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专题22.1.2 二次函数y=ax²和y=ax²+c的图像和性质（五大题型）
【 题 型 1 ： 二 次 函 数 y=ax² 的 的 图 像 性
质】..............................................................................1
【 题 型 2 ： 二 次 函 数 y=ax² 的 中 的 y 值 大 小 比
较】......................................................................4
【题型3；二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】.................................................................8
【 题 型 4 ： 二 次 函 数 y=ax² +c 的 图 像 和 性
质】.........................................................................11
【题型5：二次函数y=ax²+c中y值大小比较】..................................................................14
【题型1：二次函数y=ax²的的图像性质】
1．（24-25九年级上·天津河东·期中）在抛物线y=2x2上的点是（ ）
A．(1,4) B．(2,8) C．(3,9) D．(0,2)
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线上的点的坐标满足二次函数的解
析式，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵y=2x2，
∴当x=1时，y=2，当x=2时，y=2×22=8，当x=3时，y=2×32=18，当x=0时，
y=0，
∴在抛物线y=2x2上的点是(2,8)；
故选B．
2．（22-23九年级上·广东东莞·期末）对于y=−2x2的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．图形是轴对称图形
B．对称轴是直线x=0
C．图象的最低点是原点
D．当x>1时，y随x的增大而减小【答案】C
【分析】本题主要考查了y=ax2的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识
点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据y=ax2的图象与性质及二次
函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A．图形是轴对称图形，叙述正确，故选项A不符合题意；
B．对称轴是直线x=0，叙述正确，故选项B不符合题意；
C．图象的最高点是原点，原叙述错误，故选项C符合题意；
D．∵图象的开口向下，对称轴为直线x=0，∴当x>1时，y随x的增大而减小，叙述
正确，故选项D不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级上·云南·期中）下列四个点中，在抛物线y=2x2上的点是（ ）
A．(2,1) B．(1,2) C．(2,−1) D．(−1,−2)
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象上的点，根据二次函数图象上的点的横纵坐标满足函数
解析式，进行判断即可．
【详解】解：∵y=2x2，
∴当 时， ，当 时， ，当 时， ，
x=2 y=2×22=8 x=1 y=2×12=2 x=−1 y=2×(−1) 2=2
∴点(2,8)，(1,2)，(−1,2)在函数图象上，
故选B．
4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若二次函数y=ax2的图像经过点
P(3,−4)，则该图像必经过点（ ）
A．(3,4) B．(−3,−4) C．(−4,3) D．(4,−3)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
先求出二次函数的对称轴是直线x=0，再利用二次函数的对称性求解即可得．
【详解】解：∵二次函数y=ax2的对称轴是直线x=0，即其图像关于y轴对称，且其
图像经过点P(3,−4)，
∴该图像必经过点(−3,−4)，
故选：B．
5．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）二次函数 y=x2的对称轴是（ ）A．y轴 B．直线 x=1 C．直线 x=−1 D．x轴
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数y=ax2的性质，根据抛物线y=ax2的对称轴为y轴解
答可得．
【详解】解：二次函数y=x2的对称轴是直线x=0，即y轴，
故选：A．
6．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）关于二次函数y=−2x2，当−10时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而
增大，当x=0时，取得最大值0，
∴当x=2时，y=−8，当x=−1时，y=−2，
∴当−1b>c>d
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据直线x=1与四条抛物线的交点从上
到下依次为(1,a)，(1,b)，(1,c)，(1,d)，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，
∵ x=1
， 直线 与四条抛物线的交点从上到下依次为
(1,a)，(1,b)，(1,c)，(1,d)，
∴a>b>c>d，
故答案为：a>b>c>d．
8．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数 有最小值，则 的取值范围
y=(a+1)x2 a
是 ．
【答案】a>−1
【分析】本题考查二次函数y=ax2的图象与性质，熟练掌握二次函数y=ax2的图象
与性质是解题的关键．利用二次函数y=ax2，当a>0时，开口向上，有最小值，即可
解答．
【详解】解：∵ 有最小值，
y=(a+1)x2
∴二次函数 的图象开口向上，
y=(a+1)x2
∴a+1>0，
解得：a>−1，
故答案为：a>−1．
【题型2：二次函数y=ax²的中的y值大小比较】
