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专题 26.1 反比例函数
1.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式;
2.能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式 探索并理解 和 时,图象的变化情况;
并能运用反比例函数的性质解决相关问题;
3.掌握反比例函数中的比较大小问题,能根据一个变量的取值范围确定另一个变量的取值范围
一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即
，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变
量 的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取值范围是
，函数 的取值范围是 ，故函数图象与 轴、 轴无交点；
（2） 可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是 ，在解决有关自变量指数问
题时应特别注意系数 这一条件.
（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到
反比例函数的解析式.
二、反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图象及性质
反比例函数的图象是双曲线
图象
（1）图象分别位于第二、四象限；
（1）图象分别位于第一、三象限；
性质 （2）在每个象限内， 值随 值的增大而增
（2）在每个象限内， 值随 值的增大而减小
大
对称性 反比例的图像关于原点的对称
2.画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写 值时，
只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连
接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐
标轴相交考点01反比例函数的定义及辨析
例1．下列函数中，变量 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数，根据定义解题即可．
【详解】解：A． 是正比例函数，故本选项不符合题意．
B． 此项变量 是 的反比例函数，故本选项不符合题意．
C． 可变形为 是反比例函数，故本选项符合题意．
D． 是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
变式1-1．已知函数 是反比例函数，则 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的解析式 ，得 ，且 ，求解即可．
【详解】解：由题意得： ，且
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如 ，则y叫x的反比例函数，熟练掌握反
比例函数解析式三种形式 ， ， 是解题的关键．
变式1-2．若 是反比例函数，则此函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义先求出 的值，再求出函数解析式．【详解】解：∵ 是反比例函数，
∴ ，
解得： ，
∴此函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 转化为 的形式．
变式1-3．下列函数：① ；② ；③ ；④ ．其中y是x的反比例函数的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数的识别，形如 ，这样的函数是反比例函数，根据定义逐一
分析即可．
【详解】解：y是x的反比例函数的有 ．
故选A
考点02待定系数法求反比例函数
例2．已知反比例函数的解析式 ，并且当 时， ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当 时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求函数值．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）把 代入解析式求 值即可．【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式 ，并且当 时， ，
∴ ；
∴ ；
（2）当 时， ．
变式2-1．在如图所示的网格中（每个小正方形的边长为1），以点O为原点作平面直角坐标系，则与P不
在同一反比例函数 图像上的是点 其中 ， ， ， ，
【答案】B
【分析】先求出点P所在反比函数图象的k值，再依次求出A、B、C所在反比例函数图象的k值，即可解
答．
【详解】解：把 代入 得：
把 代入 得： ，
故点A与点P在同一反比例函数图象上，
把 代入 得： ，
故点B与点P不在同一反比例函数图象上，
把 代入 得： ，
故点C与点P在同一反比例函数图象上，
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤．
变式2-2．反比例函数 的图象经过点 ，则k的值是（ ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将 代
入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．
【详解】解：把点 代入 ，得：
，
解得， ．
故选：D．
变式2-3．如图，直线 与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ，过点 作
轴于点 ， ，求反比例函数的解析式．
【答案】
【分析】先求出点 的坐标，然后表示出 、 的长度，根据 ，求出点 的横坐标，代入直
线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可．
【详解】解：∵直线 与 轴交于点 ，
当 时，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴点 的横坐标为 ，∵点 在直线 上，
∴点 ，
将 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式 ．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点 的横坐标并求出纵坐标是解
题的关键．
考点03判断（画）反比例函数的图象
例3．反比例函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数 ，当 时，
图象位于第一象限和第三象限；当 时，图象位于第二象限和第四象限．根据反比例函数的图象和性质
即可进行解答．
【详解】解： ，
，
反比例函数 的图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限，故选：B．
变式3-1．在下图中，画出反比例函数 的图象．
【答案】见解析
【分析】根据列表描点连线画函数图象即可．
【详解】解：列表如下：
... ...
... 1 2 4 ...
