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分层作业
26.2.1
2
y
ax
的图象性质
目录
A 组巩固过关
题型01
2
y
ax
的函数图象
题型02
2
y
ax
的增减性
题型03
2
y
ax
字母系数a 的讨论问题
题型04
2
y
ax
的规律探究问题
题型05
2
y
ax
与一次函数的综合
题型06
2
y
ax
与几何的综合问题
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
2
y
ax
的函数图象
1.（25-26 九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数
2
1
2
y
x
，
2
y
x
，
2
2
y
x
的图象，下列说法中不正确的
是（
）
A．顶点坐标相同
B．对称轴相同
C．图象形状相同
D．最低点相同
【答案】C
【分析】本题考查了
²
y
ax
的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据
²
y
ax
的性质求解即可．
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【详解】解：函数
2
1
2
y
x
，
2
y
x
，
2
2
y
x
都是
²
y
ax
形式，
二次函数
²
y
ax
，
顶点坐标均为
0,0 ，对称轴均为y 轴，最低点均为
0,0 ，
但a 值分别为1
2 ，1，2，不相等，
∴图象开口大小不同，形状不同，
故选：C．
2．（25-26 九年级上·广东汕头·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线
2
2
y
x
时，将“ 2 ”按成了“ 2
”，和原图象相比，
发生改变的是（
）
A．开口大小
B．开口方向
C．对称轴
D．顶点坐标
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二次函数
2
y
ax
中，系数a 决定抛物线的开口方向和大小；a 的符号改变时，开口方向改变，但a 不变则
开口大小不变；对称轴和顶点坐标均不变.
【详解】解：∵原函数
2
2
y
x
，
2
0
a
，开口向上；新函数
2
2
y
x
，
2
0
a
，开口向下，
∴开口方向改变；
∵2
2
2
，
∴开口大小不变；
∵对称轴均为
0
x
，
∴对称轴不变；
∵顶点坐标均为
0,0 ，
∴顶点坐标不变．
故选：B．
3．根据函数图象填空：
（1）抛物线
2
3
y
x
的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x 轴
的上方；
（2）抛物线
2
1
3
y
x
的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x 轴的________方，它的顶点是抛
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物线上的最________点．
【答案】
y 轴（或直线
0
x
）
0,0
0
下
下
高
【分析】本题考查形如
2
y
ax
的二次函数的图象性质．根据二次项系数a 的符号判断开口方向．结合函数
性质即可求解各空．
【详解】（1）抛物线
2
3
y
x
属于
2
y
ax
型二次函数．
根据二次函数性质，其对称轴是y 轴，即直线
0
x
．顶点坐标是
0,0 ．
3
0
a
．则抛物线开口向上．且
2
3
0
y
x
．
仅当
0
x
时
0
y
．
当
0
x
时．
0
y
．抛物线上的点都在x 轴上方．
（2）抛物线
2
1
3
y
x
中．
1
0
3
a
．根据二次函数性质，抛物线开口向下．
2
1
0
3
y
x
．
仅当
0
x
，即顶点处时
0
y
．
除顶点外，抛物线上的点都满足
0
y
，都在x 轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点．
4．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角
坐标系，作出函数
2
1
3
y
x
与
2
1
3
y
x
的图像，则阴影部分的面积是_____．
【答案】8
【分析】根据二次函数
2
1
3
y
x
与
2
1
3
y
x
的图象关于x 轴对称，正方形关于x 轴对称，利用割补法将阴影
部分面积转化为正方形面积的一半求解．
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【详解】解：二次函数
2
1
3
y
x
与
2
1
3
y
x
的图象关于x 轴对称，正方形关于x 轴对称，
∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
∴图中阴影部分的面积是
2
1
1
4
8
2
2
S
S
阴影部分
正方形
．
5．画出下列函数的图象：
(1)
2
3
y
x
；
(2)
2
1
3
y
x
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：列表：
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
27
12
3
0
3
12
27
…
在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示．
（2）解：列表：
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
1
3
0
1
3
4
3
3
…
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在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示．
题型02
2
y
ax
的增减性
6．（2026·广东广州·二模）给出下列函数：①
3
y
x
，②
3
2
y
x
，③
3
y
x
，④
2
2
y
x
，其中符合条
件“当
1
x 时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（
）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
【答案】C
【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在
1
x 时的增减性即可得
到答案.
