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分层作业
25.2.4 一元二次方程方程的根与系数的关系
目录
A 组巩固过关
题型01 一元二次方程根与系数关系的基础应用
题型02 利用一元二次方程根与系数关系求值
题型03 利用一元二次方程根与系数关系求值
题型04 利用一元二次方程根与系数关系构造方程
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
一元二次方程根与系数关系的基础应用
1．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程
2
2
1
0
x
x
的两根为
1x 、
2x ，则
1
2
x
x
的值是（
）
A．2
B．2
C．1
D．1
2．
（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）若
1
2
,
x x 是方程
2
2
5
0
x
x
的两个根，则
1
1
2
2
2
2
x
x x
x
的值为（
）
A．9
B．1
C．1
D．0
3．（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）已知m ，n 是一元二次方程
2
5
1
0
x
x
的两个实数根，下列结论
中正确的是（
）
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A．
1
m
n
B．
1
mn
C．
5
mn
D．
5
m
n
4．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期中）若一元二次方程
2
3
4
0
x
x
的两根之和与两根之积分别为m ，n ，
则点
,
m n 在平面直角坐标系中位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．（2026·广东清远·三模）一元二次方程
2
3
4
0
x
x
的两根为
1x ，
2x ，则
1
2
1
2
x
x
x x
______．
题型02
利用一元二次方程根与系数关系求值
6．（25-26 八年级下·北京顺义·期中）已知关于x 的一元二次方程
2
3
4
3
0
x
x
的两实数根分别为
1x 和
2x ，
则
2
2
1
2
x
x
的值等于（
）
A．34
9
B．
2
9
C．2
3
D．
2
3
7．（2026·广西桂林·二模）若Rt
ABC
△
的两直角边长a，b 分别为一元二次方程
2
5
3
0
x
x
的两个实数根，
则Rt
ABC
△
的面积为（
）
A．5
B．3
C．5
2
D．3
2
8．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）若m，n 是方程
2
2
2026
0
x
x
的两个实数根，则代数式
2
3
m
m
n
的值为（
）
A．2
B．2024
C．2026
D．2028
9．（2026·四川眉山·中考真题）若方程
2
4
3
0
x
x
的两个根是
1x ，
2x ，则
2
2
1
2
1
2
x x
x x
的值为________．
10．（25-26 八年级下·浙江温州·期中）已知m ，n 是方程
2
4
5
0
x
x
的两个根，则1
1
m
n
________．
题型03
利用一元二次方程根与系数关系求值
11．（2024·广东清远·二模）若关于x 的一元二次方程
2
27
0
x
mx
两根为
1x 、
2x ，且
1
2
3
x
x
，则m 的
值为（
）
A．12
B．9
C．12
D．9
12．
（2026·河北秦皇岛·一模）已知
m
n
、是关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
c
的两个实数根，若
3
m
n
mn
，
则c的值是（
）
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A．1
B．2
C．2
D．3
13．（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x 的方程
2
2
2
1
0
x
m
x
m
的两实数根为
1
2
,
x x ，若
1
2
7
x
x
，则m 的值为（）
A．3
B．3
C．7 或
7
-
D．
7
14．（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x 的方程
2
2
0
x
x
k
有两个实数根
1
2
,
x x ．
(1)求k 的取值范围；
(2)若
1
2
1
2
3
k x
x
x x
，求k 的值．
15．（25-26 九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x 的方程
2
6
(2
1)
0
x
x
m
．
(1)若方程总有两个实数根，求m 的取值范围；
(2)若
1x 与
2x 是该方程的两个实数根，且满足
2
2
1
2
22
x
x
，求m 的值．
题型04
利用一元二次方程根与系数关系构造方程
16．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x 的方程
2
2
3
0
x
x
的两根为
1
2
,
x x ，则以
1
2
1
2
,
x
x x x
为两
根的一元二次方程是（
）
A．
2
5
6
0
x
x
B．
2
5
6
0
x
x
C．
2
2
3
0
x
x
D．
2
3
2
0
x
x
17．（25-26 九年级上·广东深圳·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过
程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3 和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方
程的两个根是1
和2
，则原来的方程是（
）
A．
2
5
2
0
x
x
B．
2
3
6
0
x
x
C．
2
3
6
0
x
x
D．
2
5
2
0
x
x
18．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程
2
0
x
ax
b
的两个根为
1x ，2x ，且
1
2
4
x
x
，1
2
3
x x
，
那么这个一元二次方程是_____.
