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重难点 06 二次函数图象性质及其综合应用
考点一：二次函数的图象与性质
二次函数是中考三大函数中内容最多，考察难度最大的一个函数。而二次函数的图象更是其庞大内容
的核心，初中数学中需要我们详细的掌握抛物线的画法、特征、性质、与系数的关系、几何变换等几个方
面的知识，进而在多变的题型中快速找到解决它们的方法。
题型01 二次函数图象与性质
易错点01：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
b b 4ac−b2
x=− (− ， )
2a 2a 4a
形状：抛物线； 对称轴：直线 ；顶点坐标： ；
其中抛物线的顶点坐标的纵坐标与一元二次方程解法中的公式法的表达式比较相似，需要重点加以区分；
易错点02：抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或
减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；
y=ax2 +bx+c
解题大招：对于 上的各个点，
a＞0
当 时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越
小；
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a＜0
当 时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数有最大值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越
大；
【中考真题练】
1．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点，若x +x ＜
1 1 2 2 1 2
0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．（2023•邵阳）已知P （x ，y ），P （x ，y ）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现
1 1 1 2 2 2
有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x ＞x ＞﹣
1 2
2，则y ＞y ；④若y ＝y ，则x +x ＝﹣2，其中，正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023•扬州）已知二次函数y＝ax2﹣2x+ （a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过
第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0
时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．③④
4．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
5．（2023•枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y ），（ ，y ）是
1 2
抛物线上的两点，那么y ＜y ；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确
1 2
结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2023•呼和浩特）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：
①对于任意实数a，都有x ＝3+a对应的函数值与x ＝3﹣a对应的函数值相等．
1 2
②若图象过点A（x ，y ），点B（x ，y ），点C（2，﹣13），则当x ＞x ＞ 时， ＜0．
1 1 2 2 1 2
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③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则﹣ ＜m≤﹣ 或 ≤m＜ ．
④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y ），B（n﹣1，y ）两点，若A，B
1 2
分别位于抛物线对称轴的两侧，且y ＜y ，则n的取值范围是 ．
1 2
8．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x ，y ），N（x ，y ）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上
1 1 2 2
任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x ＝1，x ＝2，有y ＝y ，求t的值；
1 2 1 2
（2）若对于0＜x ＜1，1＜x ＜2，都有y ＜y ，求t的取值范围．
1 2 1 2
【中考模拟练】
1．（2024•虹口区二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣4）2，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x
的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≤﹣4
2．（2024•郑州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b（a≠0）的
图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024•霍邱县模拟）函数y＝kx2﹣4x+3和y＝kx﹣k（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的
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图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024•余姚市一模）已知点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）在二次函数y＝﹣x2+c（c＞0）的
1 1 2 2 3 3
图象上，点A，C是该函数图象与正比例函数y＝kx（k为常数且k＞0）的图象的交点．若x ＜0＜x ＜
1 2
x ，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 1 2 3 2 1 3 1 3 2
5．（2024•武威二模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y
随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①若x＞2时，则y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2023，y ），（2023，y ）是函数图象上的两点，则y ＜y ；
1 2 1 2
④若图象上两点 ， 对一切正数n．总有y ＞y ，则 ．
1 2
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
6．（2024•福田区模拟）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，对于方程|x2﹣4|＝m（m为实数），若
该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
7．（2024•合肥模拟）在平面直角坐标系中，G（x ，y ）为抛物线y＝x2+4x+2 上一点，H（﹣3x +1，
1 1 1
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y ）为平面上一点，且位于点G右侧．
1
（1）此抛物线的对称轴为直线 ；
（2）若线段GH与抛物线y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有两个交点，则的x 取值范围是 ．
1
8．（2024•碑林区校级一模）如图，抛物线 的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐
标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若
不存在，请说明理由．
题型02 二次函数与几何变换
易错点：抛物线平移步骤：①将一般式转化为顶点式，
②根据“左加右减（x），上加下减（整体）”来转化平移所得函数解析式；
{关于x轴对称：y=−ax2 −bx−c
y=ax2 +bx+c 关于x轴对称：y=ax2 −bx+c
y=ax2 +bx+c 关于原点对称：y=−ax2 +bx−c
解题大招： 的轴对称变换规律
【中考真题练】
1．（2023•无锡）将二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数图象的顶点坐标
为（ ）
A．（﹣1，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，﹣1）
2．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向