【详解】解：①对于
3
y
x
，是一次函数，
3
0
k
，
y
随x 增大而增大，当
1
x 时符合条件；
②对于
3
2
y
x
，是一次函数，
3
0
k
，
y
随x 增大而减小，不符合条件；
③对于
3
y
x
，是反比例函数，
3
0
k
，
0
x
时y 随x 增大而减小，当
1
x 时不符合条件；
④对于
2
2
y
x
，是二次函数，开口向上，对称轴为
0
x
，
0
x
时y 随x 增大而增大，故当
1
x 时符合条
件；
因此符合条件的是①④，故选C.
7．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）二次函数
2
2
y
x
的图象上有三个点
1
1,
A
y
，
2
2,
B
y
，
3
3,
C
y
，则
1y 、
2y 、
3y 的大小关系为（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
1
3
2
y
y
y
C．
2
1
3
y
y
y
D．
3
2
1
y
y
y
【答案】D
【详解】解：∵二次函数
2
2
y
x
中，
2
0
a
，
∴抛物线开口向上，对称轴为y 轴，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，
∵点A 、B 、C 的横坐标满足1
2
3
，都在对称轴右侧，
∴
3
2
1
y
y
y
．
8．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当
0
x
时，y 的值随x 值的增大而减小的是（
）
A．
5
y
x
B．
5
y
x
C．
2
2
5
y
x
D．
2
y
x
【答案】D
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【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、因为5
0
，则当
0
x
时，y 的值随x 值的增大而增大，故本选项不符合题意；
B、因为5
0
，则当
0
x
时，y 的值随x 值的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、因为5
0
，且对称轴为y 轴，则当
0
x
时，y 的值随x 值的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、因为2
0
，则当
0
x
时，y 的值随x 值的增大而减小，故本选项符合题意；
9．（25-26 九年级下·上海嘉定·期中）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（
）
A．
1
2
y
x
B．
2
y
x
C．
3
y
x
D．
2
y
x
【答案】A
【分析】根据所学不同函数的性质逐一判断即可得到结果．
【详解】解：选项A，
1
2
y
x
是正比例函数，
∵比例系数1
0
2
，
∴y 随x 的增大而增大，符合题意；
选项B，
2
y
x
是二次函数，开口向上，对称轴为y 轴，当
0
x
时，y 随x 增大而减小，不符合题意；
选项C，
3
y
x
是一次函数，
∵一次项系数1
0
，
∴y 随x 的增大而减小，不符合题意；
选项D，
2
y
x
是反比例函数，
∵
2
0
k
，
∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，且定义域不连续，不符合题意．
10．（25-26 九年级下·吉林长春·期中）若点
1
2,
A
y
和点
2
3,
B
y
都在抛物线
2
y
x
上，则
1y 和
2y 的大小关
系是（
）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵抛物线
2
y
x
的二次项系数为1
0
-
，
∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，
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∵0
2
3
，
∴
1
2
y
y
．
题型03
2
y
ax
字母系数a 的讨论问题
11．（25-26 九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线
2
2
2
1
3
2
3
2
y
x
y
x
y
x
，
，
的图象开口最大的是（
）
A．
2
1
3
y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
3
2
y
x
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线
2
y
ax
的开口大小由二次项系数a 的绝对值决定，a 的
绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果
【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为1
3 ，2
- ，3
2 ，分别计算它们的绝对值得：
1
1
|
|
3
3
，|
2
2|
-
，3
3
|
|
2
2
∵1
3
2
3
2
，即1
3
2
3
