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初一第二学期期中试卷
数学
（清华附中初22级）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 下列各式中,正确的是( )
A. =±4 B. ± =4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】A、 ，此项错误；
B、 ，此项错误；
C、 ，此项正确；
D、 ，此项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．
2. 若 ，则下列各式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质分析判断即可．
【详解】解：A．根据不等式性质2可知， 两边同乘以4时，不等式为 ，故A正确，不符
合题意；
B．根据不等式性质3可知， 两边同乘以 时，不等式为 ，故B错误，符合题意；
C．根据不等式性质1可知， 两边同加上1时，不等式为 ，故C正确，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D．根据不等式性质3可知， 两边同乘以 时，不等式为 ，再根据不等式性质1可知，
两边同加上1时，不等式为 ，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或
式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等
式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3. 如图所示，AB∥CD，若∠1＝144°，则∠2的度数是（ ）
A. 30° B. 32° C. 34° D. 36°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB＝144°，然后根据邻补角的定义求出∠2的度数.
【详解】∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CAB＝144°，
∵∠2+∠CAB＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠CAB＝36°，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行
同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.
4. 估算 的值为（ ）
A. 在2和3之间 B. 在3和4之间 C. 在4和5之间 D. 在5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】估计 的取值范围即可．
【详解】解：
∴
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学科网（北京）股份有限公司即 的值在4和5之间，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，估计出 的取值范围是解题关键．
5. 如图，直线 与直线 相交于点 ， ，且 平分 ，若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出 ，设 ，根据角平分线的定义，对顶角相
等，得出 ，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ 平分 ，
则
∵
∴ ，
解得： ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
6. 在下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移与旋转的性质即可得出结论．
【详解】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
B．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
C．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
D．不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大
小是解答此题的关键．
7. 如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点 、 的坐标分别为 、 ，
则顶点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图形可得 轴， ， 轴，可求正方形的边长，即可求解．
【详解】解：如图：
∵顶点M、N的坐标分别为 、 ，
∴ 轴， ， 轴，
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学科网（北京）股份有限公司∴正方形的边长为3，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 轴，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确求出点B的坐标是本题的关键．
8. 已知关于 ， 的方程组 ，若方程组的解中 恰为整数， 也为整数，则 的值
为（ ）
A. B. 1 C. 或3 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用加减消元法解关于 、 方程组得到 ，利用有理数的整除性得到 ，从
的
而得到满足条件的 的值．
【详解】解： ，
得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∵ 为整数， 为整数，
∴ ，
∴ 的值为 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次
方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 若一个二元一次方程组的解是 ，请写出一个符合此要求的二元一次方程组_____________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的解是 找到x与y的数量关系，然后列出方程组即可．
【详解】解 ：∵二元一次方程组的解为 ，
∴ ；
∴这个方程组可以是 ．
故答案为 （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义．此题属于开放题，正确理解定义是解题的关键．注
意方程组中的一个方程不能由另一个方程变形得到．
10. 小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，
请你帮他找回▲，这个数▲ ___________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据二元一次方程组的解的定义得到 满足方程 ，于是把 代入
得到 ，可解出y的值．
【详解】解：把 代入 得 ，解得 ，
∴▲为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的
值叫二元一次方程组的解．
11. 已知点 在第三象限，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据第三象限内点的坐标的特征 列不等式组求出m的范围即可.
【详解】∵点 在第三象限，
由①得，
由②得，
∴m的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征及一元一次不等式组.熟练掌握平面直角坐标
系中各个象限内点的特征及一元一次不等式组的解法是解题的关键.
12. 如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】38
【解析】
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
13. 一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点D在斜边AB上．现
将三角板DEF绕着点D顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，∠BDE的度数是_____．
【答案】15°
【解析】
【分析】利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠ABC＝45°，
∴∠EDB＝∠DFB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，
故答案为15°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．①两直
线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.
