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培优冲刺 02 二次函数与几何的综合
1、二次函数与特殊四变形的综合
2、二次函数与最值的综合
3、二次函数与相似的综合
4、二次函数与新定义的综合
题型一：二次函数与特殊四边形的综合
此类问题都是在抛物线的基础之上与平行四边形、特殊平行四边形结合，考察特殊平行四边形的性质
或者存在性问题；做题时需要将二者的性质结合思考，共同应用。
【中考真题练】
1．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为
常数，且a≠0）的图象上．
①a＝ 1 ；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在
点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果
不是，请说明理由．
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D
的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
【分析】（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，即知（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且
a≠0）的图象上，用待定系数法可得a＝1；
②设BC交y轴于E，设菱形的边长为2t，可得B（﹣t，t2），故AE＝ ＝ t，D（2t，t2+
t），代入y＝x2得t2+ t＝4t2，可解得t＝ ，故菱形的边长为 ；
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③过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，由点B、D的横坐标分别为m、n，可得BF＝m，OF＝
m2，DE＝n，OE＝n2，证明△ABF≌△DAE（AAS），有BF＝AE，AF＝DE，故m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝
n，即可得n﹣m＝1；
（2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，由点B、D的横坐标分别为m、n，知B（m，
am2），D（n，an2），分三种情况：①当B，D在y轴左侧时，由△ABF≌△DAE（AAS），可得﹣m
＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，故n﹣m＝ ；②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，由△ABF≌△DAE
（AAS），有﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，知m+n＝0或n﹣m＝ ；③当B，D在y轴右侧时，m＝an2
﹣AF﹣am2，AF＝n，可得n﹣m＝ ．
【解答】解：（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，
∴（0，0）在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常
数，且a≠0）的图象上，
∵四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且
a≠0）的图象上，
∴二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上的三个点是（0，0），（1，1），（﹣1，1），
把（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，
故答案为：1；
②设BC交y轴于E，如图：
设菱形的边长为2t，则AB＝BC＝CD＝AD＝2t，
∵B，C关于y轴对称，
∴BE＝CE＝t，
∴B（﹣t，t2），
∴OE＝t2，
∵AE＝ ＝ t，
∴OA＝OE+AE＝t2+ t，
∴D（2t，t2+ t），
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把D（2t，t2+ t）代入y＝x2得：
t2+ t＝4t2，
解得t＝ 或t＝0（舍去），
∴菱形的边长为 ；
③n﹣m是为定值，理由如下：
过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，如图：
∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B（m，m2），D（n，n2），
∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA，
∵∠AFB＝∠DEA＝90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，
∴m＝n2﹣n﹣m2，
∴m+n＝（n﹣m）（n+m），
∵点B、D在y轴的同侧，
∴m+n≠0，
∴n﹣m＝1；
（2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，
∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B（m，am2），D（n，an2），
①当B，D在y轴左侧时，如图：
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∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝﹣n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，
∴﹣m＝am2+n﹣an2，
∴m+n＝a（n﹣m）（n+m），
∵m+n≠0，
∴n﹣m＝ ；
②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，如图：
∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，
∴﹣m＝am2+n﹣an2，
∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），
∴m+n＝0或n﹣m＝ ；
③当B，D在y轴右侧时，如图：
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∴BF＝m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n，
∴m＝an2﹣n﹣am2，
∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），
∵m+n≠0
∴n﹣m＝ ；
综上所述，m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m＝ ．