下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4
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3．（2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和
距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
4．（2023•牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 2 或 4 个单位长度后，
得到的新抛物线经过原点．
5．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝ x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在
线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B，点C不与点B重合．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，
且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【中考模拟练】
1．（2024•津市市一模）将二次函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
所得图象的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣5
2．（2024•秦都区一模）已知抛物线 ，抛物线C 与C 关于直线y＝l轴对称，两抛物线
2 1
的顶点相距5，则m的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
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3．（2024•济南模拟）将抛物线y＝（x+1）2的图象位于直线y＝9以上的部分向下翻折，得到如图图象，
若直线y＝x+m与此图象有四个交点，则m的取值范围是（ ）
A． ＜m＜7 B． ＜m＜5 C． ＜m＜9 D． ＜m＜7
4．（2024•松江区二模）平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那
么平移后的抛物线的表达式可以是 .（只需写出一个符合条件的表达式）
5．（2024•新北区校级模拟）如图，将抛物线y＝2（x+1）2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲
线与直线y＝x交于点M，则点M的坐标为 ．
6．（2024•廉江市一模）已知抛物线 ．
（1）写出抛物线C 的对称轴： ．
1
（2）将抛物线C 平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C ，且抛物线C 经过点A（﹣2，﹣2）和
1 2 2
点B（点B在点A的左侧），若△ABO的面积为4，求点B的坐标．
（3）在（2）的条件下，直线l ：y＝kx﹣2与抛物线C 交于点M，N，分别过点M，N的两条直线l ，
1 2 2
l 交于点P，且l ，l 与y轴不平行，当直线l ，l 与抛物线C 均只有一个公共点时，请说明点P在一条
3 2 3 2 3 2
定直线上．
题型03 二次函数图象与系数的关系
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解题大招01：二次函数图象与系数a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用
a＞0⇔抛物线开口向上 a⋅b＞0⇔对称轴在y轴的左侧 c＞0⇔抛物线与y轴的正半轴相交
a＜0⇔抛物线开口向下 a⋅b＜0⇔对称轴在y轴的右侧 c=0⇔抛物线与原点相交
|a|越大，抛物线开口越窄 b=0⇔对称轴为y轴 c＜0⇔抛物线与y轴的负半轴相交
解题大招02：二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判
断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
【中考真题练】
1．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴
交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞
0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这
四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2 B．m2 C．4 D．2m2
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3．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝
1，下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0
B．2a+b＝0
C．4ac＞b2
D．点（﹣2，0）在函数图象上
4．（2023•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线
x＝﹣1．若点A的坐标为（﹣4，0），则下列结论正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．4a﹣2b+c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根
D．点（x ，y ），（x ，y ）在抛物线上，当x ＞x ＞﹣1时，y ＜y ＜0
1 1 2 2 1 2 1 2
5．（2023•恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称
轴为x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：
①2a+b＞0；
②bc＜0；
③a＜﹣ c；
④若x ，x 为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x •x ＜0；
1 2 1 2
其中正确的有（ ）个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023•菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣
2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上
至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．﹣ ≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣ ≤c＜6 D．﹣4≤c＜5
7．（2023•广安）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣
3，0），B（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②若点（﹣2，y ）和（﹣0.5，y ）均在抛物线上，则
1 2
y ＜y ；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正确的有（ ）
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023•南充）抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣ 与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取
值范围是（ ）
A． ≤k≤1 B．k≤﹣ 或k≥1
C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥
9．（2023•聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对
称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y ），（3，y ）均在二次函数图象上，则
1 2
y ＞y ；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取
1 2
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值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0），满足 ，已知点（﹣
3，m），（2，n），（4，t）在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A．t＜n＜m B．m＜t＜n C．n＜t＜m D．n＜m＜t
11．（2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：
①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x ，y ）
1 1
