文档文本内容
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分层作业
25.2.3 因式分解法
目录
A 组巩固过关
题型01 因式分解法解一元二次方程
题型02 换元法解一元二次方程
题型03 选择适当方法解一元二次方程
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
因式分解法解一元二次方程
1．
1
3
x ，
2
4
x
2．
1
0
x
，
2
2
x
3．【详解】解：
2
4
12
0
x
x
，
∴
6
2
0
x
x
，
∴
6
0
x
或
2
0
x
，
解得
1
6
x
，
2
2
x ．
4．【详解】（1）解：
2
2
5
x
x
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2
2
1
5 1
x
x
2
1
6
x
1
6
x
或
1
6
x
解得
1
1
6
x
，
2
1
6
x
；
（2）解：
2
2
2
4
x
x
x
2
2
3
2
0
x
x
2
2
1
0
x
x
2
0
x
或2
1
0
x
解得
1
1
2
x
，
2
2
x ．
5．【详解】（1）解：
2
4
5
0
x
x
，
移项，得
2
4
5
x
x
，
配方，得
2
4
4
5
4
x
x
，
即
2
2
9
x
，
得
2
3
x
或
2
3
x +
= - ，
解得
1
2
1,
5
x
x
=
= - ；
（2）解：
2
2
4
5
2
x
x
，
移项，得
2
2
4
5
2
0
x
x
，
因式分解，得
4
5
2
4
5
2
0
x
x
x
x
，
即
3
9
1
0
x
x
，
∴3
9
0
x
或
1
0
x
∴解得
1
2
3,
1
x
x
．
题型02
换元法解一元二次方程
6．D
7．C
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8．A．
9．
1
1
x ，
2
5
x
．
10．6 或2
题型03
选择适当方法解一元二次方程
11．【详解】解：
2
8
15
x
x
2
8
15
0
x
x
3
5
0
x
x
3
0
x
或
5
0
x
解得
1
3
x ，
2
5
x
．
12．【详解】（1）
2
2
3
0
x
x
解：
2
3
0
x
x
所以
0
x
，或2
3
0
x
所以
1
0
x
，
2
3
2
x
；
（2）
2
4
3
0
x
x
解：
1
4
3
a
b
c
，
，
2
2
4
4
4 1 3
4
0
b
ac
所以
2
4
4
4
4
2
2
2
2
b
b
ac
x
a
所以
1
3
x ，
2
1
x ．
13．【详解】（1）解：
2
6
4
0
x
x
，
1
a ，
6
b ，
4
c ，
2
2
Δ
4
6
4 1
4
52
0
b
ac
，
6
52
3
13
2
x
，
1
3
13
x
，
2
3
13
x
；
（2）解：
3
2
2
2
x x
x
，
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3
2
2
2
0
x x
x
，
3
2
2
0
x
x
，
3
2
0
x
或
2
0
x
，
1
2
3
x
，
2
2
x
．
14．【详解】（1）解：
2
4
1
0
x
x
，
2
4
1
x
x
，
2
4
4
1
4
x
x
，
2
2
3
x
，
2
3
x
，
解得：
1
2
3
x
，
2
2
3
x
；
（2）解：
2
2
9
3
4
2
x
x
，
2
2
0
9
3
4
2
x
x
，
3
3
2
2
3
3
2
2
0
x
x
x
x
，
5
13
5
0
x
x
，
则5
13
0
x
或
5
0
x
，
解得：
1
13
5
x
，
2
5
x
．
15．【详解】（1）解：
3
1
1
x x
x
，
3
1
1
0
x x
x
，
3
1
1
0
x x
x
，
1 3
1
0
x
x
，
1
0
x
或3
1
0
x
，
解得
1
1
x ，
2
1
3
x
；
（2）解：
2
2
5
0
x
x
，
2
2
5
x
x
，
2
2
1
5 1
x
x
，
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2
1
6
x
，
1
6
x
，
解得
1
2
1
6,
1
6
x
x
.
16．3
4
x
y
或
2
x
y
17．【详解】（1）证明：略；
（2）解：
2
6
5
5
0
x
m
x
m
，
2
1 5
5
1
0
x
m
x
m
，
5
1
0
x
x
m
，
则
5
0
x
或
1
0
x
m
，
解得：
1
5
x ，
2
1
x
m
，
方程有一个根小于3，
1
3
m
，
2
m
∴
．
18．
【详解】（1）解：∵
5
0
a
b
，
∴
2
1
1
5
0
a
b
，
∴方程
2
5
0
ax
bx
必有一根为
1
x
；
（2）解：
1
0
a
，
4
0
b
，
1
4
0
a
b
，
1
0
a
，
4
0
b
，
1
a
，
4
b
，
一元二次方程为
2
4
5
0
x
x
，
解得
1
5
x ，
2
1
x ．
19．
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【详解】（1）解：由题知，第①个图案中“●”的个数为：4
1 2
2
；
第②个图案中“●”的个数为：6
2
2
2
；
第③个图案中“●”的个数为：8
3 2
2
；
....
