文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
26.2.1 二次函数y=a（x-h)²+k 的图象和性质
(第一课时 二次函数y=ax ²+k 的图象和性质)
（导学案）
（1）掌握用描点法绘制y=ax ²+k 的图象；熟练说出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和
最值；掌握y=ax ²+k 与y=ax ²的图象平移规律，能运用性质解决基础题型.
(2)经历“列表—描点—画图—对比—归纳”的完整探究过程，体会数形结合、类比迁移、从特殊到一般
的数学思想，提升图象观察、规律总结和知识迁移能力.
(3)在自主探究和小组合作中感受二次函数图象的对称美、变化规律美，培养严谨的数学思维和主动探究
的学习习惯，增强学习二次函数的信心.
重点:二次函数y=ax ²+k 的图象特征和核心性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；y=ax ²+k 与
y=ax ²的图象平移规律.
难点：精准理解常数k 的几何意义，区分k>0 和<0)时图象的平移方向；结合图象灵活运用函数性质解决比
较函数值、求最值的问题.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习回顾：二次函数y=2x ²的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x 取何值时，
函数有最值？增减性如何？
追问：如果在y=2x ²的基础上变形为y=2x ²+1、y=2x ²-2，函数图象会发生什么变化？
【学法指导】
新知自研：自研课本第36-37 页的内容
【学法指导】自研课本P36-37 页内容
(一)将y=ax ²+bx+c 转化为类似y=ax ²+k 的简单形式.
追问1.上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax ²+bx+c=0 的？由此，你得到了什么启发？
追问2.用a.b,c 表示，这里的h 和k 分别是什么?
(二) 画具体函数y=ax ²+k 图象，对比找规律
活动1.用描点法在同一坐标系中画出y=x ²、y=x ²+2、y=x ²-2 的图象.
步骤指导：
列表：
描点：
连线：
小组讨论问题：
（1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？
（2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？
（3）y=x ²+2、y=x ²-2 的图象可由y=x ²的图象如何平移得到？
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
活动2.画函数
图象观察图象性质
（1）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数
的图象，并分别指出它们的开口方
向、对称轴和顶点.
(2） 抛物线
与抛物线
有什么关系?
列表：
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
…
…
…
描点画图，.
观察图象：
(三)画函数y=ax ²+k 图象归纳总结性质
活动3.利用信息技术工具画函数y=ax ²+k 的图象(不妨令a 分别为
和
，改变k 的值，可以发现，随着
k 的变化，二次函数y=ax ²+k 的图象.
在向上或向下平移，即把抛物线y=ax ²向上(k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位长度，就得到抛物线
y=ax ²+k(如图).
师生归纳总结
1. 图象共性：y=ax ²+k 与y=ax ²图象形状、开口大小、开口方向、对称轴完全相同，对称轴均为y 轴（直
线x=0）.
2. 图象差异：顶点坐标不同，y=ax ²顶点为(0,0)，y=ax ²+k 顶点为(0,k).
3. 平移规律：上加下减，当k>0 时，y=ax ²+k 的图象由y=ax ²图象向上平移k 个单位；
当k<0 时，y=ax ²+k 的图象由y=ax ²图象向下平移|k|个单位.
函数y=ax ²+k 性质系统归纳：
开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下；
对称轴：直线x=0（y 轴）；
顶点坐标：(0,k)；
最值：a>0 时，x=0，
；a<0 时，x=0，
；
增减性：a>0，x<0 时，y 随x 增大而减小；x>0 时，y 随x 增大而增大；a<0 反之.
【自研自探】
自研课本P36-37 页内容
典型例题
例1.已知二次函数y=-3x ²+4
（1）说出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；
（2）说明该函数图象与y=-3x ²的图象的平移关系；
（3）当
时，比较
的大小.
第二环节 合作探究
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
讨论交流:
1. 讨论怎样画二次函数y=x ²的图象.
2. 讨论怎样画二次函数y=ax ²图象.
讨论二次函数y=ax ²图象的性质.
拓展提升：
1.在平面直角坐标系中，二次函数
的图象经过点
．
(1)求这个函数的表达式．
(2)当
时，
随
的增大而减小，求
的取值范围．
课本课堂练习（P38）.
1．（2026.盐城市期末）关于二次函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，函数的最大值是
B．开口向下，函数的最大值是
C．开口向上，函数的最小值是
D．开口向下，函数的最小值是
2．（2026.四平校考）关于二次函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为
C．当
时，y 随x 的增大而减小D．函数的最大值为
3．（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为
．
4．（2026.汕尾陆丰校考）已知二次函数
．
(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______；
(2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
…
…
…
…
(3)若该抛物线上两点
，
的横坐标满足
，则
_____
（比较大小）．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
知识技能:（1）二次函数y=ax ²+k 的图象是 ，对称轴为 ，顶点坐标 ；（2）a 决定 和 ，
决定抛物线的 和 ；(3）平移规律： （ ）；（4）掌握函数的 性、最值
的 ，能比较函数 .
思想方法:（1）数形结合思想：通过图象直观分析 ， 、 ；（2）类比迁移思想：类
比 ，推导y=ax ²+k 的性质；（3）从特殊到一般思想：通过具体 规律.
易错提醒:（1）混淆平移方向：牢记“ ”， ，不要记反；（2）忽略a 的作
用： ；（3）顶点坐标书写错误：y=ax ²+k顶点是 ，不是 ；（4）比较
函数值时，忘记利用对称轴转化 点，直接盲目判断，与a 的 无关.
