25.2.3因式分解法（分层作业）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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分层作业
25.2.3 因式分解法
目录
A 组巩固过关
题型01 因式分解法解一元二次方程
题型02 换元法解一元二次方程
题型03 选择适当方法解一元二次方程
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
因式分解法解一元二次方程
1．方程


2
3
4
0
x
x



的根是__________．
【答案】
1
3
x ，
2
4
x 
【详解】解∶∵


2
3
4
0
x
x



，
∴
3
0
x 

或
4
0
x 

，
解得
1
3
x ，
2
4
x ．
2．
（北京市昌平区2025－2026 学年第二学期初二年级期末质量抽测数学（第一组））一元二次方程
2
2
0
x
x


的解为_________．
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【答案】
1
0
x 
，
2
2
x 
【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】解：
2
2
0
x
x


，
因式分解得：

2
0
x x 

，
可得
0
x 
或
2
0
x 

，
解得：
1
0
x 
，
2
2
x 
．
3．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）用适当的方法解方程：
2
4
12
0
x
x



．
【答案】
1
6
x 
，
2
2
x 
【详解】解：
2
4
12
0
x
x



，
∴


6
2
0
x
x



，
∴
6
0
x 
或
2
0
x 

，
解得
1
6
x 
，
2
2
x ．
4．（25-26 八年级下·安徽池州·期末）解方程：
(1)
2
2
5
x
x


．
(2)
2
2
2
4
x
x
x



【答案】(1)
1
1
6
x 
，
2
1
6
x 
(2)
1
1
2
x 
，
2
2
x 
【详解】（1）解：
2
2
5
x
x


2
2
1
5 1
x
x





2
1
6
x 

1
6
x 
或
1
6
x 
解得
1
1
6
x 
，
2
1
6
x 
；
（2）解：
2
2
2
4
x
x
x



2
2
3
2
0
x
x






2
2
1
0
x
x



2
0
x 

或2
1
0
x
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解得
1
1
2
x 
，
2
2
x ．
5．（24-25 九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程：
(1)
2
4
5
0
x
x


(2)



2
2
4
5
2
x
x



【答案】(1)
1
2
1,
5
x
x
=
= -
(2)
1
2
3,
1
x
x


【详解】（1）解：
2
4
5
0
x
x


，
移项，得
2
4
5
x
x


，
配方，得
2
4
4
5
4
x
x




，
即

2
2
9
x 

，
得
2
3
x 

或
2
3
x +
= - ，
解得
1
2
1,
5
x
x
=
= - ；
（2）解：



2
2
4
5
2
x
x



，
移项，得



2
2
4
5
2
0
x
x




，
因式分解，得


4
5
2
4
5
2
0
x
x
x
x




，
即


3
9
1
0
x
x



，
∴3
9
0
x
或
1
0
x

∴解得
1
2
3,
1
x
x

．
题型02
换元法解一元二次方程
6．（25-26 九年级上·贵州贵阳·阶段检测）若关于x 的一元二次方程


2
5
0
0
ax
bx
a




有一根为
2025
x 
，
则一元二次方程

2
2
2
5
a x
bx
b



有一个根为（
）
A．2021
B．2023
C．2025
D．2027
【答案】D
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【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程

2
2
2
5
a x
bx
b



，变形为




2
2
2
5
0
a x
b x





，再根据题意可得一元二次方程

2
2
2
5
a x
bx
b



有一个根为
2
2025
x 

，
然后求解即可，掌握换元法是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程

2
2
2
5
a x
bx
b



，
∴



2
2
2
5
0
a x
b x





，
∵关于x 的一元二次方程


2
5
0
0
ax
bx
a




有一根为
2025
x 
，
∴一元二次方程

2
2
2
5
a x
bx
b



有一个根为
2
2025
x 

，解得
2027
x 
，
故选：D ．
7．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b 满足


2
2
2
2
2
2
3
10
a
b
a
b




，则
2
2
2
a
b

的值为（
）
A．5 或2

B．5
或2
C．5
D．2
【答案】C
【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果．
【详解】解：设
2
2
2
0
x
a
b



