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专题06 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（七大类型）
【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】
【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】
【题型3： 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】
【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】
【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】
【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】
【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴问题】
1．（2023•高阳县校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（ ）
A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（0，﹣3） D．（2，﹣3）
【答案】A
【解答】解：由题意可得：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为：（1，﹣4）．
故选：A．
2．（2022秋•合川区期末）抛物线y＝﹣x2﹣6x的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，9） B．（﹣3，﹣9） C．（3，﹣9） D．（3，9）
【答案】A
【解答】解：因为y＝﹣x2﹣6x＝﹣（x+3）2+9，
所以顶点的坐标为（﹣3，9）．
故选：A．
3.（2023春•宁波月考）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，9）
两点，则它的对称轴是（ ）
A．直线x＝7 B．直线x＝8 C．直线x＝9 D．无法确定
【答案】B【解答】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是9，
所以对称轴方程是x＝（12+4）÷2＝8．
故选：B．
4．（2022秋•连平县校级期末）二次函数 y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满
足下表，则该函数图象的顶点坐标为（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6）
【答案】B
【解答】解：由表格可得，
x＝﹣3和x＝﹣1对应的函数值相等，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣2），
故选：B．
5．（2022秋•南充期末）若二次函数 y＝x2+2x+c﹣1图象的顶点在 x轴上，则
常数c的值为（ ）
A．c＝2 B．c＝1 C．c＝﹣2 D．c＝0
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝2x2+2x+c﹣1的图象顶点在x轴上，
∴Δ＝4﹣4（c﹣1）＝0，
解得c＝2．
故选：A．
6．（2022秋•新会区期末）二次函数 y＝﹣x2+2x+m图象的顶点坐标是（1，
3），则m＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+m＝﹣（x﹣1）2+m+1，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，m+1），
∵抛物线的顶点坐标为：（1，3），
∴m+1＝3，
∴m＝2，故选：B．
7．（2022秋•兰山区校级期末）已知抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣6x﹣7，则这
条抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（ 2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（ 3，﹣2）
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣6x﹣7＝﹣（x+3）2+2，
∴其顶点坐标为（﹣3，2）．
故选：B．
8．（2023•亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+8具有相同对称轴的
是（ ）
A．y＝4x2+2x+4 B．y＝x2﹣4x C．y＝2x2﹣x+4 D．y＝﹣2x2+4x
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+8＝（x﹣1）2+7，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
A、y＝4x2+2x+4的对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣ ，故该选项不符合题意；
B、y＝x2﹣4x的对称轴是直线x＝﹣ ＝2，故该选项不符合题意；
C、y＝2x2﹣x+4的对称轴是直线x＝﹣ ＝ ，故该选项不符合题意；
D、y＝﹣2x2+4x的对称轴是直线x＝﹣ ＝1，故该选项符合题意．
故选：D．
9．（2023春•宁波月考）已知抛物线 y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，
9）两点，则它的对称轴是（ ）
A．直线x＝7 B．直线x＝8 C．直线x＝9 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是9，
所以对称轴方程是x＝（12+4）÷2＝8．
故选：B．
【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】
10．（2021秋•门头沟区期末）如果将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向上平移 3 个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是
（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：抛物线 y＝2x2先向左平移2个单位得到解析式：y＝2（x+2）
2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x+2）2+3．
故选：D．
11.（2023•温州二模）将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m（m＞0）个单
位后过点（5，2），则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵y＝x2﹣8x+2＝（x﹣4）2﹣14，
∴将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m个单位后所得二次函数解析式
为：y＝（x﹣4+m）2﹣14．
将（5，2）代入，得（5﹣4+m）2﹣14＝2，
解得m＝3．
故选：B．
12.（2023•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线 y＝﹣x2+2x﹣1经过
平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【答案】C
