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25.2.4 一元二次方程根与系数的关系
（导学案）
(1)理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式；掌握定理成立的前提条件（
）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方
程根的正确性、求解简单参数问题.
(2)经历“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、
代数逻辑证明能力，体会数形结合、整体代入的数学思想.
(3)在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严谨的数学思维习惯；通过定理的推
导与应用，增强学习代数知识的兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心.
重点：一元二次方程根与系数的关系公式理解与基础应用，能够熟练利用韦达定理求解两根和、两根积及
简单根系代数式的值.
难点:根与系数关系的严谨推导过程；解题中精准把握定理成立的前提条件，规避无实数根时误用定理、
看错系数符号的易错问题；灵活运用整体代入思想变形求解复杂的根系代数式.
第一环节 自主学习
温故知新：
情境导入，特例探究
教师出示三组简单一元二次方程，要求学生快速解方程，求出两根并计算两根之和、两根之积：
①
②
③
学生独立计算后汇报结果，教师板书整理数据，引导学生观察：
方程的两根和、两根积与方程的二次项、一次项、常数项之间存在什么规律？
学生小组交流，自主猜想：当二次项系数为1 时，两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项；
当二次项系数不为1 时，两根和、两根积与系数存在固定比例关系.
【学法指导】
新知自研：自研课本第15-16 页的内容
【学法指导】自研课本P15-16 页内容
(一)严谨推导，得出定理
活动1：猜想的规律是否适用于所有有实数根的一元二次方程？怎样进行推导.
师生共同推导：对于一般形式一元二次方程
，当
时，方程的两个实
数根为：
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，
.
分步计算两根和、两根积：
；
.
归纳总结：一元二次方程根与系数的关系：
若一元二次方程
的两个实数根为
，则
.
核心前提：方程必须有实数根，即
.
特例：当a=1 时，方程
，则
.
（二）理解定理，及时应用
活动2. 判断下列说法是否正确.
方程
的两根和为-2，两根积为3.
（×，无实数根，不能用定理）
（2）方程
的两根和为2，两根积为
.
（√，根据一元二次方程根与系数关系结论正确）
活动3：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根
的和与积:
（1）
； （2）
； （3）
.
（1）
（2）
（3）方程化为
，所以
（三） 灵活运用 拓展提升
活动4：代数式变形求值（核心应用）
已知
是方程
的两根，不解方程，求下列代数式的值：（1）
（2）
学生讨论交流：结合完全平方公式、分式通分，将所求代数式整体变形为含
、
的形式，再代入
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计算.
推导核心变形公式：
学生独立完成解题，教师规范解题步骤，强调整体代入思想.
活动5：参数解决综合问题
已知方程
的两根之和为1，求m 的值及两根之积。
学生交流讨论：1. 根据根系关系得：-(m-2)=1，解得m=1；
2. 验证
，确保方程有实数根；
3. 代入求两根积.
【自研自探】
自研课本P15-16 页内容
典型例题
例1.已知关于x 的方程
有两实数根．
(1)求k 的取值范围：
(2)设方程两实数根分别为：
，
，且
，求实数k 的值．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程；
（1）根据方程有两个实数根得出
，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用
表示出
的值，根据条件可得到关于
的方程，可求得
的值，
注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】（1）解：∵关于x 的方程
有两实数根，
∴
解得：
；
（2）解：∵方程
两实数根分别为：
，
，
∴
，
，
∵
∴
∴
解得：
，
（经检验都是原方程的解），
∵
故
．
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例2．若关于x 的一元二次方程
有一个根是
，求b 的值及方程的另一个根．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若
有两实数根为
，
，则
，
．根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为
，
根据题意，得
，
解得
，
∴
，方程的另一个根为
．
例3．已知
，
是关于
的一元二次方程
的两个不相等的实数根，
(1)求
的值
(2)求
的值
(3)求
的值
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，对于一元二次方程
，若
是该方程的两个实数根，则
．
（1）根据根与系数的关系即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系即可得到答案；
（2）根据（1）（2）所求结合
进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
是关于
的一元二次方程
的两个不相等的实数根，
∴
；
（2）解：∵
，
是关于
的一元二次方程
的两个不相等的实数根，
∴
；
（3）解：∵
，
∴
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．
第二环节 合作探究
1.
讨论怎样推导一元二次方程根与系数的关系定理
2.
讨论应用一元二次方程根与系数的关系定理的条件是什么？
3.
讨论如何拓展应用一元二次方程根与系数的关系定理解决问题.
拓展提升：
1．已知关于
的一元二次方程
．
(1)若方程有实数根，求实数
的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为
，
，且满足
，求实数
的值．
【详解】（1）解：
关于
的一元二次方程
有实数根，
，
解得：
，
即
的取值范围是
；
（2）
，
，
，
，
，即
，
解得
或
．
；
．
故
的值为2．
课本课堂练习（P16）.
1．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0 的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣4
B．x1+x2＝3
C．x1x2＝4
D．x1x2＝3
【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0，
a＝1，b＝﹣4，c＝3，
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∴x1+x2=−b
a =4，x1•x2= c
a =3，
故选：D．
2．（2025•绥化）已知m，n 是关于x 的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0 的两个根，则（m+1）（n+1）＝
．
【解答】解：∵m，n 是关于x 的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0 的两个根，
∴m+n＝2025，mn＝1，
∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027，
故答案为：2027．
3．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0 的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为 ．
【解答】解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0 的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5．∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣5+2+1＝﹣2．故答案为：﹣2．
4．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0 的两根分别为a 和b，则代数式a2﹣4a+b 的值为 ．
【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0 中的两根分别为a、b，
∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0．
∴a2﹣5a＝24，
∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b，
＝24+5，
＝29．
故答案为：29．
5．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0 的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β 的值为 ．
【解答】解：将x＝α 代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0，
∴2α2﹣6α＝1．
∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0 的两根为α，β，
∴α+β＝3，
∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10．
故答案为：10．
6．（2025•南充）设x1，x2是关于x 的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根．
（1）当x1＝﹣1 时，求x2及m 的值．
（2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
【解答】解：（1）把x1＝﹣1 代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2，
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得m2＝6，
∴m=± ❑√6．
∴（x﹣1）（x﹣2）＝6，即x2﹣3x﹣4＝0．
∴（x﹣4）（x+1）＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝4．
∴x2= 4，m=± ❑√6．
（2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0．
∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0 的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2．
∴（x1﹣1）（x2﹣1）
＝x1•x2﹣（x1+x2）+1
＝2﹣m2﹣3+1
＝﹣m2．
∵m2≥0，
∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
1. 知识与技能：（1）核心定理：对于
，当
时，方程两个实数根为
，则
；（2）特殊形式：方程
，则两根和为-p，两根积为q；
（3）核心应用：不解方程求根系代数式的值、求方程参数、检验方程根的正确性.
2. 思想方法：（1）特殊到一般：从具体方程猜想规律，再推导一般公式，是代数探究的核心方法；
（2）整体代入：将复杂代数式变形为两根和、两根积的整体形式代入计算，简化运算；（3）转化思想：
将陌生的代数式求值问题转化为熟悉的根系关系基础问题.
3. 易错提醒：（1）忽略前提条件：必须先判断
，方程无实数根时，根与系数定理不成立，
严禁盲目套用公式；（2）符号错误：两根和公式是
，容易遗漏负号，需重点关注一次项系数符号；
（3）系数混淆：必须将方程化为一般形式后再找
a 、
b 、
c ，避免非一般形式下系数取值错误；（4）变形
失误：代数式变形（完全平方、通分）时容易漏项、符号出错，变形后需及时检查.