反比例函数 的图象如下．
【点睛】本题考查了画反比例函数图象，掌握描点法画函数图象的方法是解本题的关键．
变式3-2．若反比例函数 的图象经过点 ，则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一二象限 B．第一三象限 C．第二三象限 D．第二四象限
【答案】B【分析】根据图象过点 ，求出 值，进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴双曲线过一、三象限；
故选B．
【点睛】本题考查判断反比例函数图象所经过的象限．解题的关键是求出 值，熟练掌握反比例函数的性
质．
变式3-3．若函数 和函数 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵
轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数 的取值分析即可得到答案．
【详解】解： ，
的图象在第一象限， 的图象在第二象限，
，
函数 的图象更靠近坐标轴，
坐标系的纵轴是： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．考点04反比例函数与其余函数图象问题
例4．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k的符号对函数图象的影响
是解题的关键．
【详解】解：①当 时， 过一、三、四象限； 位于一、三象限；
②当 时， 过一、二、四象象限； 位于二、四象限．
观察图形可知，只有D选项符合题意．
故选D．
变式4-1．在同一平面直角坐标系xOy中，函数 和 的图象大致是（ ）A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】分 和 两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】解： 时，一次函数 的图象经过第一、二、四象限，反比例函数 的两个分支
分别位于第二、四象限，无选项符合；
时，一次函数 的图象经过第一、二、三象限，反比例函数 的两个分支分别位于第一、
三象限，A选项符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．
变式4-2．函数 与 在同一坐标系的图象是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象，分类讨论：当 时，则 ，当 时，
则 ，得出反比例函数的图象及二次函数的图象，进而可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论的
思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当 时，则 ，
反比例函数图象经过一、三象限，二次函数开口向下，且与y轴交于正半轴，
当 时，则 ，反比例函数图象经过二、四象限，二次函数开口向上，且与y轴交于负半轴，
则满足条件的图象为： ，
故选B．
变式4-3．函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】先根据抛物线顶点排除A、C，然后根据函数 图象得到 的正负，再与二次函数
的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由函数 可知抛物线的顶点为 ，故A、C不合题意；
B、由抛物线可知， ，由双曲线可知， ，故B不合题意；
D、由抛物线可知， ，由双曲线可知， ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象，反比例函数的图象，熟记反比例函数与二次函数的有关性质是解题的
关键．
考点05已知图象求解析式或参数
例5．如图是三个反比例函数 ， ， 在y轴右侧的图象，则 ， ， 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图象经过的象限可得 ， ， ，当 时，由图象可得 ，即 ，进而可求解．
【详解】解：由题意得： ， ， ，
当 时， ，即 ，
，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键．
变式5-1．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 和 两点，若 ，
则 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式 > 的解集.
【详解】根据题意，将 代入 中得 ，故 ，将 代入 中得n=2，所以
由图象可知，当 x＞2或-6＜x＜0时，y>y，
1 2
当x＜-6或0＜x＜2时，y>y，
2 1
故答案为：-6＜x＜0或x＞2.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、灵活运用
数形结合思想，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集，是解题的关键．
变式5-2．如图，下列解析式能表示图中变量 之间关系的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．
【详解】解：根据反比例函数的图象可得：
第一象限所对应的关系式为： ，第四象限所对应的关系式为： ，
与 的关系式为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象．
变式5-3．如图，是反比例函数 在第二象限的图象，则 的可能取值是（ ）
A．2 B．-2 C． D．-
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的图象判断出k的符号，再根据x=-1时，y＜1即可判断出k的取值范围，找出