【解答】解：由y＝﹣x2+2x﹣1得到：y＝﹣（x﹣1）2．
∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）；
抛物线y＝﹣x2的顶点为（0，0）；
从（1，0）到（0，0）是向左平移了1个单位，
∴抛物线也是如此平移的．
故选：C．
13．（2023•神木市一模）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为 （ ）
A．b＝﹣12，c＝32 B．b＝4，c＝﹣3
C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6
【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4x+3化成顶点式为y＝（x﹣2）2﹣1，
将抛物线y＝x2﹣4x+3向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解
析式为y＝（x﹣2+4）2﹣1+3，
即y＝x2+4x+6，
即抛物线y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2+4x+6，
∴b＝4，c＝6，
故选：D．
14．（2023•阳泉二模）某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得
到的表达式为y＝x2﹣6x+14，则原抛物线的表达式为（ ）
A．y＝x2﹣4x+1 B．y＝x2﹣4x+5 C．y＝x2﹣8x+25 D．y＝x2﹣8x+17
【答案】B
【解答】解：根据题意得：原抛物线由新抛物线先向下平移 4个单位，再向
左平移1个单位，
∵新抛物线的表达式为y＝x2﹣6x+14＝（x﹣3）2+5，
∴原抛物线的表达式为：y＝（x﹣3+1）2+5﹣4，
化简后为：y＝x2﹣4x+5，
故选：B．
15．（2023•宁波模拟）将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一
条新抛物线，若点A（2，y ），B（4，y ） 在新抛物线上，且y ＞y ，则n
1 2 1 2
的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线为 y＝
（x+2﹣n）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝n﹣2，∵点A（2，y ），B（4，y ）在新抛物线上，且y ＞y ，
1 2 1 2
∴n﹣2＞ ，
∴n＞5，
故选：D．
16．（2023•涡阳县模拟）将二次函数y＝x2﹣2x+2的图象向上平移2个单位长
度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x+4 C．y＝x2+2x+4 D．y＝x2+2x+3
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴将二次函数y＝x2﹣2x+2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单
位长度，得到的抛物线的表达式为y＝（x﹣1+2）2+1+2，
即y＝（x+1）2+3＝x2+2x+4，
故选：C．
17．（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，
再向左平移 3 个单位长度，得到抛物线 y＝x2+bx+c，则 b，c 的值为
（ ）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
【答案】D
【解答】解：二次函数 y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的图象向上平移2个单位，
再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，
则b＝4，c＝6．
故选：D．
18．（2023•坪山区一模）把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再
向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1
【答案】C
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
将二次函数y＝（x+1）2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的二次函数y＝（x+1﹣2）2+1，即y＝（x﹣1）2+1．
故选：C
【题型3： 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
19.（2022 秋•巩义市期末）已知抛物线 y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是
（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，
因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为 2，所以抛物线的顶点坐标
为（1，2），因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而
增大，因此D选项错误，符合题意．
故选：D．
20.（2022秋•西湖区期末）已知二次函数 y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的
部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 18 8 2 0 2 …
则当y＞8时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5
【答案】C
【解答】解：表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝2，当x＝0
时，y＝8，
∴当x＝4时，y＝8，
∴当y＞8时，x的取值范围是x＜0或x＞4，
故选：C．21．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数 y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的
取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞
1
【答案】C
【解答】解：根据题意可得：当y＝1时，即x2﹣2x﹣2＝1，
解得：x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
∵a＝1＞0，图象开口向上，且y＞1，
∴x＜﹣1或x＞3，
故选：C．
22．（2023•成都模拟）下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（ ）
①开口方向向上；
②对称轴是直线x＝﹣4；
③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而减
小；
故①正确，②错误，③正确；
令y＝0，即x2+4x﹣5＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣5，
1 2
∴抛物线开口向上，与x轴交于（1，0），（﹣5，0），
∴当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，
故④正确，
综上所述，正确的有：①③④，
故选：C．
23．（2022秋•绵阳期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值
