文档文本内容
1 / 12
学科网（北京）股份有限公司
3.2 一元一次不等式及其解法
课标要点
1.理解一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式，区分一元一次不等式与方程
的异同。
2.掌握解一元一次不等式的完整步骤，熟练进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系
数化为1 等变形。
3.能正确求解一元一次不等式的解集，并规范在数轴上表示解集，熟练运用数形结合方法。
4.能根据不等式解集情况，求简单参数问题，理解含参数一元一次不等式的基本解题思路。
5.熟练掌握不等式变形易错规则，尤其掌握系数化为1 时正负号变化规律，提升运算准确
性。
学习重难点
重点：
1.掌握一元一次不等式的定义；
2.熟练掌握一元一次不等式的解题步骤，能规范求解解集；
3.能在数轴上准确表示不等式解集。
难点：
1.不等式去分母、系数化为1 时，负数运算导致不等号方向出错；
2.数轴表示解集时空心点、实心点与方向混淆；
3.根据不等式解集情况求解简单参数问题。
第三章
一元一次不等式
2 / 12
学科网（北京）股份有限公司
知识点
一元一次不等式的概念
1. 一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的
不等式叫一元一次不等式。
2. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次
数是1。
3. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解题。
4. 解不等式：求不等式解题的过程叫作解不等式。
5. 一元一次不等式的一般形式：𝑎𝑥+ 𝑏＜0或𝑎𝑥+ 𝑏＞0(𝑎≠0)。
随学随练
1．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．
1
𝑥−1 < 2
B．𝑥2 > 4
C．2𝑥−𝑦< 3
D．2𝑦−1 ≤4
2．（25-26 七年级下·山东济宁·期末）已知(𝑚+ 3)𝑥|𝑚|−2 < 11是关于x 的一元一次不等式，则m 为（ ）
A．±1
B．−3
C．3
D．1
知识点
解一元一次不等式（重点）
步骤
依据
1
去分母
不等式的基本性质3
2
去括号
单项式乘多项式法则
3
移项
不等式的基本性质2
4
合并同类项，得𝑎𝑥＞𝑏，或𝑎𝑥＞𝑏(𝑎≠
0)
合并同类项
5
两边同除以𝑎（或乘
1
𝑎）
不等式的基本性质3
易错提醒
1）未知数在分母、根号内的不是一元一次不等式；
2）含两个及以上未知数、未知数次数不为1 的不属于该类型；
3）误把含≠的不等式排除，≠也可构成一元一次不等式。
3 / 12
学科网（北京）股份有限公司
随学随练
1．（25-26 七年级下·上海闵行·期末）解不等式：
1
2 𝑥−2 < 7．
2．（25-26 七年级下·北京·期末）解不等式2𝑥+ 1 > 3𝑥−2，并在数轴上表示解集．
3．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）解不等式2 −𝑥>
1−𝑥
3 ，并将解集表示在数轴上．
拓展
一元一次不等式判定三要素
1. 一元一次不等式必须同时满足三个硬性条件，缺一不可，是区分普通不等式、分式不等式、高次不等
式的核心依据，判定标准固定：
①两边均为整式，不含分母含未知数、根号含未知数等形式；
②式子中只含一个未知数，多未知数不属于一元一次不等式；
③未知数的最高次数为1，不含二次、零次、负次等次数形式。
2. 其标准一般形式为 𝑎𝑥+ 𝑏> 0 或 𝑎𝑥+ 𝑏< 0(𝑎≠0)，一次项系数必须不为0，保证为一次不等式。
活学活用
1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．𝑥2 > 0
B．2𝑥−1
C．2𝑦< 8
D．5 + 2 < 9
2．（23-24 七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（ ）个
（1）3𝑥+ 4𝑦> 0，（2）
𝑦
3 −3 ≠2，（3）𝑥≤4𝑥+ 3，（4）
3
𝑥+ 5 ≥40
A．1
B．2
C．3
D．4
3．有下列不等式：①−4 < 0；②𝑥2 + 2 > 2𝑥；③𝑥−3 > 2𝑦；④
𝑥−1
π > 5；⑤3𝑦> −3．其中一元一次
不等式有________（填序号）．
特别提醒
