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学科网（北京）股份有限公司 1 / 25.2.3 因式分解 课标要点 1. 理解因式分解法解一元二次方程的原理：若A⋅B=0，则A=0 或B=0，会把一元二次方程 转化为两个一元一次方程求解； 2. 掌握因式分解法的常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法； 3. 掌握换元法思想，把复杂的高次 / 重复结构方程，通过换元转化为一元二次方程，求解 后回代求出原方程的根，会检验根。 学习重难点 重点： 1. 因式分解法解题步骤：移项使方程右边 = 0；将左边因式分解；令每个因式等于 0；解两 个一元一次方程得到原方程的根； 2. 识别适合换元法的方程特征：方程含有重复相同整体，设新元替换重复整体，降次变为一 元二次方程； 3. 换元求解之后必须回代，求出原未知数的解。 难点： 1. 用因式分解法解方程，不移项化为右边= 0，直接拆分等式两边因式，出现丢根； 2. 因式分解不彻底，十字相乘符号出错； 3. 换元法只解出新元，忘记回代求原未知数； 4. 换元设元之后，没有舍去新元不符合取值的解； 5. 分不清什么时候适合因式分解法，盲目套公式法，增加计算量。 第二十五章 一元二次方程 学科网（北京）股份有限公司 2 / 知识点 解一元二次方程-因式分解 一、原理 零乘积性质：如果两个因式的积等于0，那么至少其中一个因式为0。 即：若A·B=0，则A=0 或B=0。 因式分解法的核心思想：降次，把一元二次方程，转化为两个一元一次方程求解。 二、适合用因式分解法的方程特点 1.方程移项后，左边可以因式分解，右边等于0； 2.优先顺序：能因式分解优先用因式分解法，计算比公式法、配方法简单； 3.常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方公式、十字相乘法。 四个分解工具 1.提公因式：ax+bx =x(a+b) 2.平方差：a²-b²=(a+b)(a-b) 3.完全平方：a²±2ab+b²=(a±b)² 学科网（北京）股份有限公司 3 / 4.十字相乘：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 随学随练 1．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为1，两个根分别为−1，2， 则这个方程为（ ）． A．(𝑥+ 1)(𝑥−2) = 0 B．(𝑥−1)(𝑥−2) = 0 C．(𝑥+ 1)(𝑥+ 2) = 0 D．(𝑥−1)(𝑥+ 2) = 0 2．（25-26 九年级上·四川眉山·期中）方程𝑥2 −12𝑥+ 27 = 0的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三 角形的周长为________． 3．（25-26 九年级上·新疆哈密·期中）解方程： (1)2𝑥2 + 3 = 7𝑥． (2)(𝑥−3)2 + 2𝑥(𝑥−3) = 0 知识点 解一元二次方程--换元法 一、概念与核心思想 换元法(也叫整体代换法) 把方程中重复出现的相同代数式看成一个整体，用一个新的未知数去替换这个整 体，把复杂方程降次，转化成我们熟悉的一元二次方程求解。 核心：降次、简化结构。 换元法本身不是专门解标准一元二次方程，主要用来解“可化为一元二次方程”的高次方程、复合方程。 二、方程识别(什么样的题用换元) 特征：同一个代数式反复多次出现。 典型例子： ①(x²+x)²-4(x²+x)-12=0，重复整体：x²+x 解题步骤 口诀：一移、二分、三令、四解 1.移项：把所有项移到左边，使方程右边=0; 2.分解：将方程左边因式分解，写成两个整式相乘； 3.令因式为0：令每一个因式分别等于0,得到两个一元一次方程； 4.求解：解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 学科网（北京）股份有限公司 4 / ②(x-2)²-3(x-2)-10=0，重复整体：x-2 随学随练 1．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b 满足(𝑎2 + 2𝑏2)(𝑎2 + 2𝑏2 −3) = 10，则𝑎2 + 2𝑏2的 值为（ ） A．