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分层作业
26.2.1
2
y
ax
的图象性质
目录
A 组巩固过关
题型01
2
y
ax
的函数图象
题型02
2
y
ax
的增减性
题型03
2
y
ax
字母系数a 的讨论问题
题型04
2
y
ax
的规律探究问题
题型05
2
y
ax
与一次函数的综合
题型06
2
y
ax
与几何的综合问题
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
2
y
ax
的函数图象
1．（25-26 九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数
2
1
2
y
x
，
2
y
x
，
2
2
y
x
的图象，下列说法中不正确的
是（
）
A．顶点坐标相同
B．对称轴相同
C．图象形状相同
D．最低点相同
2．（25-26 九年级上·广东汕头·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线
2
2
y
x
时，将“ 2 ”按成了“ 2
”，和原图象相比，
发生改变的是（
）
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A．开口大小
B．开口方向
C．对称轴
D．顶点坐标
3．根据函数图象填空：
（1）抛物线
2
3
y
x
的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x 轴
的上方；
（2）抛物线
2
1
3
y
x
的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x 轴的________方，它的顶点是抛
物线上的最________点．
4．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角
坐标系，作出函数
2
1
3
y
x
与
2
1
3
y
x
的图像，则阴影部分的面积是_____．
5．画出下列函数的图象：
(1)
2
3
y
x
；
(2)
2
1
3
y
x
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
27
12
3
0
3
12
27
…
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
1
3
0
1
3
4
3
3
…
题型02
2
y
ax
的增减性
6．（2026·广东广州·二模）给出下列函数：①
3
y
x
，②
3
2
y
x
，③
3
y
x
，④
2
2
y
x
，其中符合条
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件“当
1
x 时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（
）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
7．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）二次函数
2
2
y
x
的图象上有三个点
1
1,
A
y
，
2
2,
B
y
，
3
3,
C
y
，则
1y 、
2y 、
3y 的大小关系为（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
1
3
2
y
y
y
C．
2
1
3
y
y
y
D．
3
2
1
y
y
y
8．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当
0
x
时，y 的值随x 值的增大而减小的是（
）
A．
5
y
x
B．
5
y
x
C．
2
2
5
y
x
D．
2
y
x
9．（25-26 九年级下·上海嘉定·期中）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（
）
A．
1
2
y
x
B．
2
y
x
C．
3
y
x
D．
2
y
x
10．（25-26 九年级下·吉林长春·期中）若点
1
2,
A
y
和点
2
3,
B
y
都在抛物线
2
y
x
上，则
1y 和
2y 的大小关
系是（
）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
D．无法确定
题型03
2
y
ax
字母系数a 的讨论问题
11．（25-26 九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线
2
2
2
1
3
2
3
2
y
x
y
x
y
x
，
，
的图象开口最大的是（
）
A．
2
1
3
y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
3
2
y
x
D．无法确定
12．（25-26 九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系xOy 中，点
2,3
A
，
3,4
B
，
2
y
ax
的图象如
下图所示，则a 的值可以为（
）
A．3
B．2
C．1.7
D．0.5
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13．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，①②分别对应
2
y
ax
与
2
y
bx
的函数图象，则a ，b 的
大小关系______．
14．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
在对称轴的右侧部分下降，那么a 的取值范围是
___________．
15．（25-26 九年级上·河南郑州·期末）抛物线
2
y
ax
与抛物线
2
3
y
x
相比开口小，那么a ________（请写
出一个符合条件的a 值）．
16．已知抛物线
2
y
ax
经过点
1,3 ．
(1)求a 的值；
(2)当
2
x 时，y ．
题型04
2
y
ax
的规律探究问题
17．（23-24 九年级下·四川宜宾·期末）二次函数
2
2
3
y
x
的图像x 如图所示，点
0
A 位于坐标原点，点
1A ，
2A ，
3A ，…
2008
A
在y 轴的正半轴上，点
1
B ，2
B ，3
B ，…
2008
B
在二次函数
2
2
3
y
x
位于第一象限的图像上，若
0
1
1
A B A
△
，
1
2
2
A B A ，
