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第 02 讲 坐标与轴对称(3 类热点题型讲练)
1．探索图形坐标变化的过程；(重点)
2．了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系．(难点)
知识点01 坐标系中的平移
（1）将点 向右（或向左）平移a个单位可得对应点 或 ．
（2）将点 向上（或向下）平移b个单位可得对应点 或 ．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
知识点02 坐标系中的对称
（1）点 关于x轴的对称点是 ，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点 关于y轴的对称点是 ，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点 关于坐标原点的对称点是 ，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点 关于点 的对称点是 ．
（5）点 关于 的对称点是 ．（6）点 关于 的对称点是 ．
（7）点 关于一三象限的平分线的对称点为 ．
（8）点 关于二四象限的平分线的对称点为 ．
题型01 关于x轴、y轴对称的点的坐标
【典例1】（2023·全国·八年级专题练习）点 关于 轴对称点的坐标是 ，关于 轴对称点的
坐标是 ．
【答案】
【分析】根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，
纵坐标相同，即可解答．
【详解】解：点 关于于 轴对称点的坐标是 ，关于y轴对称点的坐标是 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称点，横坐标相
同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．
【变式1】（2023·湖南湘西·模拟预测）点 的坐标是 ，则点 关于 轴对称的点的坐标是
，点 关于 轴对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质，点关于 轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于 轴对称时，横坐
标为相反数，纵坐标不变，即可求解．
【详解】解： 在平面直角坐标系中，点关于 轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，
点 关于 轴对称的点的坐标是 ，
关于 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，
点 关于 轴对称的点的坐标是 ，
故答案为 ， ．
【点睛】本题考查了坐标与轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【变式2】（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）若点 与点 关于x轴对称，则
．
【答案】2
【分析】根据若两点关于 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点 与点 关于 轴对称，∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于 轴对称，则
横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
题型02 作图——轴对称变换
【典例2】（2022秋·吉林·八年级校考期中）如图， 的三个顶点的坐标分别为 ， ，
．
(1)直接写出点C关于x轴对称的点 的坐标；
(2)画出 关于y轴对称的 ，并写出点B的对应点 的坐标；
(3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出点P．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)见解析
【分析】（1）关于 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图，再根据图写出点坐标即可．
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，连接 ，此时点 到 、 两点的距离和
最小．【详解】（1）解：（1） 与 关于 轴对称， ，
点 ．
（2）解：如图， 即为所求， ．
（3）解：如图，点 即为所标．
【点睛】本题考查作图 轴对称变换，轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
【变式1】（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐
标分别为 、 、 ．(1)在图中画出 关于 轴对称的图形 ；
(2)在图中，若 与点 关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时 点关于这条直
线的对称点 的坐标为__________；
(3) 的面积为__________；写出计算过程．
【答案】(1)见解析
(2)y轴，
(3)
【分析】（1）根据关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C的对
应点 、 、 的坐标，然后描点连线即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点 和点B的对称轴为y
轴，进而可得点 的坐标；
（3）根据网格特点和割补法求解面积即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作：
（2）解：如图，∵ ， ，
∴点 和点B的对称轴为y轴，
∵ ，
∴ 点关于这条直线的对称点 的坐标为 ，
故答案为：y轴， ；
（3）解： 的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．
【变式2】（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）数形结合是一种非常重要的数学思想，借助于坐标系我们可以研究特殊的对称关系．已知 ， ， 、 关于直线 的对称点为 、 ．
(1)写出 的坐标___________， 的坐标___________；
(2)写出 关于 的对称点的坐标___________；
(3)写出点 关于直线 的对称点的坐标___________．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质求解；
（2）利用轴对称变换的性质求解；
（3）利用轴对称变换的性质求解．
【详解】（1）如图，∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ，
∴点 与点 纵坐标相同，横坐标之和等于 ，
∴点 ，
同理： ，
（2）∵ 关于直线 对称，∴对应点纵坐标相同，横坐标之和等于 ，
∴点 ，
（3）∵ 关于直线 对称，
∴对应点纵坐标相同，横坐标之和等于 ，
∴点 ，
【点睛】此题考查坐标与图形变化一对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
题型03 平面直角坐标系中的规律探究
【典例3】（2023春·河南安阳·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
， ．把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在
点A处，并按 的方向绕在四边形 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是
．
【答案】
【分析】根据题意可得绕四边形 一周的细线长度为 ，再由 ，可得
细线另一端在绕四边形第145圈的第7个单位长度的位置，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴绕四边形 一周的细线长度为 ，
∵ ，
∴细线另一端在绕四边形第145圈的第7个单位长度的位置，
即从点B 向下沿 移动5个单位所在的点的坐标即为所求，也就是点 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探求，根据点的坐标求出四边形 一周的长度，从而确定2023
个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
【变式1】（2023春·辽宁鞍山·七年级校考期末）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把叫做点P的伴随点，已知 的伴随点为 ， 的伴随点为 ，…，这样依次下去得到 ，
，……， ．若 的坐标为 ，则 的坐标为 .