解题步骤与解一元一次方程基本一致：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1；唯一核心区
别：系数化为1 时，负数系数要变号。
4 / 12
学科网（北京）股份有限公司
拓展
解一元一次不等式与一元一次方程步骤、依据对比
1. 二者解题步骤高度相似，但核心依据和关键规则存在本质区别，是极易混淆的考点，详细对比如下：
解题步骤
一元一次不等式（依据+规则）
一元一次方程（依据+规则）
去分母
依据不等式性质3，乘负数需改变不等
号方向
依据等式性质，无论乘正数、负数，等号
始终不变
去括号、移项、
合并同类项
规则、依据与方程完全一致，无符号
变化
常规代数运算，无特殊符号变化规则
系数化为1
依据不等式性质3，除以负数必须反转
不等号
系数无论正负，等号始终保持不变
最终结果
取值范围（无数个解）
唯一确定数值（单个解）
活学活用
1．解不等式：
(1)𝑥−7 < 8；
(2)3𝑥< 2𝑥−3．
2．解不等式
𝑥−2
2 ≥
7−𝑥
3 ，并把它的解集表示在数轴上．
3．解不等式
2𝑥−1
3
< 𝑥+ 1，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
题型
识别一元一次不等式
▌例1．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（ ）
解题贴士
满足三个核心条件即为一元一次不等式：①只含一个未知数；②未知数最高次数为1；③未知数不含分
母、不含根号、不含绝对值（整式不等式），且含不等符号。
5 / 12
学科网（北京）股份有限公司
A．9 > 4
B．𝑥+ 𝑦> 1
C．𝑥2 + 3 > 2𝑥
D．3𝑥≥2
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）下列属于一元一次不等式的是（ ）
A．2𝑥+ 1 = 1
B．−2 > −3
C．𝑥> 1
D．𝑥
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A．3𝑥+ 2 > 5
B．𝑥2 −1 < 0
C．2𝑥+ 𝑦≤3
D．
2
𝑥+ 2 ≥4
题型
判断不等式的解集
▌例1．（25-26 七年级下·上海·期末）下列各数中，是不等式2𝑥−1 > 3的解的是（ ）
A．𝑥= 5
B．𝑥> 2
C．𝑥= 0
D．𝑥= −3
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·河南驻马店·期中）下列不等式中，解不包括
5
2的是（ ）
A．𝑥<
5
2
B．𝑥> −
5
2
C．𝑥< 3
D．𝑥≥
5
2
▌对点练1-2．（2026·吉林长春·模拟预测）若𝑥= 5.5是某不等式的解，则该不等式可以是（ ）
A．𝑥< 4
B．𝑥< 5
C．𝑥> 5
D．𝑥> 6
题型
利用一元一次不等式的定义求参数
▌例1．若(𝑚−1)𝑥+ 3 ≤0是关于𝑥的一元一次不等式，则m 的值不可以为（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．0
▌例2．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）若2𝑥2𝑚−3 + 4 > −1是关于𝑥的一元一次不等式，则𝑚的值为
______．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·安徽淮北·期中）若(1 −𝑚)𝑥|𝑚| + 5 < 0是关于𝑥的一元一次不等式，则𝑚=
（ ）
解题贴士
1）能使不等式成立的所有未知数的值为解集；
2）可代入检验、结合数轴判断：大于向右、小于向左，空心不含点、实心含点。
解题贴士
根据定义列限制条件：①未知数次数=1；②未知数系数≠0，联立求解参数取值。
6 / 12
学科网（北京）股份有限公司
A．±1
B．1
C．−1
D．0
▌对点练1-2．已知𝑥𝑚−3 + 2 > 6 是关于𝑥的一元一次不等式，则𝑚的值为_____．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·甘肃天水·期中）若不等式(𝑚−2)𝑥|𝑚−1| + 3 > 2是关于x 的一元一次不等
式，则𝑚=________．
题型
由不等式的解求参数
▌例1．已知𝑥= 2是不等式3𝑥+ 𝑚> 5的一个解，则m 的值可以是（ ）
A．−3
B．−2
C．−1
D．0