，
原方程可化为

3
10
x x 

，
整理得
2
3
10
0
x
x



，
因式分解得


5
2
0
x
x


，
解得
1
5
x ，
2
2
x （舍去），
∴
5
x ，
∴
2
2
2
5
a
b


．
8．（24-25 八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程
1
3
2
1
x
x
x
x



时，设
1
x
y
x


，则原方程可化为关于
y 的方程是（
）
A．
2
2
3
0
y
y



B．
2
2
3
0
y
y



C．
2
2
3
0
y
y



D．
2
2
3
0
y
y



【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程．
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由题意可得
3
2
y
y


，再去分母可得
2
2
3
0
y
y



，即可求解．
【详解】解：设
1
x
y
x


，
则原方程可化为：
3
2
y
y


，
2
3
2
y
y


，
2
2
3
0
y
y



，
故选：A．
9．（25-26 九年级上·江苏常州·阶段检测）关于x 的方程

2
0
a x
m
b



的解是
1
2
x ，
2
4
x （a 、b 、m
均为常数，
0
a 
），则方程
2
(
1)
0
a x
m
b




的解是______．
【答案】
1
1
x ，
2
5
x 
【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第
二个方程中的(
1)
x 
看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出x 的值．
【详解】解：
关于x 的方程

2
0
a x
m
b



的解是
1
2
x ，
2
4(
x
a

，m ，b 均为常数，
0)
a 
，
方程变形为
2
[(
1)
]
0
a x
m
b



，
即此方程中
1
2
x 或
1
4
x 
，
解得
1
x 或
5
x ．
故答案为：
1
1
x ，
2
5
x 
．
10．（24-25 九年级上·河南商丘·期中）已知(
)(
4)
12
a
b a
b




，那么式子(
)
a
b

的值为：____________．
【答案】6 或2

【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握用换元法解一元二次方程是解题的关键．
设a
b
x


，得到
2
4
12
0
x
x



，解方程得
6
x 
或
2
x ，即可得到答案．
【详解】解：设a
b
x


，
则原方程可化为

4
12
x x 

，

2
4
12
0
x
x



，



6
2
0
x
x



6
0
x


或
2
0
x 

，
6
x

或
2
x ，
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6
a
b



或
2
a
b


故答案为：6 或2

．
题型03
选择适当方法解一元二次方程
11．（2026·安徽·模拟预测）解方程：
2
8
15
x
x


．
【答案】
1
3
x ，
2
5
x 
【详解】解：
2
8
15
x
x


2
8
15
0
x
x






3
5
0
x
x



3
0
x
或
5
0
x 
解得
1
3
x ，
2
5
x 
．
12．（25-26 八年级下·浙江温州·期中）选择适当的方法解下列方程：
(1)
2
2
3
0
x
x


；
(2)
2
4
3
0
x
x


．
【答案】(1)
1
0
x 
，
2
3
2
x 
(2)
1
3
x ，
2
1
x 
【详解】（1）
2
2
3
0
x
x


解：

2
3
0
x
x 

所以
0
x 
，或2
3
0
x

所以
1
0
x 
，
2
3
2
x 
；
（2）
2
4
3
0
x
x



解：
1
4
3
a
b
c




，
，


2
2
4
4
4 1 3
4
0
b
ac





所以
2
4
4
4
4
2
2
2
2
b
b
ac
x
a







所以
1
3
x ，
2
1
x ．
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13．（24-25 九年级上·江苏南京·期中）解方程：
(1)
2
6
4
0
x
x



(2)
(
)
3
2
4
2
x x
x



．
【答案】(1)
1
3
13
x 

，
2
3
13
x 

(2)
1
2
3
x 
，
2
2
x 
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
2
6
4
0
x
x



，
1
a ，
6
b ，
4
c ，




2
2
Δ
4
6
4 1
4
52
0
b
ac







，


6
52
3
13
2
x






，

1
3
13
x 

，
2
3
13
x 

；
（2）解：




3
2
2
2
x x
x



，




3
2
2
2
0
x x
x




，



3
2
2
0
x
x


，
3
2
0
x 

或
2
0
x 

，

1
2
3
x 
，
2
2
x 
．
14．（25-26 八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)
2
4
1
0
x
x


