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26.2.1 二次函数y=ax ²的图象和性质
（教学设计）
1.教学内容
本节课是人教版2024 版九年级上册第26 章《二次函数》，26.2 二次函数图像与性质，26.2.1 二次函数
y=ax ²的图象与性质.主要教学内容：掌握描点法画二次函数y=ax ²的图象；认识抛物线、顶点、对称轴等
基本概念；探究并掌握y=ax ²（a≠0）的图象特征与核心性质，包含开口方向、对称轴、顶点坐标、增减
性、最值；理解系数a 的正负、绝对值大小对抛物线形态的影响，能利用性质解决基础辨析、求值、比较
函数值大小等题型.
2. 内容解析
本节课是学生第一次接触二次函数图象，是全章的核心奠基课。上一节学生已掌握二次函数的定义，明
确y=ax ²是最简二次函数；本节课从“解析式”走向“图象”，实现二次函数从数到形的跨越，是后续学
习y=
ax ²+k、y=a(x-h)²及一般式图象性质的基础.教材遵循初中函数探究通用逻辑：列表—描点—连线画图象
—观察图象归纳性质—对比变式总结规律。本节课渗透数形结合、从特殊到一般、分类讨论三大核心思想，
承接一次函数图象的探究方法，完善初中函数“定义—图象—性质—应用”的完整学习体系，对培养学生
几何直观、模型观念核心素养至关重要.
基于以上分析，本节课的教学重点为：用描点法画二次函数y=ax ²的图象；掌握y=ax ²的图象特征、增减
性、最值等核心性质.
教学目标
（1）会用描点法规范绘制y=ax ²的图象；认识抛物线的基本要素，熟练掌握y=ax ²的图象特征与性质；精
准掌握系数a 对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，能利用性质解决基础习题.
（2）经历画图、观察、对比、归纳的完整探究过程，掌握函数图象的通用探究方法，提升几何直观、归
纳概括和数形结合解题能力.
(3）感受函数图象的对称美、规律美，体会数形结合思想的价值，培养严谨的作图习惯和主动探究的数学
思维，增强学习二次函数的信.
2.目标解析
目标1 立足基础落实核心知识点，让学生熟练掌握最简二次函数的图象画法与性质，建立“解析式—图象
—性质”的对应关系，为后续复杂二次函数图象平移、变形学习扫清障碍.
目标2 迁移一次函数描点作图、图象探究的学习经验，让学生形成自主探究新函数图象性质的能力，熟练
运用数形结合思想解决函数基础问题.
目标3 重点落实几何直观、数学抽象、逻辑推理核心素养，通过分类讨论a>0 和<0 的不同情况，培养思
维的严谨性与条理性.
九年级学生已掌握一次函数、反比例函数的图象画法与性质，熟练掌握列表、描点、连线的作图步骤，具
备数形结合分析函数的初步能力，且上节课已掌握y=ax ²的函数定义，为本节课学习奠定基础.学生存在典
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型认知薄弱点：第一，习惯一次函数直线图象，对抛物线曲线图象认知陌生，作图易出现连线不光滑、取
值不合理的问题；第二，对二次函数分段增减性理解困难，易混淆对称轴左右的增减变化；第三，难以区
分a 的正负（定开口方向）和|a|大小（定开口宽窄）的不同作用，极易混淆规律；第四，不会结合图象快
速比较函数值大小，数形转化能力薄弱.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：结合图象准确理解二次函数的增减性规律（分对称轴左右两侧
讨论），理解|a|的大小对抛物线开口宽窄的影响，区分a 的正负与绝对值的不同作用.
创设情景，引入新课
回顾提问：二次函数的最简形式是什么？（y=ax ²，a≠0）
衔接旧知：研究一次函数、反比例函数的核心方法是什么？（画图象、看特征、归性质）
导入课题：本节课沿用函数通用探究方法，研究最简二次函数y=ax ²的图象和性质.
（设计意图：通过复习二次函数知识，引入新课题二次函数y=ax 的图象和性质
²
.）
探究点1 动手作图，探究y=x ²的图象
活动1.动手画函数y=x ²的图象
1.列表：选取对称自变量（-3、-2、-1、0、1、2、3），计算对应函数值
x
……
-3
-2
-1
0
1
2
3
……
y=ax ²
……
9
4
1
0
1
4
9
……
2.描点：在平面直角坐标系中精准描出对应坐标点.