2
又∵对于抛物线
2
y
ax
，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大，
∴抛物线
2
1
3
y
x
的开口最大，
12．（25-26 九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系xOy 中，点
2,3
A
，
3,4
B
，
2
y
ax
的图象如
下图所示，则a 的值可以为（
）
A．3
B．2
C．1.7
D．0.5
【答案】D
【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题．
分别将A ，B 两点的横坐标代入
2
y
ax
，由图像知，
2
x 时，
4
3
y
a
，当
3
x
时，
9
4
y
a
，列出
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不等式组，即可求解．
【详解】解：将
2
x 代入
2
y
ax
中时，得
4
y
a
，
将
3
x
代入
2
y
ax
中时，得
9
y
a
，
根据图像可知，
2
x 时，
4
3
y
a
，当
3
x
时，
9
4
y
a
，
则有：
4
3
9
4
a
a
，
解得：4
3
9
4
a
，
∴只有0.5满足，
故选D．
13．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，①②分别对应
2
y
ax
与
2
y
bx
的函数图象，则a ，b 的
大小关系______．
【答案】a
b
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图：
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因为直线
1
x 与两条抛物线的交点从上到下依次为
1,a ，
1,b ，
所以a
b
．
14．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
在对称轴的右侧部分下降，那么a 的取值范围是
___________．
【答案】
0
a
【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得a 的取值范
围．
【详解】解：
抛物线
2
0
y
ax
a
在对称轴的右侧部分下降，
抛物线开口向下，
0
a
，
故答案为：
0
a
．
15．（25-26 九年级上·河南郑州·期末）抛物线
2
y
ax
与抛物线
2
3
y
x
相比开口小，那么a ________（请写
出一个符合条件的a 值）．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线
2
0
y
ax
a
，其开口大小由二次项系数的绝对值
的大小决定，a 越大，抛物线的开口越小，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线
2
y
ax
与
2
3
y
x
相比开口小，
∴
3
a ，
∴可取
4
a
，
故答案为：4（答案不唯一）．
16．已知抛物线
2
y
ax
经过点
1,3 ．
(1)求a 的值；
(2)当
2
x 时，y ．
【答案】(1)3
(2)12
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求可得函数解析式，再把
2
x 代入解析式中求出此时的函数值即可得到答案．
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【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
ax
经过点
1,3 ，
∴
2
3
1
a
，
∴
3
a
；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为
2
3
y
x
，
当
2
x 时，
2
3
2
3
4
1
2
y
．
题型04
2
y
ax
的规律探究问题
17．（23-24 九年级下·四川宜宾·期末）二次函数
2
2
3
y
x
的图像x 如图所示，点
0
A 位于坐标原点，点
1A ，
2A ，
3A ，…
2008
A
在y 轴的正半轴上，点
1
B ，2
B ，3
B ，…
2008
B
在二次函数
2
2
3
y
x
位于第一象限的图像上，若
0
1
1
A B A
△
，
1
2
2
A B A ，
2
3
3
A B A
△
，…
2007
2008
2008
A
B
A
△
都为等边三角形，则
2007
2008
2008
A
B
A
△
的边长为（
）
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009
【答案】C
【分析】先计算出
0
1
1
A B A
△
；
1
2
2
A B A ；
2
3
3
A B A
△
的边长，推理出等边
1
n
n
n
A
B A
△
的边长为n 的规律，依据规
律得到
2007
2008
2008
A
B
A
△
的边长．
【详解】解：作
1
B A
y
轴于A ，
2
B B
y
轴于B ，
3
B C
y
轴于C ．
设
1
AA
a
，
2
BA
b
