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分层作业
26.2.2 y=a(x-h)²+k 的图象性质
目录
A 组巩固过关
题型01 y=ax²+k 的函数图象
题型02 y=a(x-h)²的图象和性质
题型03 y=a(x-h)²+k 的图象和性质
题型04 待定系数法求解析式
题型05 二次函数的图象平移问题
题型06 与顶点式相关的字母参数讨论
题型07 二次函数的最值问题
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
y=ax²+k 的图象和性质
1．（25-26 九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数
2
2
1
y
x
的图象性质说法不正确的是（
）
A．因为
0
a
，所以抛物线开口向上
B．当
0
x
时，函数y 有最大值1
C．当
0
x
时，函数y 随x 的增大而增大D．抛物线的顶点坐标是
0,1
2．（25-26 九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线
2
0
y
ax
c a
的图象不经过三四象限，下列说法正确的是
（
）
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A．
0,
0
a
c
B．
0,
0
a
c
C．
0,
0
a
c
D．
0,
0
a
c
3．（2026·吉林·模拟预测）若点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
是函数
2
(
0)
y
ax
c a
上的两点，若
1
2
x
x
且
1
2
0
x
x
，
则
1y ________
2y ．（填“ ”、“”或“ ”）
4．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
2
3
4
y
x
x
；
(2)
2
1
2
y
x
x
；
(3)
2
3
7
2 7
2
y
x
x
；
(4)
2
100
5
y
x
；
(5)
2
6
12
y
x
x
；
(6)
2
3
4
1
2
y
x
x
．
5．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数
2
1
1
1
4
y
x
与
2
2
1
1
4
y
x
的图象，并说明这两个函数图
象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5 个方面进行说明）．
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题型02
y=a(x-h)²的图象和性质
6．（25-26 九年级上·上海·阶段检测）抛物线
2
2
4
y
x
的顶点在（
）
A．x 轴上
B．y 轴上
C．第三象限
D．第四象限
7．（25-26 九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线
2
1
y
x
，下列说法错误的是（
）
A．开口向上
B．当
1
x 时，y 随x 的增大而减小
C．当
1
x 时，函数值最小
D．将抛物线向左平移1 个单位长度得到
2
y
x
8．（25-26 九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数
2
1
y
x
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）若
1
2,
A
y
，
2
3,
B
y
，
3
2,
C
y
在二次函数
2
1
y
x
的图象上，
则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）．
10．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）已知
0
a
，设函数
2
2
2
1
2
3
1
2
3
y
a x
y
a x
y
a x
，
，
．直
线x
m
与函数
1
2
y
y
，
，
3y 的图象分别交于点
1
2
3
A m c
B m c
C m c
,
，
,
，
,
．若
2
3
1
c
c
c
，则m 的取值范
围是___________
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题型03
y=a(x-h)²+k 的图象和性质
11．（25-26 九年级上·河北石家庄·期末）对于抛物线
2
2
6
y
x
，下列结论：①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线
2
x
；③顶点坐标为
2,6 ；④当
2
x
时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线
2
2
1
3
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为
1,3
C．抛物线的对称轴为直线
1
x
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而减小
13．现有一组抛物线：
2
2
2
1
2,
2
4
3
6
y
x
y
x
y
x
,
，…，则这组抛物线的顶点都在（
）
A．直线
2
y
x
上
B．直线
2
y
x
上
C．抛物线
2
2
y
x
上
D．抛物线
2
y
x
上
14．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数
2
1
y
x
k
（k 为常数），若点
1
1,
A
y
，
2
2,
B
y
，
3
4,
C
y
都在该函数的图象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
1
3
y
y
y
C．
3
2
1
y
y
y
D．
2
3
1
y
y
y
题型04
待定系数法求解析式
15．（25-26 九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线
2
2
y
x
与抛物线
2
2
y
ax
的开口方向和开口大小相同，
则a __．
16．（25-26 九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线
2
y
a x
h
的对称轴为直线
1
x ，且过点
1, 4
，
求抛物线的解析式．
17．（25-26 九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线
4 ²
y
a x
经过点
3 2
M ，，解答下列问题：
(1)求此抛物线的解析式；
(2)填空：
①此抛物线的开口
；顶点坐标是
；对称轴是；
②当x 时，y 随x 的增大而减小；
③当x
时，函数有最值为；
18．（25-26 九年级下·广东深圳·开学考试）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式．
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(1)抛物线的顶点为
3, 1
，与y 轴的交点是
0, 4
；顶点式：___________；
(2)抛物线与x 轴交于点
1,0
M
，
2,0
N
，且经过点
12, ；一般式：___________；
(3)与抛物线
2
3
y
x
形状相同，开口方向相反，顶点坐标是
5,0
的抛物线；顶点式：___________；