2
3
3
A B A
△
，…
2007
2008
2008
A
B
A
△
都为等边三角形，则
2007
2008
2008
A
B
A
△
的边长为（
）
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009
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18．
（25-26 八年级下·山东东营·期中）二次函数
2
y
x
的函数图象如图，点
0
A 位于坐标原点，点
1
2
3
10
,
,
A A A
A
L
在y 轴的正半轴上，点
1
2
3
10
,
,
B B B
B
L
在二次函数
2
y
x
位于第一象限的图象上，
0
1
1
A B A
△
，
1
2
2
2
3
3
3
4
4
A B A
A B A
A B A
，
，
都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则
3
4
4
A B A 的斜边长为___．
题型05
2
y
ax
与一次函数的综合
19．如图，已知二次函数
2(
0)
y
ax
a
的图像和直线AB 相交于B 、C 两点，且点A 的坐标是
2,0 ，点B 的
坐标是
1,1 ．
(1)a ________，并直接写出将二次函数的图像向左平移2 个单位长度所得的图像的函数表达式__________．
(2)求
OBC
△
的面积．
(3)在二次函数
2(
0)
y
ax
a
的图像上是否存在点D ，使得的OAD 面积等于
OBC
△
的面积，若存在，请求
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出所有符合题意的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（25-26 九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
的图象与直线
2
3
y
x
交于点
1,
A
b ．
(1)求a 和b 的值；
(2)当x 取何值时，二次函数
2
y
ax
中的函数值y 随x 值的增大而增大？
(3)求抛物线
2
y
ax
与直线
2
3
y
x
的另一个交点B 的坐标．
21．（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线
2
y
x
与直线
3
y
x
h
都经过点
1,k ．
(1)求h，k 的值；
(2)如果一条过原点且对称轴是y 轴的抛物线恰好经过点
,h k ，请确定此抛物线的解析式．
题型06
2
y
ax
与几何的综合问题
22．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形OABC 是正方形，且点A 、C 恰好在抛物线
2
y
x
上，点B 在y
轴上，则OB 的长为（
）
A．2
B．2 2
C．4
D．
2
2
23．已知点
1,
A
t 在抛物线
2
y
x
上，则点A 的坐标为__________；若在x 轴上存在点P ，使OAP是等腰
三角形，请写出点P 的坐标__________．
24．（25-26 九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数
2
0
y
ax
a
的图象经过点
4,4
，过点
0,1
F
作x
轴的平行线交该二次函数的图象于M
N
、
两点．
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(1)求二次函数的解析式；
(2) P 为平面内一点，当PMN 是等边三角形时，求点P 的坐标．
25．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线
2
y
ax
a
的顶点为O，平行于x 轴的直线与该抛物
线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），当AOB 为直角三角形时，
4
AB
，则a 的值是______．
26．（25-26 九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线
2(
0)
y
ax
a
经过两个不同的点
( ,8)
A m
和
(2,8)
B
，那么m
的值是（
）
A．2
B．2
C．8
D．8
27．（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么
1a ，2a ，3a 的大小关系是（
）
A．
1
2
3
a
a
a
B．
3
1
2
a
a
a
C．
1
3
2
a
a
a
D．
3
2
1
a
a
a
28．（25-26 九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距
离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点O为坐标原点，水平方向为x 轴，以过点O垂直于x 轴
的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（
）
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A．
2
1
9
y
x
B．
2
1
6
y
x
C．
2
2
9
y
x
D．
2
1
4
y
x
29．（25-26 九年级上·四川广元·期中）已知点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
是函数
2
3
y
m
x
的图象上的两点，且当
1
2
0
x
x
时，有
1
2
y
y
，则m 的取值范围是______
30．
（25-26 九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系xOy 中，点
1,1
A
，
2,1
B
，若抛物线
2
0
y
ax
a
＝
与线段AB 有公共点，则a 的取值范围是____．
31．如图，点A，B 在抛物线
2
1
4
y
x
上．已知点A，B 的横坐标分别为2
，4，直线AB 与y 轴交于点C ．
(1)求直线AB 的函数解析式；
(2)在x 轴上找一点P，使PA
PC
的值最小，请求出此时点P 的坐标及PA
PC
的最小值．
32．如图，已知点
2,0
6,0
A
B
、
和
4,2
C
，平移ABC 得到A B C
，顶点A 、B
C
、
分别与顶点A
B
C
、、
对应.如果点A
B
、
都在抛物线
2
1
2
y
x
上，那么点C 到点C的距离是___________.
