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第二十六章 反比例函数章末测试卷
姓名：________ 班级：________ 得分：________
注意事项：
本试卷满分100分，时间45分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信
息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知反比例函数 ，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．图象不可能与坐标轴相交
C．y随x的增大而增大 D．图象必经过点
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特点，根据
小于0判断出反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且图象不可
能与坐标轴相交可判断A、B、C，求出当 时， ，即可判断D．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且图象不可能与坐标轴相交，
故A、C错误，B正确，
当 时， ，
∴图象不经过点 ，故D错误；
故选B．
2．一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数图象所在象限可以判定
的符号，根据 的符号来确定直线所经过的象限，逐项判断即可，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象
是解此题的关键．
【详解】解：A、双曲线经过第一、三象限，则 ，则一次函数 应该经过第一、二、四象限，
故本选项不符合题意；
B、双曲线经过第一、三象限，则 ，则一次函数 应该经过第一、二、四象限，故本选项不
符合题意；
C、双曲线经过第二、四象限，则 ，则一次函数 应该经过第一、三、四象限，故本选项不符
合题意；
D、双曲线经过第二、四象限，则 ，则一次函数 应该经过第一、三、四象限，故本选项符合
题意；
故选：D．
3．如图，在x轴的正半轴上依次截取 ，过点
分别作x轴的垂线，与反比例函数 的图象相交于点
，得直角三角形 ， ， ， ， ，…，，并设其面积分别为 ，…， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主要考查了反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面
积为 ．根据反比例函数 中k的几何意义再结合图象即可解答．
【详解】解：∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面
积S是个定值， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
同理可得， ， ， ，
以此类推， ，
∴ ．
故选：C．
4．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数、一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，通过图象直接得出一次函数
的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围是解题关键．将不等式变形为 ，根据A、B两点的
横坐标和图象，直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【详解】解：由 ，得 ，
实际上就是一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围，
根据图象可得，其解集有两部分，即： 或 ．
故选：D．
5．如图，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ，与反比例函数 的图象
在第一象限内交于点 ， 轴， 轴，垂足分别为点 ， ．当矩形 是 的面积2倍
时， 的值为（ ）A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】求出点A和点B的坐标，分别求出矩形 与 的面积，即可求解．
【详解】解：一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，
则 的面积 ，而矩形 的面积为 ，
则 ，
解得： （舍去）或1，
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，计算矩形 与 的面积是解题的关键．
6．如图，在反比例函数 的图像上，有点 ， ， ， ，它们的横坐标依次为1，2，3，4．
分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ， ， ，若
，则 的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，由题意可分别得四点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，
再由面积和为3建立关于k的方程，解方程即可求得k的值．
【详解】解：∵点 ， ， ， 在反比例函数 的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，
4，∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
7．已知ΔABC各顶点坐标为 ，若反比例函数 的图象与 有交点，
则k的最大值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】若反比例函数 与 有公共点，则反比例函数向下最多到点A，向上最多到与直线
只有一个交点．当过点A时，把点A坐标代入反比例函数解析式可得 ；当反比例函数与直线
只有一个交点时，求出直线 的解析式为 ，与反比例函数联立得 ，由该方
程有两个相等的实数根得到 ，解得 ，得到k的取值范围为 ，即可得到答
案．
【详解】解：如图，
若反比例函数 与 有公共点，则反比例函数向下最多到点A，向上最多到与直线 只有
一个交点．当过点A时，把点A坐标代入反比例函数解析式可得 ，解得 ；
当反比例函数与直线 只有一个交点时，设直线 的解析式为 .
∴把 两点坐标代入可得 ，
解得 .
∴直线 的解析式为 .