(2) 



2
2
9
3
4
2
x
x



【答案】(1)
1
2
3
x 

，
2
2
3
x 

(2)
1
13
5
x 
，
2
5
x 
．
【详解】（1）解：
2
4
1
0
x
x

，
2
4
1
x
x

，
2
4
4
1
4
x
x



，
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

2
2
3
x 

，
2
3
x 

，
解得：
1
2
3
x 

，
2
2
3
x 

；
（2）解：



2
2
9
3
4
2
x
x



，




2
2
0
9
3
4
2
x
x




，








3
3
2
2
3
3
2
2
0
x
x
x
x













，



5
13
5
0
x
x



，
则5
13
0
x 

或
5
0
x 

，
解得：
1
13
5
x 
，
2
5
x 
．
15．用适当的方法解下列方程．
(1)3 (
1)
1
x x
x


(2)
2
2
5
0
x
x



【答案】(1)
1
1
x ，
2
1
3
x 
(2)
1
1
6
x 
，
2
1
6
x 
【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可；
（2）配方法解一元二次方程即可.
【详解】（1）解：


3
1
1
x x
x


，


3
1
1
0
x x
x



，



3
1
1
0
x x
x



，



1 3
1
0
x
x



，
1
0
x
或3
1
0
x
，
解得
1
1
x ，
2
1
3
x 
；
（2）解：
2
2
5
0
x
x



，
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2
2
5
x
x


，
2
2
1
5 1
x
x


，


2
1
6
x 

，
1
6
x 
，
解得
1
2
1
6,
1
6
x
x


.
16．给定实数,x y ，满足
0
xy 
，若
2
2
3
2
8
0
x
xy
y



，则,x y 之间的关系是_____．
【答案】3
4
x
y

或
2
x
y

【分析】首先对
2
2
3
2
8
0
x
xy
y



因式分解得


3
4
2
0
x
y
x
y



，然后可以求出x 与y 的关系式．
【详解】解：
2
2
3
2
8
0
x
xy
y



，



3
4
2
0
x
y
x
y



，
3
4
0
x
y


或
2
0
x
y


3
4
x
y

或
2
x
y

17．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）关于x 的方程


2
6
5
5
0
x
m
x
m




．
(1)求证：不论m 取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于3，求m 的取值范围．
【答案】(1)证明：


2
6
5
5
0
x
m
x
m




，






2
2
2
2
6
4 5
5
12
36
20
20
8
16
4
0
Δ
m
m
m
m
m
m
m
m



















，
不论m 取何值，方程总有两个实数根；
(2)
2
m 
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）利用因式分解法解方程得
1
5
x ，
2
1
x
m

，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可．
【详解】（1）证明：略；
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（2）解：


2
6
5
5
0
x
m
x
m




，




2
1 5
5
1
0
x
m
x
m





，




5
1
0
x
x
m








，
则
5
0
x 

或

1
0
x
m



，
解得：
1
5
x ，
2
1
x
m

，
方程有一个根小于3，
1
3
m


，
2
m 
∴
．
18．（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x 的一元二次方程


2
5
0
0
ax
bx
a




．
(1)若
5
0
a
b

，则方程必有一个根为________．
(2)若a，b 满足
1
4
0
a
b



，求一元二次方程的根．
【答案】(1)
1
x


(2)
1
5
x ，
2
1
x 
【分析】（1）由
5
0
a
b

可知，把


2
5
0
0
ax
bx
a




中的x 换成1
成立，则可求得答案；
（2）根据算术平方根、绝对值可求出a，b 的值，解方程即可．
【详解】（1）解：∵
5
0
a
b

，
∴




2
1
1
5
0
a
b




，
∴方程
2
5
0
ax
bx



必有一根为
1
x


；
（2）解：
1
0
a 
，
4
0
b 

，
1
4
0
a
b



，
1
0
a


，
4
0
b 

，
1
a

，
4
b 
，
一元二次方程为
2
4
5
0
x
x


，
解得
1
5
x ，
2
1
x ．
19．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）【观察思考】如图，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
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【规律发现】
(1)第⑥个图案中“●”的个数为________个；
(2)第①个图案中“○”的个数可表示为1 2
2

