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专题 02 实际问题与反比例函数
重点 利用反比例函数知识解决实际问题
难点 反比例函数与其他学科的综合问题
易错 忽略实际问题中自变量的取值范围
一、几何问题与反比例函数
当问题中设计几何问题时，可根据其图形建模，构造反比例函数解析式，并运用其性质解决问题，但要注
意自变量的取值范围．
【例1】如图，△ABC的边BC＝y，BC边上的高AD＝x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图像大致是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】. 的面积为3，
则
即
函数图像是双曲线
该反比例函数图像位于第一象限，
故选A
【例2】如果矩形的面积为15cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表示大致是（）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由矩形的面积公式可得xy=15，
∴y= （x＞0，y＞0）．图象在第一象限．
故选：C．
二、跨学科问题与反比例函数
跨学科问题中常见的反比例关系：
1．压力一定时，压强与受力面积成反比例．
2．当功率一定时，力与速度成反比例．
3．当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例．
4．当电压一定时，电流强度与电阻成反比例．
【例3】两个物体A，B所受的压强分别为 ， （都为常数）．它们所受压力F与受力面积S的函数关系
图象分别是射线 、 ，已知压强 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解∶观察图象得：当受力面积S相同时，射线 位于 的上方，即 ，∵ ，
∴ ．
故选：B
【例4】如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实
现，如图2是该台灯的电流 与电阻 成反比例函数的图象，该图象经过点 ．根据图象
可知，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B． I与R的函数关系式是
C．当 时，
D．当 时，I的取值范围是
【答案】D
【详解】解∶设电流 与电阻 的函数关系式为 （R＞0），
把点 代入得： ，解得： ，
∴I与R的函数关系式是 ，故B错误；
∴I随R的增大而减小，
当R=0.25时，I=880，
∴当 时， ，故A错误；
当R=1000时，I=0.22，∴当 时， ，故C错误；
当R=880时，I=0.25，
∴当 时，I的取值范围是 ，故D正确；
故选：D
一、单选题
1．市一小学数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示，设矩形的宽为
xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图象大致是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵xy=200
∴y= (x>0，y>0)
故选A．
2．已知甲、乙两地相距40米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速
度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（ ）
A．t＝40v B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得：vt＝ ，
，
故选：B．
3．某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的
数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】由题意得： ，
即 ，
故选：D．
4．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例函数关系，如图所示，则眼镜度数y与
镜片焦距x之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设 ，
由于点 在此函数解析式上，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率
（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值） 与该校参加竞赛人数 的情况，其中描述乙、丁两所学校
情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是
（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为
，则令甲 、乙 、丙 、丁 ，
过甲点作 轴平行线交反比例函数于 ，过丙点作 轴平行线交反比例函数于 ，如图所示：
由图可知 ，
、乙 、 、丁 在反比例函数 图像上，
根据题意可知 优秀人数，则
① ，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
② ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③ ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数 乙学校优秀人数 丁学校优秀人数 丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．6．为做好疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量
与时间 成正比例，喷雾完成后y与x成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于
时，对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是（ ）
A．每立方米空气中含药量从 上升到 需要
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是
C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成 后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于 的持续时间为
【答案】C
【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为 由题意得：
∴此阶段函数解析式为
设喷雾结束后函数解析式为 由题意得：
∴此阶段函数解析式为
A.在喷雾阶段，当 时， 当 时， 共需要 ，故此选项不符合题意．
B.每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 故此选项不符合题意．C.喷雾结束后，当 时， 为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成 后学生才能进入教室，
故此选项符合题意．
D.在喷雾阶段，当 时， 在喷雾结束后，当 时， 所以每立方米空气中含药量不低于
的持续时间为 故此选项不符合题意．
故选：C．
二、填空题
7．科学发现，若气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （单位：kPa）是关
于气体体积 （单位： ）的反比例函数，如图所示的是恒温下某气球（充满气）的气压与体积的函数
图象．当气体体积为 时，气压是______kPa．
【答案】100
【详解】解：设该反比例函数的解析式为P= ，
由题意得图象过点（1，200），
∴k=1×200=200，
∴ ，
当V=2时，P=200÷2=100，