符合条件的k的值即可．
【详解】∵反比例函数y＝ 的图象在第二象限，
∴k＜0，故可排除A、C；
∵x=-1时，y＜1，∴ ＜1，
∴k＞-1，故可排除B．
故选D．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象，即当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k＜0，
双曲线的两支分别位于第二、第四象限．
考点06反比例函数图象的对称性
例6．如图，直线 与双曲线 交于 两点，过点 作 轴，垂足为点 ，连接 ，
若 ，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】根据题意可得 ，则 ，进而根据 的几何意义，即可求解．
【详解】解：∵直线 与双曲线 交于 两点，
∴ 关于原点对称，则 ，
∴ ，
∴ ，
反比例函数图象在二、四象限，
∴ ，
∴ ，
故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称， 的几何意义，熟练掌握反比例函数
的几何意义是解题的关键．
变式6-1．如图，正比例函数 （ ）与反比例函数 的图象交于点 和点 ．求点
的坐标．
【答案】
【分析】把 代入反比例函数解析式可得点A坐标，然后根据点 和点 关于原点对称可得点 的
坐标．
【详解】解：把点 代入 得： ，
∴ ，
∵正比例函数 （ ）与反比例函数 的图象交于点 和点 ，
∴点 和点 关于原点对称，
∴ ．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握正
比例函数与反比例函数图象的中心对称性是解题的关键．
变式6-2．校考二模）在直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于A、B两点，已知A
点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请根据图象直接写出 的解．【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）先求出点A的坐标，再用待定系数法求解反比例函数表达式即可；
（2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点对称的中心对称图形，得出点B的坐标，再根据图象，
找出正比例函数图象低于反比例函数图象的部分即可．
【详解】（1）解：把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴反比例函数的表达式为： ；
（2）解：∵ 和 都是关于原点对称的函数，
∴点A和点B关于原点对称，
∴ ，
由图可知：当 或 时， ．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是掌握正比例函数图象上点的坐标特
征，用待定系数法求解反比例函数表达式的方法和步骤，以及根据图象写出不等式解集．
变式6-3．若一次函数 的图像与反比例函数 的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两函数图象的一个交点横坐标为2，将 代入正比例求得 ，则正比例函数与反比例函数
交点 ，利用反比例函数的中心对称性即可求得另一个交点的坐标．
【详解】解： 一个交点的横坐标为2，
将 代入 得： ，
交点为 ，
反比例函数 与正比例函数 的图象的一个交点为 ，
另一个交点为 ．故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，求得第一个交点
坐标是解题的关键．
考点07反比例函数图象的增减性
例7．若反比例函数 的图象在每个象限内随着 的增大而增大，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出关于m的不等式及方程，求出m的值即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象在每个象限内随着x的增大而增大，
∴ 且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质及反比例函数的图象与系数的关系，根据题意得出关于m的不等
式及方程是解题的关键．
变式7-1．已知点 与点 在反比例函数 的图象上，( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征研究反比例函数的性质即可判断．
【详解】解：A、若 ，则反比例函数 的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减
小，
∵ ，
∴ ，
∴点 与点 在第一象限，
∴ ，故选项A错误；
B、若 ，则反比例函数 的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵ ，∴ ，
∴点 与点 在第三象限，
∴ ，故选项B错误；
C、若 ，则反比例函数 的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
∴点 在第二象限，
∴ ，不合题意，故选项C错误；
D、若 ，则反比例函数 的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
∴点 在第二象限，点 在第四象限，
∴ ，
∴ ，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
变式7-2．若点 和 在 的图象上，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质和增减性，结合点的横纵坐标的大小关系，得到关于 的不等式组，解之
即可.
