文档内容
22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质第1课时，内容包括：二次函数y＝ax2的图象和性质。
2.内容解析
本节课类比一次函数的研究方法，先通过观察函数图象，认识函数特征，从而得出函数的性质。对于
二次函数y＝ax2的研究分别从a＞0，a＜0两种情况入手，在具体的研究过程中，始终是从特殊到一般，
例如a＞0时，a从具体的数字1开始，再到 ，2等；在每一次具体的函数研究过程中，都是从图象入手．
yax2
本节课从形状、开口方向、开口大小、对称性、顶点、增减性对二次函数 y＝ax2（a＞0）的图象特征进行
研究，从而得到二次函数y＝ax2（a＞0）的性质．此外，a＜0的情况又是类比a＞0的学习方法开展研究，
最终经历以上探究过程，得出二次函数y＝ax2的图象特征和性质．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：观察函数y＝ax2的图象，数形结合地得出它的图象特征和性
质．
二、目标和目标解析
1.目标
1）利用描点法画二次函数y=ax2的图象。
2）通过观察图象能说出二次函数y=ax²的图象特征和性质。
3）由二次函数y=ax2（a>0）的图象及性质类比地学习二次函数y=ax2（a<0）的图象及性质，并能比
较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能够选取适当的自变量的值，描点，连线，从而得到二次函数y=
ax2的图象．
达成目标（2）的标志是：知道抛物线y＝ax2的对称轴，顶点，开口方向，开口大小，最高(低)点；
对于函数y＝ax2，通过观察它的图象知道y随x的增大如何变化．
达成目标（3）的标志是：在探究二次函数y＝ax2的图象和性质的过程中，先通过类比一次函数的研
究方法，得出二次函数y＝ax2（a＞0）的图象特征及性质，a＜0的情况又是类比a＞0的学习方法开展研
究，最终经历以上探究过程，得出二次函数y＝ax2的图象特征和性质．
三、教学问题诊断分析学生在学习一次函数时，已经掌握了用描点法画函数图象的方法，理解图象“从左至右的变化”对应
“函数随自变量的增大的变化”．在本节课上，学生要面对曲线型函数图象，它与一次函数图象的区别在
于：对称性、最大(小)值、需分段讨论二次函数y随x的增大如何变化．虽然在研究一次函数时学生知道
通过观察函数图象研究函数性质，但是仍然有许多学生不能很好地利用图象来解释问题．
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：分段讨论二次函数y随x的增大如何变化．
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】
1. 画一个函数图象需要哪些步骤？
2. 画一次函数y=3x+2的图象？
3. 一次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是是什么形状？
师生活动：学生积极回答问题，教师给出正确答案。
【设计意图】首先用问题作为切入点，引出新知。学生会根据已有的知识储备轻松得出结果，这样问
题就出来了，我们用列表，描点，连线的方法画一次函数y=3x+2的图象。那么可否用这种方法画二次函数
y=ax2的图象并研究其性质？从而自然而然的引出下面的数学活动。
（二）探究新知
【问题】用描点法画二次函数 y=x2 的图象。
师生活动：学生动手实践画出二次函数 y=x2 的图象，在学生完成图象后，教师通过多媒体展示画图
过程。
【问题】观察y=x2的图象，它有什么特征？它的形状像什么？
师生活动：学生积极回答问题，允许出现不同的观点，教师引导与纠正，最后作如下归纳：
从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经
过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
【设计意图】在教学活动的编排上，先让学生接触二次函数y=x²的图象，是因为此函数的图象更接近
于现实生活，更利于学生发挥自己的想象力。它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，
只是这条曲线开口向上。这样能更好的调动学生的学习的积极性，且顺理成章的引出抛物线概念。
【提问】抛物线y=x2是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？
师生活动：学生认真观察二次函数y=x2的图象后给出答案.
【提问】抛物线y=x2与对称轴交点坐标为________叫做抛物线线y=x2的_______,它是抛物线y=x2的最_______点.
师生活动：学生认真观察二次函数y=x2的图象后给出答案.教师通过多媒体展示二次函数y=x2对称轴
和顶点位置，从而得出如下结论：
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
【切记】顶点是抛物线的最低点或最高点。
【提问】观察y=x2的图象，讨论x与y的变化趋势？
师生活动：学生认真观察二次函数y=x2的图象后，教师引导学生得出如下结论：
从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
1
【提问】对比函数y= x2， y=x2 ，y = 2x2的图象，有什么共同点与不同点？
2
师生活动：类比研究二次函数y＝x2的角度和方法，由学生尝试从图象的开口方向、对称轴、顶点、
1
增减性等方面分别描述函数y＝2x2，y＝2x2的图象特征．再由教师引导学生归纳：一般地，当a＞0时，
抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口
越小．
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y＝ax2(a>0)的图象特征和性质．
1
【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数y=- x2 ，y=-x2 ，y=-2x2的图象.对比函数图象，有什么
2
相同点与不同点？
1
师生活动：学生动手实践画出二次函数y=- x2 ，y=-x2 ，y=-2x2的图象，在学生完成图象后，类比a
2
＞0时的研究过程，由学生尝试从图象的开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面分别描述当a＜0时，二
次函数y＝ax2的图象特征．再由教师引导学生归纳：一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称
轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y＝ax2(a<0)的图象特征．
【问题】对比抛物线y=x2和y=-x2，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=-ax2呢？
师生活动：教师引导学生归纳：二次项系数互为相反数，则它们关于x轴对称，且抛物线开口方向相
反，大小相同.
