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重难点 08 几何与函数图象结合的综合应用（动点问题、
线动问题、函数图象判断）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；
其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力。函数的学习需要学
生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型。本专题主要对函数与几何图形结合的相
关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型。
几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题
判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数
性质判断函数图象。题目难度中等，属于中考热点题型．
模型01 动点问题
考｜向｜预｜测
动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题。在几
何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变
量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用
函数的图象及其性质解决简单的实际问题。
答｜题｜技｜巧
1. 根据运动判断图象，关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的节点；
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2. 找到节点后分段研究运动过程，列出关系式，进而判断图象；
3. 根据选项做出选择；
1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在 中， ， 于点 ．动
点 从 点出发，沿折线 方向运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积
为 ， 与 的函数图象如图2，则 的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
1．如图，在四边形 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿折线
方向以 的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的面积 与运动时间 的函数图象如
图2所示，则四边形 的周长是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
2．如图1，四边形 是平行四边形，连接 ，动点P从点A出发沿折线 匀速运动，
回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段 的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结
论中不正确的是（ ）
A． B．
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C．平行四边形 的周长为44 D．当 时， 的面积为20
3．如图①，在 中， ，点 从点 出发沿 以 的速度匀速运动至点 ，
图②是点 运动时， 的面积 随时间 变化的函数图象，则该三角形的斜边 的长为
．
4．如图①，甲、乙两人同时从同一公路上的A、B两地同时出发前往C地，两人离A地的路程 与行
驶的时间 之间的函数图象如图②所示．
(1)分别求出 、 与x之间的函数解析式；
(2)当甲、乙两人相遇时，求x的值：
(3)直接写出当甲、乙两人相距 时x的值．
5．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ， ．点 从点
出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度运动，到点 停止运动．过 作 交 于点 ．
过 作 交 于点 ．设运动时间为 秒 ，四边形 的面积为 ， 的周长与
的周长之比为 ．
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(1)请直接写出 ， 关于 的函数解析式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出 ， 的图象，并分别写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当 时 的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
模型02 线动问题
考｜向｜预｜测
线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点
及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方。该题型一般以选择题
的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识。
答｜题｜技｜巧
1. 找准变量；
2. 抓住图象中点转折点和拐点，几何图中的转折点往往是函数图中的拐点；
3. 数据分析，结合几何与函数图形的数据得出相应结论；
4. 根据题意解答。
1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在 中， ， ，点 从点 出发
运动到点 时停止，过点 作 ，交直角边AC（或BC）于点Q，设点 运动的路程为 ， 的
面积为y，y与 之间的函数关系图象如图2所示，当 时， 的面积为（ ）
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A． B． C． D．
1．如图 ，在 中， ， ，动点 从点 开始沿 边以每秒 个单位长度的速
度运动，同时，动点 从点 开始沿 边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运
动，连接 ， 为 中点，连接 ， ，设时间为 ， 为 ， 关于 的函数图象如图 所示，
则下列说法正确的是（ ）
当 时， ； ； 有最小值，最小值为 ； 有最小值，最小值为 ．
A． B． C． D．
2．如图1，在矩形 中， ， 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 交 于点
．设 ， ，点 从点 运动到点 的过程中 关于 的函数图象如图2所示，则该函数图象
的顶点 的纵坐标 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，四边形 是菱形，点 以 的速度从点 出发，沿着 的路线运动，同时点
以相同的速度从点 出发，沿着 的路线运动，设运动时间为 ， ， 两点之间的距离为
， 与 的函数关系的图象如图 所示，则 的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
3．如图，矩形 中， 为对角线，一动点 从 出发，沿着 的路径行进，过点 作
，垂足为 ．设点 的运动路程为 ， 为 ， 与 的函数图象如图所示，则 的长
为（ ）
A． B． C． D．
4．如图（1），在 中，点 为其中心， ， ，动点 从点 出发，沿 匀
速运动到点 ，再从点 沿直线运动到 上的点 ．设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，则 与
的函数关系的图象如图（2）所示，则 的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图1，在等边 中， 于点D，动点E从顶点A出发沿 以每秒1个单位长度的速度向
点D运动，将 绕点C逆时针旋转 得到 是 上一点， ．设 随时间t变化的
函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是 ．
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6．探究发现
（1）如图1，在正方形 中，点P、Q分别在边 、 上，连接 、 ，若 ，则线段
和 的数量关系是___________，线段 和 的数量关系是___________；
类比延伸：
（2）如图2，在正方形 中，点 是 边上的一个动点，连接 ，作 的垂直平分线分别交 、
于点E、F，过点P作 交 于点 ，猜想线段 、 、 的数量关系，并证明；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若设 的长为x， 的长为 ， 的长为 ，测量数据后画出的函数图象
如图3所示，其中点 是图象 的最高点．
①直接写出正方形 的边长；
②在点 的运动过程中，当 时，直接写出线段 的长．
模型03 函数图象判断
考｜向｜预｜测
函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变
化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也
变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．
答｜题｜技｜巧
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1. 一变一不变，图象是直线；