=
，
2
CA
c
．
∵等边
0
1
1
A B A
△
，
∴
0
A A
a
=
，
∴
1
tan 60
3
B A
a
a
，
∴
1B 点坐标为
3 ,a a ，代入解析式得
2
2
3
3
a
a
，
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解得
0
a
（舍去）或
1
2
a
，于是等边
0
1
1
A B A
△
的边长为1
2
1
2
；
∵等边
1
2
2
A B A ，
∴
1A B
b
=
，
所以
2
tan 60
3
BB
c
b
，
2
B 点坐标为
3 ,1
b
b
，代入解析式得
2
2
3
1
3
b
b
，
解得
1
2
b
（舍去）或
1
b ，
于是等边
1
2
2
A B A 的边长为1 2
2
；
∵等边
2
3
3
A B A
△
，
∴
2
A C
c
=
，
所以
3
tan 60
3
CB
b
c
，
3
B 点坐标为
3 ,3
c
c
，代入解析式得
2
2
3
3
3
c
c
，
解得
1
c
（舍去）或
3
2
c
，
于是等边
2
3
3
A B A
△
的边长为3
2
3
2
．
…
等边
1
n
n
n
A
B A
△
的边长为n，
于是
2007
2008
2008
A
B
A
△
的边长为2008．
18．
（25-26 八年级下·山东东营·期中）二次函数
2
y
x
的函数图象如图，点
0
A 位于坐标原点，点
1
2
3
10
,
,
A A A
A
L
在y 轴的正半轴上，点
1
2
3
10
,
,
B B B
B
L
在二次函数
2
y
x
位于第一象限的图象上，
0
1
1
A B A
△
，
1
2
2
2
3
3
3
4
4
A B A
A B A
A B A
，
，
都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则
3
4
4
A B A 的斜边长为___．
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【答案】8
【分析】过点
1
B ，
2
B ，
3
B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，E ，分别写出直线
0
1
A B 、直线
1
2
A B 、直
线
2
3
A B 的解析式，将它们分别与
2
y
x
联立，求得点
1
B ，2
B ，3
B 的坐标，从而可得
0
1
2
A A =
，1
2
4
A A
，2
3
6
A A =
，
发现规律后，按照规律即可求得
3
4
4
A B A 的斜边长．
【详解】解：如图所示，过点
1
B ，
2
B ，
3
B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，E ，
0
1
1
A B A ，
1
2
2
A B A ，
2
3
3
A B A 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，
1
0
1
2
1
2
3
2
3
45
B A A
B A A
B A A
\ Ð
= Ð
= Ð
=
°，
0
1
A B
所在直线的解析式为：y
x
，
由
2
y
x
y
x
，得
1 1,1
B
，
0
1
1
2
2
A A
B C
\
=
=
，
1 0,2
A
，
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直线
1
2
A B 为：
2
y
x
，
由
2
2
y
x
y
x
，得
2 2,4
B
，
1
2
2
2
4
A A
B D
\
=
=
，
2 0,6
A
，
直线
2
3
A B 为：
6
y
x
，
由
2
6
y
x
y
x
，得
3 3,9
B
，
2
3
3
2
6
A A
B E
\
=
=
，
，
由上面
0
1
2
A A =
，
1
2
4
A A
，
2
3
6
A A =
，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次
加2 ，
∴
3
4
4
A B A 的斜边长为8 ．
题型05
2
y
ax
与一次函数的综合
19．如图，已知二次函数
2(
0)
y
ax
a
的图像和直线AB 相交于B 、C 两点，且点A 的坐标是
2,0 ，点B 的
坐标是
1,1 ．
(1)a ________，并直接写出将二次函数的图像向左平移2 个单位长度所得的图像的函数表达式__________．
(2)求
OBC
△
的面积．
(3)在二次函数
2(
0)
y
ax
a
的图像上是否存在点D ，使得的OAD 面积等于
OBC
△
的面积，若存在，请求
出所有符合题意的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1，
2
2
y
x
；
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(2)3 ；
(3)
3,3 或
3,3
．
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、三角形面积的计算，掌握相关知识是解题的关键．
（1）将
1,1
B