【答案】
【分析】根据伴随点的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，
根据商和余数的情况确定点 的坐标即可．
【详解】解： 的坐标为 ，
， ， ， ， ，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，
点 的坐标与 的坐标相同，为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每 个点
为一个循环组依次循环．
【变式2】（2023春·山东德州·七年级校考期中）如图，一个动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向
运动，第1次从原点运动到点 ，第2次运动到点 ，第3次运动到点 ，第4次运动到点 ，
第5次运动到点 ……按这样的运动规律，第2021次运动到点P，则点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】分析点P的运动规律，找到循环次数即可．
【详解】解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
∴ ，
当第505循环结束时，点P位置在 ，在此基础之上运动一次到 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．一、单选题
1．（2023春·四川宜宾·八年级期末）点 关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点 关于y轴对称的点的坐标为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．关于x
轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相
反数．
2．（2023春·河南周口·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，则点P关于y轴对
称的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点P关于y轴对称的
点的坐标，再根据象限内点的坐标特征分析，即可得到答案．
【详解】解： 点 的坐标是 ，
点P关于y轴对称的点的坐标是 ，
点P关于y轴对称的点所在的象限是第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征以及象限内点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题
关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知点 与点 关于 轴对称，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】直接利用关于 轴对称点的性质得出 ， 的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点 与点 关于 轴对称，
∴ ， ，
解得： ， ，则 的值为： ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于 轴对称点的性质，正确得出 ， 的值是解题关键．
4．（2023春·河南周口·八年级统考期中）已知点 与点 关于某直线对称，则这条直线是
（ ）
A．x轴 B．y轴
C．过点 且垂直于x轴的直线 D．过点 且垂直于 轴的直线
【答案】C
【分析】由题意 轴，所以过 中点且垂直于x轴的直线即为所求的直线，然后根据选项内容进行
判断．
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ 轴，
设 的中点为M，
则M点坐标为 ，即 ，
∴点 与点 关于经过点 且垂直于 轴的直线对称，
故选项A，B，D错误；
又∵ 在这条直线上，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标及轴对称，掌握轴对称的性质，利用数形结合思想解题是关键．
5．（2023春·河南郑州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中， 为等腰直角三角形，
，边 在 轴正半轴上， ，点 在第一象限内，将 绕点 顺时针旋转，每次旋
转 则第2023次旋转后，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】观察图象可知，点 旋转8次一个循环，利用这个规律解决问题即可．
【详解】解：∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
观察图象可知，点 旋转8次一个循环，
余数为7，
点 的坐标与 相同，
点 的坐标为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化 旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考
常考题型．
二、填空题
6．（2023·全国·八年级专题练习）点 关于 轴对称点的坐标是 ，关于y轴对称点的坐标是
．
【答案】
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横
坐标互为相反数．
【详解】解：点 关于 轴对称点的坐标是 ，关于y轴对称点的坐标是 ．
故答案为： ；
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
7．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）点 与 关于x轴对称， ．
【答案】3
【分析】由点 与 关于x轴对称，可得 ，计算求解即可．
【详解】解：∵点 与 关于x轴对称，
∴ ，解得 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点坐标的特征，解一元一次方程．解题的关键在于熟练掌握：关于x
轴对称的点坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
8．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）已知点 与点 关于 轴对称，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】根据关于 轴对称的点的特征，“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，得到方程组，求解即可．
【详解】解：点 与点 关于 轴对称则 ，
解得 ，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了坐标与图形，轴对称的性质，解题的关键是掌握关于 轴对称的点的特征，正确求得
的值．
9．（2022秋·甘肃定西·八年级校考期中）已知点 的坐标满足等式 ，且点 与
关于 轴对称，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据平方数，绝对值的非负性可求出 的值，根据 的符号与象限的特点，点关于轴对称的