【详解】∵ ，
∴ 图象在第一、三象限，且在每一个象限， 随 的增大而减小，
∵ ，∴（1）如图，
有 ，解得： ，
（2）如图，不符合题意，
（3）如图，
有 ，解得： ，
∴综上所述： 的取值范围是 或 ，故选： ．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键正确掌握反比例函数的性质和增减性．
变式7-3．在反比例函数 中，当 时， 的最大值与最小值之差为4，则 值为（ ）
A．8 B．6或 C．6 D．5
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可．
【详解】解：当 时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴当 时，y有最大值 ，则当 时，y有最小值 ，
∴ ，解得 ；
当 时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设 时，y有最小值 ，当 时，有最大值 ，
∴ ，解得 ，
∴ 6或 ．
故答案为：6或 ．
【点睛】本题考查反比例函数的增减性、解一元一次方程等知识点，反比例函数的增减性，当 时，在
每个象限内y随x的增大而减小，当 时，在每个象限内y随x的增大而增大．
考点08比较自变量或函数值的大小
例8．若点 、 、 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数中 判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得
出结论．
【详解】解：∵反比例函数 中 ，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
，∴点 位于第三象限，
，
，
∴点 、 位于第一象限，
．
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
变式8-1．若 ， 都在函数 的图像上，且 ，则 ．（填“ ”、
“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】可得当 时， ， 随着 的增大而减小，据此进行判断，即可求解．
【详解】解： ，
当 时， ，且y随着 的增大而减小，
，
，
故答案： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握性质是解题的关键．
变式8-2．点 都在反比例函数 （k为常数）的图象上，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵ ，
∴反比例函数的图象位于第一，三象限内，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵点 都在反比例函数 （k为常数）的图象上，
∴点 在第三象限内，点 在第一象限内，
∴ ， ，
∴ ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数 ，当 时，图象位
于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 时，图象位于第二、四象限内，在每一
象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
变式8-3．在反比例函数 （k为常数）有三点 ， ， ，若 ，
则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据偶次方的非负性，得 ，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．
【详解】解： ，
．
反比例函数 （k为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内， 随着 的增大而减
小；在第三象限内， 随着 的增大而减小．
，
， ，即 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．
考点09已知比例系数求特殊图形的面积例9．如图是反比例函数 和 在x轴上方的图象， 轴的平行线 分别与这两个函数图象交于
、 两点，点 在 轴上，则 的面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数系数 的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义求出
与 的面积，从而得出 的面积，最后运用平行线之间三角形“同底等高”面积相等的性质，即
可得到答案．掌握反比例函数系数 的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，
连接 、 ，设 交 轴于 ，
轴的平行线 分别与这两个函数图象相交于点 ， ，
轴，
点 、 在反比例函数 和 在 轴上方的图象上，
，，
轴,
与 “同底等高”，
，
故选：A．
变式9-1．如图，点A是反比例函数 的图象上一点， 轴交x轴于点B， ，
．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，过点A作 轴交y轴于点H，证明四边形 是
矩形，再证明 ，再根据四边形 的面积等于矩形 的面积，由反比例函数k
的几何意义即可得解．
【详解】解：如图，过点A作 轴交y轴于点H，
轴，
轴，
，
，
，四边形 是矩形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 的面积等于矩形 的面积，
点A是反比例函数 的图象上一点，
．
变式9-2．如图，直线 过原点分别交反比例函数 于 、 ，过点 作 轴，垂足为 ，则
的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数 的几何意义；通过反比例函数与一次函数交点关于原点成中心对称，得
到 与 相等，得到 与 面积相等，再通过反比例函数的几何意义得到 的面积等于
，即可得到结果．
【详解】解： 反比例函数与正比例函数的图象相交于 、 两点，、 两点关于原点对称，
，
，
又 是反比例函数上的点，且 轴于点 ，
的面积 ，
的面积
故答案为： ．
变式9-3．如图所示，过反比例函数 在第一象限内的图象上任意两点 ， ，分别作 轴的垂
线，垂足分别为 ， ，连接 ， ，设 与 的面积为 ， ，那么它们的大小关系是（
）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】主要考查了反比例函数 中 的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、