3.连线：用光滑曲线从左至右顺次连接各点，得到完整曲线.
4.观察归纳图象特征：可以看出，二次函数y=x ²的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空
中经过的路线，只是这条曲线开口向上，实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上
或者向下，我们把二次函数y=ax ²+br+c 的图象叫作抛物线y=ax ²+bx+c.
师生共同总结：图象形状：曲线，叫做抛物线.对称性：关于y 轴对称； 顶点：图象最低点(0,0)，是抛物
线的顶点；开口方向：开口向上.
探究点2 探究y=x ²图象的性质
活动2.探究函数y=x ²图象的性质
小组合作观察交流：由上图还可以看出，y 轴是抛物线y=x ²的对称轴，抛物线y=x ²与其对称轴的交点
(0，0)叫作抛物线y=x ²的顶点，它是抛物线y=x ²的最低点，实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与
对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
从二次函数y=x ²的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，
抛物线从左到右上升，也就是说，当x<0 时，y 随x 的增大而减小；当x>0 时，随x 的增大而增大.
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在抛物线y=x ²上.
追问1：你能从坐标关系中说明抛物线у=x ²的对称性.
任取一点(m,m ²)，因为该点关于y 轴的对称点（m，m ²）也在抛物线у=x ²上，所以抛物线y=x ²关于y 轴
对称.
探究点3 探究y=ax ²图象的性质
活动3.在同一平面直角坐标系中，画出函数
的图象.
1.列表：选取对称自变量（，计算对应函数值
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
x
…
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
2
…
…
8
9
4
1
0
1
4
9
8
…
2.描点：在平面直角坐标系中精准描出对应坐标点.
3.连线：用光滑曲线从左至右顺次连接各点，得到完整曲线.
观察思考：
函数
的图象与函数y=x ²的图象（图虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？
利用信息技术工具画二次函数y=ax ²(a>0)的图象,改变a 的值，函数y=ax ²的图象也发生了改变.随着a 的
变化，二次函数y=ax ²的图象有什么变化?
活动4.在同一平面直角坐标系中，画出函数
的图象.
1.列表，2.描点，3.连线.
活动5.探究y=ax ²图象的性质
观察以上函数图象，归纳图象性质.
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当a>0 时，开口向上，对称轴：直线x=0（y 轴）；顶点坐标：(0,0)； 最值：当x=0 时，y 有最小值0，
无最大值；增减性：x<0 时，y 随x 的增大而减小；当x>0 时，y 随x 的增大而增大.
当a<0 时，开口向下，对称轴：直线x=0（y 轴）；顶点坐标：(0,0)； 最值：当x=0 时，y 有最大值0，
无最小值；增减性：y 随x 的增大而增大；当x>0 时，y 随x 的增大而减小.|a|的大小：|a|越大，抛物线
开口越窄，图象越陡；|a|越小，抛物线开口越宽，图象越平缓.
（ 设计意图：沿用学生熟悉的函数探究流程，降低新知陌生感，实现知识迁移；从特殊函数y=x 、
²
y=-x ²
入手，由浅入深，符合学生认知规律； 3. 通过动手作图、小组探究、对比变式，让学生自主归纳性质，
替代被动灌输，培养动手能力与归纳能力； 4. 拆分a 的正负、绝对值的不同作用，突破本节课难点，理
清知识逻辑.）
典型例题
例1 .已知二次函数y=-3x ²，下列说法正确的有哪些？ ① 图象开口向上；② 对称轴是y 轴；③ 顶点坐
标为(0,0)； ④ 当x>0 时，y 随x 增大而减小；⑤ 函数最小值为0.
【分析】本题考查y=ax ²的基础性质，解题关键：先判断a 的正负确定开口方向、最值，再结合固定性质
判断对称轴、顶点、增减性.
【详解】解：已知a=-3<0，根据y=ax ²性质分析： 1.a=-3<0，图象开口向下，①错误； 2. 所有y=ax ²
的对称轴均为y 轴，②正确； 3. 所有y=ax ²的顶点均为原点(0,0)，③正确； 4.a=-3<0 时，x>0，y 随x
增大而减小，④正确；a=-3<0 抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值0，无最小值，⑤错误.
所以正确的是②③④.
例2.已知点A(-2,
)、B(1,
)、C(3,
)都在抛物线上，比较
、
、
的大小.