14. 平面直角坐标系 中，已知线段 与 轴平行，且 ，若点A的坐标为 ，则点 的坐
标是__________．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相
当于点A左右平移，可求B点横坐标．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ 轴，点A的坐标为 ，
∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，
∴点B纵坐标为1，
又∵ ，可能右移，横坐标为 ；可能左移，横坐标为 ，
∴B点坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想．
15. 已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据原方程组 得： ，得出 ,根据 ，得出
，求出k的值即可．
【详解】解： ，
得： ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
为
故答案 ： ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，得出
．
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学科网（北京）股份有限公司16. 初三年级261位学生参加期末考试，某班35位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名
情况如图1和图2所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
① 在甲、乙两人中，总成绩名次靠前的学生是_________；
② 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_____
【答案】 ①. 甲 ②. 数学
【解析】
【分析】（1）根据图1分析甲乙两人所在的位置的横坐标即可确定总成绩名次；
（2）根据图2分析丙所在位置的横坐标，确定丙的总成绩年级名次是倒数第5，在图1中找出从右数第5
个点即为丙的位置，观察图1和图2中丙的纵坐标即可得出答案．
【详解】解：（1）由图1可知甲的位置在乙的左侧，所以在甲、乙两人中，总成绩名次靠前的学生是甲；
（2）由初三年级261位学生参加期末考试，某班35位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排
名情况图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从图2看，丙是从右往左数第5个点，即丙的
总成绩在班里倒数第5．在图1中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中
丙的位置高，所以语文名次更“大”，即在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数
学．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为甲；数学．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系和点的坐标，结合两个图形找出点对应的横纵坐标的意义，以及两个
图中横坐标表示的意义相同是解决此题的关键．
三、解答题（本题共52分，第17题，4分；第18题，每小题4分；第19-20题，每小5分；
第21-25题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根定义，算术平方根定义，绝对值的意义，进行计算即可．
【详解】解：
，
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握立方根定义，算术平方根定义，绝对值的
意义，准确计算．
18. 解方程（组）：
（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解： ，
开平方得： ，
解得： ， ．
【小问2详解】
解： ，
得： ，
解得： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴方程组的解为： ．
【点睛】本题主要考查了利用平方根解方程和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步
骤，准确计算．
19. 解不等式组 ，并求出它的非负整数解．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】不等式组的解集为 ，不等式组的非负整数解为0，1
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后可得其非负整数解．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同
小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．
20. 如图，这是某校的平面示意图，如以正东为 轴正方向，正北为 轴正方向建立平面直角坐标系后，得
到初中楼的坐标是 ，实验楼的坐标是 ．
（1）坐标原点应为_________的位置
（2）在图中画出此平面直角坐标系；
（3）校门在第_________象限；图书馆的坐标是__________；分布在第二象限的是___________．
【答案】（1）高中楼 （2）见解析
（3）四， ，初中楼
【解析】
【分析】（1）根据初中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案；
（2）由（1）即可得到答案；
（3）根据坐标系中的位置即可得到答案．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：初中楼的坐标是 ，实验楼的坐标是 ，
∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，
即坐标原点应为高中楼的位置，
故答案为：高中楼；
【小问2详解】
解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示：
【小问3详解】
解：由坐标系可知，校门在第四象限，图书馆的坐标为 ，分布在第二象限的是初中楼，
故答案为：四， ，初中楼．
【点睛】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键．