5 或−2 B．−5或2 C．5 D．2 2．（25-26 八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程 𝑥−1 𝑥= 3𝑥 𝑥−1 −2时，设 𝑥−1 𝑥= 𝑦，则原方程可化为关 于y 的方程是（ ） A．𝑦2 + 2𝑦−3 = 0 B．𝑦2 + 2𝑦+ 3 = 0 C．𝑦2 −2𝑦−3 = 0 D．𝑦2 −2𝑦+ 3 = 0 3．（25-26 九年级上·江西抚州·阶段检测）请阅读下面解方程(𝑥2 + 1)2 −2(𝑥2 + 1) −3 = 0的过程． 解：设𝑥2 + 1 = 𝑦，则原方程可变形为𝑦2 −2𝑦−3 = 0． 解得𝑦1 = 3，𝑦2 = −1． 当𝑦= 3时，𝑥2 + 1 = 3，∴𝑥= ±√2． 当𝑦= −1时，𝑥2 + 1 = −1，𝑥2 = −2，此方程无实数解． ∴原方程的解为𝑥1 = √2，𝑥2 = −√2． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：( 𝑥 𝑥−1) 2 −2 ( 𝑥 𝑥−1) −15 = 0． 解题步骤 口诀：找整体→设新元→代换求解→回代→检验写根 1.找整体：找出方程反复出现的代数式； 2.设元：设新未知数，例如令y=重复的整体； 3.代换：把原方程全部换成关于y 的方程，得到普通一元二次方程； 4.解新方程：解关于y 的一元二次方程，求出y 的值； 5.回代(最关键)：把求出的y 代回“y=整体”的关系式，解出原来未知数x; 6.检验：把根代入原方程检验，舍去增根、无效解，写出全部根。 学科网（北京）股份有限公司 5 / 拓展 一元二次方程特殊解法 给出方程①A(式子1)²+B=0 的根，求结构完全相同的方程②A(式子2)²+B=0 的根。 通用做题步骤(四步) 1.观察结构：确认两个方程除括号内整体以外，其余全部相同。 2.换元对齐：把第二个方程括号内的整体设为新元t，让方程变成和已知方程一模一样的形式。核心：令t= 第二个方程括号里面那一大块，则新方程和已知方程完全相同，因此t 直接等于已知方程给出的根。 3.回代列等式：把t 等于已知的每一个根，分别列出关于原未知数的一次方程。 4.求解，得到最终的x。 活学活用 1．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛（𝑎≠0）的两根分别为−3、1， 则一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑚−2)2 −𝑛= 0（𝑎≠0）的两根分别为________． 2． （25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥−𝑐= 0的解是𝑥1 = 1，𝑥2 = −2， 则另一个关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 3)2 + 𝑏(𝑥+ 3) = 𝑐的解是_____． 3．（25-26 九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑛)2 + 𝑝= 0的两个根为𝑥1 = 1，𝑥2 = −3， 则一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑛+ 3)2 + 𝑝= 0的解为______． 题型一 因式分解与几何综合 ▌例1 （25-26八年级上·上海·期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程𝑥2 −16𝑥+ 48 = 0的根，则这个三角形的周长为（ ） A．25 B．21 C．19 D．17 ▌对点练1-1（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程𝑥2 −9𝑥+ 14 = 0的两根恰好是某菱形的对角线长，则 这个菱形的面积是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 ▌对点练1-2（2026·山西朔州·模拟预测）一个菱形的边长是方程𝑥2 −8𝑥+ 15 = 0的一个根，菱形的一条 对角线长为6，则该菱形的面积为（ ） A．48 B．24 C．24 或48 D．