▌对点练1-1．关于x 的不等式(𝑎−3)𝑥> 𝑎−3的解集是𝑥> 1，则a 的取值范围是（ ）
A．𝑎> 3
B．𝑎< 3
C．𝑎> 1
D．𝑎< 1
▌对点练1-2．已知𝑥= 3是不等式𝑥< 𝑎的一个解，请写出一个符合条件的𝑎的值______．
题型
解一元一次不等式
▌例1．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式1 −𝑥≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌例2．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）解不等式：
𝑥−1
2 < 𝑥+ 1．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）不等式4 −3𝑥< 1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
解题贴士
先正常解出含参数的不等式解集，再结合题目给出的解、解集范围，列等式或不等式求解参数，必要时
检验边界值。
解题贴士
1）解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1；
2）全程遵循不等式性质，系数为负时，不等号反向改变。
7 / 12
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东佛山·期末）解不等式−𝑥+ 1 > 7𝑥−3，并将解集表示在数轴上．
▌对点练1-3．（2026·陕西·模拟预测）解不等式：2𝑥−1 < 3(𝑥+ 1)，并把解集在数轴上表示出来．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·山西临汾·期末）下面是小颖解不等式
𝑥−5
15 <
𝑥−2
5 −1的过程，请认真阅读并
完成相应任务．
解：
𝑥−5
15 <
𝑥−2
5 −1
去分母，得𝑥−5 < 3(𝑥−2) −15 第一步
去括号，得𝑥−5 < 3𝑥−6 −15 第二步
移项，得𝑥−3𝑥< −6 −15 + 5 第三步
合并同类项，得−2𝑥< −16 第四步
将未知数的系数化为1，得𝑥< 8 第五步
(1)任务一：
上述解不等式的过程第__________步出现了错误，其原因是____________________．
(2)任务二：直接写出不等式的解集，并将不等式的解集在数轴上表示出来．
(3)任务三：你认为本题中还有哪些易错点，请列举出一处．
▌对点练1-5．（25-26 八年级下·山西运城·期中）下面是小亮同学解不等式
2𝑥+1
3
−
5𝑥−2
6
> 1的过程，请认真
阅读并完成相应任务．
解：去分母，得2(2𝑥+ 1) −(5𝑥−2) > 6……第一步
去括号，得4𝑥+ 2 −5𝑥+ 2 > 6……第二步
移项，得4𝑥−5𝑥> 6 −2 −2……第三步
合并同类项，得−𝑥> 2……第四步
两边都除以−1，得𝑥> −2……第五步
任务：
(1)上述求解过程中，第一步变形的依据是__________，上述求解过程中的第______步发生错误，具体错误
是__________．
(2)该不等式的解集应为__________．
8 / 12
学科网（北京）股份有限公司
(3)在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，请你根据平时的学习经验，给同
学们提一条建议．__________
题型
一元一次不等式的整数解问题
▌例1．（25-26 七年级下·贵州黔南·期末）不等式3𝑥+ 1 > −8的负整数解可能是（ ）
A．−2
B．−3
C．−4
D．−5
▌例2．（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式
3𝑥+2
4
< 1 +
7𝑥−1
8 ，并写出它的负整数解．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖北武汉·期末）满足不等式𝑥+ 2 < 6的所有正整数𝑥的和是（ ）
A．10
B．6
C．4
D．3
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·江苏常州·期末）不等式5 −𝑥≥1的最大整数解为__________．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·云南曲靖·期末）不等式 𝑥≤