所以第n 个图案中“●”的个数为
2
2
n
个，
当
6
n
时，2
2
14
n
，
即第⑥个图案中“●”的个数为14 个，
（2）第①个图案中“○”的个数可表示为1 2
2
，
第②个图案中“○”的个数可表示为2 3
2
´
，
第③个图案中“○”的个数可表示为3 4
2
，
第④个图案中“○”的个数可表示为4 5
2
，
…，
∴第n 个图案中“○”的个数可表示为
1
2
n n
，
故答案为：
1
2
n n
；
（3）由题意得，
1
2.5 2
2
2
n n
n
，
∴
1
10
1
n n
n
解得：
10
n
或
1
n （舍去）
20．
【详解】（1）解：原方程整理得
2
2
2
(
2 )
5
2
6
0
x
x
x
x
，
设
2
2
y
x
x
，
则原方程可化为
2
5
6
0
y
y
，
因式分解得
6
1
0
y
y
，
解得
1
6
y
，
2
1
y ，
当
6
y
时，
2
2
6
x
x
，配方，得
2
(
1)
7
x
，
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解得
1
1
7
x
，
2
1
7
x
，
当
1
y
时，
2
2
1
x
x
，配方，得
2
(
1)
0
x
，
解得
3
4
1
x
x
，
原方程的解为
1
1
7
x
，
2
1
7
x
，
3
4
1
x
x
．
（2）解：设最小数为x ，
由题意得
1
2
3
120
x x
x
x
，
即
2
2
3
3
2
120
x
x
x
x
，
设
2
3
x
x
y
，
则
2
120
y y
，即
2
2
120
0
y
y
，
因式分解得
12
10
0
y
y
，
1
12
y
，
2
10
y
，
x为正整数，
2
3
10
x
x
，即
2
3
10
0
x
x
，
因式分解得(
)(
)
2
5
0
x
x
-
+
=
，
解得
1
2
x
，
2
5(
x
舍去) ．
这四个整数为2,3,4,5．
21．D
22．2
3 或
4
3
23．【详解】（1）证明：∵
2
Δ
(
1)
4 1 (
2)
m
m
2
2
1
4
8
m
m
m
2
6
9
m
m
2
(
3)
0
m
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∴方程总有两个实数根
（2）解：∵
2
(
1)
2
0
x
m
x
m
∴(
1)(
2)
0
x
x
m
∴
1
x
或
2
x
m
∵方程仅有一个根是负数，且
1
0
x
总是成立
分两种情况讨论：①当两根不相等时，一个根为负数1
，则另一个根
2
2
x
m
为非负数，即2
0
m
，解得
2
m
；
②当两根相等时，均为1
，则2
1
m
，解得
3
m
；
此时方程只有一个负根，符合题意；
综上所述，m 的取值范围是
2
m
或
3
m
．
24．【详解】解：设
2
6
y
x
x
，则原方程
2
2
6
1
6
7
7
x
x
x
x
可化为
1
7
7
y
y
．
展开得
2
8
7
7
y
y
，即
2
8
0
y
y
．
因式分解得(
8)
0
y y
，解得
1
0
y
，
2
8
y ．
当
0
y
时，
2
6
0
x
x
，即(
6)
0
x x
，解得
1
0
x
，
2
6
x ．
当
8
y 时，
2
6
8
x
x
，即
2
6
8
0
x
x
，判别式
2
Δ
6
4 1 8
4
0
，解得
6
4
6
2
2
2
x
，即
3
2
x ，
4
4
x ．
经检验，所有解均满足原方程．
故答案为：
0
x
，
6
x ，
2
x ，
4
x ．
25．【详解】（1）解：
2
2
2
4
3
4
4
4
3
2
1
x
x
x
x
x
，
2
2
0
x
，
2
2
1
1
x
，
2
4
3
x
x
的最小值是1
．
（2）解：
2
2
4
2
6
x
ax
a
a
2
2
2
4
4
2
6
x
ax
a
a
a
2
2
2
2
6
x
a
a
a
，
2
2
0
x
a
，
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2
2
2
2
2
6
2
6
x
a
a
a
a
a
，
关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a
的最小值为
2
2
6
a
a
，
关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a
（a 为常数）有最小值为9
，
2
2
6
9
a
a
，
2
2
3
0
a
a
，即
1
2
3
0
a
a
，
解得
1
1
a ，
2
3
2
a
，
常数a 的值为1
或3
2 ；
（3）解：
2
7
3
0
2
x
x
y
，
2
7
3
2
y
x
x
，
2
7
2
2
3
2
x
y
x
x
x
2
2
7
6
x
x
x
2
2
8
6
x
x
2
2
2
2
x
，
2
2
0
x
，
2
2
2
0
x
，
2
2
2
2
2
x
，
