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26.2.3 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质（第一课时 探究二次函
数y=ax ²+bx+c 的图象和性质）
（导学案）
（1）掌握用配方法将y=ax ²+bx+c(a≠0)化为顶点式的方法；熟记二次函数一般式的对称轴、顶点坐标公
式；熟练掌握一般式二次函数的开口方向、增减性、最值性质，能利用公式和性质解决基础题型.
(2)经历“配方转化—公式推导—性质归纳—例题应用”的完整探究过程，提升代数变形、逻辑推理、数
形结合分析问题的能力，体会转化、归纳的数学思想.
（3）通过自主推导公式、归纳性质，感受数学知识的连贯性和统一性，增强自主探究意识和学习自信心；
在数形结合分析问题中体会数学的严谨性和逻辑性，提升数学核心素养.
重点:用配方法将二次函数一般式化为顶点式；掌握二次函数y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象性质（开口、对称
轴、顶点、增减性、最值）；能利用公式和性质解决基础计算、图象分析问题.
难点：一般式二次函数顶点坐标、对称轴公式的推导过程（配方的代数变形逻辑）；结合对称轴准确判断
二次函数在任意区间内的增减性，区分最值与函数增减变化的关联.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习回顾:（1）我们之前学习的二次函数顶点式是什么？它的优势是什么？（2）说出y=2(x-1)²+3 的开口
方向、对称轴、顶点坐标和最值。（3）实际问题中，二次函数常以y=2x ²-4x+1 这种形式出现，它不是顶
点式，如何快速判断它的图象和性质？
师生互动：学生回顾顶点式优势（可直接看出顶点、对称轴、最值），发现普通一般式无法直接判断性
质，产生探究需求.
【学法指导】
新知自研：自研课本第42-43 页的内容
【学法指导】自研课本P42-43 页内容
（一）画出二次函数
，的图象,并讨论它的性质
活动1.通过图象的平移,得到函数图象.
对于二次函数
配方，可得
.根据前面的学习，可以先画出二次函数
的图象，然后把这个图象向右平移6 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，就得到二次函数
的图象.
追问:还可以怎样平移?
活动2.直接画出函数图象.
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如果直接画二次函数
的图象，可按如下步骤进行.
由配方的结果可知，抛物线
的顶点是(6，3)，对称轴是x=6.
先利用图象的对称性列表:
…
3
4
5
6
7
8
9
…
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
然后描点画图，得到
的图象,如下图.
活动3.观察二次函数
的图象讨论它的性质.
从二次函数
的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，
抛物线从左到右上升.也就是说，当x<6 时，随x 的增大而减小；当x>6 时，y 随x 的增大而增大；当x=6
时，y 取最小值，最小值是3.
（二）利用上面的方法研究二次函数
的图象,并讨论它的性质.
活动4. 分别用平移、直接画图象的方法，画出二次函数
的图象，观察二次函数
的图象讨论它的性质.
从二次函数
的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，
抛物线从左到右下降.也就是说，当x<-2 时，随x 的增大而减小；当x>-2 时，y 随x 的增大而增大；当
x=-2 时，y 取最小值，最小值是2.
（三）探究二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质
活动5.将一般式转化为顶点式.
尝试用配方法将y=ax ²+bx+c(a≠0)转化为顶点式，
教师分步引导：第一步：提取二次项系数：
，
第二步：配方（加、减一次项系数一半的平方）：
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第三步：整理化为顶点式：
总结归纳：结合顶点式y=a(x-h)²+k，对比得出：
对称轴：直线
；
顶点坐标：
易错强调：配方时仅对含x 的项变形，提取系数后括号内配方，常数项需整体整理，注意符号和通分计算.
活动6.归纳一般式二次函数图象与性质
结合推导的顶点式和已有知识，师生共同归纳y=ax ²+bx+c(a≠0)的性质：
1. 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下；|a|越大，开口越小。
2. 对称轴：直线
3. 顶点坐标：
4. 增减性： a>0：对称轴左侧（
），y 随x 增大而减小；对称轴右侧（
），y 随x 增大而
增大；
a<0：对称轴左侧（
），y 随x 增大而增大；对称轴右侧（
），y 随x 增大而减小.