和点B（x ，y ），当m＜x ＜x ＜m+3时，满足y ＝y ，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的
2 2 1 2 1 2
个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023•青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已
知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc
＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x ＝﹣3，x ＝2；④k＝ a．其中正确的
1 2
是 .（只填写序号）
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13．（2023•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a为常数，a≠0）．
（1）若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若a＝﹣1，求证：当﹣1＜x＜0时，y＞0．
（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点（x ，0），（x ，0），且﹣1＜x ＜x ＜4，则a的取值范围
1 2 1 2
是 ．
14．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值
如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【中考模拟练】
1．（2024•杭州一模）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图
所示，则下列结论正确的是（ ）
A．若抛物线经过点（t，n），则必过点（t+4，n）
B．若点 和（4，y ）都在抛物线上，则y ＞y
2 1 2
C．a﹣b+c＞0
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D．b+c＝m
2．（2024•雁塔区校级模拟）若抛物线y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则
m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．1≤m＜2 D．m≤2
3．（2024•崂山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y ），（2，y ），（6，y ）均在该
1 2 3
二次函数图象上，则y ＜y ＜y ；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x ，x ，且x ＜x ，则x ＜﹣
1 3 2 1 2 1 2 1
2，x ＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（ ）
2
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
4．（2024•霍邱县一模）已知抛物线y＝mx2+nx﹣m，其中m为实数．
（1）若抛物线经过点（1，5），则n＝ ；
（2）该抛物线经过点A（2，﹣m），已知点B（1，﹣m），C（2，2），若抛物线与线段BC有交点，
则m的取值范围为 ．
5．（2024•青岛一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，
下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＝0；④抛物线上有两点M（x ，y ）和N（x ，
1 1 2
y ），若x ＜1＜x ，且x +x ＞2，则y ＞y ．其中正确的是 .（只填写序号）
2 1 2 1 2 1 2
6．（2024•余姚市一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，A（x ，m），B（x ，m）为该函数图象上的任意两点，其中
1 2
x ＜x ，求当x ，x 为何值时，m＝8a；
1 2 1 2
（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，2），当a＜b时求3a+b的取值范围．
题型04 二次函数解析式的求法
【中考真题练】
1．（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，
那么这个二次函数的解析式可以是 ．
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2．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
3．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【中考模拟练】
1．（2023•思明区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是（1，3），当x＞1时，y随x的增大
而增大，则抛物线解析式可以是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+3
2．（2023•海淀区校级一模）将二次函数y＝x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为
．
3．（2024•梅县区一模）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，且它的顶点坐
标为（﹣1，6），则这条抛物线的解析式为 ．
4．（2024•霍邱县模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若抛物线经过点（0，3），（4，3），则抛物线的表达式为 ；
（2）在（1）的条件下，抛物线经过点（m，k），（n，k），当1≤n﹣m＜8时，k的取值范围为
．
考点二：二次函数的图象性质应用
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二次函数图象性质的应用主要体现在利用二次函数的顶点式求最值、利用点与二次函数图象的关系解
决与其他几何图形的结合问题、以及二次函数与一元二次方程和不等式的关系等。
题型01 二次函数的最值
解题大招：当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函
数的最值都是定点坐标的纵坐标。
【中考真题练】
1．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），
其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4．（2023•泰安）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
5．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边
界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2
（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数
图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ ．
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【中考模拟练】
1．（2024•浙江模拟）已知： ， ，m+n＝2，则下列说法中正
确的是（ ）
A．n有最大值4，最小值1
B．n有最大值3，最小值
C．n有最大值3，最小值1
D．n有最大值3，最小值
2．（2024•全椒县一模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，则m+n＝（
）
A．﹣14 B．﹣6 C．﹣8 D．2
3．（2023•衢江区三模）在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，
已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（ ）
A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值
B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值
C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值
D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值
4．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中， ，∠B＝60°，∠D＝120°，当四边形
ABCD面积最大时，作AE平分该四边形ABCD面积交BC于点E，则此时线段BE的长为 ．
5．（2024•阳新县一模）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，当﹣ ≤x≤ ，y有最大值为﹣3，则a的
值为 ．
6．（2024•渠县校级一模）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点