21. 一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的 为16时，输出的 值是____________；
（2）若输入有效的 值后，始终输不出 值，请写出所有满足要求的 的值，并说明你的理由；
（3）若输出的 是 ，请写出两个满足要求的 值：___________．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2） 或 ；理由见解析
（3）5或25（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；
（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．
【小问1详解】
解：当 时，16的算术平方根为 ，
而4是有理数，4的算术平方根为 ，
而2是有理数，2的算术平方根为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：0或1，理由如下：
∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，
∴无论进行多少次运算都不可能是无理数；
【小问3详解】
解：若1次运算就是无理数，则输入的数为5，
若2次运算输出的数是无理数，则输入的数是25，
故答案为：5或25．
【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键．
22. 已知关于x、y的方程组 的解满足 ，求a的取值范围．
【答案】a>2
【解析】
【分析】解方程组求得x与y的值，根据x>y>0，即可求得a的取值范围．
【详解】解方程组得
∵
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学科网（北京）股份有限公司∴
即
解不等式组得：a>2．
【点睛】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合，考查了二元一次不等式组的解法，解一元一
次不等式组等知识，解含有参数a的二元一次方程组是解题的关键与难点．
23. 阅读材料
2020年3月，某学校到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，
共花费4500元；已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
（1）学校购买一个A种品牌足球________元，购买一个B种品牌的足球________元．
（2）2021年9月，学校决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A
品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买
A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个．学
校第二次购买足球有哪几种方案？
（3）学校在第二次购买活动中最少需要资金_______元．
【答案】（1） ；（2）学校二次购买足球有三种方案：方案一：购买 种足球25个， 种足球25
个；方案二：购买 种足球26个， 种足球24个；方案三：购买 种足球27个， 种足球23个；（3）
3114
【解析】
【分析】（1）设 种品牌足球的单价为 元， 种品牌足球的单价为 元，根据“总费用 买 种足球
费用 买 种足球费用，以及 种足球单价比 种足球贵30元”可得出关于 、 的二元一次方程组，解
方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买 种足球 个，则购买 种足球 个，根据“总费用 买 种足球费用 买
种足球费用，以及 种足球不小于23个”可得出关于 的一元一次不等式组，解不等式组可得出 的取
值范围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时， 、 种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最少，求出花费最小值即可得出
结论．
【详解】解：（1）设 种品牌足球的单价为 元， 种品牌足球的单价为 元，
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学科网（北京）股份有限公司依题意得： ，
解得： ．
答：购买一个 种品牌的足球需要50元，购买一个 种品牌的足球需要80元，
故答案是： ．
（2）设第二次购买 种足球 个，则购买 种足球 个，
依题意得： ，
解得： ．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买 种足球25个， 种足球25个；
方案二：购买 种足球26个， 种足球24个；
方案三：购买 种足球27个， 种足球23个．
（3） 第二次购买足球时， 种足球单价为 （元 ， 种足球单价为 （元 ，
当购买方案中 种足球最少时，费用最少，即方案三花钱最少．
（元 ．
答：学校在第二次购买活动中最少需要3114元资金，
故答案是：3114．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据数量关系列
出方程（方程组、不等式或不等式组）．
24. 已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与
OB相交．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB
内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当 时，过点F
作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含 的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关
系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②30°
（2）∠OCD＋∠BFH＝360°－ ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意补图即可；
②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出两角的数量关系即可．
【小问1详解】
解：①依据题意，补全图1如下：
②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