如表：x … 1 3 4 6 …
y … 8 18 20 18 …
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．对称轴是直线x＝4
C．当x＞4时，y随x的增大而减小
D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：由图可知，x＝3和x＝6时对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线 ，此时抛物线有最大值，
∴抛物线开口向下，故选项A、B错误，
∴当x＜4.5时，y随x的增大而增大；当x＞4.5时，y随x的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
24．（2022秋•巩义市期末）已知抛物线 y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（
）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，
因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为 2，所以抛物线的顶点坐标
为（1，2），因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而
增大，因此D选项错误，符合题意．
故选：D．25．（2022秋•苏州期末）若抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是（
）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，
∴ ，
解得：a＝0，
故选：C．
26．（2023•会昌县模拟）已知抛物线 y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐
标y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
则以下结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
C．m的值为0
D．抛物线不经过第三象限
【答案】B
【解答】解：由表格可知，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∵a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，①正确；
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，故②错误；
∵x＝2，y＝0，故③正确；
∴方抛物线不经过第三象限．故④正确．
故选：B．27．（2022秋•槐荫区期末）下列关于抛物线y＝x2+2x﹣3的说法正确的是
①开口方向向上；
②对称轴是直线x＝﹣2；
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴a＝1，该抛物线开口向上，故①正确；
其图象的对称轴是直线x＝﹣1，故②错误；
当＜﹣1，y随x的增大而减小，故③正确；
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＜﹣3或x＞1时，y＞0，故④错误；
故选：A．
28．（2023•青白江区模拟）已知二次函数 y＝﹣2x2+8x﹣7，下列结论正确的是
（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣2
B．顶点坐标为（2，﹣1）
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．与x轴只有一个交点
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+8x﹣7＝﹣2（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2，开口向下，
A．对称轴为直线x＝2，故不符合题意；
B．顶点坐标为（2，1），故不符合题意；
C．当x＜0时，y随x的增大而增大，故符合题意；
D．Δ＝64﹣4×（﹣2）×（﹣7）＝64﹣56＝8＞0，则二次函数与x轴有两个
交点，故不符合题意．故选：C
【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】
29．（2023•天宁区模拟）已知点A（m，y ）B（m+2，y ）、C（x ，y ）在二
1 2 0 0
次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若 y ≥y ＞
0 2
y ，则m的取值范围是（ ）
1
A．m＜﹣3 B．m＞﹣3 C．m＜﹣2 D．m＞﹣2
【答案】C
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∵C为抛物线的顶点，
∴x ＝﹣1，
0
∵y ≥y ＞y ，
0 2 1
∴抛物线开口向下，
﹣1﹣m＞m+2﹣（﹣1）
解得m＜﹣2．
A，B两点都在对称轴的左侧也可以，
故选：C．
30．（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线：y＝mx2﹣2mx+8（m≠0），若点A
（x ，y ），B（x ，y ），C（4，0）均在该抛物线上，且x ＜﹣2＜x ＜4，
1 1 2 2 1 2
则下列结论正确的是（ ）
A．y ＞y ＞0 B．0＞y ＞y C．0＞y ＞y D．y ＞0＞y
1 2 2 1 1 2 2 1
【答案】D
【解答】解：∵y＝mx2﹣2mx+8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∵抛物线经过（4，0），
∴m＝﹣1，抛物线开口向下，
∴y＝﹣x2+2x+8，
∴点（﹣2，0）在抛物线上，
则x＜﹣2时，y＜0，﹣2＜x＜4时，y＞0，
∴x ＜﹣2＜x ＜4时，y ＜0＜y ，
1 2 1 2故选：D．
31．（2022秋•盐湖区期末）抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，
y ），B（3，y ）是抛物线上两点，则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法比较
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵抛物线 y＝a（x﹣2）2+k的图象与性质，确定抛物线开口向
上，对称轴为x＝2，
∴函数y＝a（x﹣2）2+k可取到最小值，
∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，
∵点A（﹣1，y ），B（3，y ）是抛物线上两点，A（﹣1，y ）到对称轴距
1 2 1
离为2﹣（﹣1）＝3，B（3，y ）到对称轴距离为3﹣2＝1，1＜3，
2
∴B（3，y ）到对称轴距离比A（﹣1，y ）到对称轴距离近，
2 1
∴y ＞y ，
1 2
故选：A．
32．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数 y＝﹣x2+2x﹣3，点A（x ，y ）、
1 1
B（x ，y ）在该函数图象上，若x +x ＞2，x ＞x ，则y 与y 的大小关系是（
2 2 1 2 1 2 1 2
）
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵x +x ＞2，x ＞x ，
1 2 1 2
∴y ﹣y ＝（﹣ +2x ﹣3）﹣（﹣ +2x ﹣3）＝﹣（x ﹣x ）（x +x ﹣2）＜
1 2 1 2 1 2 1 2
0
∴y ＜y ．
1 2
故选：A．
