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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题32 最值问题
一、选择题
1. （2024四川乐山）已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；当
时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题的关键．
由 ，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当
时， ，即 关于对称轴对称的点坐标为 ，由当 时，函数取得最大值；当 时，
函数取得最小值，可得 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】∵ ，
∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ，
∵当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
2.（ 2024四川南充）如图，在 中， ， 平分 交
于点D，点E为边 上一点，则线段 长度的最小值为（ ）
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A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得 和 ，结
合角平分线的性质得到 和 ，当 时，线段 长度的最小，结合角平线的性质可
得 即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
在 中， ，解得 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
当 时，线段 长度 的最小，
∵ 平分 ，
∴ ．
故选∶C．
3. （2024四川南充）当 时，一次函数 有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1
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【答案】A
【解析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当 时和当
，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】当 即 时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
即 ，
整理得：
解得： 或 （舍去）
当 即 时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当 时， ，
即 ，
整理得：
解得： 或 （舍去）
综上， 或 ，
故选：A
4.（ 2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形 中，点E，F分别是边 上的动点，且满
足 ， 与 交于点O，点M是 的中点，G是边 上的点， ，则
的最小值是（ ）
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A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，
先证明 得到 ，进而得到 ，则由直角三角形的性
质可得 ，如图所示，在 延长线上截取 ，连接 ，易证明
，则 ，可得当H、D、F三点共线时， 有最小值，即此时
有最小值，最小值即为 的长的一半，求出 ，在 中，由勾股定理得
，责任 的最小值为5．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M是 的中点，
∴ ；
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如图所示，在 延长线上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当H、D、F三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值即为 的长
的一半，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为5，
故选：B．
5.（ 2024四川宜宾）如图，在 中， ，以 为边作 ， ，点
D与点A在 的两侧，则 的最大值为（ ）
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A. B. C. 5 D. 8
【答案】D
【解析】如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，求解 ，结合
，（ 三点共线时取等号），从而可得答案．
【详解】解：如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，（ 三点共线时取等号），
∴ 的最大值为 ，
故选D
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合
适的辅助线是解本题的关键．
6.（ 2024四川达州）如图， 是等腰直角三角形， ， ，点 ， 分别在 ，
边上运动，连结 ， 交于点 ，且始终满足 ，则下列结论：① ；②
；③ 面积的最大值是 ；④ 的最小值是 ．其中正确的
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是（ ）
A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】过点 作 于点 ，证明 ，根据相似三角形的性质即可判断①；得
出 ，根据三角形内角和定理即可判断②；在 的左侧，以 为斜边作等腰直角三
角形 ，以 为半径作 ，根据定弦定角得出 在 的 上运动，进而根据当
时， 面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当 在 上时， 最小，过点
作 交 的延长线于点 ，勾股定理，即可求解．
【详解】如图所示，过点 作 于点 ，
∵ 是等腰直角三角形， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
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又∵
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴
即
在 中，
即
∵ 是等腰直角三角形，
∴ 平分
∴
∴
∴ ，
∴ ，故②正确，
如图所示，
在 的左侧，以 为斜边作等腰直角三角形 ，以 为半径作 ，且
∴ ，
∵
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∴
∴ 在 的 上运动，
∴ ，
连接 交 于点 ，则 ，
∴当 时，结合垂径定理， 最小，
∵ 是半径不变
∴此时 最大
则 面积 的最大，
∴
，故③正确；
如图所示，当 在 上时， 最小，过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ，
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∴ ，
∴ 的最小值是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值
问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
1.（ 2024四川广安）如图，在 中， ， ， ，点 为直线 上一动
点，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ， ，
，当 重合时， 最小，最小值为 ，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ，
， ，
∴当 重合时， 最小，最小值为 ，
∵ ， ，在 中，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
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∴ ，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌
握各知识点是解题的关键．
2.（ 2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，过点 作 轴的垂线