联立 ，
消去y整理可得 ，
则该方程有两个相等的实数根．
∴ ，
即 ，
解得 ．
∴k的取值范围为 ．
∴k的最大值为 ．
故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数和一次函数的交点问题、一元二次方程根的判
别式等知识，数形结合是解题的关键．
8．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 是线段 上一动点，过点 作 轴，
轴，垂足分别是点 、 ， ，若双曲线 经过点 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线 求出 ， 的长，设出 ， ，由 得出 ，
的长，进而得出结论．
【详解】解：对于 ，当 时， ；当 时， ，
，
，
设 ，
轴， 轴，
四边形 是矩形，
∴
，
，
解得：
经检验， 是原方程的根，∵点 在反比例函数 的图象上，
，即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数综合及矩形的判定及性质，用到的知识点是待定系数法求函数的解析式等，
难度适中，正确求得C的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
9．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方
米空气中含药量 与时间 成正比例；药物释放完毕后， 与 成反比例，如图所示．根据图象信
息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要 小时
B．药物释放过程中， 与 的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于 的时间为
D．若当空气中含药量降低到 以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生
才能进入教室
【答案】D
【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可【详解】根据题意：设药物释放完毕后 与 的函数关系式为 ，
结合图像可知 经过点（ ， ）
与 的函数关系式为
设药物释放过程中 与 的函数关系式为
结合图像当 时药物释放完毕代入到 中，则 ，故选项A正确，
设正比例函数为 ，将（ ，1）代入得： ，解得 ，则正比例函数解析式为 ，故选
项B正确，
当空气中含药量大于等于 时，有 ，解得 ，结合图像 ，即 ，故选项C正
确，
当空气中含药量降低到 时，即 ，解得 ，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函
数解析式．
10．如图，直线 与双曲线 交于 两点， 轴于点 ，连接 交 轴于点 ．下
列结论：① ；② 的面积为定值；③ 是 的中点；④ ．其中正确的结论有
（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数与图形的综合，掌握反比例图象的性质，几何图形面积的计算方法是解
题的关键．
如图所示，过点 作 轴于点 ，根据直线 与双曲线 交于 两点，设 ，
，根据题意可求出 ， ，根据勾股定理定理可判定结论①；根据全等三角形可得
， 可判定结论②；根据平行线分线段成比例可判定结论③；根据几何图形面
积的计算方法可判定结论④．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，
∵ 两点在双曲线 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ，
∴设 ， ，则 ， ，∵ 两点在直线 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，故结论①正确；
根据上述证明可得，在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 的面积为定值，故结论②正确；
由上述证明可知， ，即点 是 的中点，
∵ 轴于点 ，
∴ 轴，即 ，
∴ ，∴点 是 的中点，故结论③正确；
∵ 轴于点 ，
∴ ，且 是 中点，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，故结论④错误；
综上所述，正确的有①②③，共 个，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知点A在反比例函数图像上， 轴于点M，且 的面积为4，则反比例函数的解
析式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义：过反比例函数图像上一点分别做坐标轴的垂线，两垂
线与坐标轴围成的矩形的面积为 ，据此即可得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为： ，
反比例函数的图像在第二、四象限，
，
又 轴于点M，且 的面积为4，
，
，反比例函数的解析式为： ．
【点睛】此题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数中比例系数k的几何意义是解此题的
关键．
12．如图，矩形 的顶点O在坐标原点，顶点 分别在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数
（k为常数， ， ）的图象上， ，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋 得到矩形 ．
若点O的对应点 恰好落在此反比例函数图象上，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比函数k的几何意义，解一元二次方程，图形的旋转，设 ，则可得 两
点坐标，由反比函数k的几何意义即可求解．解题关键是k等于反比例函数上的点的纵坐标与横坐标乘积
的一半．
【详解】解：设 则 ，
根据反比函数k的几何意义可得： ，
即 ，
解得： ，
两点在第一象限，
，
，
点在反比例函数图像上，
．13．如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，点 都在 轴上，若四边形 是矩形，
且它的面积是 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数 的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向
轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．延长 交 轴于 ，根据反比例函数 的
几何意义得到 ，则 ，解得即可．