(4)将抛物线
2
2
1
y
x
x
先绕原点旋转180，再向下平移5 个单位长度得到的新抛物线；顶点式：
___________；
(5)将抛物线
2
y
x
先向下平移2 个单位长度，再沿直线=
3
y
翻折后的抛物线．一般式：___________．
19．（25-26 九年级上·宁夏中卫·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
与x 轴交于,
A B 两点，其中点A 的坐标为
3,0
，与y 轴交于点C ，点
2, 3
D
在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
题型05
二次函数的图象平移问题
20．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线
2
8
15
y
x
x
向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度
后，得到的抛物线解析式是（
）
A．
2
1
3
y
x
B．
2
7
3
y
x
C．
2
1
1
y
x
D．
2
7
1
y
x
21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线
2
3
2
y
x
先向左平移2 个单位，再向
上平移6 个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（
）
A．
2,6
B．
2,8
C．
2, 8
D．
2, 8
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22．将抛物线
2
1
3
2
y
x
x
向下平移1 个单位，再向右平移4 个单位，求所得抛物线的开口方向、对称
轴和顶点坐标．
题型06
与几何的综合问题
23．（2023·浙江台州·模拟预测）已知二次函数
2
y
a x
m
n
经过点
1
2
2,
8,
y
y
，
，若
1
2
y
y
，则下列说
法正确的为（
）
A．当
0
a
时，
5
m
B．当
0
a
时，
3
m
C．当
0
a
时，
3
m
D．当
0
a
时，
3
m
24．（25-26 九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数
2
y
2( x
1)
3
的图象上有三个不同的点
1,
A x m ，
1
2,
B x
x n
，
2,
C x m ，则n 的值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
25．（25-26 九年级下·河北沧州·阶段检测）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函
数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点
0,2
A
，点
2,0
C
，则互异二次函数
2
y
x
m
m
的图象与正方形OABC 有交点时，m 的最大值和最小值分别是（
）
A．4，1
B．5
17
2
，1
C．4，0
D．5
17
2
，1
26．（25-26 九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数
2
(
)
y
x
m
n
（m，n 为常数）的图象经过点
(3,2)
A
．
(1)将该函数图象向右平移4 个单位后仍过点A，则m ______；
(2)当0
2
m
时，求n 的取值范围；
(3)当0
2
x
时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______．
A．M 随m 的增大而增大
B．M 随m 的增大而减小
C．M 随m 的增大先增大后减小
D．M 随m 的增大先减小后增大
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27．（25-26 九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数
2
(
2)
1(
0)
y
a x
a
(1)若该函数的图象经过点(0,1)求二次函数的解析式；
(2)若点
1
,
M m y
和
2
3,
N m
y
是该函数图象上的两个点
①当
1
2
y
y
时，求m 的取值范围；
②若M、N 两点分别在对称轴的两侧，当
3
m
x
m
时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a 的
取值范围____________．
33．（2025 九年级上·江苏无锡·专题练习）若二次函数
2
2
y
x
m
，当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，则m
的取值范围是（
）
A．
1
m
B．
1
m
C．
1
m
D．
1
m
34．（2026·江苏南京·三模）若二次函数
2
y
x
m
m
( m 为常数)的图像与x 轴有两个不同的交点，则该函
数图像的顶点在(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
35．
（2026·吉林长春·模拟预测）已知
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
是抛物线
2
y
x
c
上的两点．若
1
2
0
x
x
且
1
2
x
x
，
则
1y ________
2y ．（填“ ”、“”或“ ”）
36．（25-26 九年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，已知抛物线
2
4
y
x
．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）；
(2)该抛物线
2
4
y
x
可由抛物线
2
y
x
向___________平移___________个单位得到；
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(3)当1
2
x
时，y 的取值范围是___________．
37．（25-26 九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为A ，且与y 轴交于点B ．
(1)求A ，B 两点的坐标；
(2)若点C 为点B 关于对称轴对称的点，点P 在抛物线上且在第一象限内，且
8
PBC
S
，求点P 的坐标．
38．
（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线．如
果抛物线
2
1
2
:
C
y
x
x
与抛物线
2
2 :
C
y
x
h
b
是关于y 轴的对称曲线，则h
b
的值为（
）
A．3
B．0
C．1
D．2
39．（25-26 九年级上·江苏宿迁·期末）当1
3
x
时，二次函数
2
2
(
)
1
y
x
m
m
的最大值是5，则m 的
值为______．
40．（25-26 九年级上·浙江温州·自主招生）定义
max
,
a a
b
a b
b a
b
，已知函数
2
max 2
1
f x
x
ax
b
，
，其中
0
a
，若
f x 的最小值为1，则a
b
_________．
41．（2025·上海·一模）如果抛物线
1
C 的顶点在抛物线
2
C 上时，抛物线
2
C 的顶点也在抛物线
1
C 上，此时我们
称抛物线
1
C 与
2
C 是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线