， 为直线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为______．
【答案】5
【解析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线 的对称点
，连 交直线 于点C，连 ，得到 ， ，再由轴对称图形的性质和两点之间线
段最短，得到当 三点共线时， 的最小值为 ，再利用勾股定理求 即可．
【详解】取点A关于直线 的对称点 ，连 交直线 于点C，连 ，
则可知 ， ，
∴ ，
即当 三点共线时， 的最小值为 ，
∵直线 垂直于y轴，
∴ 轴，
∵ ， ，
∴ ，
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∴在 中，
，
故答案为：5
3.（ 2024江苏扬州）如图，已知两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，点C、D分别是
、 上的动点，且满足 ，连接 交线段 于点E， 于点H，则当 最大
时， 的值为_____．
【答案】
【解析】证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，
说明点H在以 为直径的圆上运动，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，则点
在 上 运 动 ， 说 明 当 与 相 切 时 最 大 ， 得 出 ， 根 据
，利用 ，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，
∴点B为定点， 的长度为定值，
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∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点H在以 为直径的圆上运动，
如图，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，
则点 在 上运动，
∴当 与 相切时 最大，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三
角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
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4.（ 2024四川广元）如图，在 中， ， ，则 的最大值为______．
【答案】
【解析】过点 作 ，垂足为 ，如图所示，利用三角函数定义得到 ，
延 长 到 ， 使 ， 连 接 ， 如 图 所 示 ， 从 而 确 定
， ，再由辅助圆-定弦定角模型得到点 在
上运动， 是 的弦，求 的最大值就是求弦 的最大值，即 是直径时，取
到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，如图所示：
，
在 中，设 ，则 ，由勾股定理可得 ，
，即 ，
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，
延长 到 ，使 ，连接 ，如图所示：
，
， ，
是等腰直角三角形，则 ，
在 中， ， ，由辅助圆-定弦定角模型，作 的外接圆，如图所示：
由圆周角定理可知，点 在 上运动， 是 的弦，求 的最大值就是求弦
的最大值，根据圆的性质可知，当弦 过圆心 ，即 是直径时，弦最大，如图所示：
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是 的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，则由勾股定理可得 ，即 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、
圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解
决问题的关键．
5. （ 2024河南省）如图，在 中， ， ，线段 绕点C在平面内旋转，
过点B作 的垂线，交射线 于点E．若 ，则 的最大值为_________，最小值为
_________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以 为直径的圆上，根据
，得出当 最大时， 最大， 最小时， 最小，根据当
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与 相切于点D，且点D在 内部时， 最小， 最大，当 与 相切于点
D，且点D在 外部时， 最大， 最小，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵线段 绕点C在平面内旋转， ，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的圆上，
在 中， ，
∵ 为定值，
∴当 最大时， 最大， 最小时， 最小，
∴当 与 相切于点D，且点D在 内部时， 最小， 最大，连接 ， ，如图
所示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即 的最大值为 ；
当 与 相切于点D，且点D在 外部时， 最大， 最小，连接 ， ，如图所
示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，
解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出 取最大值和最
小值时，点D的位置．
6.（ 2024四川宜宾）如图，正方形 的边长为1，M、N是边 、 上的动点．若 ，
则 的最小值为___________．
【答案】 ##
【解析】将 顺时针旋转 得到 ，再证明 ，从而得到
，再设设 ， ，得到 ，利用勾股定
理得到 ，即 ，整理得到 ，从而利用完全
平方公式得到 ，从而得解．
【详解】解：∵正方形 的边长为1，
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∴ ， ，
将 顺时针旋转 得到 ，则 ，
∴ ， ， ， ，
∴点P、B、M、C共线，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
∴
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，
当且仅当 ，即 ，也即 时， 取最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式
等知识，证明 和得到 是解题的关键．
7.（ 2024四川内江）如图，在 中， ， ， 是 边上一点，且 ，点
是 的内心， 的延长线交 于点 ， 是 上一动点，连接 、 ，则 的最
小值为________．
【答案】
【解析】在 取点F，使 ，连接 ， ，过点F作 于H，利用三角形内心
的 定 义 可 得 出 ， 利 用 证 明 ， 得 出 ， 则
，当C、P、F三点共线时， 最小，最小值为 ，利用含 的直
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角三角形的性质求出 ，利用勾股定理求出 ， 即可．
【详解】在 取点F，使 ，连接 ， ，过点F作 于H，
∵I是 的内心，
∴ 平分 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当C、P、F三点共线时， 最小，最小值为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理
等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含 的直角三角形是解题的关键．
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三、解答题
1. （2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式 ，其中
是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面
竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔
的时间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）小明的说法不正确，理由见解析
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）把 ， 代入 求解即可；
（3）由（2），得 ，把 代入，求出t的值，即可作出判断.
