+
=
．
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两个根中只有一个根小于4，求m 的取值范围．
4.已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
ax
a
−
+
−=
．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若a 是非负数，且该方程的一根是负整数，求a 的值．
5.已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
m
+
−
−=
．
(1)求证：不论m 取何值时，方程总有实数根；
(2)设方程的两个根分别为
1
2
,
x x ，若
1
2
2
4
x
x
m
+
=
−
，求m 的值．
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6.已知关于x 的方程
(
)
2
3
2
2
0
x
k
x
k
−
+
+
+
=
．
(1)求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个不小于4 的根，求实数k 的取值范围．
7.已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
0
x
m x
m
+
−
+ −
=
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程其中一个根为正数，求m 的取值范围．
8.关于x 的一元二次方程
2
3
9
0
x
mx
m
+
+
−
=
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为非负数，求m 的取值范围．
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9.关于x 的代数式
(
)
2
0
ax
bx
c a
+
+
，若存在实数n ，使得
2
2
an
bn
c
n
+
+
=
，则称n 为这个
代数式的等根值．
(1)代数式
2
3
2
x
x
−
的等根值为____________；
(2)已知关于x 的代数式
2
2
3
x
kx
k
−
−
+
．
①求证：无论k 取何值，此代数式总有两个不相等的等根值；
②已知
1
x = −是此代数式的一个等根值，求k 的值和这个代数式的另一个等根值．