故答案为：100．
8．在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x
（单位：cm2）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于1cm2时，面条总长度大于
______cm．【答案】128
【详解】解：由题意可以设y＝ ，
把（4，32）代入得：k＝128，
∴y＝ （x＞0）．
∴x＝ ，
∵x＜1，
∴ ＜1，
∴y＞128，
∴面条总长度大于128cm．
故答案为：128．
三、解答题
9．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生
的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中 为线段， 为双曲线的一部分）．
(1)线段 函数关系式是 ，双曲线 的函数关系式是 ．
(2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适
当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？
【答案】(1) ，
(2)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题
【详解】（1）解：设线段 函数关系式为 ，
把点 和 代入得：，
解得： ，
∴线段 函数关系式为 ；
设双曲线 的函数关系式是 ，
把点 代入得： ，
解得： ，
∴双曲线 的函数关系式是 ；
（2）解：当 时，对于 ，有
，解得： ，
对于 ，有
，
解得： ，
∴学生注意力达到所需状态的时间为 ，
∵ ，
∴教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．
10．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 的反比例
函数，其图像如图所示．(1)求这个函数的解析式；
(2)当气体体积为 时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
【答案】(1)
(2)气压是
(3)为了安全起见，气体的体积应不少于
【详解】（1）解：设 ，
将点 代入，得 ，
，
即这个函数的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
即当气体体积为 时，气压是 ；
（3）解：当 时， ，
所以为了安全起见，气体的体积应不少于 ．
一、单选题
1．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关
于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：根据题意有：v•t＝s，
∴ ，
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像在第一象限，故C正确．
故选：C．
2．现有一水塔，水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x(m3)，则要经过y(h)就可以把水放完该
函数的图像大致应是下图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x（m3），则要经过y（h）就可以把水放
完，
∴y= ，
∴x与y成反比例，四个选项中只有C是反比例函数的图象．
故选：C．
3．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水
温 （℃）与通电时间 成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时
接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为
【答案】D
【详解】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为： ＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为 ，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是 ，
故B选项不合题意；
令y＝20，则 ，
∴x＝40，
即饮水机每经过40 min，要重新从20℃开始加热一次，
从8点到9：30，所用时间为90 min，
而水温加热到100℃，仅需要8 min，
故当时间是9：30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10 min，
令x＝10，则 ℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为： min，
令y＝30，则 ，
∴ ，
∴水温不低于30℃的时间为 min，
故D选项符合题意；故选：D．
4．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对
湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强p（ ）随着木板面积S（ ）的变化而变化，如果人和木板
对湿地地面的压力合计 ，那么下列说法正确的是（ ）
A．p与S的函数表达式为 B．当S越来越大时，p也越来越大
C．若压强不超过 时，木板面积最多 D．当木板面积为 时，压强是
【答案】D
【详解】解：由于物体受到的压力=压强×受力面积，
∵F=600，
，
∴p、S成反比例函数关系，
A、由压强公式可得 ，故选项不正确，不合题意；
B、因为 ，所以在每个象限内，P随S增大而减小；
C、将 代入得 ，所以 ，因为在每个象限内，p随S增大而减小，所以
时， 故选项不正确，不合题意；
D、当 时，代入解析式得∶ （ ）故选项正确，符合题意．
故选D．
5．如图，直角坐标系中，A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，B是y轴正半轴上一点，以OA，
AB为邻边作 ABCO．若点C及BC中点D都在反比例函数y＝ （k＜0，x＜0）图象上，则k的值为（
▱
）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【答案】C
【详解】如图，连接AC，交OB于E，设A点坐标为（a， ），
∵四边形OABC是平行四边形，OB、AC是对角线，
∴CE=EA，
∵E点在y轴上，
∴E点横坐标为0，
∴C点横坐标为-a，
∵C点在y= (k<0，x<0)图象上，
∴C点坐标为(-a， )，
∴E点坐标为（0， ），
∵E为OB中点，
∴B点坐标为（0， ）
∵D为BC中点，
∴D点坐标为（ ， ）
∵D点在y= (k<0，x<0)图象上，
∴k=( ) = ，
解得：k=-6故选C.
6．如图，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，反比例函数y= （k≠0）的
图象的一个分支与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩
形OGHF和矩形HDBE的面积分别是2和5，则k的值是（ ）
A．7 B． C．2+ D．10
【答案】C
【详解】设D（t， ），
∵矩形OGHF的面积为2，DF⊥x轴于点F，
∴HF= ，
∵EG⊥y轴于点G，
∴E点的纵坐标为 ，
当y= 时， = ，解得x= kt，
∴E（ kt， ），
∵矩形HDBE的面积为5，
∴（ kt﹣t）•（ ﹣ ）=5，整理得，（k﹣2）2=10，
∵k＞0，
∴k= ．
故选C．
二、填空题
7．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中
药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当 时，y与x成反比）.
