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专题 03 二次函数 y=ax²+c的图像和性质（六大类型）
【题型1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】
【题型2 二次函数y=ax²+c图像性质】
【题型3 二次函数y=ax²+c中y值大小比较】
【题型4 二次函数y=ax²平移规律】
【题型5二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【题型6 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系】
【题型1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】
1．（2021九上·汕尾期末）抛物线y＝2x2﹣1的对称轴是（ ）
1
A．直线x＝﹣1 B．直线x= C．x轴 D．y轴
4
【答案】D
【解析】解：∵抛物线y＝2x2﹣1，
∴对称轴为y轴．
故答案为：D．
2.（2022秋•定西期末）抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣9） B．（﹣3，0） C．（0，9） D．（3，0）
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣9，
∴抛物线顶点坐标为（0，﹣9），
故选：A
3．（2021九上·哈尔滨月考）抛物线y＝2x2﹣3的顶点在（ ）
A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上C．y轴正半轴上D．y轴负半轴上
【答案】D
【解析】解：∵抛物线的解析式为 y=2x2−3 ，
∴其顶点坐标为（0，-3），∴抛物线的顶点坐标在y轴负半轴上，
故答案为：D．
4．（2022九上·杭州期中）抛物线y=−3x2+2的开口向 .（填“上”、
“下”）
【答案】下
【解析】解：∵−3<0，
∴函数开口方向向下，
故答案为：下
5．（2021九上·包河期末）二次函数y=x2−3图象的顶点坐标为
【答案】（0，-3）
【解析】【解答】解：二次函数y=x2−3图象的顶点坐标为（0，-3）.
故答案为：（0，-3）
6．（2021九上·包河期末）二次函数y=x2−3图象的顶点坐标为
【答案】（0，-3）
【解析】【解答】解：二次函数y=x2−3图象的顶点坐标为（0，-3）.
故答案为：（0，-3）
【题型2 二次函数y=ax²+c图像性质】
7.（2022秋•靖江市期末）下列对于二次函数 y＝﹣x2+1图象的描述中，正确的
是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图象有最低点
D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+1，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意；
对称轴是y轴，故选项B正确，符合题意；
图象有最高点，故选项C错误，不符合题意；
在对称轴右侧的图象，从左往右呈下降趋势，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．8.（2021秋•河西区校级月考）与抛物线 y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开
口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1
【答案】D
【解答】解：与抛物线 y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反
的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．
即y＝x2+1，
故选：D
9．（2023九上·靖江期末）下列对于二次函数y=−x2+1图象描述中，正确的是
（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图象有最低点
D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势
【答案】B
【解析】解：A.∵a=−1<0，
∴抛物线y=−x2+1开口向下，故答案为：错误，不符合题意；
B. 抛物线y=−x2+1的对称轴是y轴，故答案为：正确，符合题意；
C. ∵a=−1<0，
∴抛物线y=−x2+1开口向下，
∴抛物线y=−x2+1图象有最高点；
故答案为：错误，不符合题意；
D. ∵y=−x2+1开口向下，抛物线y=−x2+1的对称轴是y轴，
∴当x>0时，y随着x的增大而减小，
即在对称轴右侧的图象从左往右呈下降趋势，
故答案为：错误，不符合题意.
故答案为：B.
10．（2022九上·蓬莱期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−1与坐标轴交
点的个数是（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=x2−1，
∴Δ=b2−4ac=0−4×1×(−1)=4>0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
令x=0，则y=−1，
∴抛物线与y轴有一个交点，
∴抛物线y=x2−1与坐标轴交点的个数是3个，
故答案为：A．
11.（2023九上·海曙期末）已知点P(m，n)在二次函数y=x2+4的图象上，则
m−n的最大值等于 .