33．（25-26 九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数
2
2
y
x
，
四边形OACB 为矩形，A ，B 在抛物线上，当A ，B 运动时，点C 也在另一个二次函数图像上运动．设
,
C x y ，
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则y 关于x 的函数表达式为________
34．（25-26 九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形OABC 是边长为2 2 的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹
角为15，点B 在抛物线
2
0
y
ax
a
的图象上，则a 的值为（
）
A．
1
6
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
35．（25-26 九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，Rt OAB 的顶点
2,4
A
在抛物线
2
y
ax
上，将Rt OAB 绕
点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（
）
A．
2,2
B．
2, 2
C．
2,2
D．
1,2
36．（25-26 九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，点
,
A a b 是抛物线
2
1
2
y
x
上位于第二象限的一动点，
OB
OA
交抛物线于点
,
B c d ．当点A 在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①ac
bd
；②
4
ac ；
③AOB 的面积为定值；④直线AB 必过一定点．其中正确的结论有（
）
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A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
37．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数
2
y
x
，当m
x
n
时，有p
y
q
，则下列说法：①当
1
q
p
时，n
m
有最大值；②当
1
n
m
时，q
p
有最大值．正确的判断是（
）
A．①②都正确
B．①正确②错误
C．①错误②正确
D．①②都错误
38．（2026·江苏盐城·三模）小雨同学用计算机软件绘制函数
2
1
2
2
2
y
x
x
的图象后，将其对称轴左侧的
图象作关于x 轴对称的图象，得到新的图象G（如图所示）．若点
1
1
0.2,
A
y
，
2
2
0.4,
A
y
，
3
3
0.6,
A
y
，
，
19
19
3.8,
A
y
，
20
20
4,
A
y
都在图象G 上，这20 个点的横坐标从0.2 开始依次增加0.2 ，则
1
2
3
y
y
y
…
19
20
y
y
的值是（
）
A．2
B．0
C．1
D．2
39．（2026·山东东营·模拟预测）观察规律1
1
1
1 2
2
，1
1
1
2 3
2
3
，1
1
1
3 4
3
4
，…，运用你观察到的规
律解决以下问题：如图，分别过点
,0
nP n
（
1
n 、2、…）作x 轴的垂线，交
2
y
x
的图象于点
n
A ，交直
线y
x
于点
n
B ，则
1
1
2
2
2025
2025
1
1
1
A B
A B
A
B
的值为________．
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39．（2024·广东·中考真题）若点
1
2
3
0,
, 1,
, 2,
y
y
y
都在二次函数
2
y
x
的图象上，则（
）
A．
3
2
1
y
y
y
B．
2
1
3
y
y
y
C．
1
3
2
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
40．（2025·山东东营·中考真题）二次函数
2
y
x
的图象如图所示，点
0
B 位于坐标原点，点
1
B ，
2
B ，…，
n
B
在y 轴的正半轴上，点
1A ，
2A ，…，
n
A ，点
1
C ，
2
C ，…，
n
C 在二次函数的图象上，四边形
0
1
1
1
B ABC ，四边
形
1
2
2
2
B A B C ，…，四边形
1
n
n
n
n
B
A B C
－
都是正方形，则正方形
1
n
n
n
n
B
A B C
－
的周长为______．
41．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线
1,2,3,
x
i i
与x 轴相交于点
iA ，
与抛物线
2
1
4
y
x
相交于点
iB ，连接
1
i
i
A B ，
1
i
i
B A 相交于点
i
C ，得
i
i
i
ABC 和
1
1
i
i
i
A B C
△
，若将其面积之比记
为
1
1
i
i
i
i
i
i
A B C
i
A
B
C
S
a
S
△
△
，则
2024
a
__________．