2．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，
点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称
点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为
D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；
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（3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据
平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则 ，
解得： ，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，
则DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M＝ ＝ ，
∴MH+DH的最小值为 ；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
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∴设Q（1，n），
当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，
∴ ，
解得： ，
∴Q（1，3）；
当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，
∴ ，
解得： ，
∴Q（1，1）；
当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，
∴ ，
解得： ，
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为
（1，3）或（1，1）或（1，5）．
3．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为 的抛物线经过B，C
两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物
线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 ，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若 ，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此
时m的值；若不存在，请说明理由．
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【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线MN的函数解析式，列方程求解；
（3）根据 MN＝2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算
求解．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴点B（4，0），点C（0，4），
设抛物线的解析式为 ，
把点B（4，0），点C（0，4）代入可得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 y＝ ＝﹣x2+3x+4；
（2）由题意，P（m，﹣m2+3m+4），
∴PN＝﹣m2+3m+4，
当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，
∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，
∴D（0，m2﹣3m） N（m，0），
设直线MN的解析式为 ，
把 N（m，0）代入可得 ，
解得：k ＝3﹣m，
1
∴直线MN的解析式为 y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，
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又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为 ，
∴M（3﹣m，﹣m2+3m+4），
∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，
解得m ＝ （不合题意，舍去），m ＝ ；
1 2
∴当m为 时，四边形CDNP是平行四边形；
（3）存在，理由如下：
∵对称轴为x＝ ，
设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），
∴M点横坐标为： ×2﹣m＝3﹣m，
∴N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），
①如图1，
∵MN＝2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x＝ 上，
∴E（ ， ），
又点E在直线BC：y＝﹣x+4，代入得：
＝﹣ +4，
解得：m＝ 或 （舍去），
故此时m的值为 ．
②如图2，设E点坐标为（n，﹣n+4），N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），
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∵MN＝2ME，
∴0﹣（﹣m2+3m+4）＝2（﹣m2+3m+4+n﹣4）①，
∴3﹣m﹣m＝2（n﹣3+m）②，
联立①②并解得：m＝ （舍去）或 ，
综上所述，m的值为 或 ．
【中考模拟练】
1．（2024•新沂市模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于A（﹣1，
0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直
线BC于点E．
（1）a＝ 1 ，b＝ ﹣ 2 ；
（2）在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）当∠ECD＝90°，
由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4），则直线CD⊥BC，即可求解；当∠CDE＝
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90°时，则点C、D关于抛物线的对称轴对称，即可求解；
（3）由CE＝DE，得到x＝3﹣ ，则CE＝ x＝3 2＝CF，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ），
1 2
则y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
