文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
26.2.3 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质（第二课时 总结提升与
综合应用复习）
（导学案）
(1)系统熟记二次函数一般式全套图象与性质，精准掌握a、b、c 对抛物线的影响；能熟练用配方法、公式
法解决图象符号判断、含区间限定最值、多点函数值比较、参数分析等高阶综合问题，规避常见易错点.
(2)通过体系梳理、拔高典例探究、错题复盘，提升知识归纳能力、数形结合分析能力、分类讨论推理能
力，掌握二次函数中档综合题的解题思路与答题规范.
(3)通过知识整合构建完整知识体系，突破中档难点题型，消除畏难心理，提升解题自信心；培养严谨的
数学思维、规范的答题习惯，养成复盘纠错的学习意识.
重点:二次函数y=ax ²+bx+c(a≠0)图象与性质的综合拔高应用；由a、b、c、△的符号判断抛物线图象特
征，由图象特征反推系数符号；闭区间内动态最值问题、多点函数值大小比较高阶方法.
难点：对称轴在区间内外、区间内部的分类最值讨论；利用“点到对称轴的距离”比较任意多点函数值大
小；数形结合双向推理的综合应用.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习回顾：（1）二次函数一般式配方的关键步骤是什么？
（2）对称轴、顶点坐标公式是什么？
（3）比较抛物线上两个点的函数值，除了代入计算，有没有更快捷的方法？
【学法指导】
新知自研：自研课本第44-45 页的内容
【学法指导】自研课本P44-45 页内容
（一）二次函数解析式的确定
根据二次函数解析式的一般式、顶点式等特点，用待定系数法求抛物线解析式．
问题1：已知抛物线
经过
，
，两点，求抛物线的解析式．
（二）系数与图象的对应关系
结合图象系统归纳核心规律：
1. a：开口方向、开口大小；
2. a、b（左同右异）：对称轴位置；
3. c：y 轴截距.
问题2.如图，在直角坐标系中，已知函数
．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)完成以下列表：
…
0
1
2
3
4
…
…
…
(2)画出这个函数的图象；
(3)观察图象，写出图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴．
（三）二次函数的综合应用
二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象性质的综合应用.
问题3.已知抛物线
经过点
，
．
(1)求
，
的值；
(2)若
是抛物线上的点，求
的值．
（四）二次函数的实际应用
建立合适的平面直角坐标系，转化为二次函数型问题.
问题4.一座拱桥的示意图如图2 所示，当水面宽为16 米时，桥洞顶部离水面4 米．已知桥洞的拱桥是抛物
线，请尝试解决以下问题：
(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；
(2)由于暴雨导致水位上涨了2 米，求此时水面的宽度；
(3)已知一艘货船的高为
米，宽为
米，其截面如图3 所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水
面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到
）
自研课本P42-43 页内容
典型例题
例1：已知抛物线的顶点是
，且经过点
，求该抛物线的函数解析式．
例2.已知二次函数y=-x ²+2x+3，完成下列问题：
（1）将函数化为顶点式，写出对称轴、顶点坐标；
（2）判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点个数；
（3）当0≤x≤3 时，求函数的最大值和最小值；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（4）若点A(1,
)、B(2,
)在抛物线上，比较
、
的大小.
例3.阅读材料：设二次函数
，
的图象的顶点坐标分别为
，
，若
，
，且开口
方向相反，则称
是
的“问真二次函数”．
(1)请写出二次函数
的一个“问真二次函数”．；
(2)已知关于x 的二次函数
和二次函数
，若函数
恰是
的“问真二次
函数”，求a 的值．
例4.如图，在
中，
，
，
．点
从点
出发，以
的速度沿
运动；同时，点
从点
出发，以
的速度沿
运动．当点
到达点
时，
、
两点同时停止运动．
设动点运动的时间为
．
(1)试写出
的面积
与
之间的函数表达式；
(2)当为何值时，
的面积最大？最大面积是多少？
第二环节 合作探究
讨论交流:
1. 讨论怎样画二次函数解析式的求法.
2. 讨论二次函数 y=ax ²+bx+c 的图象和性质及综合应用.
3. 讨论如何将实际问题转化为二次函数型问题.
拓展提升：
1.如图，已知女排球场的长度
为
米，位于球场中线处的球网
的高度
米，一队员站在点
处
发球，排球从点
的正上方
米的
点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至
离点
的水平距离
为米时，到达最高点
，以
为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)写出
点坐标___________；
点坐标___________．
(2)若排球运行的最大高度为米，求排球飞行的高度
（单位：米）与水平距离
（单位：米）之间的函
数关系式（不要求写自变量
的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．
1．已知抛物线
．
(1)用配方法将
化成
的形式；
(2)写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2 中，x 与y 的几组对应值如表所示．
x
…
﹣2
0
1
…
y
…
﹣2
﹣2
1
…
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，当0≤x≤3 时，若图象对应的函数最大值与最小值
的差为5，请直接写出n 的值．
2．（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a 为常数）经过点（1，0）．
（1）求a 的值．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）过点A（0，t）与x 轴平行的直线交抛物线于B，C 两点，且点B 为线段AC 的中点，求t 的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x 轴平行的直线l1，l2之间．若
直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m 的最大值．
3．（2026·江门校考期中）如图，在
中，
，
，
，点
从
出发
沿
向
点以1 厘米/秒的速度匀速移动；点
从
出发沿
向
点以2 厘米/秒的速度匀速移动．点
、
分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为秒．
(1)填空：
_______，
_______．
(2)当为何值时，
的面积等于
？
(3)当为何值时，
的面积最大．
知识技能:（1）熟练完成 与 互化，熟记核心公式；（2）掌握 ；（3）掌握
区间 ；（4）掌握 值.
思想方法:（1）数形结合：以 、以 ；（2）分类讨论： ；（3）模型思想：
固化 模板.
易错提醒:（1）区间最值必须对比
点
，不能只看 ；（2）开口 ，距离对称
轴 ；（3）配方提取系数后，常数项 .