，第②个图案中“○”的个数可表示为2 3
2
´
，第③个图案中“○”的个数
可表示为3 4
2

，第④个图案中“○”的个数可表示为4 5
2
，…，第n 个图案中“○”的个数可表示为________；
【规律应用】
(3)按照此规律继续摆下去，第n 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的2.5 倍，求n 的值．
【答案】(1)14
(2) (
1)
2
n n 
(3)10
【分析】（1）根据图形找出规律为第n 个图案中“●”的个数为

2
2
n 
个，再把
6
n 
代入求解即可；
（2）根据题干的列举信息，直接得出结论；
（3）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：由题知，第①个图案中“●”的个数为：4
1 2
2

；
第②个图案中“●”的个数为：6
2
2
2



；
第③个图案中“●”的个数为：8
3 2
2


；
....
所以第n 个图案中“●”的个数为

2
2
n 
个，
当
6
n 
时，2
2
14
n 

，
即第⑥个图案中“●”的个数为14 个，
（2）第①个图案中“○”的个数可表示为1 2
2

，
第②个图案中“○”的个数可表示为2 3
2
´
，
第③个图案中“○”的个数可表示为3 4
2

，
第④个图案中“○”的个数可表示为4 5
2
，
…，
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∴第n 个图案中“○”的个数可表示为
1
2
n n 
，
故答案为：
1
2
n n 
；
（3）由题意得，



1
2.5 2
2
2
n n
n



，
∴



1
10
1
n n
n



解得：
10
n 
或
1
n （舍去）
20．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料：
为解方程


2
2
2
(
1)
5
1
4
0
x
x





，我们可以将

2
1
x 
视为一个整体，然后设
2
1
x
y

，则
2
2
2
(
1)
x
y


，
原方程可化为
2
5
4
0
y
y



，①
解得
1
4
y 
，
2
1
y ．
当
4
y 
时，
2
1
4
x 
，
2
5
x


，
5
x

．
当
1
y 时，
2
1 1
x ，
2
2
x


，
2
x

．
原方程的解为
1
2
x 
，
2
2
x 
，
3
5
x 
，
4
5
x 
．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：
2
2
2
(
2 )
5
10
6
0
x
x
x
x





．
(2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数．
【答案】(1)原方程的解为
1
1
7
x 
，
2
1
7
x 
，
3
4
1
x
x


(2)这四个整数为2，3，4，5
【分析】（1）将原方程整理，设
2
2
y
x
x


，则原方程可化为
2
5
6
0
y
y



，利用因式分解法解方程，再求
x．
（2）设最小数为x ，由题意得



1
2
3
120
x x
x
x




，即


2
2
3
3
2
120
x
x
x
x




，设
2
3
x
x
y

，则


2
120
y y 

再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x 即可．
【详解】（1）解：原方程整理得


2
2
2
(
2 )
5
2
6
0
x
x
x
x





，
设
2
2
y
x
x


，
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则原方程可化为
2
5
6
0
y
y



，
因式分解得


6
1
0
y
y



，
解得
1
6
y 
，
2
1
y ，
当
6
y 
时，
2
2
6
x
x


，配方，得
2
(
1)
7
x 

，
解得
1
1
7
x 
，
2
1
7
x 
，
当
1
y


时，
2
2
1
x
x

，配方，得
2
(
1)
0
x 

，
解得
3
4
1
x
x

，
原方程的解为
1
1
7
x 
，
2
1
7
x 
，
3
4
1
x
x

．
（2）解：设最小数为x ，
由题意得



1
2
3
120
x x
x
x




，
即


2
2
3
3
2
120
x
x
x
x




，
设
2
3
x
x
y

，
则

2
120
y y 

，即
2
2
120
0
y
y



，
因式分解得


12
10
0
y
y



，
1
12
y


，
2
10
y 
，
x为正整数，
2
3
10
x
x



，即
2
3
10
0
x
x



，
因式分解得(
)(
)
2
5
0
x
x
-
+
=
，
解得
1
2
x 
，
2
5(
x 
舍去) ．
这四个整数为2,3,4,5．
21．（25-26 九年级上·山东德州·阶段检测）如果关于x 的一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