即a＝1，b＝﹣2，
故答案为：1，﹣2；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
点B、C的坐标的得，直线BC的表达式知：y＝x﹣3，
当∠ECD＝90°，
由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4），
则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则直线CD⊥BC，
即当点D和抛物线的顶点重合时，△CDE是直角三角形，
即点P（1，0）；
当∠CDE＝90°时，
则点C、D关于抛物线的对称轴对称，
则点P（2，0）；
综上，P（1，0）或（2，0）；
（3）存在，理由：
设点P（x，0），则点E（x，x﹣3），点D（x，x2﹣2x﹣3），
则DE＝x﹣3﹣x2+2x+3＝﹣x2+3x，
①当CE＝ED＝CF，
则CE＝DE，
即﹣x2+3x＝ x，
解得：x＝3﹣ ，
则CE＝ x＝3 2＝CF，
则点F的坐标为：（0，3 ﹣5）（舍去）或（0，﹣3 ﹣1）．
②当FE＝ED＝CD＝CF，
此时∠CED＝∠BCO＝45，∠FEC＝∠CED＝45（菱形的对角线平分菱形的角），
∴∠FED＝90，
因此这个菱形正好是特殊的正方形．
∴当CD∥x轴（∠CDE＝90）时，即可满足．
此时E（2，﹣1），
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∵FE∥CD，
∴F（0，﹣1），
综上，点F的坐标为：（0，﹣1）或（0，﹣3 ﹣1）．
题型二：二次函数与最值的综合
1、二次函数本身可以转化成顶点式求最值；
2、抛物线上不规则三角形求面积最大值，常用“水平宽×铅垂高÷2”来计算
【中考真题练】
1．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 0 或 2 或﹣ ；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x
＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的
面积为S ，△CDE的面积为S ．
1 2
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S ﹣S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
1 2
【分析】（1）y关于x的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为①与x轴有两
个交点且一个交点为原点；②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况讨论；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，待定系数法求得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，当x＝0时，
y＝8，得到C（0，8），P（1，9），求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，得到F（1，6），根据三角
形的面积公式即可得到结论；
②如图，设直线x＝m交x轴于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣
m2+2m+8），得到PH＝﹣m2+2m+8，根据相似三角形的性质得到OD＝8﹣2m，根据二次函数的性质即
可得到结论．
【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，
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y关于x的函数解析式为y＝3x+ ，
此时y＝3x+ 与x轴的交点坐标为（﹣ ，0），
与y轴的交点坐标为（0， ）；
②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两
种情况．
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．
当y＝0时，﹣2x2+x＝0，
解得x ＝0，x ＝ ．
1 2
∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（ ，0）．
当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等
实数根．
∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）× a＝0，
解得a＝﹣ ，
此时y＝﹣ x2+ x﹣ ，
当x＝0时，y＝﹣ ，
∴与y轴的交点坐标为（0，﹣ ），
当y＝0时，﹣ x2+ x﹣ ＝0，
解得x ＝x ＝ ，
1 2
∴与x轴的交点坐标为（ ，0），
综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为
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2，0，﹣ ，
故答案为：2或0或﹣ ；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，
根据题意得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，
当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，
∴P（1，9），
∵B（4，0），C（0，8），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，
∴F（1，6），
∴PF＝9﹣6＝3，
∴△PBC的面积＝ OB•PF＝ ＝6；
②S ﹣S 存在最大值，
1 2
理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，
由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），
∴PH＝﹣m2+2m+8，
∵OD∥PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴ ，
∴ ，
∴OD＝8﹣2m，
∵S
1
﹣S
2
＝S△PAB ﹣S△AOD ﹣S△OBC ＝ ＝﹣3m2+8m＝﹣3（m﹣ ）2+
，
∵﹣3＜0，0＜m＜4，
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∴当m＝ 时，S ﹣S 存在最大值，最大值为 ．
1 2
2．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣
1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线
BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移 个单位长度，点
M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是
菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED），即可求解；
（3）当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN，列出方程组即可求解；当AM或AN是对角线时，
同理可解．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
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则抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+2；
（2）令y＝﹣ x2+ x+2＝0，
解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），
∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，
则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED＝ ，cos∠PED＝ ，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣ x+2，
则PE＝﹣ x2+ x+2+ x﹣2＝﹣ （x﹣2）2+2≤2，
即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），
则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1+ + ）PE＝ ，
即△PDE周长的最大值为 ，点P（2，3）；
（3）抛物线沿射线CB方向平移 个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，
则平移后抛物线的对称轴为x＝ ，
设点M（ ，m），点N（s，t），
由点A、P的坐标得，AP2＝18，
当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：
，解得： ，
即点N的坐标为：（﹣ ， ）；
当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：
或 ，
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解得： （不合题意的值已舍去），
即点N的坐标为：（ ， ）；
综上，点N的坐标为：（ ，﹣ ）或（ ， ）或（﹣ ， ）．
【中考模拟练】
1．（2024•东平县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC
＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点
M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不
存在，请说明理由；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，EP∥y轴，当线段PE的长度最
大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．
【分析】（1）由OB，OC，OA，OD的长度可得出点A，B，C，D的坐标，由点A，B，C的坐标，利
用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接BC，交抛物线对称轴于点N，此时AN+CN和最小，即
△ANC的周长最小，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图
象上点的坐标特征可求出点N的坐标；
（3）由点A，D的坐标可得出直线AD的解析式，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，通过解方
程组可求出点M的坐标，过点PP作PE⊥x轴，交直线AD于点E，设点P的坐标为（m，m2+2m﹣3）
（﹣4＜m＜1），则点E的坐标为（m，﹣m+1），进而可得出PE的长，由三角形的面积结合S△APM ＝
S△APE +S△MPE 可得出S△APM 关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝
ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
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∴点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），点A的坐标为（1，0），点D的坐标为
（0，1），
将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得： ，
∴这条抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在抛物线对称轴上存在一点N，使得△ANC的周长最小；理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
连接BC，交抛物线对称轴点N，如图1所示，
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴AN＝BN，
∴AN+CN＝BN+CN，
∴当点B，C，N三点共线时，BN+CN取得最小值，即△ANC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d得：
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点N（﹣1，﹣2）时△ANC的周长最小；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，
∵A（1，0），D（0，1），
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∴直线AD的解析式为y＝﹣x+1，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，得：
，
解得： ， ，
∴点M的坐标为（﹣4，5），
过点P作PE⊥x轴，交直线AD于点E，如图2所示，
设点P的坐标为（m，m2+2m﹣3）（﹣4＜m＜1），则点E的坐标为（m，﹣m+1），
∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△APM ＝S△APE +S△MPE ，
＝ ，
＝ ，
∴S△APM ＝ ＝ ，
∵ ，
∴当 时，△AMP的面积取最大值，最大值为 ，
∴当△AMD面积最大时，点P的坐标为 ，面积最大值为 ．