48 或40 学科网（北京）股份有限公司 6 / ▌对点练1-3（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程𝑥2 −10𝑥+ 24 = 0的解， 则这个三角形的周长是（ ） A．12 B．16 C．16或18 D．18 题型二 已知方程的一个解求另一个解 ▌例2（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）已知2是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 2𝑥−𝑘= 0的一个实数解， 则该方程的另一个解为（ ） A．−4 B．2 C．3 D．4 ▌对点练2-1（2026·辽宁沈阳·模拟预测）一元二次方程𝑥2 −3𝑥+ 𝑚= 0的一个根为3，那么它的另一个 根为（ ） A．−3 B．0 C．2 D．−2 ▌对点练2-2（25-26 八年级下·河南漯河·期末）关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −4𝑥+ 𝑐= 0的一个根为𝑥= 3， 那么它的另一个根为𝑥=（ ） A．−3 B．1 C．3 D．−7 题型三 因式分解解一元二次方程 解题步骤 1.代入已知解：把已知的解代入原方程，方程变为只含参数的一元一次方程。 2.解出参数：求解得到参数的具体数值。 3.(可选回代验证)：把求得的参数代回原方程，解方程，检验是否与已知解一致。 学科网（北京）股份有限公司 7 / ▌例3 （25-26 九年级上·河北邯郸·开学考试）解下列一元二次方程： (1)𝑥2 −4𝑥−3 = 0 (2)𝑥2 −4 = 3(𝑥+ 2) ▌对点练3-1．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）解下列方程： (1)𝑥2 −2𝑥+ 1 = 0； (2)𝑥(𝑥−2) = 𝑥−2． ▌对点练3-2．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)(𝑥−1)2 = 25； (2)𝑥(𝑥+ 6) = −5(𝑥+ 6)． 题型四 判断因式分解步骤是否正确并改正 ▌例4 （25-26 八年级下·浙江台州·期末）某同学解一元二次方程(𝑥−2)2 −3(𝑥−2) = 0的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 易错点 1.等号右侧没有化为0 直接分解(最高频错误) 原理是“若A·B=0，则A=0 或B=0”，只有乘积等于0 才能拆分。 错例：x²-3x=4，直接写成x(x-3)=4，令x=4，x-3=4。 正确：移项得x²-3x-4=0，再因式分解。 2.方程两边直接约去含有未知数的因式，丢失根 只要因式里含未知数，不能直接除。 错例：x(x-2)=3x，两边同除以x，得到x-2=3，漏掉根x=0。 正确：移项x(x-2)-3x=0，提公因式再分解。 学科网（北京）股份有限公司 8 / ▌对点练4-1．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程𝑥2 −4𝑥= 5时，两位同学的解法如 下： 嘉嘉同学 𝑥2 −4𝑥= 5 𝑥(𝑥−4) = 5 𝑥= 1或𝑥−4 = 5 ∴𝑥1 = 1, 𝑥2 = 9 琪琪同学 ∵𝑎= 1, 𝑏= −4, 𝑐= 5 ∴𝑏2 −4𝑎𝑐= 16 −20 = −4 < 0 ∴原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填 “正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：4𝑥(2𝑥+ 1) = 3(2𝑥+ 1)． ▌对点练4-2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程5(𝑥−2) = (𝑥−2)2的过程 如图： 小明： 两边同除以(𝑥−2)， 得5 = 𝑥−2， 解得𝑥= 7． 小颖： 移项，得5(𝑥−2) −(𝑥−2)2 = 0， 提取公因式，得(𝑥−2)(5 −𝑥−2) = 0． ∴𝑥−2 = 0或5 −𝑥−2 = 0． 解得𝑥1 = 2,𝑥2 = 3． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如𝑚𝑥2 = 𝑛𝑥的一元二次方程的一般解法． 