A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一
点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是 ．
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7．（2024•浙江模拟）已知二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若A（x ，y ）和B（x ，y ）都是二次函数图象上的点，且x +2x ＝2，求y +y 的最小值．
1 1 2 2 1 2 1 2
（3）若点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的
最小值为1，则b﹣a的最大值为多少？
题型02 二次函数图象上点的坐标特征
解题大招：牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想
与之结合的几何图形的性质；
【中考真题练】
1．（2023•衢州）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y ）和B（2m，y ）两
1 2
点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y ＞y ，则m的取值范围是（ ）
1 2
A． B． C． D．m＞2
2．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的
值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
3．（2023•南充）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是
（ ）
A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）
4．（2023•十堰）已知点A（x ，y ）在直线y＝3x+19上，点B（x ，y ），C（x ，y ）在抛物线y＝x2+4x
1 1 2 2 3 3
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﹣1上，若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则x +x +x 的取值范围是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．﹣12＜x +x +x ＜﹣9 B．﹣8＜x +x +x ＜﹣6
1 2 3 1 2 3
C．﹣9＜x +x +x ＜0 D．﹣6＜x +x +x ＜1
1 2 3 1 2 3
5．（2023•济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x ，y ），当点Q（x ，y ）满足2（x +x ）＝
1 1 2 2 1 2
y +y 时，称点Q（x ，y ）是点P（x ，y ）的“倍增点”．已知点P （1，0），有下列结论：
1 2 2 2 1 1 1
①点Q （3，8），Q （﹣2，﹣2）都是点P 的“倍增点”；
1 2 1
②若直线y＝x+2上的点A是点P 的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
1
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P 的“倍增点”；
1
④若点B是点P 的“倍增点”，则P B的最小值是 ；
1 1
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023•岳阳）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函
数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是
（ ）
A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0
7．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象
上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【中考模拟练】
1．（2024•韩城市一模）已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a＞0）图象上的两点（﹣5，y ）和（x ，y ），若
1 2 2
y ＞y ，则x 的取值范围是（ ）
1 2 2
A．x ＞﹣5 B．x ＜﹣2 C．﹣5＜x ＜1 D．﹣5＜x ＜﹣2
2 2 2 2
2．（2024•秀峰区校级模拟）二次函数 （m为常数）的图象经过点 ，
，C（0，y ），则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
3．（2024•龙湖区一模）如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是（﹣1，﹣2）、（1，2），点
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C在抛物线y＝﹣ x2+bx的图象上，则b的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
4．在平面直角坐标系中，对点M（a，b）和点M′（a，b′）给出如下定义：若b′＝
，则称点M′（a，b′）是点M（a，b）的伴随点．如：点A（1，﹣2）的伴随
点是A′（1，﹣6），B（﹣1，﹣2）的伴随点是B′（﹣1，2）．若点Q（m，n）在二次函数y＝x2﹣
4x﹣2的图象上，则当﹣2≤m＜5时，其伴随点Q′（m，n′）的纵坐标n′的值不可能是（ ）
A．﹣10 B．﹣1 C．1 D．10
5．（2024•浙江一模）对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为
相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“阴阳函数”．例如：一次
函数y＝x+2，它的“阴阳函数”为y＝ ，若点P（m，2）在二次函数y＝x2+2x﹣3的
“阴阳函数”的图象上时，则m的值为（ ）
A．﹣1+ 或﹣1﹣ B．
C． 或 D．
6．（2024•绿园区一模）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和B（0，
3），点P是抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为
．
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7．（2024•东营区校级一模）抛物线 的图象如图所示，点A ，A ，A ，A ，…，A 在抛物
1 2 3 4 2024
线第一象限的图象上．点B ，B ，B ，B ，…，B 在y轴的正半轴上，△OA B ，△B A B ，…，
1 2 3 4 2024 1 1 1 2 2
△B A B 都是等腰直角三角形，则B A ＝ ．
2023 2024 2024 2023 2024
题型03 抛物线与x轴的交点
易错点01：求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次
方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、
②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点；
易错点02：求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与
用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。
【中考真题练】
1．（2023•甘孜州）下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．图象与x轴没有交点
C．当x＜2时，y随x增大而增大
D．图象的顶点坐标是（2，﹣3）
2．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x ，x （x ＜x ），关于x的方程
1 2 1 2
x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x ，x （x ＜x ）．则下列结论正确的是（ ）
3 4 3 4
A．x ＜x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x ＜x
3 1 2 4 1 3 4 2
C．x ＜x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x ＜x
1 2 3 4 3 4 1 2
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3．（2023•宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝ 的左侧
4．（2023•自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣ x2+bx﹣b2+2c（x为自变