【小问1详解】
解：
，
∴当 时，h最大，
故答案为： ；
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【小问2详解】
解：根据题意，得
当 时， ，
∴ ，
∴ （负值舍去）；
【小问3详解】
解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得 ，
当 时， ，
解方程，得 ， ，
∴两次间隔的时间为 ，
∴小明的说法不正确．
2. （2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数 的最值问题
展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并
整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
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【探究发现】老师：“请同学们结合学过 的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以
我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】（1）① ；②当 时， 有最小值为 （2）见解析（3）正确，
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把 代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出 的最大值，再利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）①把 代入 ，得：
；
∴ ；
②∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
（2）∵ ，
∵抛物线的开口向上，
∴当 时， 有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ，
即： ，
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∴当 时， 有最大值，为 ．
3. （2024江苏连云港）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形
面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形
面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示
步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为
端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 绕点 逆时针旋转，他发现旋转过程中
存在最大值．若 ， ，当 最大时，求AD的长；
（4）如图6，在 中， ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若
， ，求 的最小值．
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【答案】（1）2（2） （3） （4）
【解析】【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由 ，证明 ，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将 绕点 逆时针旋转，可得 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，可得当
与 相切时， 最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将 沿 对折， 的对应点为 ，将 沿 对折， 的对应点为 ，连接
，再将 沿 方向平移，使 与 重合，如图，得 ，由（2）可得：
，当 三点共线时， 最短，再进一步解答即可.
【详解】解：如图，
∵正方形 ， 及圆为正方形 的内切圆，为正方形 的外接正方形，
∴设 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
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（2）如图，∵ ，
∴ ， ，
， ，
∴ ，
如图，
结合图形变换可得： ；
（3）如图，∵将 绕点 逆时针旋转，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∵ 为圆外一个定点，
∴当 与 相切时， 最大，
∴ ，
∴ ，
由（2）可得： ，
∵ ， ，
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∴
，
∴ ；
（4）如图，将 沿 对折， 的对应点为 ，将 沿 对折， 的对应点为 ，连接
，
∴ ， ，
再将 沿 方向平移，使 与 重合，如图，得 ，
由（2）可得： ，
∴当 三点共线时， 最短，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
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∴ 的最小值为 ；
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，
切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
4. （2024山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生
活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每
天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每
辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】（1） ，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元
（2）这天售出了64辆轮椅
【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令 ，得到关于 的一元二次方程，进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得： ；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时，每天的利润最大，为 元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元；
【小问2详解】
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当 时， ，
解得： （不合题意，舍去）；
∴ （辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
5.（ 2024山东枣庄）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图
像上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．
（1）求 的值；
（2）若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到
新的二次函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值
范围．
【答案】（1）
（2）新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
（3）
【解析】【分析】（1）把点 代入 可得 ，再利用抛物线的对称轴
公式可得答案；
（2）把点 代入 ，可得： ，可得抛物线为 ，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ，
再利用二次函数的性质可得答案；
（3）由根与系数 的关系可得 ， ，结合 ，
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，再建立不等式组求解即可.