题型五 利用换元法求代数式的值 学科网（北京）股份有限公司 9 / ▌例5（25-26 九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知实数𝑥满足(𝑥2 −4𝑥+ 4)2 + 5(𝑥2 −4𝑥+ 4) −6 = 0， 则𝑥2 −4𝑥+ 4的值为（ ） A．−6或1 B．−1或6 C．6 D．1 ▌对点练5-1．（25-26 九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知实数x 满足(𝑥2 −𝑥)2 −4(𝑥2 −𝑥) −12 = 0， 则代数式𝑥2 −𝑥+ 1的值为（ ） A．7 B．−1 C．7 或−1 D．−2或1 ▌对点练5-2． （25-26 八年级上·四川眉山·期中）若实数𝑥、𝑦满足(𝑥2 + 𝑦2 −2) (𝑥2 + 𝑦2 + 2)＝77，则𝑥2 + 𝑦2 ＝（ ） A．±9 B．9 C．±√79 D．√79 题型六 利用换元法化简方程 ▌例6 用换元法解方程 2𝑥 𝑥−1 −3 = 𝑥−1 𝑥时，设 𝑥 𝑥−1 = 𝑦，则原方程可化为关于𝑦的方程是（ ） A．2𝑦2 −3𝑦−1 = 0 B．3𝑦2 −2𝑦+ 3 = 0 C．𝑦2 + 2𝑦−3 = 0 D．𝑦2 −2𝑦+ 1 = 0 ▌对点练6-1．（25-26 八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程 𝑥−1 𝑥= 3𝑥 𝑥−1 −2时，设 𝑥−1 𝑥= 𝑦，则原方 程可化为关于y 的方程是（ ） A．𝑦2 + 2𝑦−3 = 0 B．𝑦2 + 2𝑦+ 3 = 0 C．𝑦2 −2𝑦−3 = 0 D．𝑦2 −2𝑦+ 3 = 0 解题步骤 1.设元(换元):令重复出现的复杂代数式t=【重复的那一串式子】,把原方程转化为关于t 的一元二次方程。 2.解关于的一元二次方程，求出的两个候选解。 3.挖掘t 本身隐藏取值范围(关键!高频坑点) ①如果是平方、完全平方：t≥0 ②如果t 是算术平方根：t≥0 ③如果是分式：分母≠0 4.舍去不符合取值范围的t,留下符合条件的值，即为答案。 学科网（北京）股份有限公司 10 / ▌对点练6-2．（2026·上海嘉定·二模）用换元法解方程 𝑥 𝑥−1 + 𝑥−1 𝑥= 2时，如果设 𝑥 𝑥−1 = 𝑦，那么原方程可 化为关于𝑦的整式方程是____． 题型七 换元法解一元二次方程 ▌例7 （25-26 九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：(𝑥−2)2 + 2 −𝑥= 0； （2）若(𝑥+ 2𝑦)2 + 4(𝑥+ 2𝑦) −5 = 0，求𝑥+ 2𝑦的值． ▌对点练7-1．（25-26 八年级上·上海杨浦·阶段检测）解方程：(1 −𝑥)2 + √2(𝑥−1) −4 = 0． ▌对点练7-2．（2026 九年级下·广东茂名·竞赛）解方程：𝑥2 + 4 𝑥2 = 3 (𝑥+ 2 𝑥) 题型八 换元法解答题综合 ▌例8 （25-26 八年级下·山东济南·期末）解方程(𝑥−1)2 −5(𝑥−1) + 4 = 0时，我们可以将𝑥−1看成 一个整体，设𝑥−1 = 𝑦，则原方程可化为𝑦2 −5𝑦+ 4 = 0，解得𝑦1 = 1，𝑦2 = 4．当𝑦= 1，即𝑥−1 = 1， 解题步骤 1.观察，确定换元对象 找出重复出现的相同代数式，设t=该代数式。 记下t 自带取值范围：完全平方t≥0；分式t≠0；根号t≥0。 2.整体代入，转化方程 把原方程中重复部分全部替换成t,得到关于t 的一元二次方程：at²+bt+c=0。 3.解关于新元t 的一元二次方程 优先因式分解，其次公式法，求出t1、t2。 关键一步：根据的实际意义，舍去不符合取值范围的解。 4.回代，解原来的未知数 把有效的t 代回t=【原来代数式】,得到普通方程，解出原未知数x。 5.检验 ①整式方程：代入验算； ②分式方程：必须检验分母不为0,舍去增根。 学科网（北京）股份有限公司 11 / 解得𝑥= 2；当𝑦= 4，即𝑥−1 = 4，解得𝑥= 5．所以原方程的解𝑥1 = 2，𝑥2 = 5． (1)请你利用这种方法解方程：(2𝑥−1)2 −4(2𝑥−1) + 3 = 0； (2)已知△𝐴𝐵𝐶三条边的长度分别为𝑎，𝑏，𝑐，若满足(𝑎2 + 𝑏2)2 −3(𝑎2 + 𝑏2) −4 = 0，且𝑐= 2，请判断△𝐴𝐵𝐶 的形状，并说明理由． ▌对点练8-1．