向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 是个定值，即 ．
【详解】解：依题意有： 和 的面积是个定值 ．
∴ ，
故选：B．
考点10根据图形面积求比例系数
例10．在平面直角坐标系中，反比例函数 的部分图象如图所示， 轴于点 ，点 在x轴上，
若 的面积为 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点
与原点，与坐标轴围成三角形的面积是 ．设反比例函数的解析式是： ，设A的点的坐标是 ，
则 ， ， ．根据三角形的面积公式即可求得 的值，即可求得k的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式是： ，设A的点的坐标是 ．
则 ， ， ．
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
则 ．
故答案是： ．
变式10-1．如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂
线交x轴于B，连接 ，若 的面积为3，则k的值为 ．【答案】3
【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，首先根据反比例函数 中k的几何意义可
得： ，再根据反比例函数的对称性可知： ，据此即可求出k的值．
【详解】解：由反比例函数 中k的几何意义得： ，由反比例函数的对称性可知：
，
∴ ，
∴ ，
反比例函数图象在一、三象限，
，
．
故答案为：3．
变式10-2．如图，四边形 是平行四边形， 在 轴上，点 在 轴上，反比例函数 的图
象经过第一象限点 ，且 的面积为 ，则 ＝（ ）．A．6 B．3 C．9 D．12
【答案】A
【分析】过点 作 于点 ，然后平行四边形的性质可知 ，进而可得矩形 的
面积与平行四边形 的面积相等，最后根据反比例函数 的几何意义可求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图所示：
，
四边形 是平行四边形，
，
，
（ ），
平行四边形 的面积为 ，
，
；
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比
例函数k的几何意义是解题的关键．变式10-3．如图，反比例函数 的图象分别交正方形 的边 于点 、 ，若 点坐
标为 ，若 是等边三角形，求 的值．
【答案】
【分析】证明 ，可得 ，从而得到 ，设 ，则 ，根据
勾股定理可得 ，从而得到点D的坐标为 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 点坐标为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ， ， 舍去，∴ ，
即点D的坐标为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方形和等边三角形
的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于
．本知识点是中考的重要考点．
基础过关练
1．下列关系式中表示 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义：形如 的函数叫反比例函数直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
是正比例函数， 是一次函数， 是二次函数， 是反比例函数，
故选：D；
【点睛】本题考查反比例函数的定义：形如 的函数叫反比例函数．
2．计划修建铁路1200km，则铺轨天数 与平均每天铺轨量 之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的应用．铺轨天数 铁路长 每日铺轨量，把相关数值代入即可得到 与之间的函数关系式．
【详解】解： 铺轨天数 铁路长 每天铺轨量，
，
故选：B．
3．已知 ， ， 都在双曲线 上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据题意得：反比例函数图象位于第一、三象限内，
再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：根据题意得：反比例函数的图象位于第一、三象限内，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，且点 位于第一象限内，点 、 位于第三象限内，
∴ ， ，
∴ ．
故选：C．
4．如图，在反比例函数 的图像上，有点 ， ， ， ，它们的横坐标依次为1，2，3，4．
分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ， ， ，若
，则 的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定
【答案】C【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，由题意可分别得四点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，
再由面积和为3建立关于k的方程，解方程即可求得k的值．
【详解】解：∵点 ， ， ， 在反比例函数 的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，
4，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
5．反比例函数 的图象有一支位于第一象限，则常数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象与系数的关系是解题的关键．由反比例
函数 的图象的一支位于第一象限，可得 ，即可求常数 的取值范围．
【详解】解： 反比例函数 的图象的一支位于第一象限，
故答案为： ．
6．如图，等腰 在平面直角坐标系中，点B的坐标为 ， ，点A在反比例函数
（ ， ）的图象上，则k的值为 ．【答案】12
【分析】过点A作 于点C，利用等腰三角形的性质求得 ，再利用勾股定理求得
，得到点A的坐标是 ，利用待定系数法即可求解．
【详解】解：过点A作 于点C，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标是 ，
∵点A在反比例函数 （ ， ）的图象上，
∴ ，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查反比例函数与等腰三角形的综合，利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐
标是解题关键．
7．已知反比例函数 ，当 时，y的最大值为 ．
【答案】 /【分析】对反比例函数 ，在 ， 随 的增大而减小，则在 时取得最大值．
【详解】解：当 时，反比例函数 的图象随 的增大而减小，
则 在 时取得最大值， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意 中 的取值．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的面积为 ，顶点A、C分别在x轴，y轴上，顶点B在第三
象限，对角线 交于点D．若反比例函数 的图象经过点D，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】设点 ，由矩形的面积可得 ；根据矩形的对角线互相平分可得 ，据
此即可求解．
【详解】解：设点
∵矩形 的面积为
∴
即：
∵对角线 交于点D．
∴
∵反比例函数 的图象经过点D∴
故答案为：
【点睛】本题考查求解反比例函数的比例系数．采用“设而不求”的数学思想是解题关键．
9．已知反比例函数 的图象经过点 ．
(1)求这个函数的表达式；
(2)点 ， 是否在这个函数的图象上？
【答案】(1)
(2)点 在反比例函数图象上，点 不在反比例函数图象上
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数 值几何意义，解题的关键是：
（1）待定系数法解出函数解析式即可；
（2）将点的纵横坐标乘积看是否等于 值即可判断．
【详解】（1）解： 在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为： ；
（2） ，
在反比例函数图象上，
，
不在反比例函数图象上．
10．如图，一次函数 是反比例函数 图象上的两点，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，线段 的延长线交 轴于点 ．(1)求 的值和该反比例函数的函数关系式．
(2)求 的面积．
【答案】(1) ，该反比例函数的函数关系式为
(2) 的面积为
【分析】（1）把 代入 ，可求出反比例函数解析，再把 代入反比例函数解析式即可求
解；
（2）运用代数系数法求出 所在直线的解析式，并求出 的坐标，可确定 的长，由此即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 得， ，解得 ，
∴反比例函数的函数关系式为 ，
把 代入 得， ，解得 ，
∴ ．
（2）解：设直线 的函数关系式为 ，把 ， 分别代入，
∴ ，解得， ，
∴直线 的函数关系式为 ，
当 时， ，即点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ 的面积为12．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，几何图形的面积计
算方法是解题的关键．
11．已知 是关于x的反比例函数．
(1)若 时，y随x的增大而减小，求m的值；
(2)若该反比例函数图象经过第二象限内点 ，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据反比例函数图象的性质解题即可；
（2）根据反比例函数图象的性质求出解析式，然后代入点的坐标解题即可．
【详解】（1）解：由题意可知 ，
解得 ．
（2）由题意可知 ，
解得 ．
即 ，
所以 ，
．
【点睛】本题考查反比例函数的定义和性质，掌握一般地,形如 (k为常数, )的函数叫反比例函数.
12．【问题】我们知道，反比例函数 的图象是双曲线，那么函数 的图象是怎样的？其图象与
函数 的图象有关系吗？
【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象．
(1)写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整．
①列表、取值（这里自变量x的取值范围是 ）x …… 0 2 3 4 5 6 7 ……
y …… m 6 3 2 1.5 n 1 ……
表格中 ， ．
②描点连线．
(2)认真观察图表，联想函数 的图象和性质，解答下列问题：
①函数 的图象是由函数 的图象向 平移 个单位长度得到的，其对称中心
的坐标是 ；
②写出函数 的增减性性质： ；
【应用】在上面的坐标系中画出函数 的图象，
利用你所画的图象，直接写出不等式 的解集： ．
【答案】(1)
；②图见解析
(2) 右 1 当 或 时，y随x的增大而减小 或
【分析】（1）①根据分式有意义的条件可求得自变量的取值范围，当 时和当 时，代入
即可求得m，n的值；②在坐标系内描点，再利用平滑的曲线连接即可．
（2）①当 时，将其代入 和 中求出x的值，再根据左右平移的规律即可求解；②由（1）
得 ，联立方程组 ，解得 或 ，进而可求得解集．
【详解】（1）解：①由题意得： ，解得： ，
自变量x的取值范围是 ；
当 时， ，
；
当 时， ，
；
故答案为： ； ； ；
②连线如图：
（2）①当 时，代入 得： ，代入 得： ，
，
函数 的图象是由函数 的图象向右平移1个单位长度得到的，由于 的对称中心的坐标是 ，
则 的对称中心的坐标是 ，
故答案为：右；1； ；
②由（1）得： ，
当 或 时，y随x的增大而减小，
故答案为：当 或 时，y随x的增大而减小；
由题意得： ，
解得： 或 ，
不等式 的解集为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、用描点法画函数图象、自变量，熟练掌握反比例函数的图
象及性质和作函数图象的基本步骤是解题的关键．
能力提升练
1．已知点 ， ， 在下列某个函数的图象上，则这个函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别把点 ， ， 代入各个函数进行验证判断即可．
【详解】解：A、当 时， ，当 时， ，
∴点 ， 不能同时在函数 图象上；
B、当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
∴有 ， ，此时， ，符合题意，
∴点 ， ， 可同时在函数 图象上；
C、当 时， ，当 时， ，
∴点 ， 不能同时在函数 图象上；
D、当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
∵若 ，则 ，
∴ ，不符合题意，
∴点 ， ， 不能同时在函数 图象上；
