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专题26.1 反比例函数
1.反比例函数：形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k
2.函数 （k是常数，k 0）的图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图
形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
k＞0 k＜0
3.函数 （k是常数，k 0）性质：
（1）x的取值范围是x 0，y的取值范围是y 0；
（2）当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。
（3）当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。
4.反比例函数解析式的确定：
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一
对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5.反比例函数中反比例系数的k几何意义：
如图，过反比例函数 图像上任一点 P作x轴、y轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形
PMON的面积S=PM PN= 。所以|k|的几何意义是：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，
∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝ （x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【例题2】如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=4/x的图象的交点，过A点作
AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为 ．
k
【例题3】如图，反比例函数 y= 的图象经过点A(－1，－2).则当 x＞1时，函数值 y的取值范围是
x（ ）
A. y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2
4
【例题4】若一次函数的图象经过反比例函数 y 图象上的两点（1，m）和（n，2），则这个一次函
x
数的解析式是 .
【例题5】如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点 P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为
3，则这个反比例函数的关系式是______．
【例题6】已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A． B． C． D．
【例题7】如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在直线AB的左侧作正方形
ABDC，反比例函数y＝ 的图象经过点D，则k的值是（ ）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
【例题8】如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．
一、选择题
1.若A（x，y）、B（x，y）都在函数y＝ 的图象上，且x＜0＜x，则（ ）
1 1 2 2 1 2
A．y＜y B．y＝y C．y＞y D．y＝﹣y
1 2 1 2 1 2 1 2
2．当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．k
3.已知点P（－1，4）在反比例函数y k 0的图象上，则k 的值是（ ）
x
1 1
A．－ B． C．4 D．－4
4 4
4.某反比例函数图象经过点 ，则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ）
1 ， 6
A． B． C． D．
3 ， 2 3 ， 2 2 ， 3 6 ， 1
1
5.对于反比例函数y ，下列说法正确的是（ ）
x
A．图象经过点（1，－1） B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时， y 随x的增大而增大
m2
6.若函数y 的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
x
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2
7.如图，某反比例函数的图象过点M（﹣2，1），则此反比例函数表达式为 （ ）
2 2 1 1
A. y B. y C. y D. y
x x 2x 2x
8.如图，l 是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且经过点A (1，2) ．l 关于x轴对称的图象为l，那么l
1 1 2 2
的函数表达式为（ ）
A．y＝(x＜0) B．y＝(x＞0) C．y＝－(x＜0) D．y＝－(x＞0)
9.在反比例函数y＝的图象上有A(x ，y)，B(x ，y)两点，当x ＜x ＜0时，y ＜y ，则m的取值范围是 （
1 1 2 2 1 2 1 2
）
A. m＜0 B. m＞0 C. m＜ D. m＞10. 已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
11.点A(－1，y)、B(2，y)都在双曲线y＝上，且y＞y，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－ D．m＜－
2 3
12. 如图，点A是反比例函数y= （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y= 的图象于点
x x
B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S 为（ ）
□ABCD
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
3 k
13. 如图，点A在反比例函数y= x>0的图象上，点B在反比例函数y= x>0的图象上，AB⊥x轴
x x
于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（ ）
A． 3 B．－6 C．2 D．6
4 k
14.如图，已知点A在反比例函数y= 图象上，点B在反比例函数y= (k≠0)的图象上，AB∥x轴，分别
x x
1
过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC= OD，则k的值为（ ）
3A．10 B．12 C．14 D．16
2
15. 如图，A，B是函数y 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记
x
为S，则（ ）
A．S=2 B．S=4 C．2＜S＜4 D．S＞4
二、填空题
16.如图，在矩形OABC中，OA＝2，OC＝4，F是BC边的一个动点（F不与B，C重合），过点F的反比
例函数y＝ （k＞0）的图象与AB边交于点E，使△EFC的面积最大的k的值是 ．
1 3
17. 如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，
x x
若四边形ABDC为矩形， 则它的面积为18．如图，在平面直角坐标系中，反比例y＝ （k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝ ，
BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．若将△ABC向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在
反比例函数图象上，则m的值为 ．
19．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝ （k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂
足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝ ．
三、解答题
20.如图，在△ABO中，已知A(0，4)，B(－2，0)， D为线段AB的中点.
（1）求点D的坐标；
（2）求经过点D的反比例函数解析式.k
21. 如图，已知反比例函数y （k≠0）的图象经过点（－2，8）．
x
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若（2，y），（4，y）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y、y 的大小，并说明理由．
1 2 1 2
22.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B
（a，1）．
（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；
（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．
23．如图所示，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝ 的图象相
切于点C．（1）切点C的坐标是 ；
（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点
M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝ 的图象上时，求k的值．
24．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A、B两点，
且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）写出不等式kx+b＞﹣ 的解集．