有两个实数根，
且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程
2
0
x
x


的两个根是
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1
0
x 
，
2
1
x ，则方程
2
0
x
x


是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（
）．
A．
2
2
1
0
x
x


B．
2
2
3
4
0
x
x



C．
2
1
0
x 
D．
2
2
2 3
1
0
x
x


【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先
解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论．
【详解】解：A.
2
2
1
0
x
x


，
∴

2
1
0
x 

，
∴
1
2
1
x
x

，
1
2
0
1
x
x


，
∴方程
2
2
1
0
x
x


不是“邻根方程”，选项A 不符合题意；
B.
2
2
3
4
0
x
x



，
2
2
4
3
4 2 4
23
0
b
ac






，
方程
2
2
3
4
0
x
x



无实数根，选项B 不符合题意；
C.
2
1
0
x 
，
∴
2
1
x ，
∴
1
x ，
∴
1
1
x ，
2
1
x ，


1
2
1
1
2
1
x
x




，
∴方程
2
1
0
x 
不是“邻根方程”，选项C 不符合题意；
D.
2
2
2 3
1
0
x
x


，


2
2
Δ
4
2 3
4 2 1
12
8
4
0
b
ac







，
∴




2
2 3
2 3
4 2 1
2 3
2
3
1
2 2
4
2
x










，
∴
1
3
1
2
x


，
2
3
1
2
x


，
1
2
3
1
3
1
1
2
2
x
x





，
∴方程
2
2
2 3
1
0
x
x


是“邻根方程”，选项D 符合题意；
故选：D．
22．（25-26 八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x
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的方程


2
0
x
mx
n



的两根距离为3，则3
m
n
m

=_______
【答案】2
3 或
4
3

【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程．
由方程


2
0
x
mx
n



可得两根分别为
1
2
x 和
2
n
x
m

．根据两根距离为3，得
1
2
3
x
x

，即
2
3
n
m


．解此绝对值方程，得到
5
n
m 
或
1
n
m ．代入所求表达式
1 1
3
3
m
n
n
m
m








，即可求得值．
【详解】方程


2
0
x
mx
n



的两根为
1
2
x ，
2
n
x
m

．
两根距离为
1
2
2
2
3
n
n
x
x
m
m










．
即
2
3
n
m 

，
解得
2
3
n
m 

或
2
3
n
m 
，
所以
5
n
m 
或
1
n
m ．
1 1
3
3
m
n
n
m
m








．
当
5
n
m 
时，


1
4
1 5
3
3
3
m
n
m





；
当
1
n
m 时，


1
2
1
1
3
3
3
m
n
m









．
故答案为：2
3 或
4
3

．
23．已知关于x 的一元二次方程
2
(
1)
2
0
x
m
x
m





．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程仅有一个根是负数，求m 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
m 
或
3
m 
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，因式分解法解一元二次方程．
（1）计算根的判别式并证明其非负，即可；
（2）因式分解方程得到两个根，根据仅有一个根是负数的条件，令另一个根非负，解不等式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
2
Δ
(
1)
4 1 (
2)
m
m




2
2
1
4
8
m
m
m




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2
6
9
m
m



2
(
3)
0
m



∴方程总有两个实数根
（2）解：∵
2
(
1)
2
0
x
m
x
m





∴(
1)(
2)
0
x
x
m




∴
1
x 
或
2
x
m


∵方程仅有一个根是负数，且
1
0
x 
总是成立
分两种情况讨论：①当两根不相等时，一个根为负数1
，则另一个根
2
2
x
m


为非负数，即2
0
m


，解得
2
m 
；
②当两根相等时，均为1
，则2
1
m

，解得
3
m 
；
此时方程只有一个负根，符合题意；
综上所述，m 的取值范围是
2
m 
或
3
m 
．
24．（25-26 八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题．
解方程
4
2
5
4
0
x
x



