文档内容
专题 01 反比例函数
重点 用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质
难点 反比例函数中比例系数k的几何意义
易错 反比例函数解析式的条件忽略k≠0
一、反比例函数的概念
识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式 或变形形式xy=k（k是常数，
k≠0）， （k是常数，k≠0）进行筛选．
【例1】下列函数中， 是 的反比例函数的有（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】根据反比例函数的定义可得：
① ；② ；③ ；是反比例函数，
④ ；⑤ ；⑥ 不是反比例函数，
故选：B．
二、用待定系数法求反比例函数的解析式
确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数 中只有一个待定系数，因此
只需要一对对应的x，y值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
【例2】已知y与x成反比例函数，且 时， ，则该函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：∵y与x成反比例函数，
∴设 ，
把 代入 得 ，
所以该函数表达式是 ．
故选：C．
三、反比例函数的图象和性质
（1）对于反比例函数 ，因为x≠0，y≠0，所以它的图象不经过原点．反比例函数的图象由两
个分支组成，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限．
（2）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈反比例函数的增减性时，必须强调在“每一个象限
内”，不能笼统地说，“当k>0时，y随x的增大而减小”，这样就会出现与事实不符的矛盾．
（3）反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数太的符号决定的；反过来，由双曲线所在位
置和函数的增减性，也可以推断出k的符号．
【例3】函数 与y＝ax2﹣bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，
根据二次函数的图象可知a＜0，-b＜0，即b＞0，
∴函数y＝kx+b的大致图象经过一、二、三象限，
故选：D．
四、反比例函数 中比例系数k的几何意义
在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为
S；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S，则S=S．
1 2 1 2
【例4】如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O，各边分别与坐标轴平行，其中一边 交x轴于点C，
交反比例函数图象于点P．当点P是 的中点时，求得图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达
式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如下图所示，设矩形与y轴交于点D，
∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部
分的面积为8，
∴矩形 的面积是8，
设 ，则 ，
∵点P是AC的中点，
∴ ，设反比例函数的解析式为 ，
∵反比例函数图象于点P，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ．
故选：B．
一、单选题
1．下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A、 ，不符合一般式 ，故此选项错误．
B、 ，符合一般式 ，故此选项正确．
C、 ，不符合一般式 ，故此选项错误．
D、 ，不符合一般式 ，故此选项错误．
故选：B．
2．如果反比例函数 的图象位于第二、四象限，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
3．下列说法中不正确的是（ ）A．函数 的图象经过原点 B．函数 的图象位于第一、三象限
C．函数 的图象不经过第二象限 D．函数 的值随x的值的增大而增大
【答案】D
【详解】解：A、函数 的图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；
B、函数 的图象位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；
C、函数 的图象不经过第二象限，故本选项正确，不符合题意；
D、在每一象限内，函数 的值随x的值的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
故选：D
4．已知正比例函数 ，y的值随x的值的增大而减小，那么它和反比例函数 在同
一直角坐标平面内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵函数 中y随x的增大而减小，
∴ ，该函数图象经过第二，四象限；
∴函数 的图象经过第一、三象限，故C正确．故选：C．
5．反比例函数 上图象上有三个点 ，其中 ，则 的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵反比例函数 的图象在二，四象限，在每一象限内 随 的增大而增大，
而 ，
∴
∴
故选B．
6．如图，正比例函数 与反比例函数 的图像交于 、B两点，当 时，x的取值范
围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】解析： 正比例函数 与反比例函数 的图像交于 、B两点，
，
由图像可知，当 时，x的取值范围是 或 ，
故选：A．二、填空题
7．若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是
______．
【答案】 ##
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数 的图象在一三象限，在在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
8．反比例函数 的图象如图所示，点A在该函数图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，如果
，那么 ________．
【答案】
【详解】设 ，由 可知
，
所以
而点A在第二象限，
则 ，
因为点A是函数图象上的一点，
所以 ，则
故答案为： ．
三、解答题
9．已知 ， 与x成正比例， 与x成反比例，且当 时， ；当 时， ．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当 时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：（1）设 ，
则 ，
根据题意得 ，
解得 ．
所以y与x的函数表达式为 ．
（2）把 代入得， ．
10．如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于 ， 两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出 时，x的取值范围：
(3)求 的面积．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)8
【详解】（1） ， 在 的图象上，
，
反比例函数的解析式是 ．
．
， 在函数 的图象上，
，
解得： ．
则一次函数的解析式是 ．
所以一次函数的解析式是 ，反比例函数的解析式是 ；
（2）由图象得：当 或 时， ；
（3） 直线 与 轴相交于点 ，
的坐标是 ．
．
一、单选题
1．已知反比例函数 的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵反比例函数 的图象位于第一、三象限，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
2．点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ， ， 中最小的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ ，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵ ， ， ， 在反比例函数 图象上，且1＜2＜3＜4，