当
2
x
时，
2
x
y
有最大值，最大值为2 ．
26．
【详解】（1）解：①解方程
2
6
x
x
得
1
2
x
，
2
3
x ，
1
2
2
( 3)
5
x
x
，
方程
2
6
x
x
不是“邻根方程”；
②解方程
2
3
2
0
x
x
得
1
1
x ，
2
2
x ，
1
2
1
( 2)
1
x
x
Q
，
方程
2
3
2
0
x
x
是“邻根方程”；
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③解方程
2
1
0
49
x
得
1
2
1
1
,
7
7
x
x
，
1
2
1
1
2
7
7
7
x
x
，
方程
2
1
0
49
x
不是“邻根方程”；
④解方程
2
5
6
x
x
得
1
3
x ，
2
2
x
，
1
2
3
2
1
x
x
，
方程
2
5
6
x
x
是“邻根方程”．
故答案为：②④．
（2）解：
方程
2
2
1
0
x
x
k
是“邻根方程”，
1x 、
2x 是方程的两根，
1
2
2
x
x
，
1
2
1
x x
k
，
1
2
1
x
x
，
2
2
1
2
1
2
1 2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x x
Q
，
2
2
1
( 2)
4(
1)
k
，
解得
1
4
k
；
（3）解：方程
2
(
4)
a x
m
b
是“邻根方程”
由题意可知，方程
2
(
)
0(
a x
m
b
a
，m ，b 均为常数，
0)
a
有两个实数根，
b
x
m
a
，
2
(
)
0(
a x
m
b
a
，m ，b 均为常数，
0)
a
是关于x 的“邻根方程”，
(
)
(
)
1
b
b
m
m
a
a
，
2
1
b
a
，
1
2
b
a
，
2
(
4)
a x
m
b
，
4
b
x
m
a
，
4
b
x
m
a
，
(
4
)
(
4
)
2
1
b
b
b
m
m
a
a
a
，
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方程
2
(
4)
a x
m
b
是“邻根方程”
则
1
4
4
2
b
x
m
m
a
，
方程
2
(
4)
a x
m
b
的根为
7
2
x
m
或
9
2
x
m
．
27．【答案】(1)1
(2)
1
2
BD
a
b
c
(3)证明：设一元二次方程
2
0
a
b x
c
a x
b
c
的两根为
1x 、
2x ，
∴
(
)
(
) (
1)
0
a
b x
b
c
x
，
∴
1
b
c
x
a
b
，
2
1
x ，
∵关于x 的一元二次方程
2
0
a
b x
c
a x
b
c
有两个相等的实数根，
∴
1
2
x
x
，即
1
b
c
a
b
，
∴a
b
b
c
，
2
a
c
b
，即
2
c
b
a
，
2
2
a
b
c
，
∴2
2(2
)
a
b
b
a
，
2
2
b
c
a
，
即2
4
4
b
c
a
，
∴2
4
4
b
a
c
c
a
，
4
3
a
b
，5
3
a
c
，
即:
3:4
:
3:5
a b
a c
，
，
:
:
3: 4 :5
a b c
，
设
3
a
k
，则
4 ,
5
b
k c
k
,
2
2
2
2
25
a
b
k
c
，即ABC 为直角三角形．
【详解】（1）解：
2
a
c
b
，
a
b
b
c
，
1
b
c
a
b
．
（2）解：
ABD与ACD的周长相等，
AB
BD
AD
AD
CD
AC
，
12 / 13
学科网（北京）股份有限公司
∴c
BD
b
CD
，
∵D 为BC 边上一点，
∴CD
BC
BD
a
BD
，
∴c
BD
b
a
BD
，
1
2
BD
a
b
c
．
（3）解：略
28．2
29．【详解】解：
1
8
8
x x
x
，
1
8
1
0
x x
x
，
8
1
0
x
x
，
8
0
x
或
1
0
x ，
1
8
x
，
2
1
x ．
30．
【答案】(1)①
8
n ；
②B C
A D
为定值28 ，理由如下：
由题意可得：
6
B
n
，
6
C
n
，
8
D
n
，
∴
2
2
6
6
8
8
36
64
28
B C
A D
n
n
n
n
n
n
．
(2)19
【分析】（1）①根据中心数的特点可得
8
A
n
；②根据中心数的特点分别表示
6
B
n
，
6
C
n
，
8
D
n
，再进一步求解即可；
（2）先解方程
2
13
22
0
x
x
，再结合中心数的特点可得答案．
【详解】（1）解：①由题意可得：
8
A
n
；
②略
（2）解：∵
2
13
22
0
x
x
，
∴
2
11
0
x
x
，
13 / 13
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
0
x
或
11
0
x
，
解得：
1
2
x
，
2
11
x
，
∵x 为九宫格的中心数，
∴
2
x
不符合题意，
∴中心数为11，
∴九宫格中最大的数为11 8
19
．