【小问2详解】
解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
25. 对平面直角坐标系 中的任意两点 和 ，我们定义 为点 和
点 的“绝对和距离”，记作 ，即
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学科网（北京）股份有限公司（1）若点 ，点 ，则 ____________．
（2）在点 ， ， ， 中，与原点 “绝对和距离”为6的点是
____________
（3）已知点 ， ， ， ，若以点 、 、 、 为顶点的四边
形上存在一点 ，使得 ，则 的最小值为_________，最大值为_________．
【答案】（1）6 （2） 、 、
（3） ；6．
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可；
（2）分别求出四个点与原点 “绝对和距离”进行判断即可；
（3）根据题意画出图形，结合定义得出当 在y轴左侧，点K在 与x轴的交点上时， 最小，则此
时点 ，求出最小值即可；当 在y轴右侧，点K在 与x轴的交点上时， 最大，则此
时点 ，求出最大值即可．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：∵点 ，点 ，
∴ ；
故答案为：6．
【小问2详解】
解：∵点 ， ， ， 中，
∴ ，
，
，
，
的
∴与原点 “绝对和距离”为6 点是 、 、 ．
故答案为： 、 、 ．
【小问3详解】
解：∵ ， ， ， ，
∴ 轴， 轴， 轴， 轴，
如图，当 在y轴左侧，点K在 与x轴的交点上时， 最小，则此时点 ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴m的最小值为 ；
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学科网（北京）股份有限公司如图，当 在y轴右侧，点K在 与x轴的交点上时， 最大，则此时点 ，
∵
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴m的最大值为 ；
故答案为： ；6．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，数形结合，
准确计算．
附加题：（本题共20分，第26-27题，每小题3分；第28-29题，每小题4分；第30题，每
小题6分）
26. 若 ，则x+y的平方根等于______．
【答案】±2
【解析】
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可得x+y的值，再根据平方根的定义即可得．
【详解】解：∵ ，且 ， ，
∴ ， ，
第22页/共27页
学科网（北京）股份有限公司则 的平方根是±2．
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
27. 若关于x的不等式组 有且仅有一个整数解 ，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集为 ，再由不等式组有且仅有一个整
数解 ，即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组有且仅有一个整数解 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得
出结论是解此题的关键．
28. 不论m取什么值，等式(2m+1)x+(2-3m)y+1-5m=0都成立，则x=________，y =________．
.
【答案】 ① 1 ②. ﹣1
【解析】
【详解】方程可化为：（2x﹣3y﹣5）m+（x+2y+1）=0，
∵不论m取什么值，等式都成立，
∴ ，
②×2得，2x+4y+2=0③，
第23页/共27页
学科网（北京）股份有限公司③﹣①得，7y+7=0，
解得y=﹣1，
把y=﹣1代入②得，x=1，
所以，方程组的解是 ．
故答案是1，﹣1．
29. 已知 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】用 将 表示出来，代入式子，求解即可．
【详解】解：联立 ， 可得
，即 ，解得
将 代入 可得
，
故答案为：
【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用 将 表示出来，并代入代数式求解．
30. 在平面直角坐标系 中，对于与原点不重合的两个点 和 ，关于 ， 的方程
称为点 的“照耀方程”．若 是方程 的解，则称点 “照耀”了点
例如，点 的“照耀方程”是 ，且 是该方程的解，则点 “照耀”了点
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）下列点中被点 “照耀”的点为____________．
， ，
（2）若点 同时被点 和点 “照耀”，请求出 ，
（3）若 个不同的点 ， ，…， ，每个点都“照耀”了其后所有的点，
如 “照耀”了 ， ，…， ，
“照耀”了 ， ，…， ，……
“照耀”了 ，
请写出 的最大值，并说明理由．
【答案】（1）
（2） ，
（3） 的最大值为3；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可；
（2）根据题意列出方程组，求解即可；
（3）根据二元一次方程组只有一个解解答即可．
【小问1详解】
解：点 的照耀方程为： ，
把点 代入得： ，
∴点 不是被点 “照耀”的点；
把点 代入得： ，
∴点 不是被点 “照耀”的点；
把点 代入得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴点 是被点 “照耀”的点；
故答案为： ．
【小问2详解】
解：点 的照耀方程为： ，点 的照耀方程为： ，
解方程组 得： ，
∴点C为 ，
即 ， ．
【
小问3详解】
解： 的最大值为3；理由如下：
设点 ，则关于点 的照耀方程为 ，
设点 ，则关于点 的照耀方程为 ，
设点 是被 和 的“照耀”的点，
∴ 是方程组 ，
∵方程组 为关于x、y的二元一次方程组，
又∵二元一次方程组只有一个解，
∴被 和 “照耀”的点只有一个，
∴不可能再写出第4个点，
∴ 的最大值为3．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握解二元一次方程组的方法，及二
元一次方程组解的定义．
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