．
这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程
求解，它的解法如下：
解：设
2x
y

，那么
4
2
x
y

，于是原方程可变为
2
5
4
0
y
y



，解得
1
1
y ，
2
4
y 
．
当
1
y 时，
2
1
x ，
1
x
；
当
4
y 
时，
2
4
x 
，
2
x
；
所以，原方程有四个根，分别为
1
1
x ，
2
1
x ，
3
2
x 
，
4
2
x ．
请运用以上方法回答问题：已知


2
2
6
1
6
7
7
x
x
x
x





，求x 的值为_____．
【答案】
0
x 
，
6
x ，
2
x ，
4
x 
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式
2
6
x
x

，因此采用换元
法，设
2
6
y
x
x


，将原方程转化为关于y 的一元二次方程，求解y 后再代回求解x ．
【详解】解：设
2
6
y
x
x


，则原方程


2
2
6
1
6
7
7
x
x
x
x





可化为


1
7
7
y
y



．
展开得
2
8
7
7
y
y



，即
2
8
0
y
y


．
因式分解得(
8)
0
y y 

，解得
1
0
y 
，
2
8
y ．
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当
0
y 
时，
2
6
0
x
x


，即(
6)
0
x x 

，解得
1
0
x 
，
2
6
x ．
当
8
y 时，
2
6
8
x
x

，即
2
6
8
0
x
x

，判别式
2
Δ
6
4 1 8
4
0



，解得
6
4
6
2
2
2
x




，即
3
2
x ，
4
4
x ．
经检验，所有解均满足原方程．
故答案为：
0
x 
，
6
x ，
2
x ，
4
x ．
25．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分
通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合
非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题．
例：求代数式
2
4
6
y
y


的最小值．
解：


2
2
2
4
6
4
4
2
2
2
y
y
y
y
y









．
因为

2
2
0
y 

，所以

2
2
2
2
y 


，所以
2
4
6
y
y


的最小值是2 ．
(1)代数式
2
4
3
x
x


的最小值为．
(2)关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a



（a 为常数）有最小值为9
，求常数a 的值．
(3)已知实数x ，y 满足
2
7
3
0
2
x
x
y





，求
2
x
y

的最大值．
【答案】(1) 1

(2)常数a 的值为1
或3
2
(3)最大值为2
【分析】（1）把所求式子变形为

2
2
1
x 
，再仿照例题求解即可；
（2）把多项式变形为

2
2
2
2
6
x
a
a
a




，根据多项式的最小值为9
得到方程
2
2
6
9
a
a



，解方程
即可得到答案；
（3）根据题意可推出


2
2
2
2
2
x
y
x




，再仿照例题求解即可．
【详解】（1）解：


2
2
2
4
3
4
4
4
3
2
1
x
x
x
x
x









，


2
2
0
x 

，


2
2
1
1
x


，
2
4
3
x
x


的最小值是1
．
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（2）解：
2
2
4
2
6
x
ax
a
a




2
2
2
4
4
2
6
x
ax
a
a
a








2
2
2
2
6
x
a
a
a





，


2
2
0
x
a


，


2
2
2
2
2
6
2
6
x
a
a
a
a
a








，
关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a




的最小值为
2
2
6
a
a



，
关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a




（a 为常数）有最小值为9
，
2
2
6
9
a
a



，
2
2
3
0
a
a




，即


1
2
3
0
a
a


，
解得
1
1
a ，
2
3
2
a 
，
常数a 的值为1
或3
2 ；
（3）解：
2
7
3
0
2
x
x
y





，
2
7
3
2
y
x
x




，
2
7
2
2
3
2
x
y
x
x
x











2
2
7
6
x
x
x




2
2
8
6
x
x





2
2
2
2
x



，


2
2
0
x 

，


2
2
2
0
x



，


2
2
2
2
2
x




，
当
2
x 
时，
2
x
y

有最大值，最大值为2 ．
26．（25-26 九年级上·湖北襄阳·阶段检测）定义：如果关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c