题型三：二次函数与相似的综合
【中考真题练】
1．（2023•乐至县）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 经过
A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
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（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大
值；
（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在
点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设D（m，﹣ m2﹣ m+3），则C（﹣m2﹣3m，﹣ m2﹣ m+3），进而表示出CD的长；接下
来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）分两种情况：①当△ABQ∽△BQN时，②当△ABQ∽△QBN时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝ x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
A（﹣4，0），B（0，3），
∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A、B两点．
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2﹣ x+3；
（2）设D（m，﹣ m2﹣ m+3），
∵DC∥作x轴，与直线AB交于点C，
∴ x+3＝﹣ m2﹣ m+3，解得x＝﹣m2﹣3m，
∴C（﹣m2﹣3m，﹣ m2﹣ m+3），
∴DC＝﹣m2﹣3m﹣m＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，DC的长的最大值为4；
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（3）设N（0，n），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝ ＝5，
分两种情况：
①当△ABQ∽△BQN时，
∵△ABQ∽△BQN，
∴∠ABQ＝∠BQN， ，
∴PQ∥AB，
∴△OQN∽△OAB，
∴ ，
∴ ，
∴OQ＝ n，QN＝ n，
∴BQ＝ ＝ ，
∴ ，
∴n＝ 或3（舍去），
∴OQ＝ n＝ ，
∴Q（﹣ ，0），N（0， ），
设直线PQ的解析式为y＝kx+a，
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∴ ，解得 ，
∴直线PQ的解析式为y＝ x+ ，
联立y＝﹣ x2﹣ x+3解得x＝ 或 （不合题意，舍去）
∴点P的坐标为（ ， ）；
②当△ABQ∽△QBN时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵△ABQ∽△QBN，
∴∠ABQ＝∠QBN，∠BAQ＝∠BQN，
∴QH＝QO，
∵BQ＝BQ，
∴Rt△BHQ≌Rt△BOQ，
∴BH＝OB＝3，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
设OQ＝q，则AQ＝4﹣q，QH＝q，
∴22+q2＝（4﹣q）2，解得q＝ ，
∴Q（﹣ ，0），
∵∠BQO＝∠BQN+∠OQN＝∠BAQ+∠ABQ，∠BAQ＝∠BQN，∠ABQ＝∠QBN，
∴∠OQN＝∠QBN，
∵∠QON＝∠BOQ＝90°，
∴△OQN∽△OBQ，
∴ ，
∴ ，
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∴n＝ ，
∴Q（﹣ ，0），N（0， ），
同理得直线PQ的解析式为y＝ x+ ，
联立y＝﹣ x2﹣ x+3解得x＝ 或 （不合题意，舍去）
∴点P的坐标为（ ， ）；
综上，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
2．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0），B
（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M（m，0），交BC
于点N，连接CM，PB，PC．△PCB的面积记为S ，△BCM的面积记为S ，当S ＝S 时，求m的值；
1 2 1 2
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当△HMN与△BCM相似时，
请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣ x2+bx+c可解得抛物线的解析式为y＝﹣
x2+x+4；
（2）求出C（0，4），直线BC解析式为y＝﹣x+4，由直线l⊥x轴，M（m，0），得P（m，﹣
m2+m+4），N（m，﹣m+4），PN＝﹣ m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣ m2+2m，故S ＝ PN•|x ﹣x |＝ ×
1 B C
（﹣ m2+2m）×4＝﹣m2+4m，而S ＝ BM•|y |＝ ×（4﹣m）×4＝8﹣2m，根据S ＝S ，有﹣m2+4m＝
2 C 1 2
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8﹣2m，即可解得m的值；
（3）由B（4，0），C（0，4），得△BOC是等腰直角三角形，△BMN是等腰直角三角形，故∠BNM
＝∠MBN＝45°，而△HMN与△BCM相似，且∠MNH＝∠CBM＝45°，可知H在MN的右侧，且 ＝
或 ＝ ，设H（t，﹣t+4），当 ＝ 时， ＝ ，可解得H（6，﹣2），直线MH
解析式为y＝﹣ x+1，联立解析式可解得Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
当 ＝ 时，同理得Q的坐标为（﹣2+2 ，﹣12+6 ）或（﹣2﹣2 ，﹣12﹣6 ）．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣ x2+bx+c得：
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+4；
（2）在y＝﹣ x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，
∵直线l⊥x轴，M（m，0），
∴P（m，﹣ m2+m+4），N（m，﹣m+4），
∴PN＝﹣ m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣ m2+2m，
∴S ＝ PN•|x ﹣x |＝ ×（﹣ m2+2m）×4＝﹣m2+4m，
1 B C
∵B（4，0），C（0，4），M（m，0），