33．（2023•灞桥区校级模拟）已知点A（n，y ）、B（n+2，y ）、C（x，y ）
1 2 0
在二次函数 y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且 C 为抛物线的顶点，若
y ≥y ＞y ，则n的取值范围是（ ）
0 1 2A．n＞﹣3 B．n＜﹣3 C．n＜﹣2 D．n＞﹣2
【答案】A
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∵C为抛物线的顶点，
∴x ＝﹣2，
0
∵y ≥y ＞y ，
0 1 2
∴抛物线开口向下，
∵n＜m+2，y ≥y ＞y ，
0 1 2
∴当点A（n，y ）和B（n+2，y ）在直线x＝﹣2的右侧，则n≥﹣2；
1 2
当点A（n，y ）和B（n+2，y ）在直线x＝﹣2的两侧，则﹣2﹣n＜n+2﹣
1 2
（﹣2），解得n＞﹣3；
综上所述，m的范围为n＞﹣3．
故选：A．
34．（2023•莲池区二模）已知点A（n﹣2，y ），B（n，y ）在二次函数的y＝
1 2
﹣x2+2x+3图象上，若y ＜y ，则n的取值范围为（ ）
1 2
A．n≤1 B．n＜2 C．1＜n＜2 D．n＞2
【答案】B
【解答】解：∵点A（n﹣2，y ），B（n，y ）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3
1 2
图象上，且y ＜y ，
1 2
∴﹣n2+2n+3＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+3，
化简整理得，4n﹣8＜0，
∴n＜2，
∴n的取值范围是n＜2，
故选：B．
【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】
35．（2023•山丹县模拟）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣10 C．﹣6 D．6
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣8x﹣2可化为y＝2（x﹣2）2﹣10，∴二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是﹣10；
36．（2022秋•汝阳县期末）二次函数 y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜
m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．﹣1＜m≤1 C．m＞0 D．﹣1＜m＜2
【答案】B
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大，
又∵当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，
∴﹣1＜m≤1，
故选：B．
37.（2022秋•蔡甸区校级月考）已知0≤x≤ ，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大
值是（ ）
A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
【答案】C
【解答】解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，
∴当x＜2时，y随着x增大而增大，
∴当x＝ 时有最大值y＝﹣2（ ﹣2）2+2＝﹣2.5，
故选：C．
38.（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数 y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x
＜2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或
【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2﹣m+2，
∴对称轴为直线x＝1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝1时，有最小值y＝﹣m+2＝﹣2，
解得：m＝4；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝﹣2时，有最小值y＝9m﹣m+2＝﹣2，
解得：m＝﹣ ；
故选：B．
39．（2022秋•沈河区校级期末）二次函数 y＝﹣x2﹣4x+c的最大值为0，则c
的值等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣16 D．16
【答案】B
【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∵最大值为0，
∴4+c＝0，
解得c＝﹣4．
故选：B．
40．（2022秋•桥西区校级期末）已知二次函数 y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣
2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ）
A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，
解得：m＝5；
②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，
解得：m＝﹣ ；
故选：C．
故选：B．
41．（2022秋•长安区期末）若二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣
1，﹣3），则b、c的值分别是（ ）
A．b＝2，c＝4 B．b＝﹣2，c＝﹣4C．b＝2，c＝﹣4 D．b＝﹣2，c＝4
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0，
∴该函数的图象的开口方向向下，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶
点坐标，
∴﹣1＝﹣ ，即b＝﹣2；①
﹣3＝ ，即b2+4c+12＝0；②
由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4；
故选：B．
42．（2022秋•宜阳县期末）当x＝ ﹣ 时，二次函数y＝2x2+3x﹣1的函数
值最小．
【答案】﹣ ．
【解答】解：∵ ，
∵a＝2＞0则抛物线开口向上，
∴当 时，二次函数y＝2x2+3x﹣1的函数值最小．
故答案为： ．43．（2022秋•东丽区期末）当m≤x≤m+1，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，
则m的值为 ﹣ 1 或 2 ．
【答案】﹣1或2．
【解答】解：在y＝x2﹣2x+1上，当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x ＝0，x ＝2．
1 2
∵当m≤x≤m+1时，函数有最小值1，
结合函数图象可知，m＝2或m+1＝0，
∴m＝2或m＝﹣1，
44．（2022秋•天河区校级期末）当 a﹣2≤x≤a+1时，函数，y＝﹣x2+2x+3的
最大值为3，则a的值为 4 或﹣ 1 ．
【答案】4或﹣1．
【解答】解：当y＝3时，有﹣x2+2x+3＝3，
解得：x ＝0，x ＝2．
1 2
∵当a﹣2≤x≤a+1时，函数，y＝﹣x2+2x+3的最大值为3，
∴a﹣2＝2或a+1＝0，
∴a＝4或a＝﹣1，
故答案为：4或﹣1．
【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】
45．（2023•大观区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次