2
2
1
y
x
是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达
式可以是______（只需写出一个）．
42．已知点
P m a
,
在抛物线
2
1
y
a x
上，且点P 在第一象限内．
(1)求m 的值；
(2)过点P 作PQ
x
∥轴交抛物线
2
1
y
a x
于点Q，若
3
a
，试求点P，Q 与原点O 围成的三角形的面积．
43．（25-26 九年级上·河南信阳·阶段检测）根据背景素材，探索解决实际问题
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素材一
乒乓球发球机的运动路线
如图1 所示，乒乓球台规格约是长为3m ，宽为1.5m 的矩形，球网高度约为
0.15m ．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O 正上方的点P 处．
素材二
如图2 所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M 处，且球的运动
路线是一条形状不变的抛物线，以O 为原点，桌面中轴线所在直线为x 轴，
建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为
2
0.25(
1)
0.64
y
x
．
素材三
如图3 所示，若乒乓球落在中轴线点M 处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当
球与O 点的水平距离为3.2m 时，球的高度为0.42m；当球与O 点的水平距离
为3.6m 时，达到最高点，此时球与桌面的距离是m
h
．
问题解决
任务一：研究乒乓球着
落点问题
（1）点M 的坐标为__________；
任务二：研究乒乓球反
弹后的最大高度
（2）求h 的值；
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任务三：研究乒乓球是
否出界问题
（3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，
此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球落点的坐标；若不能实现，请
说明理由．
44．（2026·山东德州·二模）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
（a，b，c 为常数，
0
a
，
0
b
）的顶点为P，与y
轴交于点C，O 为坐标原点．
(1)当
2
a
，
4
b ，
3
c 时，则该抛物线顶点P 的坐标为________；
(2)若2
0
a
b
．
①M 是抛物线上第一象限内一点，设
2,
M
m ，
90
MOP
，且OM
OP
，求c 的值；
②若抛物线与x 轴的一个交点坐标为
3,0 ，点D 在抛物线的对称轴上，当2DC
DP
的最小值为1
3
时，
求a 的值．
45．（25-26 九年级上·甘肃庆阳·期中）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数
2
3
3
4
y
x
的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
(1)函数
2
3
3
4
y
x
的自变量x 的取值范围是____________；
(2)①列表：如表是x，y 的几组对应值，其中m ____________，n ____________；
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x
…
4
3
2
1
0
1
2
3
4
…
y
…
9
15
4
0
m
3
n
0
15
4
9
…
②描点：根据表中的数值描点
,x y ，请补充描出点
1,m
，
1,n ；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；
(3)请观察函数图象，当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围为____________．
(4)若点
,
A e p ，
,
B f q 均在该函数图象上，且|
| | | 2
f
e
，则p 与q 的大小关系是____________．
46．（25-26 九年级上·江苏南京·期末）课本内容再探索（一）
课本中研究了二次函数
2
(
1)
2
y
x
的图像与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下：
函数图像
图像特征与函数性质
推理论证
①
函数的最大（小）值
当
1
x 时，y 有最小值，最小
值为2．
∵
2
1
0
x
（当且仅当
1
x 时，
等号成立），
∴
2
1
2
2
x
．
∴当
1
x 时，y 有最小值，最小
值为2．
函数的变化趋势
当
1
x
时，y 随x 的增大而减
小；
任取图像上两点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
．
当
1
2
1
x
x
时，③……
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当
1
x 时，y 随x 的增大而增
大．
当
1
2
1
x
x
时，同理可得当
1
x 时，y 随x 的增大而增大．
图像的对称性
图像关于②对称．
④
(1)在①处画出该函数的图像，并填写②处的空格；
(2)③处的论证思路如下，将其补充完整；
(3)写出④处的论证图像对称性的过程．
x
3
2
1
0
1
y
6
3
2
3
6
47．（25-26 九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系
数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线
2
0.5
y
x
与
2
2
y
x
是共生抛物线
已知抛物线
2
1
2
2
1
3
C
y
x
：
的顶点是点P ，它的共生抛物线
2
C 的顶点是Q ；
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(1)点P 的坐标是___________，抛物线
2
C 的函数关系式是___________．
(2)当x 的取值范围是___________时，抛物线
1
C 与
2
C 的函数值都随x 的增大而减小．
(3)直线y
m
与抛物线
1
2
C
C
、
均有两个交点，这些交点从左到右分别是A
B
C
D
，，，
．
①求m 的取值范围是___________；
②在抛物线
2
C 上是否存在一点K ，使
KPQ
△
是以PQ 为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出K 点的
坐标，若不存在，请说明理由．
48．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线
2
1
3
4
2
y
x
的顶点坐标是（
）
A．
3,4
B．
3,4
C．
3, 4
D．
3, 4
49．（2025·四川·中考真题）对于抛物线
2
2
1
3
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为
1,3
C．抛物线的对称轴为直线
1
x
D．当
3
x 时，y 随x 的增大而增大
50．（2026·广西·中考真题）二次函数
2
(
20)
26
y
x
的最小值为__________．