特点即可求解．
【详解】解： ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 与 关于 轴对称，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平方数、绝对值的非负性，象限中符号的特点，点关于轴对称的特点等知识，掌握
平面直角坐标系中点的对称是解题的关键．
10．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水
平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点 ；接着水平向右平移2个单位长度，
再竖直向上平移2个单位长度得到点 ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度
得到点 ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点 ，…，按此作法进行
下去，则点 的坐标为 ．
【答案】【分析】对奇数点，偶数点分开讨论，找出点坐标与序数的关系，总结规律求解．
【详解】解： ， ；
， ；
， ；
， ；
……
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ；
∴ ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查点坐标规律探索，由开始的几个点坐标总结规律是解题的关键，注意分开讨论．
三、解答题
11．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市福田区莲花中学校考期末）在如图的直角坐标系中，每个小方格都
是边长为1个单位的正方形， 的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），点A的坐标为
．
(1)请画出 关于x轴对称的 （不写画法，其中 ， ， 分别是A，B，C的对应点）；
(2)直接写出 ， ， 三点的坐标： （______）， （______）， （______）；
(3)在y轴上求作一点P，使 的值最小并写出最小值．
【答案】(1)见解析
(2) ， ， ， ， ，
(3)画图见解析，最小值为【分析】（1）根据关于 轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用所画图形写出各点坐标即可；
（3）利用轴对称求出最短路径，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图所示： 即为所求；
（2）如图所示： ， ， ；
（3）如图所示： 点即为所求，
找到 点关于 轴对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，
此时 的值最小，且为 ．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，勾股定理，根据题意得出对应点坐标是
解题关键．
12．（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、
向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标： （ ， ）， （ ， ）， （ ， ）．
(2)写出点 的坐标（n是正整数）；
(3)指出蚂蚁从点 到点 的移动方向．
【答案】(1)2，0；4，0；6，0
(2)
(3)向上
【分析】（1）观察图形可知， ， ， 都在 轴上，求出 ， ， 的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据（1）中规律写出点 的坐标即可；
（3）根据 到点 的移动方向与 到 的方向一致，即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可知， ， ， 都在 轴上，
蚂蚁每次移动1个单位，
， ， ，
， ， ，
故答案为：2，0；4，0；6，0；
（2）解：根据（1）知： ，
，
，
……
，
点 的坐标为 ；
（3）解： ， ，
蚂蚁从点 到点 的移动方向与 到 的方向一致，移动方向为向上．
【点睛】本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出 都在 轴上是解题的关键．
13．（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点 、点 、点 、点 都在由边
长为1的小正方形组成网格的格点上， 的位置如图所示．
(1)在图中画出 关于 轴对称的 ；
(2) 的顶点 关于 轴对称的点 的坐标为： ________； 的顶点 关于 轴对称的点 的
坐标为： ________；
(3)求 的面积．
(4)在 轴上求作一点 ，使 的值最小，保留画图痕迹，并写出最小值________．
【答案】(1)见解析(2) ，
(3)12
(4)见解析，
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据轴对称的性质可得答案；
（3）利用 所在的长方形的面积减去周围三个三角形面积即可；
（4）连接 ，与y轴交于点P，则 ，可得 ，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）由（1）知， ， 关于 轴对称点 ，
故答案为： ， ；
（3） ；
（4）如图，点P即为所求；
最小值为： ．
【点睛】本题主要考查了作图 轴对称变换，勾股定理，最短路径问题，关于坐标轴对称的点的坐标的特
征，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
14．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，在下列带有坐标系的网格中， 的顶点都在边
长为 的小正方形的顶点上，且点 的坐标为 ．(1)作出 关于 轴对称的 （点 与点 对应）；
(2)已知 与 关于直线 对称 点 与点 对应 ，试作出直线 ；
(3)在（2）的条件下，观察 与 各对对应点的坐标之间的关系，若 是 内部任意一
点，请直接写出这点在 内部的对应点 的坐标为______．
(4)在（2）的条件下，在直线 上作出一点 ，使 的值最小，并简要描述作法．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)见解析
【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴对称的对应点，再依次连接即可；
（2）作出 的垂直平分线即可；
（3）分别写出A、B、C和 的坐标，得出坐标变化规律，即可解答；
（4）连接 ，交 于点P．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示，直线 即为所求；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ 对应点 ，
故答案为： ；
（4）解：如图所示，连接 交直线于点 ，则点 即为所求．【点睛】本题主要考查了轴对称作图，作对称轴，解题的关键是掌握作轴对称图形的方法和步骤，对称轴
垂直平分对应点连线．