函数 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，
∴ ，
∴b＝﹣2a，
∴
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，即a+2a+c＞0，
∴3a+c＞0，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限，且与 y 轴交于
（0，2），
故选：B．
46．（2023•老河口市模拟）二次函数 y＝mx2+2x+n（m≠0）与一次函数 y＝
mx+mn在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：当m＞0时，抛物线开口向上，直线上升，选项D不符合题意．
当m＜0时，抛物线开口向下，直线下降，选项A不符合题意．
选项B中，抛物线开口向下，m＜0，抛物线与y轴交点在x轴上方，n＞0，
直线与y轴交点在x轴上方，mn＞0，则n＜0，不符合题意．
选项C中，抛物线开口向上，m＞0，抛物线与y轴交点在x轴上方，n＜0，
直线与y轴交点在x轴上方，m＜0，则n＜0，符合题意．
故选：C．
47.（2023•全椒县一模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝
ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，
ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞
0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜
0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞
0，故本选项不合题意．
故选：B．
48.（2023•莱芜区模拟）一次函数 y＝ax+bc与二次函数 y＝ax2+bx+c在同一平
面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、由直线可知，a＞0，bc＞0，由抛物线可知：
，故b＞0，bc＞0，符合题意；
B、由直线可知，a＜0，bc＜0，由抛物线可知： ，故
b＞0，bc＞0，不符合题意；
C、由直线可知，a＞0，由抛物线可知：a＜0，不符合题意；
D、由直线可知，a＞0，bc＞0，由抛物线可知： ，故
b＜0，bc＜0，不符合题意．故选：A．
49．（2023•莱芜区模拟）一次函数y＝ax+bc与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平
面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、由直线可知，a＞0，bc＞0，由抛物线可知：
，故b＞0，bc＞0，符合题意；
B、由直线可知，a＜0，bc＜0，由抛物线可知： ，故
b＞0，bc＞0，不符合题意；
C、由直线可知，a＞0，由抛物线可知：a＜0，不符合题意；
D、由直线可知，a＞0，bc＞0，由抛物线可知： ，故
b＜0，bc＜0，不符合题意．
故选：A
【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】
50．（2023•顺庆区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经
过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x ，x ，其中﹣1＜x ＜0，1＜x ＜
1 2 1 2
2，下列结论：
①abc＞0．
②2a+b＜0．③4a+2b+c＜0．
④4ac﹣b2＞8a．
⑤a≤﹣1．
其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵0＜﹣ ＜1，
又∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵﹣ ＜1，
∴b＜﹣2a，
∴2a+b＜0，所以②正确；
∵x＝2，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以③正确；
∵ ＞2，
而a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，所以④错误；
当x＝1时，a+b+c＝2①．∵a﹣b+c＜0②，4a+2b+c＜0③，
由①+②得到2a+2c＜2，
由③﹣①×2得到2a﹣c＜﹣4，即4a﹣2c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1，所以⑤错误；
故选：A．
51．（2023•兴庆区模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ax2+bx+c
（a≠0）的图象如图所示，个结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③9a+3b+c＞0；
④b2＞4ac；
⑤当x＝1数有最大值；
⑥当0＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小；
其中正确的序号有（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．④⑤⑥ D．②④⑤
【答案】D
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，∴abc＜0，
∴①说法错误，
∵﹣ ＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，
∴②说法正确，
由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴④说法正确；
∵开口向下，对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最大值，
∴⑤说法正确，
∵开口向下，对称轴为x＝1，
∴当0＜x＜1时，函数y的值随x的增大而增大，
∴⑥错误，
∴正确的为②④⑤，
故选：D．
52．（2023•潮南区模拟）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，
a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①
abc＞0：② 2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0 时，
0≤y≤c．其中正确结论的个数是（ ）A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：由图象知，a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣ ，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线过点A（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a．
则2a+c＝b+c＝﹣a＞0，
故②正确；
∵a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
由图象知，当x＝﹣1时，函数取得最大值，
∴函数的最大值为a﹣b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a．
故③正确；
由抛物线的对称性可知，抛物线过点（﹣3，0），
∴当x＝﹣3时，抛物线取得最小值为0，
当x＝﹣1时，抛物线取得最大值为﹣4a．
∴当﹣3≤x≤0时，0≤y≤﹣4a．
故④错误．
∴正确的结论有3个．
故选：D．