∴S ＝ BM•|y |＝ ×（4﹣m）×4＝8﹣2m，
2 C
∵S ＝S ，
1 2
∴﹣m2+4m＝8﹣2m，
解得m＝2或m＝4（P与B重合，舍去），
∴m的值为2；
（3）∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
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∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠BNM＝∠MBN＝45°，
∵△HMN与△BCM相似，且∠MNH＝∠CBM＝45°，
∴H在MN的右侧，且 ＝ 或 ＝ ，
设H（t，﹣t+4），
由（2）知M（2，0），N（2，2），B（4，0），C（4，0），
∴BC＝4 ，BM＝2，MN＝2，NH＝ ＝ |t﹣2|，
当 ＝ 时，如图：
∴ ＝ ，
解得t＝6或t＝﹣2（此时H在MN左侧，舍去），
∴H（6，﹣2），
由M（2，0），H（6，﹣2）得直线MH解析式为y＝﹣ x+1，
解 得 或 ，
∴Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
当 ＝ 时，如图：
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∴ ＝ ，
解得t＝ （舍去）或t＝ ，
∴H（ ， ），
由M（2，0），H（ ， ）得直线MH解析式为y＝3x﹣6，
解 得 或 ，
∴Q的坐标为（﹣2+2 ，﹣12+6 ）或（﹣2﹣2 ，﹣12﹣6 ）；
综上所述，Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（﹣2+2 ，﹣12+6 ）或
（﹣2﹣2 ，﹣12﹣6 ）．
【中考模拟练】
1．（2024•东莞市一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，
与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，
△CDE的面积为S ，△ACE的面积为S ．当 时，求点D的坐标；
1 2
（3）在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的
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三角形与△BCD相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明△AEF∽△DEG，得到 ＝ ＝ ，即可求解；
（3）当点P在y轴时，以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，存在∠CAP＝∠DCBC＝90°、
∠CPA＝∠DCB＝90°两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点P（P′）在x轴上时，同理
可解．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，得：y＝3，
∴C（0，3）．
把y＝0代入y＝﹣x+3得：x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如右图，分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线BC于点F和点G，
设点D（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3）
则DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
当x＝﹣1时 y＝4，
∴F（﹣1，4），AF＝4，
∵AF∥DG，
∴△AEF∽△DEG，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
则DG＝2，
∴﹣m2+3m＝2，
解得 m ＝1，m ＝2，
1 2
∴点D坐标为（1，4）或（2，3）；
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（3）存在，理由：
由题意得，点D（1，4），
由点B、C、D的坐标得，CD＝ ，BC＝3 ，BD＝
则tan∠CBD＝ ＝ ＝tan ，则sin ＝ ，cos ＝ ，∠DCB＝90°，
当点P在y轴时，
α α α
∵以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，
当∠CAP＝∠DCB＝90°时，
则cos∠ACP＝cos ＝ ＝ ＝ ，
α
则CP＝ ，
则点P（0，﹣ ）；
当∠CPA＝∠DCB＝90°时，
此时，点P、O重合且符合题意，
故点P（0，0）；
当点P（P′）在x轴上时，
只有∠ACP′＝∠DCB＝90°，
则AP′＝ ＝ ＝10，
则点P′（9，0），
综上，点P的坐标为（0，0）或（9，0）或 ．
题型四：二次函数与新定义的综合
【中考真题练】
1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其
中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2
级变换点”．
（1）函数y＝﹣ 的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，
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说明理由；
（2）动点A（t， t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l ，l 上，在l ，l 上分别取点（m2，y ），
1 2 1 2 1
（m2，y ）．若k≤﹣2，求证：y ﹣y ≥2；
2 1 2
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都
在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
【分析】（1）求出（1，2）的“k级变换点”的坐标，即可求解；
（2）求出点A、B所在的直线表达式，即可求解；
（3）先求出点A、B所在的直线为y＝x﹣5，当n＞0时，画出抛物线和直线AB的大致图象，求出点A
的横坐标为x，得到x+5＝ ，即可求解；当n＜0时，当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0
时有两个交点，即可求解．
【解答】（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝± ；
（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，﹣ kt+2k），
由点A的坐标知，点A在直线y＝ x﹣2上，同理可得，点B在直线y＝﹣ x+2k，
则y ＝ m2﹣2，y ＝﹣ m2+2k，
1 2