2. 两个都变图象是曲线；
3. 同增同减口向上；
4. 一增一减口向下；
1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形 中， ， ，E为矩
形 的边 上一点， ，点P从点B出发沿折线 运动到点D停止，点Q
从点B出发沿 运动到点C停止，它们的运动速度都是 ，现P，Q两点同时出发，设
运动时间为x（s）， 的面积为 ，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
1．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设
容器内底部所受水的压强为 （单位：帕），时间为 （单位：秒），则 关于 的函数图象大致为
（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，以 的速度沿
向点C运动，同时点Q从点A出发，以 的速度沿 向点C运动，直到它们都到达点
C为止．若 的面积为 ，点P的运动时间为 ，则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形 中，点 从点 出发，沿着折线 以每秒 个单位长度的速度匀速
运动，设 的面积为 ，点 的运动时间为 ，则在点 的运动过程中， 关于 的函数图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在凸四边形 中， 为边 的中点， ， 于点 ．若 ，设
， ，则 关于 的函数图象为（ ）
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A． B．
C． D．
5．如图，在 中， ， ，动点 从 点出发，以2个单位/秒沿折线
方向运动，运动到点 停止．设运动时间为 ， 于点 ，设以 为边长的正方形的面
积为 ．
(1)求 关于 的函数解析式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，如果 与该函数图象有两个不同的交点，请写出 的取值范围．
1．如图 1，点 为矩形 边 上一点， ，点 P 点 Q 同时从点 B 出发，点 P 沿
运动到点C停止，点Q沿 运动到点C停止，它们的运动速度都是 ．设P，Q出
发t秒时， 的面积为 ，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：① ；②当
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时， ；③点H的坐标为 ；④若 与 相似，则 秒，其中正确结论的个
数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图1，在矩形 中，动点M从点A出发，沿 方向运动，当点M到达点C时停止运动，
过点M作 交 于点N，设点M的运动路程为x， ，图2表示的是y与x的函数关系的大
致图象，则函数图象中a的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．如图1，在矩形 中，P为边 上一点，连结 ，将矩形沿 折叠，记 与矩形重叠部分
的面积为S，设 的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当 ，S为关于x的一次函数 B． ，
C．当 ，S为关于x的二次函数 D．图象过点
4．如图，点E、F、G、H分别是正方形 边 、 、 、 上的点，且 ．
设A、E两点间的距离为x，四边形 的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
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A． B．
C． D．
5．如图①，在 中， ，D是边 的中点，点P从 的顶点A出发，沿 以
每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段 的长度y随时间x变化的函数图象如图
②所示，Q是曲线部分的最低点，则 的长为（ ）
A．3 B． C． D．12
6．如图1，在 中， 为 中点，动点 以每秒1个单位长度的速度
沿折线 方向运动，当点 运动到点 时停止运动．设运动时间为 秒 ， 的面
积为 ．
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(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；
(2)在给出的平画直角坐标系中画出 的图象，并写出 的一条性质；
(3)如图2， 的图象如图所示，结合函数图象，直接写出 时 的取值．（结果保留一位
小数，误差不超过0.2）
1．图①是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由正方形 和等边 组成，正方形
的两条对角线交于点O，校办在 的中点P处放置了一台摄像机全程摄像．九年级学生需绕场地某条线路
匀速行进，设行进的时间为x，与摄像机的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则
九年级学生的行进路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ， ．若 过点
且与边 ， 分别相交于点 ， ，设 ， ，则 关于 的函数图象大致为（ ）
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A． B．
C． D．
3．如图1，在矩形 中，动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，设点P运动的路程为
x， 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形 的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．26
4．如图1，点 是以点 为圆心， 为直径的半圆上的一个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作
于 ．设弦 的长为 ，线段 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示，则 的直径为
（ ）
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A．2 B．4 C．8 D．16
5．如图 ，在 中， ，直线 经过点 且垂直于 ．现将直线 以 的速度向右匀速平移，
直至到达点 时停止运动，直线 与边 交于点 ，与边 （或 ）交于点 ．设直线 移动的时间
是 ， 的面积为 ，若 关于 的函数图象如图 所示，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．正方形 与正方形 按照如图所示的位置摆放，其中点E在 上，点G、B、C在同一直线上，
且 ， ，正方形 沿直线 向右平移得到正方形 ，当点G与点C重合时停止运动，
设平移的距离为x，正方形 与正方形 的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表
示为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图①所示，正方形 的边长为 ，动点P从点A出发，在正方形的边上沿 运
动，设运动的时间为 ， 的面积为 ，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
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（1）点P在 上运动的时间为 s；
（2）当t为 时，三角形 的面积为 ．.
8．如图，在 中， ， ， ，点D为 上的三等分点．动点P从点A出
发，沿 方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿 方向以每秒1个单
位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时， 两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，
的长度为 ， 的面积为 ．
(1)请直接写出 与 分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数 与 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出 时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
9．如图，在 中， ， ，点P为 上一点，过点P作 交 于点Q．设 的
长度为x，点P，Q的距离为 ， 的周长与 的周长之比为 ．
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(1)请求出 ， 分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象，并分别写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出 时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
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