1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线 过点 和点
y=ax2(a>0) A(−3,y )
1
，则下列关系式正确的是（ ）
B(1,y )
2
A．y >y >0 B．y >y >0 C．y >0>y D．y >0>y
1 2 2 1 1 2 2 1【答案】A
【分析】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的对称性和增减性进行比大小即可
【详解】解：根据抛物线的性质a＞0， 开口向上，抛物线对称轴为 y轴，对称轴左
侧随x的增大而减小，对称轴右侧随x的增大而增大
由于 关于对称轴的对称点为
A(−3,y ) A' (3,y )
1 1
∵3＞1＞0
∴y ＞y ＞0
1 2
故选： A．
2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点 都在二次函数 图象
(0,y ),(1,y ),(2,y ) y=x2
1 2 3
上，则（ ）
A．y 0时，y随着x的增大而增大，由0<1<2，可得
y 0，
∴对称轴为y轴，当x>0时，y随着x的增大而增大，
∵0<1<2，
∴y y
1 2
【分析】本题考查了二次函数的性质．
根据二次函数 图象的对称性，可得点 也在该函数图象上，根据 时，
y=ax2 A′ (1,y ) x>0
1
二次函数 随x的增大而减小作答即可．
y=ax2 (a<0)
【详解】解：根据二次函数 图象的对称性，可得点 也在该函数图象上．
y=ax2 A′ (1,y )
1
∵
当
x>0
时，二次函数
y=ax2 (a<0)
随x的增大而减小，点
A′ (1,y ),B(2,y )
在二
1 2
次函数 的图象上，
y=ax2 (a<0)
∴y >y ．
1 2
故答案为：y >y ．
1 2
4．（21-22九年级上·北京海淀·期末）若点 ， 在抛物线 上，则
A(−1,y ) B(2,y ) y=2x2 y
1 2 1
与y 的大小关系为y y （填“>”，“=”或“<”）．
2 1 2
【答案】<
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．分别求出y 与y 的值，再比较大小即可．
1 2
【详解】解：当 时， ，
x=−1 y =2×(−1) 2=2
1
当 时， ，
x=2 y =2×22=8
2
∴y ”或“<”）
1 2
【答案】>
【分析】本题主要考查了二次函数y=ax2的图象和性质，
根据题意抛物线的对称轴和开口方向，再比较x的值可得答案．
【详解】解：∵抛物线y=−x2的对称轴是y轴，开口向下，
∴当x>0时，函数值y随着x的增大而减小．
∵1<2，
∴y >y ．
1 2
故答案为：>．
6．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知点 ， ， 都在函数
(1,y ) (−2,y ) (3,y )
1 2 3
y=−2x2的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为 ．
1 2 3
【答案】y >y >y
1 2 3
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到对称轴为y轴，
且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=−2x2，−2<0，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点 ， ， 都在函数 的图象上，
(1,y ) (−2,y ) (3,y ) y=−2x2
1 2 3
且3−0=3>0−(−2)=2>1−0=1，
∴y >y >y ，
1 2 3
故答案为：y >y >y ．
1 2 37．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）若点 ， 是二次函数 图象
(1,y ) (2,y ) y=−3x2
1 2
上的两点，则y 与y 的大小关系是 ．
1 2
【答案】y >y
1 2
【分析】找到抛物线的对称轴，进而确定抛物线的增减性，根据自变量的大小关系可
确定函数值的大小关系．
【详解】解：∵y=−3x2的对称轴为y轴，a=−3<0，
∴抛物线开口向下，在y轴右侧，y随x的增大而减小，
∴y >y
1 2
故答案为：y >y ．
1 2
【点睛】本题考查了二次函数值的大小比较，根据二次函数的解析式确定对称轴的位
置是解题的关键．
【题型3；二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立
平面直角坐标系，作出函数y=2x2与y=−2x2的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据
函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答．
【详解】解：函数y=2x2与y=−2x2的图象关于x轴对称，
∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
1
∴图中阴影部分的面积是 ×4×4=8．
2
故选：D．
2．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y=4x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为
（ ）
3 ❑√5 ❑√3
A． B． C． D．❑√5
2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与点的关系，正方形的性质．设B(m,2m)，代入y=4x2，
确定
B
(1
,1
)，
OB=❑
√
12+
(1) 2
=
❑√5，利用正方形的对角线相等计算选择即可．
2 2 2
【详解】解：∵正方形OABC的顶点B在抛物线y=4x2的第一象限的图象上，点B的
纵坐标是横坐标的2倍，
∴OB=AC
设B(m,2m)，代入y=4x2，
得2m=4m2，
1
解得m= ，m=0（舍去），
2
∴ (1 )，
B ,1
2
∴
OB=❑
√
12+
(1) 2
=
❑√5，
2 2
❑√5
∴AC= ，
2
故选：B．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的
第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，点C的横坐标为−1，则点A的横坐标为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形