则y ﹣y ＝ m2﹣2+ m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
1 2
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即y ﹣y ≥2；
1 2
（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，
设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，
则t＝s﹣5，
即点A在直线y＝x﹣5上，
同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，
即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，
当n＞0时，
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抛物线和直线AB的大致图象如下：
直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点
A，如上图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点A的横坐标为x，则x+5＝ ，
∵x≥0，
则 ﹣5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，
故n≠ ，
即0＜n≤1且n≠ ；
当n＜0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1且n≠1/6．
2．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图
1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0， ）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ 的
距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣ 叫做
抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝ ．例如，抛物
线y＝2x2，其焦点坐标为F（0， ），准线方程为l：y＝﹣ ，其中PF＝PN，FH＝2OF＝ ．
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【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝ x2的焦点坐标和准线l的方程： （ 0 ， 1 ） ， y ＝﹣ 1 ；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y＝ x2上一点P（x ，y ）（x ＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
0 0 0
求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y＝ x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝ x﹣3交y轴于点C，抛物线
上动点P到x轴的距离为d ，到直线m的距离为d ，请直接写出d +d 的最小值；
1 2 1 2
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝
a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+ ），直线l过点M（h，k﹣ ）且与x轴平行．当动点
P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．
1
例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1， ）的距离等于点P到直线l：y＝ 的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1， ）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝ x2﹣1上一动点．当PO+PD
取最小值时，请求出△POD的面积．
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得 ＝8 +2y ﹣1，然后根据y ＝ ，求出y ，
0 0 0
进而可得x ，问题得解；
0
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG
＝PF＝d +1，PE＝d ，根据两点之间线段最短可得当F，P，E三点共线时，d +d 的值最小；待定系数
1 2 1 2
法求直线PE的解析式，根据点E是直线PE和直线m的交点，求得点E的坐标为（ ，﹣ ），即可
求得d +d 的最小值；
1 2
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（4）根据题意求得抛物线y＝ x2﹣1的焦点坐标为F（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，过点P作准
线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，根据两点之间线段最短可
得当D，P，G三点共线时，PO+PD的值最小；求得（﹣ ﹣ ），即可求得的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ x2中a＝ ，
∴ ＝1，﹣ ＝﹣1，
∴抛物线y＝ x2的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1，
故答案为：（0，1），y＝﹣1；
（2）由（1）知抛物线y＝ x2的焦点F的坐标为（0，1），
∵点P（x ，y ）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
0 0
∴ ＝3y ，整理得： ＝8 +2y ﹣1，
0 0
又∵y ＝ ，
0
∴4y ＝8 +2y ﹣1，
0 0
解得：y ＝ 或y ＝﹣ （舍去），
0 0
∴x ＝ （负值舍去），
0
∴点P的坐标为（ ， ）；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG
＝PF＝d +1，PE＝d ，如图：
1 2
若使得d +d 取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此
1 2
刻d +d 的值最小；
1 2
∵直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y＝﹣2x+b，
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将F（0，1）代入解得：b＝1，
∴直线PE的解析式为y＝﹣2x+1，
∵点E是直线PE和直线m的交点，