（
0
a 
）有两
个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”
(1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号）
①
2
6
x
x

；②
2
3
2
0
x
x



；③
2
1
0
49
x 

；④
2
5
6
x
x

．
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(2)若方程
2
2
1
0
x
x
k



是“邻根方程”，
1x ，
2x 是方程的两根，求：请求出k 的值．
(3)若
2
(
)
0
a x
m
b


（a ，m ，b 均为常数，
0
a 
）是关于x 的“邻根方程”，则方程
2
(
4)
a x
m


b
是“邻
根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
【答案】(1)②④
(2)
1
4
k 
(3)方程
2
(
4)
a x
m


b
是“邻根方程”，
1
7
2
x
m


，
2
9
2
x
m


【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关
键；
（1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k 的方程求解即可；
（3）解方程
2
(
)
0(
a x
m
b
a



，m ，b 均为常数，
0)
a 
求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出2
1
b
a

，
即
1
2
b
a


，解
4
b
x
m
a




，计算两个根的差即可判断方程
2
(
4)
a x
m
b


是“邻根方程”，进一步
代入
1
2
b
a


，即可求得方程的根．
【详解】（1）解：①解方程
2
6
x
x

得
1
2
x 
，
2
3
x ，
1
2
2
( 3)
5
x
x




，
方程
2
6
x
x

不是“邻根方程”；
②解方程
2
3
2
0
x
x



得
1
1
x ，
2
2
x ，
1
2
1
( 2)
1
x
x



Q
，
方程
2
3
2
0
x
x



是“邻根方程”；
③解方程
2
1
0
49
x 

得
1
2
1
1
,
7
7
x
x


，
1
2
1
1
2
7
7
7
x
x










，
方程
2
1
0
49
x 

不是“邻根方程”；
④解方程
2
5
6
x
x

得
1
3
x ，
2
2
x 
，
1
2
3
2
1
x
x



，
方程
2
5
6
x
x

是“邻根方程”．
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故答案为：②④．
（2）解：
方程
2
2
1
0
x
x
k



是“邻根方程”，
1x 、
2x 是方程的两根，
1
2
2
x
x


，
1
2
1

x x
k
，
1
2
1
x
x

，
2
2
1
2
1
2
1 2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x x




Q
，
2
2
1
( 2)
4(
1)
k




，
解得
1
4
k 
；
（3）解：方程
2
(
4)
a x
m


b
是“邻根方程”
由题意可知，方程
2
(
)
0(
a x
m
b
a



，m ，b 均为常数，
0)
a 
有两个实数根，
b
x
m
a




，
2
(
)
0(
a x
m
b
a



，m ，b 均为常数，
0)
a 
是关于x 的“邻根方程”，
(
)
(
)
1
b
b
m
m
a
a






，
2
1
b
a


，

1
2
b
a


，
2
(
4)
a x
m
b


，
4
b
x
m
a



，
4
b
x
m
a





，
(
4
)
(
4
)
2
1
b
b
b
m
m
a
a
a










，
方程
2
(
4)
a x
m
b


是“邻根方程”
则
1
4
4
2
b
x
m
m
a







，
方程
2
(
4)
a x
m
b


的根为
7
2
x
m


或
9
2
x
m


．
27．（25-26 八年级下·安徽淮北·期末）已知不等边ABC的三条边分别为BC
a

，AC
b

，AB
c

．
(1)若
2
a
c
b

，求b
c
a
b


的值；
(2)已知D 为BC 边上一点，连接AD ，若ABD 与ACD的周长相等，求BD的长；
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(3)若关于x 的一元二次方程





2
0
a b x
c
a x
b c






有两个相等的实数根，且2
2
a
b
c


，求证：ABC
为直角三角形．
【答案】(1)1
(2)