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程(𝑥2 −1)2 −5(𝑥2 −1) + 4 = 0，我们可以将(𝑥2 −1)视为一个整体，然后设𝑥2 −1 = 𝑦，则 (𝑥2 −1)2 = 𝑦2，原方程可化为𝑦2 −5𝑦+ 4 = 0， ① 解得𝑦1 = 4，𝑦2 = 1． 当𝑦= 4时，𝑥2 −1 = 4，∴𝑥2 = 5，∴𝑥= ±√5． 当𝑦= 1时，𝑥2 −1 = 1，∴𝑥2 = 2，∴𝑥= ±√2． ∴原方程的解为𝑥1 = √2，𝑥2 = −√2，𝑥3 = √5，𝑥4 = −√5． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：(𝑥2 −2𝑥)2 −5𝑥2 + 10𝑥−6 = 0． (2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数． ▌对点练8-2．（25-26 九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：(4𝑥−1)2 −10(4𝑥−1) + 24 = 0． 解：把4𝑥−1视为一个整体，设4𝑥−1 = 𝑦， 则原方程化为𝑦2 −10𝑦+ 24 = 0， 解得𝑦1 = 6，𝑦2 = 4． ∴4𝑥−1 = 6或4𝑥−1 = 4． ∴𝑥1 = 7 4，𝑥2 = 5 4． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)𝑥4 −3𝑥2 + 2 = 0． (2)(𝑥2 −2𝑥)2 −5𝑥2 + 10𝑥−6 = 0． 学科网（北京）股份有限公司 12 / 基础通关 1．关于𝑥的方程𝑥2 −4𝑥+ 3 = 0，下列说法错误的是（ ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为−4 D．适合用因式分解法解方程 2．（25-26 九年级上·浙江温州·开学考试）已知直角三角形有两条边长分别是方程𝑥2 −14𝑥+ 48 = 0的 两个根，则该直角三角形的斜边长是（ ） A．10 B．2√7 C．10 或8 D．10 或2√7 3．（25-26 八年级下·北京顺义·期末）方程𝑥2 = 2𝑥的解为（ ） A．𝑥1 = 𝑥2 = 2 B．𝑥1 = 0，𝑥2 = 2 C．𝑥1 = 0，𝑥2 = −2 D．𝑥1 = 2，𝑥2 = −2 4．（2026·河北沧州·三模）保定古莲花池内一个景观石的坐标为(𝑚, 𝑛)且满足：𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2 − 2𝑥−3 = 0的两个根，𝑚< 𝑛，则表示景观石位置的点(𝑚, 𝑛)在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2026·安徽宣城·二模）如图，这是小卫同学解一元二次方程5𝑥(3𝑥−2) = 2(2 −3𝑥)的过程，判断他 在解答过程中出现错误的步骤是（ ） 小卫同学解答过程： 解：5𝑥(3𝑥−2) = 2(2 −3𝑥)， 第一步 5𝑥(3𝑥−2) −2(2 −3𝑥) = 0， 第二步 (5𝑥−2)(3𝑥−2) = 0， 第三步 5𝑥−2 = 0或3𝑥−2 = 0， 第四步 解得𝑥= 2 5或𝑥= 2 3． 第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 6．（2026·安徽安庆·模拟预测）我们规定一种新运算“★”，其意义为𝑎★𝑏= 𝑎2 −𝑎𝑏+ 2，若(2𝑥−1) ★ (𝑥+ 3) = 11，则𝑥的值为（ ） A．𝑥1 = 1 2，𝑥2 = −5 B．𝑥1 = − 1 2，𝑥2 = 5 C．𝑥1 = −1，𝑥2 = 5 2 D．𝑥1 = 1，𝑥2 = − 5 2 7．（25-26 九年级下·云南昆明·阶段检测）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律 排列下去，第（ ）个图形共有45 个小球． 学科网（北京）股份有限公司 13 / A．9 B．10 C．11 D．12 8．