【小问1详解】
解：∵点 在二次函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵点 在 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为 ，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
∵ ，
∴当 时，函数有最小值为 ，
当 时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
【小问3详解】
∵ 的图像与 轴交点为 ， ．
∴ ， ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
解得： .
【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元
二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.
6.（ 2024天津市）已知抛物线 的顶点为 ，且 ，
对称轴与 轴相交于点 ，点 在抛物线上， 为坐标原点．
（1）当 时，求该抛物线顶点 的坐标；
（2）当 时，求 的值；
（3）若 是抛物线上的点，且点 在第四象限， ，点 在线段 上，
点 在线段 上， ，当 取得最小值为 时，求 的值．
【答案】（1）该抛物线顶点 的坐标为 （2）10 （3）1
【解析】【分析】（1）先求得 的值，再配成顶点式，即可求解；
（2）过点 作 轴，在 中，利用勾股定理求得 ，在 中，勾股
定理求得 ，得该抛物线顶点 的坐标为 ，再利用待定系数法求解即可；
（3）过点 作 轴，过点 作 轴，证明 ，求得点 的坐标
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为 ，在 中，利用勾股定理结合题意求得 ，在 的外部，作
，且 ，证明 ，得到 ，当满足条件的点 落在线
段 上时， 取得最小值，求得点 的坐标为 ，再利用待定系数法求解即可．
【小问1详解】
解： ，得 ．又 ，
该抛物线的解析式为 ．
，
该抛物线顶点 的坐标为 ；
【小问2详解】
解：过点 作 轴，垂足为 ，
则 ．
在 中，由 ，
．
解得 （舍）．
点 的坐标为 ．
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，即 ．
抛物线 的对称轴为 ．
对称轴与 轴相交于点 ，则 ．
在 中，由 ，
．
解得 负值舍去．
由 ，得该抛物线顶点 的坐标为 ．
该抛物线的解析式为 ．
点 在该抛物线上，有 ．
；
【小问3详解】
解：过点 作 轴，垂足为 ，
则 ．
．
在 中， ．
过点 作 轴，垂足为 ，则 ．
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，又 ，
．
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ．
在 中， ，
，即 ．
根据题意， ，得 ．
在 的外部，作 ，且 ，连接 ，
得 ．
．
∴ ．
．
当满足条件的点 落在线段 上时， 取得最小值，即 ．
在 中， ，
．得 ．
．解得 （舍）．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
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点 都在抛物线 上，
得 ．
．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角
形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
7. （2024安徽省）已知抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点
横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
（ⅰ）若 ，且 ， ，求h的值；
（ⅱ）若 ，求h的最大值．
【答案】（1） （2）（ⅰ）3；（ⅱ）
【解析】【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二
次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意求出 的顶点为 ，确定抛物线 （b为常数）的顶点横坐标
为2，即可求解；
（ 2 ） 根 据 题 意 得 出 ， ， 然 后 整 理 化 简
；（ⅰ）将 代入求解即可；（ⅱ）将 代入整理为顶点式，即可得
出结果．
【小问1详解】
解： ，
∴ 的顶点为 ，
∵抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1，
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∴抛物线 （b为常数）的顶点横坐标为2，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由（1）得
∵点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
∴ ， ，
整理得：
（ⅰ）∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（ⅱ）将 代入 ，
整理得 ，
∵ ，
∴当 ，即 时，h取得最大值 为．
8.（ 2024四川凉山）如图，在菱形 中， ， 是 边上一个动点，连接
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， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ．连接 ．
（1）求证： ；
（2）求 的最小值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质证明 ，再结合 是 的垂直平分线，即可证明
；
（2）过点N作 于点F，连接 ， ，则 ，故
，此时 ，在 中，进行解直
角三角形即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点N作 于点F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：
即 ，
∴在 中， ，
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∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三
角形，正确添加辅助线是解决本题的关键．
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