1
2
BD
a
b
c



(3)证明：设一元二次方程





2
0
a
b x
c
a x
b
c






的两根为
1x 、
2x ，
∴

(
)
(
) (
1)
0
a
b x
b
c
x




，
∴
1
b
c
x
a
b



，
2
1
x ，
∵关于x 的一元二次方程





2
0
a
b x
c
a x
b
c






有两个相等的实数根，
∴
1
2
x
x

，即
1
b
c
a
b



，
∴a
b
b
c


，
2
a
c
b

，即
2
c
b
a


，
2
2
a
b
c


，
∴2
2(2
)
a
b
b
a



，
2
2
b
c
a


，
即2
4
4
b
c
a


，
∴2
4
4
b
a
c
c
a



，
4
3
a
b


，5
3
a
c

，
即:
3:4
:
3:5
a b
a c


，
，
:
:
3: 4 :5
a b c


，
设
3
a
k

，则
4 ,
5
b
k c
k


,
2
2
2
2
25
a
b
k
c




，即ABC 为直角三角形．
【分析】（1）由
2
a
c
b

可得a
b
b
c


，即可得出
1
b
c
a
b



，
（2）根据周长的定义得出c
BD
b
CD



，根据线段的和差关系得出CD
a
BD


，即可得出


1
2
BD
a
b
c



；
（3）设一元二次方程





2
0
a b x
c
a x
b c






的两根为
1x 、2x ，因式分解法解方程得
1
b
c
x
a
b



，2
1
x ，
根据方程有两个相等的实数根得出
1
b
c
a
b



，结合2
2
a
b
c


得出4
3
a
b

，5
3
a
c

，即可得出答案．
【详解】（1）解：
2
a
c
b

，
22 / 24
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a
b
b
c



，
1
b
c
a
b




．
（2）解：
ABD与ACD的周长相等，
AB
BD
AD
AD
CD
AC






，
∴c
BD
b
CD



，
∵D 为BC 边上一点，
∴CD
BC
BD
a
BD




，
∴c
BD
b
a
BD




，


1
2
BD
a
b
c




．
（3）解：略
28．
（2026·山东·中考真题）若关于x 的一元二次方程(
2)(
)
0
x
x
m



的一个根是10，则另一个根是________．
【答案】
2
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为10，即可求出另一
个根．
【详解】解：已知方程为(
2)(
)
0
x
x
m



得
2
0
x 

或
0
x
m


，
解得
1
2
x 
，
2x
m

，
方程的一个根是10，
10
m


，
因此方程的另一个根为2．
29．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程
1
8
8
x x
x


．
【答案】
1
8
x ，
2
1
x 
【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可．
【详解】解：
1
8
8
x x
x


，




1
8
1
0
x x
x




，
23 / 24
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


8
1
0
x
x



，
8
0
x
或
1
0
x ，
1
8
x


，
2
1
x ．
30．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意
框出3 3
的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务．
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
C
D
28
29
30
(1)如图，若九宫格的中心数为n ，四个角的数字分别是A 、B 、C 、D ．
①用含n 的式子表示A ；
②探究B C
A D



是否为定值，请证明：
(2)若框选出的九宫格的中心数是方程
2
13
22
0
x
x



的根，求九宫格中最大的数．
【答案】(1)①
8
n ；
②B C
A D



为定值28 ，理由如下：
由题意可得：
6
B
n

，
6
C
n


，
8
D
n

，
∴





2
2
6
6
8
8
36
64
28
B C
A D
n
n
n
n
n
n














．
(2)19
【分析】（1）①根据中心数的特点可得
8
A
n

；②根据中心数的特点分别表示
6
B
n

，
6
C
n


，
8
D
n

，再进一步求解即可；
（2）先解方程
2
13
22
0
x
x



，再结合中心数的特点可得答案．
【详解】（1）解：①由题意可得：
8
A
n

；
②略
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（2）解：∵
2
13
22
0
x
x



，
∴


2
11
0
x
x



，
∴
2
0
x 

或
11
0
x

，
解得：
1
2
x 
，
2
11
x 
，
∵x 为九宫格的中心数，
∴
2
x 
不符合题意，
∴中心数为11，
∴九宫格中最大的数为11 8
19

．