19．若
2
2
4
3
0,
4
3
0,
x
x
y
y
x
y
，则
2
x
y
xy
的值是___________．
20．（25-26 九年级上·河北保定·期中）若一元二次方程的两个根分别为3 和2
，且二次项系数为1，请写出
这个一元二次方程的一般形式_______．
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21．（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x
的两个实数根，则
b
a
a
b
的值为（
）
A．3
B．3
C．1
3
D．
3
±
22．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）如果关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
有两个实数根，且其
中一个根是另一个根的n 倍，则称这样的方程为“ n 倍方程”，以下关于n 倍方程的说法正确的是（
）
①方程
2
3
2
0
x
x
是2 倍方程；②若
3
1
0
x
mx
为3 倍方程，则
1
9
m
；③若p ，q满足
8
pq
，
则关于x 的方程
2
6
0
px
x
q
为2 倍方程；④若关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
为n 倍方程，则
2
2
1
nb
n
ac
．
A．①③
B．①④
C．①③④
D．①②③
23．（2026·四川广安·中考真题）已知
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k
的两个实数根，且
1
2
1
2
3
2
x
x
x x
，则k 的取值范围是_____．
24．（25-26 八年级下·安徽淮北·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
8
0
x
x
m
的一个根为15
4
．
（1）m ________；
（2）求代数式
3
2
10
17
1
x
x
x
的值为________．
25．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
3
2
1
0
x
k
x
k
．
(1)求证：无论k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
1x ，
2x 是该方程的两个根，且满足
2
1
2
1
2
8
x x
x
x
k
k
，求k 的值．
26．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
（
0
a
）有两个非零实数
根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”．
(1)一元二次方程
2
2
5
2
0
x
x
是“逆根方程”吗？请说明理由．
(2)若一元二次方程
2
1 3
1
0
0
ax
a x
a
是“逆根方程”，求此方程的两个根．
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27．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）已知m ，n 是一元二次方程
2
1
0
x
kx
的两个实数根，p ，q 是一
元二次方程
2
0
x
x
k
的两个实数根，则
2
2
2
m
n
p
q
k
n
m
的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
28．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，下列说法：
①若
0
a
b
c
，则方程一定有解；
②若c 是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
③若方程
2
0
0
ax
bx
c
a
两根为
1x ，
2x ，且满足
1
2
0
x
x
，则方程
2
0
0
cx
bx
a
c
，必有实数
根
1
1
x ，
2
1
x ．
④若
0
a
c
，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实数根；
⑤若
0
ab
bc
，且
2
a
c ，则方程
2
0
ax
bx
c
的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
29．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）对于一元二次方程
2
0
ax
bx
c
，下列说法正确的个数为（
）
①若方程的两个根为2
和1，则2
0
b
c
；
②若
0
a
b
c
，则方程一定有解；
③若
0
ab
bc
，且
1
a
c ，则方程的两实数解一定互为相反数；
④若
2
2
0
am
bm
c
an
bn
c
，则m
n
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
30．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程
2
0
ax
bx
c
（
0
a
），下列说法：
①若
0
a
b
c
，则
2
4
0
b
ac
；
②若方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实数根，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实数根；
③若c 是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
④若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，则
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
；
⑤若方程
2
0
ax
bx
c
有两个不相等的实数根，则方程
2
0
cx
bx
a
也一定有两个不相等的实数根．
其中正确的个数有（
）
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A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
31．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）已知m、n 是方程
2
2
5
0
x
x
的两个根，代数式
3 (
1)
(
3)(
3)
m m
m
m
m
的值为________；
2
2
m
n
的值为________．
32．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b 满足等式
2
2
5
3
0
a
a
，
2
2
5
3
0
b
b
，则
2
2
3
5
a
ab
b
________．
33．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x 的一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
有两个实
数根
1x ，
2x ，且满足
1
2
x
x
t
恒成立，这类方程叫做t 的偏向方程．已知关于x 的一元二次方程
2
(
)
1
0
x
m
n x
mn
n
有两个实数根
1x ，
2x ，且对于任意的实数m，都满足3 的偏向方程，则n 的取值
范围是________．
34．（2026·山东德州·一模）两个非零实数m ，n 满足
2
3
1
m
m
，
2
3
1
n
n
，且m
n
，则m
n
n
m
的值
为______．
35．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
（
0
a
）与
2
0
px
qx
r
（
0
p
）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且abc
pqr
，则这两个方程是互为“高关联
方程”．例如，方程
2
4
0
x
与
2
2
0
x
x
是互为“高关联方程”．
(1)若关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
x
x
与
2
2
0
x
x
k
是互为“高关联方程”，求k 的值及相同的根．
(2)若关于x 的一元二次方程
2
3
2
0
x
x
m
①与
2
3
4
0
x
x
n
②是互为“高关联方程”，且
0
mn
，求m ，n
的值．
36．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程
的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n 满足
2
1
0
m
m
，
2
1
0
n
n
，且m
n
，则可将m，
n 看作方程
2
1
0
x
x
的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b 满足
3
a
b
，
2
ab
，则可以将a，b 看作方程
2
3
2
0
x
x
的两个实数根．
根据上述材料解决下列问题：
(1)已知一元二次方程
2
3
3
0
x
x
的两根
1x ，
2x ，则
1
2
x
x
______，
1
2
x x ______；
(2)已知实数m，n 满足
2
3
2
0
m
m
，
2
3
2
0
n
n
，求n
m
m
n
的值；
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(3)已知实数a，b，c 满足
5
a
b
c
，
16
5
ab
c
，且
5
c
，求c 的最大值．
37．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程
2
4
3
0
x
x
的两根是
1x ，2x ，则
2
2
1
2
x
x
的值为_______．
38．（2026·河北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
4
x
x
m
有两个实数根，其中一个根是另一个
根的平方，则m _________．
39．（2026·四川南充·中考真题）关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
k
．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为
1x ，
2x ，且
1
2
2
x
x
，求k 的值．