5. 最值：a>0，当
时，
；
a<0，当
时，
.
自研课本P42-43 页内容
典型例题
例1：已知二次函数y=x ²-2x-3，请完成下列问题：
（1）用配方法将函数化为顶点式；
（2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）求函数的最值；
（4）判断函数的增减性.
【分析】本题完整覆盖一般式转顶点式、公式应用、性质分析四大核心考点。解题核心思路：先通过配方
法完成形式转化，再结合顶点式或通用公式判断图象特征，最后依据a 的符号和对称轴分析增减性与最值，
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层层递进、贴合课堂新知.
【详解】解：（1）配方转化顶点式：
.
（2）由顶点式y=(x-1)²-4 可知：
a=1>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=1；顶点坐标为(1,-4).
（
3）求函数最值：∵ a=1>0，抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值；∴ 当x=1 时，
（4）分析函数增减性：对称轴为直线x=1，开口向上：当x<1 时，y 随x 的增大而减小；当x>1 时，y 随x
的增大而增大.
第二环节 合作探究
讨论交流:
1. 讨论怎样画二次函数
、
的图象与性质.
2. 讨论二次函数 y=ax ²+bx+c 的图象和性质..
拓展提升：
1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2 中，x 与y 的几组对应值如表所示．
x
…
﹣2
0
1
…
y
…
﹣2
﹣2
1
…
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，当0≤x≤3 时，若图象对应的函数最大值与最小值
的差为5，请直接写出n 的值．
【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x= −2+0
2
=−1．
∴可设二次函数为y＝a（x+1）²+k．
又∵图象过（0，﹣2），（1，1），
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∴﹣2＝a（0+1）²+k，且1＝a（1+1）²+k．
∴a＝1，k＝﹣3．
∴二次函数为y＝（x+1）²﹣3，即y＝x ²+2x﹣2．
（2）由题意，结合（1）y＝（x+1）²﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
作图如下．
（3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，
∴新函数为y＝（x+1﹣n）²﹣3．
∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上．
∴①当3≤n﹣1 时，即n≥4，
∴当x＝0 时，y 取最大值为（1﹣n）²﹣3；当x＝3 时，y 取最小值为（4﹣n）²﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）²﹣3﹣（4﹣n）²+3＝5．
∴n= 10
3 ＜4，不合题意．
②当0＜n﹣1＜3 时，即1＜n＜4，
∴当x＝0 或x＝3 时，y 取最大值为（1﹣n）²﹣3 或（4﹣n）²﹣3；当x＝n﹣1 时，y 取最小值为﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）²﹣3+3＝5 或（4﹣n）²﹣3+3＝5．
∴n＝1+ ❑√5或n＝1−❑√5（不合题意，舍去）或n＝4+ ❑√5（不合题意，舍去）或n＝4−❑√5．
③当n﹣1≤0 时，即n≤1，
∴当x＝0 时，y 取最小值为（1﹣n）²﹣3；当x＝3 时，y 取最大值为（4﹣n）²﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（4﹣n）²﹣3﹣（1﹣n）²﹣3＝5．
∴n= 5
3 ＞1，不合题意．
综上，n＝1+ ❑√5或n＝4−❑√5．
课本课堂练习（P43).