代入二次函数即可求出a ，根据二次函数的图像性质即可得出平移后的图像的函数表达式；
（2）设直线AB 的解析式为
0
y
kx
b k
，将
2 0
A
，和
11
B ，代入即可求出解析式，再求出交点C 坐标，
根据
OBC
OAC
OAB
S
S
S
即可求解；
（3）设(
)
2
,
D x x
，根据OAD 面积等于
OBC
△
的面积为3 求出x ，再代入抛物线求解即可．
【详解】（1）解：
1,1
B
代入二次函数
2(
0)
y
ax
a
得
2
1
1
a
，
解得
1
a ，
向左平移2 个单位长度所得的图像的函数表达式为：
2
2
y
x
；
（2）设直线AB 的解析式为
0
y
kx
b k
，
将
2 0
A
，和
11
B ，代入直线AB 的解析式得
0
2
1
1
k
b
k
b
ìïíï
=
´
=
´ +
î
+
，
解得
1
2
k
b
，
直线AB 的解析式为
2
y
x
，
联立直线AB 与抛物线
2
y
x
得
2
2
y
x
y
x
ìïíï
= - +
î =
，
解得
1
1
2
2
1,
1
2,
4
x
y
x
y
ì
=
=
ïí
= -
=
ïî
，
交点C 坐标为
2 4
，，
1
1
2
4
2 1
3
2
2
OBC
OAC
OAB
S
S
S
=
-
=
创
-
创
=
△
△
△
；
（3）设(
)
2
,
D x x
，要求OAD 面积等于
OBC
△
的面积为3 ，
得
2
1
2
3
2
x
创
=
，
解得：
1
3
x
，
2
3
x
，
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代入抛物线
2
y
x
得
1
2
3
3
y
y
ìïíï
=
î
=
，
点D 的坐标为
3,3 或
3,3
．
20．（25-26 九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
的图象与直线
2
3
y
x
交于点
1,
A
b ．
(1)求a 和b 的值；
(2)当x 取何值时，二次函数
2
y
ax
中的函数值y 随x 值的增大而增大？
(3)求抛物线
2
y
ax
与直线
2
3
y
x
的另一个交点B 的坐标．
【答案】(1)
1
a ，
1
b ．
(2)当
0
x
时，二次函数
2
y
x
的函数值y 随x 的增大而增大．
(3)点B 的坐标为
3, 9
．
【分析】（1）先求出点A 的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）联立两函数解析式，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：在
2
3
y
x
中，当
1
x 时，
2 1 3
1
y
，
∴
1, 1
A
，即
1
b ，
把点A 的坐标代入
2
0
y
ax
a
得
2
1
1
a
，
∴
1
a ；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为
2
y
x
，
∴对称轴为y 轴，函数图象开口向下，
∴当
0
x
时，二次函数
2
y
x
的函数值y 随x 的增大而增大；
（3）解：联立
2
2
3
y
x
y
x
，解得
3
9
x
y
或
1
1
x
y
，
∴点B 的坐标为
3, 9
．
21．（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线
2
y
x
与直线
3
y
x
h
都经过点
1,k ．
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(1)求h，k 的值；
(2)如果一条过原点且对称轴是y 轴的抛物线恰好经过点
,h k ，请确定此抛物线的解析式．
【答案】(1)
4
1
h
k
,
(2)抛物线解析式为
2
1
16
y
x
【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先求出
1
k ，再把
1, 1
代入
3
y
x
h
，进行求解出
4
h ，即可作答．
（2）理解题意，此抛物线的解析式为
2
y
ax
，则把
4, 1
代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
x
与直线
3
y
x
h
都经过点
1,k ，
∴
21
1
k
，
把
1, 1
代入
3
y
x
h
，
得1
3 1
h
，
∴
4
h ，
（2）解：依题意，设此抛物线的解析式为
2
y
ax
，
由（1）得
4
1
h
k
,
，
∵抛物线恰好经过点
,h k ，
∴抛物线恰好经过点
4, 1
，
∴
2
1
4
a
，
解得
1
16
a
．
∴
2
1
16
y
x
．
题型06
2
y
ax
与几何的综合问题
22．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形OABC 是正方形，且点A 、C 恰好在抛物线
2
y
x
上，点B 在y
轴上，则OB 的长为（
）
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A．2
B．2 2
C．4
D．
2
2
【答案】A
【分析】根据正方形的性质求出直线OA的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据正方形的性质可得