15
【答案】−
4
【解析】解：把P(m，n)代入y=x2+4，则n=m2+4
1 2 15
∴m−n=m−(m2+4)=−(m− ) −
2 4
∵−1<0，
1 15
∴当m= 时，有最大值，最大值为−
2 4
15
故答案为：−
4
12．（2021九上·海珠期末）函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
【答案】-5
【解析】解：∵x2≥0，
∴x=0时，函数值最小为-5．
故答案为：-5
13．（2020九上·南昌月考）已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x
＝﹣2时，y＝8．
（1）求a，b的值；
（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
【答案】（1）解：∵点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，
∴13＝9a+b，∵当x＝﹣2时，y＝8，
∴8＝4a+b，
{13=9a+b)
，
8=4a+b
{a=1)
解得： ；
b=4
（2）解：∵a＝1，b＝4，
∴函数解析式为y＝x2+4，
∵点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，
∴m＝36+4＝40，20＝n2+4，
∴n＝±4，
则m＝40，n＝±4．
【题型3 二次函数y=ax²+c中y值大小比较】
14.（2022秋•忠县期末）若三点（﹣2，y ），（1，y ），（3，y ）都在二次
1 2 3
函数y＝﹣x2+c的图象上，则（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2
【答案】C
【解答】解：当x＝﹣2时，y ＝﹣4+c；
1
当x＝1时，y ＝﹣1+c；
2
当x＝3时，y ＝﹣9+c；
3
∴y ＜y ＜y ，
3 1 2
故选：C．
【题型4 二次函数y=ax²平移规律】
15．（2023九上·徐州期末）将抛物线y=−5x2+1向右平移1个单位长度，再向
上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y=−5(x+1) 2−1 B．y=−5(x−1) 2−1
C．y=−5(x+1) 2+3 D．y=−5(x−1) 2+3
【答案】D
【解析】解：将抛物线y=−5x2+1向右平移1个单位长度所得直线解析式为：y=−5(x−1) 2+1；
再向上平移2个单位长度为：y=−5(x−1) 2+1+2，
即y=−5(x−1) 2+3.
故答案为：D.
16．（2023九上·越城期末）将二次函数y=2x2+1图象向左平移1个单位长度，
平移后得到的新函数图象的表达式为（ ）
A．y=2x2 B．y=2x2+2
C．y=2(x+1) 2+1 D．y=2(x−1) 2+1
【答案】C
【解析】解：二次函数y=2x2+1图象向左平移1个单位长度后的表达式为
y=2(x+1) 2+1.
故答案为：C.
17．（2022九上·黔东南期中）将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向
上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y=2(x+3)2+4 B．y=2(x+3)2
C．y=2(x－3)2+4 D．y=2(x－3)2
【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2），
∴将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到
抛物线的的顶点坐标为（-3，4），
∴平移后得到抛物线的解析式是y=2(x+3)2+4.
故答案为：A.
18．（2022九上·浑南期末）将二次函数y=−x2+3的图像向下平移5个单位长
度，所得图像对应的函数表达式为 ．
【答案】y=−x2−2
【解析】因为二次函数y=−x2+3的图像向下平移5个单位长度，
所以图像对应的函数表达式为y=−x2−2．故答案为： y=−x2−2．
19．（2021九上·芜湖月考）将抛物线y=x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛
物线的解析式为 ．
【答案】y=－x2－1
【解析】解：根据题意，得翻折后抛物线的解析式的解析式为-y=x2+1，
∴ 新抛物线的解析式为y=-x2-1.
1
20．（2020九上·乳山期末）将抛物线 y= x2+1 绕原点 O 旋转 180° ，得到
2
的抛物线解析式为 ．
1
【答案】y=− x2−1
2
1
【解析】解：抛物线 y= x2+1 的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称
2
点的坐标为（0，-1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物
1
线的解析式为 y=− x2−1 ．
2
1
故答案为： y=− x2−1 ．
2
21．（2023九上·兴化期末）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于两点
A(−1，p)，B(4，q)，则不等式ax2−mx+c