13
4 的正整数解有________个．
▌对点练1-4．已知式子
𝑥
3 −2的值小于式子
𝑥
2 −3的值，求满足条件的最小正整数𝑥的值．
题型
绝对值型一元一次不等式问题
▌例1．（25-26 七年级上·辽宁丹东·期中）若|𝑥−3| = 3 −𝑥，则x 与3 的大小关系为（ ）
A．𝑥> 3
B．𝑥≥3
C．𝑥< 3
D．𝑥≤3
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏徐州·期末）若|3 −𝑥|的值小于2，则𝑥的取值范围是________．
▌对点练1-2．若|𝑥−4| ≤3，则x 的取值范围_______．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广东河源·期中）【阅读理解】
小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知
数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式|𝑥| > 3的解集．小明同学的思路如下：先根据
解题贴士
先解出不等式解集，结合数轴锁定范围，按需筛选整数解、正整数解、非负整数解，注意端点取舍。
解题贴士
1）核心模型：①|𝑥|＞𝑎（𝑎＞0）→𝑥＞𝑎或𝑥＜−𝑎；②|𝑥|＜𝑎（𝑎＞0）→−𝑎＜𝑥＜𝑎；
2）先去绝对值转化为普通一元一次不等式，再求解集、整数解。
9 / 12
学科网（北京）股份有限公司
绝对值的定义，求出|𝑥|恰好是3 时𝑥的值，并在数轴上表示为点𝐴，𝐵如图所示．
观察数轴发现，以点𝐴，𝐵为分界点把数轴分为三部分：点𝐴左边的点表示的数的绝对值大于3；点𝐴，𝐵之
间的点（不包括点𝐴，𝐵）表示的数的绝对值小于3；点𝐵右边的点表示的数的绝对值大于3．
因此，小明得出结论：绝对值不等式|𝑥| > 3的解集为𝑥< −3或𝑥> 3．
【迁移应用】
(1)|𝑥| > 4的解集是________，|𝑥| < 3的解集是_________；
(2)求绝对值不等式|𝑥+ 3| + 2 < 6的解集；
(3)直接写出不等式𝑥2 ≥225的解集．
基础通关
1．（25-26 七年级下·贵州黔南·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．−3 < 1
B．3𝑥+ 2𝑦≥0
C．2𝑥2 + 1 > 5
D．3𝑥−1 > 0
2．（25-26 七年级下·陕西延安·期末）若2𝑥−1 > 3，则将该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）已知2 和3 都是关于x 的不等式𝑥−𝑎< 1的解，则a 的取值可能是
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（25-26 七年级下·广东广州·期末）若𝑥= 2是不等式2𝑥−𝑚> 3的解，则𝑚的值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（25-26 七年级下·河南周口·期末）不等式 2𝑥−5 ≤1的非负整数解为______．
6．（25-26 七年级下·吉林松原·期末）将不等式2𝑥■−4的解集在数轴上表示出来如图所示，则■盖住的符号
是__________．
10 / 12
学科网（北京）股份有限公司
7．（25-26 七年级下·河北唐山·期末）已知𝑥为正整数，且满足√𝑥< 5，则符合条件的𝑥最大值为________．
8．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式：
𝑥−3
2 >
2𝑥−5
3 ．
9．（25-26 七年级下·广东云浮·期末）解不等式：2𝑥+ 7 ≥1 −𝑥，并在数轴上表示解集．
10．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）解不等式
𝑥+1
2 ≥
3𝑥−1
3
−1，并写出其正整数解．
11．解不等式并求出所有负整数解：
1−𝑥
6 +
𝑥+1
3 ≤
𝑥+3
2
12．（2026·陕西安康·模拟预测）解不等式
𝑥−1
2 >
4𝑥−5
3
−1，并写出该不等式的非负整数解．
13．（25-26 八年级下·福建三明·期中）【阅读理解】下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任
务．
解不等式：
2𝑥−1