师：你能说出二次函数y＝ax2 的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：【设计意图】整体梳理二次函数y＝ax2的图象特征和性质．
（三）典例分析与针对训练
1
例1．已知函数y=− x2，不画图象，回答下列各题：
3
1）其图象的开口方向：________
2）其图象的对称轴：________
3）其图象的顶点坐标：________
4）当x>0时，y随x的增大而_______；
5）当x__时，函数y的最_____值是________
[针对训练]
1．抛物线y= x2的对称轴是 ______________，顶点坐标是_________________．
2
2．已知下列二次函数①y=−x2；②y= x2；③y=15x2；④y=−4x2；⑤y=4x2．
5
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下并且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）．
3．下列说法中正确的序号是_____________
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
1
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
2
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点【设计意图】理解与掌握二次函数y＝ax2的性质。
例2．如果抛物线y=（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是__________．
例3．已知抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，则a=______．
[针对训练]
1．若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是_______．
2．已知二次函数 的图象开口向下，则m的值为_______ ．
y=(m−1)xm2−3
3．二次函数 的图象开口向下，则m值为_________．
y=(m+1)xm2−2m−6
4．若点A(2,m)在抛物线 y=x2上，则 m 的值为___________，点 A 关于 y 轴对称点的坐标是
___________．
5．根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
1
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线y=− x2的形状相同；
2
【设计意图】根据二次函数y＝ax2的性质求未知数的值或取值范围。
例4．已知抛物线 经过 、 、 三点，则 、 、 的大小关
y=ax2(a>0) A(−2,y ) B(1,y ) C(3,y ) y y y
1 2 3 1 2 3
系是_______________；（用“<”连接）
[针对训练]
1．若点A、B是二次函数y＝-5x2图像上的两点，已知x , =,<”）
1 2 1 2
2．若点（-2，y ）和（❑√3，y ）在函数y=x2的图象上，则y __y （填“＞”、“＜”或“＝”）
1 2 1 2
二次函数y=ax2 中比较函数值的大小的方法：
【设计意图】比较二次函数y=ax2 的函数值。
例5．二次函数的图像如图所示，则m ____ n（填“＞”或“＜”）．[针对训练]
1．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则
a、b、c、d的大小关系为_____．
2．在同一个平面直角坐标系 中，二次函数 ， ， 的图像如图所示，则
xOy y =a x2 y =a x2 y =a x2
1 1 2 2 3 3
， ， 的大小关系为 _____（用“＞”连接）．
a a a
1 2 3
【设计意图】比较二次函数y=ax2 的二次项系数。
例6．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与
y=−2x2的图象，则阴影部分的面积是__．
[针对训练]
1．如图，⊙O的半径为2，C 是函数y=2x2的图象，C 是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积
1 2
为_______．2.如图，正方形的边长为2,图中阴影部分的面积为________.
【设计意图】考查二次函数y=ax2 的对称性。
例7．在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x2与直线y=x+1交于点A(a,b)和点B(c,d)，其中a>c，
点O为原点，求ΔABO的面积.
[针对训练]
1．抛物线y=ax2与直线y=2x−3交于点A(1,b)．
（1）求a，b的值；
（2）求抛物线y=ax2与直线y=−2的两个交点B，C的坐标（点B在点C右侧）．
【设计意图】考查二次函数y=ax2 与一次函数综合。
（四）能力提升
1．已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
y=(k+2)xk2+k−4
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．2．函数 为二次函数，
y=(m−2)xm2−3m−2
（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；
（2）若当x≥0时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．
3．已知函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？
【设计意图】通过配套练习，加深学生理解与掌握二次函数y=ax2的性质。
（五）直击中考
1．（2020·四川南充中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），
（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
9 9 3 3
2．（辽宁本溪中考真题）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax−1经过的象限是（
）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点。
（六）归纳小结
1.如何画出函数y=ax2的图象？
2.函数y=ax2具有哪些性质？
3. 谈谈你对本节课学习的体会？
4.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？（七）布置作业
P32:课后练习
P41:习题22.1第3题和第4 题
五、教学反思