【详解】解：延长 交 轴于 ，如图，
∵ ， ，矩形 的面积为 ，
∴ ，
即 ，
而 ，
∴ ．
故答案为： ．14．如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，且与反比例函数 的图象交于点 ，若
，则 ．
【答案】20
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，三角形的面积等，正确地作出辅助线构造三角形的中位
线是解决问题的关键．
过点 作 轴于 ，由 和 同高，可得出 ，进而可判定 为
的中位线，则 ，设 ，则点 ，由此可得 ，然后根
据 得 ，由此可求出 的值．
【详解】过点 作 轴于 ，如图：
又∵ 和 同高，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
设 ，
∴ ，∴点 的坐标为 ，
点 在反比例函数 的图象上，
即 ，
故答案为：20．
15．如图，线段 端点 、端点 ，曲线 是双曲线 的一部分，点 的横坐标是 ．
由点 开始，不断重复曲线“ ”，形成一组波浪线．已知点 ， 均在该组波
浪线上，分别过点 、 向 轴作垂线段，垂足分别为 和 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】根据点 ， 求出线段 所在函数解析式，以及曲线 所在双曲线的解析式，再根据
题意，可以得到点 和 的坐标，从而可以计算出四边形 的面积
【详解】解：∵线段 端点 、端点 ，
设线段 所在直线函数解析式为 ，
∴ ，
解得： ，∴线段 所在直线函数解析式为 ，
∵曲线 是双曲线 的一部分，点 的坐标为 ，
∴ ，
∴双曲线 ，
∵点 在该双曲线上，点 的横坐标是 ，
∴ ，
即点 的坐标为 ，
∵点 ， 均在该组波浪线上，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∵分别过点 、 向 轴作垂线段，垂足分别为 和 ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是梯形，
∴四边形 的面积是： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形的变化规律，反比例函数的应用，一次函数的应用，梯形的面积．解题的关键是求
出 、 的值．
16．如图平面直角坐标系中放置 绕点 转动， 、 所在直
线分别交 轴、 轴正半轴于点 ，点 在 上．当 均为正整数时，则．
【答案】 或
【分析】如图，将线段 绕点P逆时针旋转90°得到线段 ．连接 ，点N是 的中点．求出直线
的解析式，求出a,b的关系，根据整数解解决问题．
【详解】解：如图，将线段 绕点P逆时针旋转90°得到线段 ．连接 ，点N是 的中点．过点
M作 垂直 交于点H,过点A作 垂直于 于点J;
又
，
又
， ，
，点M的横坐标为：
纵坐标为：
直线 的解析式为： ,
点B在射线 上，
，
∵ 均为正整数，
或 ，
点
或 ，
点C在 上，
或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会有添加常用辅助线，构造等腰直
角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 （其中 ）的图象相交
于 ， 两点，(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B作 轴，交y轴于点P，过点P作 交x轴于点Q，连接 ，求四边形 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数中可得到系数的值，再把点B代入即可求得点B的坐标，进
而将两点坐标代入一次函数求解即可；
（2）四边形 的面积可看做是一个四边形和一个直角三角形的面积和，经证明可得四边形 为
平行四边形，进而根据面积公式求得．
【详解】（1）解：∵一次函数 与反比例函数 （其中 ）的图象相交于 ，
两点，
，
∴反比例函数表达式为 ， ，
，
将 、 两点的坐标代入 ，
得 ，解得 ，
∴一次函数表达式为 ；
（2）解：令一次函数的图象与 轴交于点 ，轴， ，
∴四边形 为平行四边形，
，
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键是结合图形分析问题与条件之间的关
系．
18．如图，点A是反比例函数 的图象上一点，延长 交该图象于点B， 轴， 轴，若
．
(1)求 的面积．
(2)求经过 两点的直线 ，并直接写出 时x的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质综合题，待定系数法求解析式，
（1）首先根据题意得到 ， ，然后证明出A、B两点关于原点对称，得到 ，求出，进而得到 ， ，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）利用待定系数法求出经过 两点的直线 ，然后利用图象即可求出 时x的取值范围．
解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式．
【详解】（1）∵点A、B是反比例函数 的图象上一点， 轴， 轴，
∴ ，
∵ 经过原点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的面积 ；
（2）∵ ，
∴将 代入 得，
解得
∴经过 两点的直线 ；
由图象可得，
当 或 时， ．
19．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始
下降，此时水温 是通电时间 的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温y与通电时间
x之间的函数关系如图2所示．(1)将水从 加热到 需要 ．
(2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式．
(3)加热一次，水温不低于 的时间有多长？
【答案】(1)4；
(2)水温下降过程中，y与x的函数关系式是 ；
(3)一个加热周期内水温不低于 的时间为 ．
【分析】 依题得开机加热时每分钟上升 ，则水温从 加热到 所需时间用热量差 每分钟
加热的温度即 即可求解；
结合 中可得点 在反比例函数 的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析
式；
分类讨论，加热过程中水温不低于 的时间+降温过程中水温不低于 的时间即为加热一次水温
不低于 的时间，其中降温过程中水温不低于 的时间利用 中的函数解析式即可求得．
【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升 ，