3
>
3𝑥−2
2
−1
解：去分母，得2(2𝑥−1) > 3(3𝑥−2) −6 ①
去括号，得4𝑥−2 > 9𝑥−6 −6 ②
移项，得4𝑥−9𝑥> −6 −6 + 2 ③
合并同类项，得−5𝑥> −10 ④
系数化成1，得𝑥> 2 ⑤
(1)以上解题过程中，第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．
(2)请直接写出该不等式的正确解集：__________．
(3)请把解集在数轴上表示出来．
素养提升
1．（25-26 七年级下·四川遂宁·期末）已知关于𝑥的方程3𝑘−5𝑥= −9的解是非负数，则𝑘的最小值是
（ ）
A．−2
B．−3
C．2
D．3
2．（25-26 七年级下·安徽亳州·期末）如图表示的是关于𝑥的不等式(𝑎−2)𝑥> 2 −𝑎的解集，则𝑎的取值范
围是（ ）
A．𝑎≤2
B．𝑎≥2
C．𝑎< 2
D．𝑎> 2
3．（25-26 七年级下·内蒙古通辽·期末）已知(𝑚−2)𝑥> 𝑚−2的解集是𝑥< 1，则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚> 2
B．𝑚< 2
C．𝑚≥2
D．𝑚≤2
11 / 12
学科网（北京）股份有限公司
4．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）若关于𝑥的不等式(𝑎−4)𝑥> 5(𝑎−4)的解集为𝑥< 5，则𝑎的取值范围
是___________．
5．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）已知2𝑚𝑥|2𝑚−1| + 3 > 0是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为
________．
6．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）已知不等式3𝑥< 2(𝑥+ 3)与关于𝑥的不等式3𝑥−𝑎> 5𝑥的解集相同，
求𝑎的值．
7．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）解不等式：
𝑥
2 −
2𝑥−1
3
≤1，并将解集表示在如图所示的数轴上．
8．（25-26 七年级下·安徽六安·期末）如果关于𝑥的不等式(2 −3𝑚)𝑥< 6𝑚−4的解集为𝑥> 𝑎，求𝑎的值及
𝑚的取值范围．
9．（2026·北京东城·二模）解不等式
2𝑥+1
2
>
𝑥−2
4 −1，并写出此不等式的非正整数解．
10．（25-26 八年级下·四川成都·期末）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结
合数轴观察：
解不等式|𝑥| < 3，x 表示到原点的距离小于3 的数，如图1 所示，不等式解集是−3 < 𝑥< 3；
解不等式|𝑥| > 3，x 表示到原点的距离大于3 的数，如图2 所示，不等式解集是𝑥< −3或𝑥> 3．
解答下面的问题：
(1)|𝑥| < 2的解集为__________，|𝑥−3| > 5的解集为____________________；
(2)已知关于x，y 的二元一次方程组{ 2𝑥−𝑦= 8𝑚+ 1
𝑥+ 4𝑦= −2𝑚+ 2
的解满足|𝑥+ 𝑦| ≤4，求m 的整数值；
迁移创新
1．（25-26 七年级下·陕西延安·期末）对任意实数𝑎，𝑏，定义一种新运算“𝑎※𝑏”：𝑎※𝑏= 2𝑏−𝑎．例如：
(−6)※2 = 2 × 2 −(−6) = 10．若𝑥满足(2𝑥)※(1 −3𝑥) < 7，求𝑥的取值范围．
2．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】
我们把关于𝑥的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一个组合，当一元一次方程的解正好在一元
一次不等式的解集里时，称这个方程的解为“集内点”；当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里
时，称这个方程的解为“集外点”．
【问题解决】
12 / 12
学科网（北京）股份有限公司
(1)请通过计算判断组合{2𝑥−4 = 0
5𝑥−2 < 3
中方程的解是“集内点”还是“集外点”？
(2)若关于𝑥的组合{
−3𝑥−9 = 0
−
3
2 𝑥+
𝑎
2 ≥𝑎+ 1 中方程的解是“集内点”，求𝑎的取值范围．