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）若𝑥= 1是关于x 的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2 −𝑥+ 𝑚2 = 0的一个 根，则m 的值是________ ． 9． （25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）一个三角形的两边长分别为5 和7，第三边长是方程𝑥2 −6𝑥+ 8 = 0 的根，则这个三角形的周长为___________． 10．（25-26 九年级上·广东广州·期末）定义新运算“𝑎∗𝑏”：对于任意实数𝑎，𝑏，都有𝑎∗𝑏= (𝑎+ 𝑏)2 −2𝑎， 如2 ∗3 = (2 + 3)2 −2 × 2 = 25 −4 = 21．若𝑥∗𝑚= 0（𝑚为实数）是关于𝑥的方程，且𝑥= 2是这个方程 的一个根，则𝑚的值是______． 11．（25-26 八年级下·甘肃嘉峪关·期末）解方程： (1)𝑥2 −5𝑥= 0； (2)𝑥2 −7𝑥+ 6 = 0； (3)(𝑥+ 3)2 = 2𝑥+ 5． 12．（25-26 九年级上·江苏淮安·开学考试）关于x 的一元二次方程𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 𝑚2 + 𝑚= 0有两个不相 等的实数根． (1)求m 的取值范围； (2)已知𝑥= 2是方程的一个解，求m 的值． 13．（25-26 八年级下·吉林·期末）如果方程𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有 这样的一元二次方程为同族方程，并规定𝐺= 𝑝2 𝑞，例如𝑥2 −7𝑥+ 12 = 0有整数解3 和4，所以𝑥2 −7𝑥+ 12 = 0属于同族方程，所以𝐺= (−7)2 12 = 49 12． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0；②𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0；③2𝑥2 −3𝑥−2 = 0；④𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0． (2)如果同族方程𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对 任意一个完美方程，总有𝐺= 4； (3)关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2 −(𝑘−3)𝑥−3 = 0属于同族方程，求正整数k 的值． 素养提升 学科网（北京）股份有限公司 14 / 1．（2026·四川雅安·一模）如图①是第14 届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽 的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大 正方形的边长𝐴𝐷为25，小正方形的边长𝐸𝐹为17，则𝐴𝐸的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）若关于𝑥的一元二次方程(𝑥−𝑚)(𝑥−𝑛) = 0的解也是𝑎(𝑥−3)2 = 𝑏 （𝑎≠0）的解，则𝑚与𝑛满足的数量关系为（ ） A．𝑚+ 𝑛= 3 B．𝑚+ 𝑛= 6 C．𝑚+ 𝑛= 6𝑎 D．𝑚+ 𝑛= 6𝑏 3．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）若关于𝑥的一元二次方程4𝑥2 + 4𝑚𝑥+ 2𝑚2 + 6𝑚+ 9 = 0有解，则 该方程的解是（ ） A．−1.5和1.5 B．1.5和1.5 C．0和−1.5 D．0和3 4．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷于点E，若𝐴𝐵= 3，𝐴𝑂−𝐵𝐸= 3 2， 则𝐴𝐷的长为（ ） A．4 B．3√2 C．3√3 D．6 5．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）关于𝑥的方程𝑥2 + (𝑚+ 3)𝑥+ 2𝑚+ 2 = 0有一个小于1的非负数解， 那么𝑚的取值范围是（ ） A．−1 ≤𝑚< 0 B．