水温从 加热到 ，所需时间为 ，
故答案为：4．
（2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为 ，
由题意得，点 在反比例函数 的图象上，
，
解得： ，水温下降过程中，y与x的函数关系式是 ．
（3）解：在加热过程中，水温为 时，
所需时间为 ，
即 温度都高于 ；
在降温过程中，水温为 时， ，
解得： ，
即 内温度都高于 ，
，
一个加热周期内水温不低于 的时间为 ．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，
解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题．
20．如图，已知 ， 是一次函数 的图像与反比例函数 的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
(3)求 的面积；
(4)在x轴上是否存在一点P，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)(4)存在，P点坐标为 ， ， ，
【分析】（1）首先把A点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把B点坐标代
入反比例函数解析式中求得B点的坐标，再根据待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是一次函数的图像在反比例函数的图像的上方
部分自变量的范围；
（3）设一次函数与y轴交点为C，由一次函数解析式可得 ，所以 ，进而可得 和 ，
所以 可得答案；
（4）当 是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当 时，②当 时，③当 时，
分别求P点坐标即可．
【详解】（1）将 代入 得： ，
则反比例函数的解析式是 ，
将 代入 得： ，
则B的坐标为 ，
将 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ．
（2）根据图像，结合题意，得 或 ．
（3）设一次函数与y轴交点为点C，由一次函数解析式 ，
当 时，代入解析式得 ，
∴ ，∴ ，
∴
，
∴ 的面积为 ；
（4）在x轴上存在点P，使 是等腰三角形
由 可得： ，
当 是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当 时，过点A作 轴于点S，由 ，等腰三角形三线合一的性质得：
，由 ， ，
∴ ，
故 ；
②当 时，根据题意，得 ，
在 中，由勾股定理可得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，③当 时，P点在O点左侧时， ，
P点在O点右侧时， ，
综上所述，当P点坐标为 ， ， ， 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，分类思想，勾股定理，熟练掌握待
定系数法，勾股定理和分类思想是解题的关键．
21．已知：如图是反比例函数 图象的一支，
(1)求 的取值范围；
(2)若该函数图象上有两点 ， ，则 ______ （填“ ”“ ”或“ ”），并求出 与 的
关系式；
(3)若一次函数 的图象与该反比例函数图象，交于点 ，与 轴交于点 ，连接 ；
①求出 、 的值；
②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，若存
在请求出点 的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；
(3)① ， ；②存在，点 的坐标为
【分析】（1）根据反比例函数图象在第一象限，可得反比例函数的系数大于零，由此即可求解；
（2）将点 ， 代入反比例函数进行计算即可求解；（3）①将点 代入一次函数可求出 的值，即点 的坐标，再代入反比例函数即可求出 的值；②
根据题意可算出点 的坐标，设 的高为 ，根据 即可求解；
【详解】（1）解：∵反比例函数图象在第一象限，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， 在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（3）解：①∵ 在函数 的图象上
∴ ，则 ，
∵ 在函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，则反比例函数解析式为 ，
∴ ， ；
②当 时， ，
∴ ，
∴ ， 则 ，且 ，
∴ ，
∵ ，设 的高为 ，∴ ，
∴ ，
∴ 点的纵坐标为 ，
将 代入反比例函数得 ，
∴ ，
∴存在点 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面
积的计算方法是解题的关键．
22．综合运用
如图，直线 与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点 ，过点A作反比例函数
的图象．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)点P为反比例函数 图象上的一点，若 ，求点P的坐标．
(3)在x轴是否存在点Q，使得 ，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)点P坐标为(3)存在，点Q的坐标为 或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，平行线的性质等；
（1）把 代入 可求 的坐标，即可求解；
（2）可求 ，再由 即可求解；
（3）①当点Q在x轴正半轴上时，过点A作 轴交x轴于 ，②当点Q在x轴负半轴上时，设
与y轴交于点 ，可求 ， 再求直线 的表达式为 ，即可求解；
掌握待定系数法，找出使得 的条件是解题的关键．
【详解】（1）解：把 代入 得，
，
，
把 代入 ，
得 ，
反比例函数的函数表达式为 ；
（2）解：当 时，
，
，
，
，
，又
，
解得： ，
，
点P坐标为 ；
（3）解：存在；
理由如下：
①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作 轴交x轴于 ，
则 ，
点 ；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如上图，设 与y轴交于点 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
解得： ，∴ ，
设直线 表达式为 ，则有
，
解得 ，
直线 的表达式为 ，
当 时， ，
即点 的坐标为 ，
综上所述，点Q的坐标为 或 ．
、