【分析】：本题考查利用二次函数性质比较函数值，有两种解
题思路：一是代入求值计算比较；
二是利用图象对称性和增减性快速判断（简便方法）。本题
，开口向上，抛物线上的点离对称轴
（y 轴）越远，函数值越大.
【详解】解：方法一:利用图象性质判断:抛物线
对称轴为y 轴，a>0，开口向上；
计算各点到y 轴的距离： A(-2)距离：2；B(1)距离：1；C(3)距离：3；
距离越远，函数值越大，因此
<
<
.
方法二:代入法：
，
，
，得
<
<
.
例3 .抛物线y=4x ²、
、y=-2x ²中，开口最宽和最窄的分别是哪一个？
【分析】本题考查|a|对开口宽窄的影响，核心规律：与a 的正负无关，仅由|a|大小决定，|a|越小开口越
宽，|a|越大开口越窄.
【详解】解： 分别计算绝对值：|4|=4，
；
大小比较：
； 根据规律：|a|最小，开口最宽；|a|最大，开口最窄；
结论：开口最宽：
；开口最窄：y=4x ².
(设计意图 : 三道例题分层递进，覆盖性质辨析、函数值比较、开口规律三大核心考点，全面夯实重难点；
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每道例题搭配详细分析与解题步骤，规范学生解题思路，掌握数形结合解题方法； 补充简便解题技巧，
帮助学生突破易错难点，提升解题速度与准确率，实现知识学以致用.)
课本课堂练习（P35）.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.已知二次函数
，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点
是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当
时对应的函数图象上的点的坐标．
【详解】（1）如图所示，
（2）当
时，
，
∴点
不在这个函数图象上；
（3）当
时，
，
∴
，
∴
时，对应的函数图象上的点的坐标为：
和
．
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1．（2026.临沂校考）抛物线
共有的性质是（ ）
A．开口向下B．对称轴是
轴C．都有最高点
D．
随
的增大而增大
【详解】解：抛物线
开口向上，对称轴为
轴，有最低点，顶点为原点；
抛物线
开口向下，对称轴为
轴，有最高点，顶点为原点；
抛物线
开口向上，对称轴为
轴，有最低点，顶点为原点；
所以抛物线
，
，
共有的性质为对称轴是y 轴，而所有抛物线在没有限定自变量的
取值范围时，增减性都不一致，故D 不正确．
故选：B．
2．（2026.·海南统考）已知点
，
，
三点都在抛物线
的图象上，则
、
、
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】解：∵二次函数的解析式为
，
∴抛物线的对称轴为y 轴，
，
，
，
∴点C 离y 轴最远，点B 离y 轴最近，
∵抛物线开口向上，
．
故选：B．
3．（2025.恩施统考）二次函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】解：
的图象是一条过原点，开口向下的抛物线，
故选：D．
4．（2025·松原校联考）已知二次函数
的图象经过点
，求该函数的解析式及对称轴．
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【详解】解：把
代入
得
，
解得
，
所以抛物线解析式为
，对称轴为y 轴．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识技能:(1)作图方法：用列表、描点、光滑曲线连线三步法画y=ax ²的抛物线图象；（2）图象要素：抛
物线y=ax ²恒过原点，对称轴为y 轴，顶点为(0,0)；（3）核心性质： a>0：开口向上，顶点最低，x<0
减、x>0 增，有最小值0； a<0：开口向下，顶点最高，x<0 增、x>0 减，有最大值0； （4）a 的作用：正
负定开口方向，|a|大小定开口宽窄.
思想方法:（1）数形结合思想：由图象得性质，用性质解代数题，数与形相互转化； （2）分类讨论思想：
分a>0、<0 两类探究函数性质，保证思维严谨； （3）从特殊到一般思想：从具体函数图象归纳通用规律，
掌握函数探究通法。
易错提醒:（1）作图易错：抛物线必须用光滑曲线连接，不能画折线、直线；取值务必对称，保证图象对
称；（2）性质易错：二次函数增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统描述；（3）规律易错：开口
宽窄只看|a|，与a 的正负无关；（4）最值易错：a>0 有最小值、a<0 有最大值，最值均为0，切勿记反.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题26.1 第1、2、3 题.
探究性作业：课本习题26.1 第4 题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
26.2.1 二次函数y=ax ²的图象和性质
一、作图步骤
二、核心性质
三、a 的作用
四、核心易错点
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