−1 < 𝑚≤0 C．−2 ≤𝑚< −1 D．−2 < 𝑚≤−1 6．（25-26 八年级上·上海金山·阶段检测）如果|𝑚2 + 2𝑚| + √𝑛2 + 𝑚𝑛−2 = 4𝑚−1，那么𝑚+ 𝑛的值 为（ ） A．3 或2 B．−3或2 C．−1或2 D．3 或−2 7．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）若𝑚，𝑛为正实数，设𝑘= 𝑚 𝑛，𝑡是关于𝑥的方程𝑥2 + 2𝑚𝑥= 𝑛2的一 学科网（北京）股份有限公司 15 / 个正实数根． （1）当𝑘= 𝑡= 1时，则𝑚的值是________； （2）当𝑘= 1 2时，则 𝑡 𝑛的值是________． 8．若方程(2026𝑥)2 −2025 × 2027𝑥−1 = 0的较大根为𝑎，方程𝑥2 −2026𝑥−2027 = 0的较小根为𝑏，则 (𝑎+ 𝑏)2027 =______________． 9．（25-26 八年级下·浙江杭州·阶段检测）若3𝑚2 −2𝑚−5 = 0, 5𝑛2 + 2𝑛−3 = 0，其中𝑚, 𝑛为实数且𝑚, 𝑛≠ 1，𝑚≠ 1 𝑛，则𝑚+ 1 𝑛=____________． 10．（25-26 八年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴 围成矩形的周长与面积两者数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点𝑃分别作𝑥轴，𝑦轴的垂线，与 坐标轴围成矩形𝑂𝐴𝑃𝐵的周长与面积的数值如果相等，则点𝑃是和谐点． (1)判断点𝑀(1,2)，𝑁(−4,4)是否为和谐点，点𝑀___________和谐点，点𝑁___________和谐点（填“是”、 “不是”） (2)求出在直线𝑦= 𝑥−3上且位于第一象限的和谐点的坐标． (3)若和谐点𝑃(𝑎, 3)在直线𝑦= −𝑥+ 𝑏（𝑏为常数）上，求𝑎, 𝑏的值． 迁移创新 1．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）【阅读理解】 滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例 如4 + 2√3 = (1 + √3) 2，他的计算方法如下： 设4 + 2√3 = (𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2（𝑎> 0，𝑏> 0），得𝑎2 + 𝑏2 = 4，𝑎𝑏= √3，猜想𝑎𝑏= 1 × √3，验 证𝑎2 + 𝑏2 = 12 + (√3) 2 = 4成立，得4 + 2√3 = (1 + √3) 2． 【深入思考】 (1)江江发现把𝑎𝑏= √3两边平方，得𝑎2𝑏2 = 3，设𝑥= 𝑎2，又因为𝑎2 + 𝑏2 = 4，所以𝑏2 = 4 −𝑥， 学科网（北京）股份有限公司 16 / 这样就能先求𝑥的值，再求出𝑎，𝑏的值，请你把江江求𝑎，𝑏值的这个解题过程写完整． 【尝试探究】 (2)把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）： ①6 + 2√5 ②10 −2√21 2．（25-26 八年级下·安徽池州·期末）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中 有著名的数学家，也有业余数学爱好者．下面构造了一个新的证法：把两个全等的Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐸𝐷𝐴按 如图1 方式放置，其三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐸𝐴= 90°． (1)请你利用图1 证明勾股定理； (2)已知Rt △𝐴𝐵𝐶的三边为𝑎，𝑏，𝑐（𝑐为斜边），其中𝑎，𝑏满足(𝑎2 + 𝑏2)(𝑎2 + 𝑏2 −4) = 5，求Rt △𝐴𝐵𝐶的 斜边的长． (3)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐶= 𝑏，𝐴𝐵= 𝑐，且𝑐> 𝑏> 𝑎，当△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形时，猜想𝑎2 + 𝑏2与 𝑐2之间的关系，并说明理由．