∴ 最小．
故选：D．
3．对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【详解】解：A、 ，点 不满足关系式，因此A选项不符合题意；
B、 ；
它的图象在第二、四象限，因此 选项不符合题意；
C、 ；
它的图象在第二、四象限，当 时， 随 的增大而增大，因此C选项不符合题意；
D、 ；它的图象在第二、四象限，当 时， 随 的增大而增大，因此D选项符合题意．
故选：D．
4．函数 与函数 在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 函数 的图像经过点 ，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知： ，
反比例函数 的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系内，正方形 的顶点A，B在第二象限内，且点A，B在反比例函数
的图象上，点C在第三象限内．其中，点A的纵坐标为3，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点A作 轴于E，过点B作 轴，交 于F，∵ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵点A，B在反比例函数 的图象上，点A的纵坐标为3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
解得 （正数舍去），
∴
故选B．
6．定义：一次函数 的特征数为 ．一次函数 的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数 的图像交于点A，B．若点A，B关于原点对称，则一次函数 的特征数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将一次函数 向上平移3个单位长度后得到 ，
设
联立
，
是方程的两根，
，
又 ， 两点关于原点对称，
，
根据定义，一次函数 的特征数是
故选：C．
7．如图，点 是反比例函数 图像上的一动点，连接 并延长交图像的另一支于点 ．在点 的运
动过程中，若存在点 ，使得 ， ，则 ， 满足（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】解：连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图所示：
由直线 与反比例函数 的对称性可知 、 点关于 点对称，
，
又 ， ，
， ，
， ，
，
又 ， ，
，
， ，
点 ，
， ，
， ，
，
点 是反比例函数 图像上，
，即 ，
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，2），点B在x轴正半轴上，点D
在第三象限的双曲线 上，过点C作CE x轴交双曲线于点E，则CE的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设点 ，
如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于
点N，
∵∠GDC+∠DCG=90°，∠GDC+∠HDA=90°，
∴∠HDA=∠GCD，
在△DHA和△CGD中，
，
∴△DHA≌△CGD(AAS)，
∴HA=GD，DH=CG，
同理可证得△ANB≌△DGC(AAS)，
∴AN=DG=2=AH，则点 G，CG=DH，
AH=−1−m=2，解得：m=−3，
故点G(−3,−7)，D(−3,−5)，H(−3,2)，则点 ， ，DH=5+2=7，
，
故选：C．
二、填空题
9．如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴于点B，点C在x轴上，且 ， 的面
积为2，则m的值为______．
【答案】
【详解】解：设 ，则 ，
∵ 的面积为2，
∴ ，
∵
解得： ．
故答案为： ．
10．在反比例函数 中，已知四边形 与四边形BOFE都是正方形，则点C的坐标为_________．
【答案】【详解】解：设 ，则点 ，点 ，
∵反比例函数 的图像过点 ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
或 （舍去）或 （舍去）
∴ ， ，
故点C的坐标为 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．已知反比例函数 ，当 时， .
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当 且 时，求自变量x的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）解：∵反比例函数 ，当 时， .
∴
∴ ,
（2）当 时， ，∵ 的图象在第二、四象限，
∴当 且 时， 或 ．
12．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设点 是反比例函数 图象上的两个点，若 ，试比较 与 的大小；
(3)求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)6
【详解】（1）解：（1）将点 代入反比例函数 ，
得 ，
∴反比例函数解析式： ，
将点 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
将A，B点坐标代入一次函数 ，得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式： ；
（2）∵ ，
，
∴图象过二，四象限，在每一个象限内， 随 的增大而增大，
若 ，
分三种情况：
① ，
② ，
③ ；
（3）设一次函数与y轴的交点为D，则D点坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为6．
13．如图，直线 经过点 ，交反比例函数 的图象于点 ．(1)求k的值；
(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作 轴交线段AB于点C，连接
AD，求 的面积的最大值．
【答案】(1)8
(2)
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴直线的函数表达式为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
把 代入反比例函数 ，得 ．
（2）解：设点C的坐标为 ，
由于 轴，所以点D的纵坐标为 ，
∴点 ，
∴ ，
∴当 时， ，
答： 的最大值为 ．14．如图，函数y＝ （x＞0）的图像过点A（n，2）和B（ ，2n−3）两点．
(1)求n和k的值；
(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝ （x＞0）于点C，若
＝6，求直线DE解析式；
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点
F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 或 ．
【详解】（1）解： 函数 （x＞0）的图像过点A（n，2）和B（ ，2n−3）两点，
，
解得 ，
故n和k的值分别为4，8．
（2）解： ，
，直线OA的解析式为： ，
过点C作 轴于点G，交直线OA于点H，设 ，
，
，
，
或 （不符合题意舍去）
，
，
设直线DE的解析式为： ，
点C在直线DE上，
即 ，
直线DE的解析式为： ．
（3）解：根据题意，分三种情况进行讨论：
①以DE为直角边，D为直角顶点；
如图，过F做 轴于点K，易知： ，
，
，
又 ，
，又FD=DE，
，
FK=DO=6，KD=OE=3，
故点D到点F的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点 坐标，
，且F在第二象限，
即 ；
②以DE为直角边，E为直角顶点；同①理，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得；
③以DE为斜边边时．同理，将ED中点 向左移 个单位，向上移3个单位得点F坐标，得
；
综上所述，点F的坐标为： 或 或 ．