量）与x轴有交点，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
5．（2023•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：
① ＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点（ ，y ），（﹣3，y ），（﹣ ，y ），则y ＜y ＜y ；
1 2 3 2 1 3
④方程cx2+bx+a＝0的解为x ＝ ，x ＝﹣ ．其中正确的个数是（ ）
1 2
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2023•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点
C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ ．
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7．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：
函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝ x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，
则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
8．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
9．（2023•赤峰）如图，抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物
线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 ．
10．（2023•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y
轴的交点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；
②当△ABM的面积为 时，a＝ ；③当△ABM为直角三角形时，在△AOB内存在唯一一点P，
使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+9 ．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结
论的序号）
【中考模拟练】
1．（2024•太原模拟）关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝﹣1
C．与y轴交于点（0，3） D．与x轴有两个交点
2．（2024•西安校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，
与y轴交于点C．若点P在抛物线的对称轴上，线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰
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好也落在此抛物线上，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣1）
C．（﹣1，1）或（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）
3．（2024•郾城区一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点A，与
x轴负半轴交于点B，连接AB．将Rt△OAB向左上方平移，得到RtΔO′A′且点O′A′落在抛物线的
对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为（ ）
A．y＝﹣x B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x+3
4．（2024•宁波模拟）已知ac≠0，若二次函数y ＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x ，
1 1
0），B（x ，0），二次函数y ＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x ，0），D（x ，0），
2 2 3 4
则（ ）
A．x +x +x +x ＝1 B．x x x x ＝1
1 2 3 4 1 2 3 4
C． D．
5．（2024•莘县一模）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C ，它与x轴交于点O、
1
A ；将抛物线C 绕点A 旋转180°得抛物线C ，交x轴于点A ；将抛物线C 绕点A 旋转180°得抛物线
1 1 1 2 2 2 2
C ，交x轴于点A ；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2020，m）在此“波浪线”上，
3 3
则m的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
6．（2024•辽宁模拟）如图，抛物线y＝﹣ x+3与x轴相交于A，B两点．点C的坐标为（ ，
0），点P在抛物线上，将线段PC绕点P顺时针旋转90°得到线段PD，当点D落在y轴正半轴上时，
点D的坐标为 ．
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7．（2024•徐州模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若
抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为
．
题型04 二次函数与不等式（组）
解题大招01：当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进
而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。
解题大招02：由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等
号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。
【中考真题练】
1．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx+n与抛物线y ＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结
1 2
合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y ＞y ；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若
1 2
（﹣1，t ），（4，t ）是抛物线上的两点，则t ＜t ；④对于抛物线y ＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，
1 2 1 2 2
y 的取值范围是0＜y ＜5．其中正确结论的个数是（ ）
2 2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x ，0），（2，0），其中0＜x ＜1
1 1
下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣ x+c的解集为0＜x
＜2．其中正确结论的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024•永城市校级一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，2），其对称轴是直
线x＝ ，则不等式ax2+bx+c≤2的解集是（ ）
A．x≤0 B．x≤﹣1或x≥2 C．0≤x≤1 D．x≤0或x≥1
3．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx+n与抛物线 相交于点
1
A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x＜2时，y ＞y ；②x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个
1 2
解；③若（﹣4，t ），（1，t ）是抛物线上的两点，则t ＞t ；④对于抛物线 ，当﹣3
1 2 1 2
＜x＜2时，y 的取值范围是0＜y ＜5．其中正确结论的个数是（ ）
2 2
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2024•沭阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则
不等式ax2+c＜mx+n的解集是 ．
5．（2024•玄武区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根；④不等式a（x+1）2+b
（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2．
其中所有正确结论的序号是 ．
26
