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26.2.1 二次函数y=a（x-h)²+k 的图象和性质
(第二课时 二次函数y=a（x-h)²的图象和性质)
（导学案）
（1）会用描点法画出y=a(x-h)²的图象，精准掌握该函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值
等性质；熟练掌握抛物线y=ax ²与y=a(x-h)²的左右平移规律，能根据函数解析式判断图象变换方式.
（2）通过自主描点画图、小组对比探究、归纳总结的过程，培养数形结合分析问题、类比推理、归纳概
括的数学能力，体会函数图象变换中“变与不变”的数学规律.
（3）感受二次函数图象的对称美、变换美，体会数学知识的连贯性和逻辑性；在自主探究与合作交流中
提升学习主动性，树立严谨的数学思维，增强学习二次函数的信心.
重点:二次函数y=a(x-h)²的图象特征与核心性质；抛物线y=a(x-h)²与抛物线y=ax ²的平移变换规律.
难点：准确理解并记忆抛物线左右平移规律（左加右减），区分左右平移与上下平移的解析式变化差异；
根据函数解析式快速判断图象的平移过程、增减区间及最值.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习回顾：（1）二次函数y=2x ²、y=ax ²+k 的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
当x 取何值时，函数有最值？增减性如何？
学生集体回顾作答，教师板书核心性质.
（2）抛物线y=ax ²与y=ax ²+k 的变换规律是什么？
k>0 向上平移，k<0 向下平移，平移不改变开口大小和方向.
情境设问：我们已经掌握了二次函数图象的上下平移，如果不上下平移，将抛物线y=ax ²进行左右平移，
会得到什么新的二次函数？新函数的解析式、图象和性质会发生怎样的变化？今天我们共同探究二次函数
y=a(x-h)²的图象和性质.
【学法指导】
新知自研：自研课本第38-39 页的内容
【学法指导】自研课本P38-39 页内容
（一）画图对比，感知特殊的y=ax ²、y=a(x-h)²函数图象间的联系
活动1.在同一平面直角坐标系中，画出二次函数
和
的图象，并分别指出它们
的开口方向、对称轴和顶点.
列表：
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
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…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
描点画图，就得到
和
的图象.
观察图象：可以看出，抛物线
的开口向下，对称轴经过（-1，0）且垂直于x 轴的直线（记
作x=-1），顶点是(-1，0)；抛物线
的开口向下，对称轴经过（1，0）且垂直于x 轴的直线
（记作x=1），顶点是(1，0).
活动2.观察抛物线
，
与抛物线
有什么关系?
观察三个抛物线
，
与
的相同点和不同点是什么？
可以发现，把抛物线
( 如上图中的虚线图形）向左平移1 个单位长度，就得到抛物线
,把抛物线
向右平移1 个单位长度，就得到抛物线
.
（二）归纳二次函数 y=a(x-h)²核心规律与性质
活动3.利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²的图象(改变h 的值)，观察图象变化.
改变h 的值，可以发现，随着h 的变化，二次函数y=a(x-h)²的图象向左或向右平移，即把抛物y=ax ²
（a>）向左(h<0)或向右（h>0)平移|h|个单位长度，就可以得到抛物y=a(x-h)² (如下图 ).
活动4.梳理总结y=a(x-h)²(a≠0)的完整性质和平移规律
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图象共性：图象为抛物线，形状、开口大小、开口方向与y=ax ²完全一致.
核心要素：对称轴：直线x=h,顶点坐标：(h, 0)，平移规律：抛物线y=ax ²左右平移得到y=a(x-h)²，左
加右减h>0：向右平移h 个单位，h<0，向左平移|h|个单位.
函数增减性与最值:当a>0 时，开口向上，顶点为最低点；x<h 时，y 随x 的增大而减小；x>h 时，y 随x 的
增大而增大；当x=h 时，
.当a<0 时，开口向下，顶点为最高点；x<h 时，y 随x 的增大而增大；
x>h 时，y 随x 的增大而减小；当x=h 时，
.