令﹣2x+1＝ x﹣3，解得：x＝ ，
故点E的坐标为（ ，﹣ ），
∴d +d ＝ ﹣1．
1 2
即d +d 的最小值为 ﹣1．
1 2
（4）∵抛物线y＝ x2﹣1中a＝ ，
∴ ＝1，﹣ ＝﹣1，
∴抛物线y＝ x2﹣1的焦点坐标为（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，
过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，如图：
若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D，P，G三点共线时，PO+PD＝PG+PD＝DG，
即此刻PO+PD的值最小；如图：
∵点D的坐标为（﹣1， ），DG⊥准线l，
∴点P的横坐标为﹣1，代入y＝ x2﹣1解得y＝﹣ ，
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即P（﹣1，﹣ ），OP＝ + ＝ ，
则△OPD的面积为 × ×1＝ ．
【中考模拟练】
1．（2024•新吴区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）顶点的纵坐标为﹣4，且与x轴交于点A
（4，0）．作出该抛物线位于x轴下方的图象关于x轴对称的图象，位于x轴上方的图象保持不变，就
得到y＝|ax2+bx|的图象，直线y＝kx（k＞0）与y＝|ax2+bx|的图象交于O、B、C三点．
（1）求a、b的值；
（2）新定义：点M（x ，y ）与点N（x ，y ）的“折线距离”为 （M，N）＝|x ﹣x |+|y ﹣y |．已知
m m n n m n m n
（O，B）＝ （B，C）．
ρ
①求k的值；
ρ ρ
②以点B为圆心、OB长为半径的 B交∠AOC的平分线于点D（异于点O），交x轴点E（异于点
O），求 （D，E）的值．
⊙
ρ
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①求出点B（4﹣k，﹣k2+4k），点C（4+k，k2+4k），由 （O，B）＝ （B，C），即可求解；
ρ ρ
②求出点P（ ，3），得到直线OD的表达式为：y＝ x，设点D（m， m）、点E（x，0），则OB
＝BD＝BE，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，顶点的坐标为：（2，﹣4），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣4，
将点O（0，0）代入上式得：0＝a（0﹣2）2﹣4，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x，
即a＝1，b＝﹣4；
（2）①由函数的对称性，翻折后抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，
联立上式和y＝kx得：﹣x2+4x＝kx，
解得：x＝4﹣k，
即点B（4﹣k，﹣k2+4k），
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同理可得，点C（4+k，k2+4k），
∵ （O，B）＝ （B，C），
∴4﹣k﹣k2+4k＝4+k﹣4+k+k2+4k+k2﹣4k，
ρ ρ
解得：k＝﹣1（舍去）或 ；
②由①知，点B的坐标为：（ ， ），
则直线OB的表达式为：y＝ x，
在OB上取点M（3，4），则OM＝5，
作MN⊥x轴于点N，交OD于点P，过点P作PT⊥OB于点T，
设PT＝PN＝x，则PM＝4﹣x，OE＝OT＝3，则MT＝5﹣3＝2，
在Rt△PMT中，由勾股定理得：MP2＝PT2+MT2，
即（4﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝ ，
则点P（ ，3），
由点P的坐标得，直线OD的表达式为：y＝ x，
设点D（m， m）、点E（x，0），
则OB＝BD＝BE，
即（ ）2+（ ）2＝（m﹣ ）2+（ ﹣ m）2＝（x﹣ ）2+（ ）2，
解得：m＝ ，x＝ ，
即点D、E的坐标分别为：（ ， ）、（ ，0），
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则 （D，E）＝ ﹣ + ＝ ．
2．（2024•宝安区二模）在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形W上的所有点都在一个矩形的内部
ρ
或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的“美好矩形”．
例如：如图1，已知△ABC，矩形ADEF，AD∥x轴，点B在DE上，点C在EF上，则矩形ADEF为
△ABC的美好矩形．
（1）如图2，矩形ABCD是函数y＝2x（﹣1≤x≤1）图象的美好矩形，求出矩形ABCD的面积；
（2）如图3，点A的坐标为（1，4），点B是函数 图象上一点，且横坐标为m，若函数
图象在A、B之间的图形的美好矩形面积为9，求m的值；
（3）对于实数a，当 时，函数 图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在
x轴上的正方形，请直接写出b的值．
【分析】（1）根据x的取值范围可以求出A点和C的坐标，从而推出B点和D的坐标，然后根据矩形
面积公式求解即可；
（2）函数图象在A、B之间的图形的美好矩形即以AB为对角线的矩形，据此求出m的值即可；
（3）根据二次函数的对称轴是否在x的取值范围内分类讨论，当对称轴在x取值范围内，顶点在x轴上，
端点纵坐标是﹣ 或端点在x轴上，顶点纵坐标是 ，当对称轴不在取值范围内时，两个端点一个在
x轴上，一个纵坐标是± ，据此解答．
【解答】解：（1）∵﹣1≤x≤1，
∴A（1，2），C（﹣1，﹣2），
∴B（﹣1，2），D（1，﹣2）
∴AB＝2，BC＝4，
∴S矩形ABCD ＝2×4＝8；
（2）设矩形ACBD是其美好矩形，
∴B（m， ），C（1， ），
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∴AC＝|4﹣ |，BC＝|m﹣1|，
∴S矩形ACBD ＝|4﹣ |•|m﹣1|＝ ＝9，
∴m＝4或 ；
（3）∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，
∴正方形的边长为 ，
二次函数 的对称轴为直线x＝ ，
当a≤ ≤a+ 时，即 a≤b≤ a+2，
①顶点在x轴上，端点纵坐标是﹣ ，
即 或 ，
解得： 或 ，均符合题意；
②端点在x轴上，顶点纵坐标是 ，
即 或 ，
解得： 或 （舍去，不符合a，b大小关系）或 或 或 （舍去，
不满足a，b大小关系）；
当对称轴不在x的取值范围内时，
有： 或 ，
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解得： 或 ，
综上所述，b＝0或2或﹣2．
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