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与函数，会运用坐标代入法进行验证是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过 两点，则代数式
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 ， ，从而得到 ，进一步得到 ，代入变形
后的代数式即可求得．
【详解】解： 反比例函数 的图象经过 两点，
， ，
∴ ，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的
关键．
3．函数 的图像可以由 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信
息判断，下列直线中与函数 的图像没有公共点的是（ ）
A．经过点 且平行于 轴的直线
B．经过点 且平行于 轴的直线
C．经过点 且平行于 轴的直线
D．经过点 且平行于 轴的直线
【答案】D
【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断．
【详解】解：A、当y=2时， ，解得x= ，故直线y=2与函数 的图像有公共点；
B、当y=-3时， =-3，解得x=0，故直线y=-3与函数 的图像有公共点；
C、当x=-1时， ，故直线x=-1与函数 的图像有公共点；
D、分式有意义的条件是x≠1，∴函数 的图像与直线x=1没有公共点；
故选：D．
【点睛】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交点为
与B点．若C是y轴上的点，且满足 的面积为20，则C点坐标为 ．
【答案】 或
【分析】把 代入 与 求得函数的解析式，联立方程组求得 ，设 ，根据
面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：把 代入 得 ，
反比例函数的解析式为 ，
把 代入 得 ，
一次函数解析式为 ，
一次函数解析式为 与 轴的交点为 ，
解 得 ， ，
，
设 ，
的面积为20，
，
或 ，
或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积的计算，待定系数法求函数的解析式，
正确的理解题意是解题的关键．5．在平面直角坐标系 中，直线 与双曲 交于A，B两点，已知 ， ，
则方程 的根是 ．
【答案】 或
【分析】依据题意，由方程 的根就是直线 与双曲线 的交点的横坐标，进而可
以得解．
【详解】解：由题意，由方程 的根就是直线 与双曲线 的交点的横坐标，
又∵直线 与双曲线 的交点是 ， ，
∴方程 的根 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握一次函数、反比例函数与与对应方程
的根的关系是解题的关键．
6．如图， 已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点 ,点D是正比例函数
图象上的一点， 过点D作 轴的垂线， 垂足为Q ， 交反比例函数的图象于点A ，过点A 作 轴的
垂线， 垂足为B ， 交正比例函数的图于点E .当点D的纵坐标为9时，连接 ，则 的面积是
【答案】 /
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法
求函数解析式是解题的关键．
【详解】∵正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点 ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴正比例函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ；
当 时， 时，解得 ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
7．如图，反比例函数 （k为常数， ）与正比例函数 （m为常数， ）的图像交于
，B两点．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴正半轴上有一点 ， 的面积为6，求点C的坐标．
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）采用待定系数法，将点 代入反比例函数 与正比例函数 中，即可求出k，
m的值，从而得到它们的函数表达式；
（2）根据反比例函数图象的中心对称性质可得点B的坐标为 ，设点C坐标为 ，根据
，代入计算即可．
【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ．
∵正比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴正比例函数的表达式为 ．
（2）∵反比例函数 与正比例函数 的图象交于 ，B两点，
∴根据反比例函数图象的中心对称性质可得点B的坐标为 ，
设点C坐标为 ，
根据题意，有 ，
∴ ，
解得 ，
因为点在y轴的正半轴上，则 ,
∴点C的坐标为 ．
8．综合与探究：如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ，B两点，分别连接
．(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求出点B的坐标及 的面积；
(3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以 为直角边的直角三角形？若
存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在， 或
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）设 ，表示出 ，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：把 ，代入 ，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）联立 ，解得： 或 ，∴ ，
∵ ，当 时， ，
∴ ，
∴ ；
（3）存在，设点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点B，A，P为顶点的三角形是以 为直角边的直角三角形，
①当 为斜边时： ，解得： ；
②当 为斜边时： ，解得： ；
∴ 或 ．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理
等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