自研课本P38-39 页内容
典型例题
例1.已知二次函数y=-2(x+1)²，完成下列问题：
（1）说出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）说明该抛物线是由抛物线y=-2x ²经过怎样的平移得到的；
（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，函数取得最值？最值是多少？
【分析】解题关键：先标准化解析式，将y=-2(x+1)²转化y=-2[x-(-1)]²，确定a=-2，h=-1；再根据a 的
符号判断开口方向、增减性、最值，根据h 的值确定对称轴、顶点坐标和平移方式，严格套用本节课归纳
的规律解题.
【详解】解：将函数解析式标准化：y=-2[x-(-1)]²，可得a=-2，h=-1.
（1）∵a=-2<0，∴抛物线开口向下；
对称轴为直线x=-1；顶点坐标为(-1, 0)
（2）根据平移规律“左加右减”，∴抛物线y=-2(x+1)²是由抛物线y=-2x ²向左平移1 个单位得到.
（3）∵a=-2<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x<-1 时，y 随x 的增大而增大；抛物线顶点为最高点’当x=-1 时，函数取得最大值，最大值y=0.
第二环节 合作探究
讨论交流:
1. 讨论怎样画二次函数
和
的图象.
2. 讨论二次函数 y=a(x-h)²核心规律与性质.
拓展提升：
1.如图，抛物线
的顶点为A，与y 轴的负半轴交于点B，且
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点
在该抛物线上，求b 的值；
(3)若点
，
在此抛物线上，比较
与
大小．
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【详解】（1）解：∵抛物线
的顶点为A，
∴
，则
，
∵
，
∴
，代入
中，
得：
，
解得：
，
∴
；
（2）将
代入
中，
得：
，
解得：
；
（3）∵抛物线
的对称轴为直线
，且开口向下，
∴当
时，y 随x 的增大而减小，
∵
，
∴
．
课本课堂练习（P39）.
1．（2026.徐州统考）关于二次函数
，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线
B．图象与x 轴有两个交点
C．当
时，y 的值随x 值的增大而增大
D．当
时，y 取得最大值，且最大值为1
【详解】解：∵二次函数解析式为
，
，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线
，故A 说法错误，不符合题意；
∴当
时，y 的值随x 值的增大而减小，当
时，y 的值随x 值的增大而增大，故C 说法正确，符合题
意；
∴当
时，y 取得最小值，且最小值为0，故D 说法错误，不符合题意；
∴二次函数与x 轴只有一个交点，故B 说法错误，不符合题意；
故选C．
2.（2025·宁波联考）已知二次函数
，当
时，y 随着x 的增大而增大，当
时，y 随x
的增大而减小，则h 的值为（ ）
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A．
B．
C．4
D．2
【详解】解：∵
，
∴
，对称轴为
，
∴在对称轴的左侧y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随着x 的增大而减小，
∵当
时，y 随着x 的增大而增大，当
时，y 随x 的增大而减小，
∴
，
∴
；
故选D．
3．（2026 盐城校考）关于二次函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线
B．开口向下，对称轴是直线
C．开口向上，对称轴是直线
D．开口向下，对称轴是直线
【详解】解：
二次函数
，
由
可得抛物线开口向下；对称轴是直线
，
故选：D．
知识技能：（1）二次函数y=a(x-h)²的图象是抛物线，开口方向由a 决定
，对称轴为直线
x=h
，顶点坐标
为(h,0)；（2）平移规律：抛物线y=ax ²左右平移得y=a(x-h)²，左加右减；（3）增减性与最值：a>0 开
口向上，左减右增，有最小值
0 ；a<0 开口向下，左增右减，有最大值
0 .
思想方法：（1）数形结合思想：通过函数图象直观分析函数性质，以形助数、以数释形；（2）类比推理
思想：类比y=ax ²、y=ax ²+k 的探究方法，探究新函数图象与性质；（3）分类讨论思想：根据a>0
（
a<0)
分类讨论函数的增减性、最值.
易错提醒：（1）平移规律混淆：上下平移改变k （上加下减）
，左右平移改变h （左加右减）
，切勿混淆；
（2）h 的符号易错：解析式中是x-h，若为x+h，需转化为x-(-h)
再判断平移方向、对称轴
；（3）增减区
间混淆：必须以对称轴x=h
为分界，区分左右区间的函数增减变化.