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1．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax ²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x 轴有两个交点，
且这两个交点分别位于y 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当x＞0 时，y 的值随x 值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2 时，y＜0
【解答】解：由题意可得，
∵方程ax ²﹣2ax+a﹣3＝0 的两根异号，
∴x1 x2= a−3
a
＜0，
解得0＜a＜3，
∴二次项系数a＞0，开口向上，故A 不符合题意；
∵y＝ax ²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线x =−−2a
2a =1，
∴当x＞1 时，y 随x 增大而增大，故B 不符合题意；
∵当x＝1 时，y＝﹣3，
∴最小值为﹣3，故C 不符合题意；
当x＝2 时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，
∵0＜a＜3，
∴此时y＜0，故D 符合题意；
故选：D．
2.（2025•福建）已知点A（﹣2，
），B（1，
）在抛物线y＝3x ²+bx+1 上，若3＜b＜4，则下列判断
正确的是（ ）
A．1＜
＜
B．
＜1＜
C．1＜
＜
D．
＜1＜
【解答】解：∵y＝3x ²+bx+1，
∴当x＝0 时，y＝1，
∴抛物线过点（0，1），
∴抛物线的开口向上，对称轴为x =−
b
2×3 =−b
6
，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵3＜b＜4，
∴−2
3 ＜−b
6 ＜−1
2
，
∵−2+1
2
=−1
2 ＞−b
6
，−2+0
2
=−1＜−b
6
，
∴点A（﹣2，
）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，
）到对称轴的距离，
∴1＜
＜
，
故选：A．
3.（2025•泸州）已知抛物线y＝ax ²+bx+c 的对称轴为直线x＝1，与y 轴的交点位于x 轴下方，且x＝﹣1
时，y＞0，下列结论正确的是（ ）
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A．2a＝b
B．b ²﹣4ac＜0
C．a﹣2b+4c＜0
D．8a+c＞0
【解答】解：∵抛物线y＝ax ²+bx+c 的对称轴为直线x＝1，
∴−b
2a =1，
∴b＝﹣2a，故A 选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与y 轴的交点位于x 轴下方，
∴当x＝0 时，y＜0，
∵当x＝﹣1 时，y＞0，
∴抛物线与x 轴的一个交点一定在直线x＝﹣1 和y 轴之间，
∴抛物线与x 轴的另一个交点一定在直线x＝2 和直线x＝3 之间，
∴抛物线与x 轴有两个不同的交点，
∴关于x 的一元二次方程ax ²+bx+c＝0 有两个不相同的实数根，
∴b ²﹣4ac＞0，故B 选项中原结论错误，不符合题意；
∵当x＝0 时，y＜0，且当x＝﹣1 时，y＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与x 轴的另一个交点一定在直线x＝2 和直线x＝3 之间，
∴当x＝﹣2 时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D 选项中原结论正确，符合题意；
当x =−1
2
时，y = 1
4 a−1
2 b+c = 1
4 (a−2b+ 4 c)，
当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 时，则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1，
当x =−1
2
时，y =(−1
2 )
2−2×(−1
2 )−1= 1
4 +1−1= 1
4 ＞0，故C 选项中原结论不正确，不符合题意；
故选：D．
4．（2026·徐州统考）下表给出了变量x 与
、
之间的部分对应关系（表格中的符号“▲”
表示该项数据已经丢失）：
x
0
1
▲
▲
1
8
3
▲
(1)求函数
的表达式并画出它的图像；
(2)结合图像回答问题：当x 的取值范围是______时，
？
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(3)将函数
的图像向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后函数的表达
式为______．
【详解】（1）解：
当
时，
，
当
时，
的值是8，当
时，
的值是3
，
，
，
函数的表达式为
此函数的顶点坐标为
，对称轴为经过
且平行于y 轴的直线．
列表：
x
…
0
2
3
4
5
…
y
…
8
3
0
0
3
8
…
描点、连线：
（2）当
时，由二次函数函数图像可知：
自变量取值范围是：
（3）
，
函数图像向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，即
，
．
知识技能：（1）掌握二次函数一般式化顶点式的配方法步骤；（2）熟记通用公式：对称轴
，顶
点坐标
；（3）熟练根据a、b、c 判断二次函数的开口、对称轴、顶点、增减性、最值五
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大核心性质.
思想方法：（1）转化思想：将陌生的一般式二次函数转化为熟悉的顶点式，化未知为已知；（2）数形结
合思想：由解析式（数）分析图象性质（形），以形助数、以数释形；（3）归纳推理思想：由特殊函数
性质归纳出通用一般式函数性质.
易错提醒：（1）配方时易漏加、漏减常数项，符号计算容易出错；公式中符号易错，对称轴是
，
切勿遗漏负号；（3）增减性必须以对称轴为分界，不能笼统描述；（4）最值必须对应自变量取值（顶点
横坐标），不可只写函数值.