的判定与性质解题的关键，根据题意求出点B坐标，从而得到OB的长，根据正方形的
性质得到AC长, 过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E,可证
△CDO≌△OEA(AAS),得到CD=OE,在直角△CDO中,利用勾股定理解得CD的长,进
而得到OE的长,即可得到答案．
【详解】解：由题可得：设B(x,2x)
∵点B在抛物线y=x2的第一象限的图象上，
∴x2=2x
解得：x =2或x =0（舍去），
1 2
∴B(2,4)，
∴ ,
OB=❑√22+42=2❑√5
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC=❑√10,
过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E,
∵∠COD+∠DCO=90°,∠COD+∠AOE=90°,
∴∠AOE=∠DCO,
∵OC=AO,∠CDO=∠OEA=90°,∴△CDO≌△OEA,
∴CD=OE,
∵点C的横坐标为−1，
∴OD=1
∴在 Rt△CDO 中， CD=❑√OC2−OD2=❑√(❑√10) 2 −12=3 ,
∴OE=3,
点A的横坐标为3,
故选：A．
【题型4：二次函数y=ax²+c的图像和性质】
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）抛物线y=3x2−3的顶点坐标是（ ）
A．(0,−3) B．(3,3) C．(0,3) D．(3,−3)
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二
次函数的顶点式方程 中的 、 所表示的意义．二次函数
y=a(x−ℎ) 2+k ℎ k
的顶点坐标是 ．
y=ax2+k(a≠0) (0,k)
【详解】解：根据二次函数的顶点式方程y=3x2−3知，该抛物线的顶点坐标：
(0,−3)．
故选：A．
2．（25-26九年级上·全国·课后作业）对于二次函数y=−x2−2，下列说法不正确的是
（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x=2
C．函数图象的顶点坐标为(0,−2) D．当x=0时，y有最大值−2
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质解答．将二次函数解析式化为顶点式，结合开口方向、对称轴、顶点坐标及
最值逐一分析选项。
【详解】解：A：∵ a=−1<0，∴抛物线开口向下，选项正确，不符合题意；
B：函数图象的对称轴是直线x=0，选项错误，符合题意；
C：∵顶点式直接得出顶点为(0,−2)，选项正确，不符合题意；
D：∵开口向下，
∴当x=0时，y有最大值−2，选项正确，不符合题意；
故选：B。
1 1
3．（23-24九年级上·全国·课后作业）函数y= x2+1与y= x2的图象的不同之处是
3 3
（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
【答案】C
【分析】 的形状是抛物线，对称轴为直线 ，开口向上，顶点坐
y=ax2+k(a>0) x=0
标为(0,k)，再逐一分析即可．
1
【详解】解：y= x2+1的形状是抛物线，对称轴为直线x=0，开口向上，顶点坐标
3
为(0,1)；
1
y= x2的形状是抛物线，对称轴为直线x=0，开口向上，顶点坐标为(0,0)；
3
而且两条抛物线的形状相同；
故C符合题意；A，B，D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，掌握y=ax2+k的图象与性质是解本题
的关键．
4．（2021·山东临沂·二模）下列对二次函数y=x2−1的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性子可以判断各个选项中的说法是否
正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y=x2-1，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；对称轴是y轴，故选项B正确；
当x=0时，y=-1，故选项C错误；
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特
征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线 的图像开口向下，则m的取
y=(m−2)x2+3
值范围是 ．
【答案】m<2
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物
线开口向下时，二次项系数m−2<0．
【详解】解∶ 因为抛物线 的图象开口向下，
y=(m−2)x2+3
所以m−2<0，即m<2．
故答案为：m<2．
6．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线 有最高点，那么a的取
y=(2−a)x2+1
值范围是 ．
【答案】a>2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题
的关键．
由抛物线 有最高点，可得 ，计算求解即可．
y=(2−a)x2+1 2−a<0
【详解】解：∵抛物线 有最高点，
y=(2−a)x2+1
∴2−a<0，
解得，a>2，
故答案为：a>2．
7．（23-24九年级上·全国·课后作业）抛物线y=2x2+5的开口向 ，对称轴是
，顶点坐标是 ．
【答案】 上 y轴 (0,5)
【分析】由抛物线y=2x2+5的a=2>0，结合函数的性质可得答案．【详解】解：抛物线y=2x2+5的开口向上，对称轴是直线x=0（或y轴），顶点坐标
是(0,5)；
故答案为：上，y轴，(0,5)．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记 的图象与性质
y=ax2+k(a>0)
是解本题的关键．
【题型5：二次函数y=ax²+c中y值大小比较】
1．（2025·广东珠海·三模）若点 都在二次函数 图象上，
(0,y )，(1,y )，(2,y ) y=x2+1
1 2 3
则（ ）
A．y |x ) y y
1 2 1 2
A．y = y B．y >y C．y |x )
1 2
∴ y ”、“=”或“<”）．
1 2
【答案】<【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．
根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：二次函数y=x2+1的图象开口向上，对称轴是y轴，当x>0时，y随x的
增大而增大，
1<2，
∵y