则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________小时
【答案】
【详解】解：当 时，函数为正比例函数，设： ，
∵函数经过点 ，
∴ ，即 ，
∴当 时， ，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即 时，
∴ ，
当 时，函数为正比例函数，设： ，
∵函数经过点 ，
∴ ，即 ，
∴当 时， ，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即 时，
∴ ，
∴根据图象可以判断出：当 时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，∴持续时间为 ，
故答案为： ．
8．如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．
（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 _____（不写自变量取值范
围）；
（2）当y≥4m时，x的取值范围为 _____；
（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 _____m．
【答案】 y 1.2≤x≤3 1.6
【详解】解：（1）依题意得：xy＝12，
∴y ．
故答案为：y ．
（2）∵y ，k＝12，
当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵4≤y≤10，
即4 10，
∴1.2≤x≤3．
∴x的取值范围为1.2≤x≤3．
故答案为：1.2≤x≤3．
（3）当x＝7.5时，y 1.6；
当y＝7.5时， 7.5，
解得：x＝1.6．
∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m．故答案为：1.6．
三、解答题
9．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之
间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/张 20 15 12 10
(1)写出y关于x的函数解析式 ______；
(2)设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售
单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出
最大日销售利润．
【答案】(1)
(2)W＝60﹣ ，当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为48元 ．
【详解】（1）解：设 ，
把x＝3，y＝20代入 得 ，
解得k＝60，
∴ ．
（2）解：W＝（x﹣2）y＝（x﹣2）• ＝60﹣ ，
∵W随x增大而增大，x≤10，
∴x＝10时，W＝60﹣12＝48（元）为最大值，
∴当日销售价为10元时，最大日销售利润为48元．
10．某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种
电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系
如图，其中 段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；并求出年利润的最大值．
【答案】(1)
(2)当 时， ，当 时， ；年利润的最大值为144万元
【详解】（1）解：当 时，设 ，
将点 代入，得 ，
∴ ；
当 时，设 ，分别将点 ， 代入 ，得：
，
解得： ，
∴ ；
综上分析可知： ．
（2）解：当 时， ，
当 时，当 时，
∵ ，
∴w随x增大而增大，
∴当 时，w有最大值为 （万元），
当 时，
∵ ，
∴当 时，w有最大值为144万元．
∵ ，
∴年利润的最大值为144万元．
11．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的
函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此
项任务？
(3)工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需
调配几台挖掘机？
【答案】(1)
(2)该工程队需要20天才能完成此项任务
(3)最少还需调配4台挖掘机【详解】（1）解：设y= ，由图可知，点(24，50)在图像上，把(24，50)代入y= ，得50= ，解得：
k=1200，∴ ；
（2）解：∵该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，∴该工程队每天完成60米，将
x＝60代入 ，得y= ＝20(天),∴该工程队需要20天才能完成此项任务；
（3）解：5天后还剩1200－60×5＝900(米)900÷5－60＝120(米)120÷30＝4（台）∴最少还需调配4台挖掘
机．
12．某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻
与踏板上人的质量 之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定
值电阻 的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为 ，然后把 代入相应的关系
式，该读数就可以换算为人的质量 ，
知识小链接：①导体两端的电压 ，导体的电阻 ，通过导体的电流 ，满足关系式 ；②串联电路
中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求可变电阻 与人的质量 之间的函数关系；
(2)用含 的代数式表示 ；
(3)当电压表显示的读数 为0.75伏时，求人的质量 ．
【答案】(1)(2)
(3)70
【详解】（1）解：设可变电阻 与人的质量 之间的函数关系为 ，
把（0，260），（130，0）代入 得，
，
解得 ，
可变电阻 与人的质量 之间的函数关系为 ；
（2）由题意得，可变电阻两端的电压之和=电源电压-电表电压，
即可变电阻两端的电压之和 ，
，串联电路中电流处处相等，
，
定值电阻 的阻值为40欧， ，
，
整理得 ；
（3）当 时，
.