45
AOB
，
∴直线OA的解析式为y
x
，
联立
2
y
x
y
x
，
解得
1
1
x
y
或
0
0
x
y
，
∴
1,1
A
，
∴
2
2
1
1
2
OA
，
在正方形OABC 中，
90 ,
A
OA
AB
∴
2
2
2
2
2
OB
OA
AB
．
23．已知点
1,
A
t 在抛物线
2
y
x
上，则点A 的坐标为__________；若在x 轴上存在点P ，使OAP是等腰
三角形，请写出点P 的坐标__________．
【答案】
1,1
1,0 或
2,0 或
2,0 或
2,0
【分析】将
1,
A
t 代入
2
y
x
求出点A 的坐标；根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，然后分别根据等腰
三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵点
1,
A
t 在抛物线
2
y
x
上，
∴
1
t
∴点A 的坐标为
1,1 ；
∵OAP 是等腰三角形，
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∴如图，当
1
1
P A
PO
时，
∵
1,1
A
∴
1 1,0
P
；
当
3
AO
AP
时，
∴
3
1
2
2
OP
OP
∴
3 2,0
P
；
当
2
OA
OP
或
4
OA
OP
时，
∵
1,1
A
∴
2
2
1
1
2
OA
∴
4
2
2
OP
OP
OA
∴
2
2,0
P
，
4
2,0
P
综上所述，点P 的坐标为
1,0 或
2,0 或
2,0 或
2,0
．
24．（25-26 九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数
2
0
y
ax
a
的图象经过点
4,4
，过点
0,1
F
作x
轴的平行线交该二次函数的图象于M
N
、
两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2) P 为平面内一点，当PMN 是等边三角形时，求点P 的坐标．
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【答案】(1)
2
1
4
y
x
(2)
0,1
2 3
或
0,1 2 3
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练
结合函数与几何图形的性质是解题关键．
（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式；
（2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点
的坐标．
【详解】（1）解：
二次函数
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
的图象经过点
4,4
，
(
)
2
4
4
a
\
=
-
g
，
解得：
1
4
a
，
二次函数的解析式为
2
1
4
y
x
；
（2）解：将
1
y 代入
2
1
4
y
x
，
解得：
1
2
x
，
2
2
x ，
点M 、N 的坐标分别为
2,1
，
2,1 ，
2
2
4
MN
，
2
FM
FN
，
PMN 是等边三角形，
易得点P 在y 轴上，且
4
PM
，
MN
x
∥轴，
90
PFM
，
2
2
4
2
2 3
PF
\
=
-
=
，
点F 的坐标为
0,1 ，
点P 的坐标为
0,1
2 3
或
0,1 2 3
．
25．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线
2
y
ax
a
的顶点为O，平行于x 轴的直线与该抛物
线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），当AOB 为直角三角形时，
4
AB
，则a 的值是______．
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【答案】1
2
【分析】本题考查抛物线的性质以及直角三角形的性质．
先根据抛物线的对称性得出A ，B 两点关于y 轴对称，OA
OB
，进而得到直角三角形Rt AOB ，根据等腰
直角三角形的性质得出A 点坐标，将坐标代入即可求出a ．
【详解】解：如图，
抛物线
2
y
ax
的对称轴为y 轴，且AB
x 轴，
OA
OB
,
AOB 为直角三角形，
AOB
是等腰直角三角形，
AOB
关于y 轴对称，
A
点和B 点到y 的距离相等，
4
AB
，
2
AC
，
A
点的横坐标为2
，
AOB是等腰直角三角形，
45
OAB
，
2
AC
OC
，
A
点纵坐标为2 ，即
2,2
A
，
将
2,2
A
代入
2
y
ax
得，
1
2
a
．
故答案为：1
2 ．
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26．（25-26 九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线
2(
0)
y
ax
a
经过两个不同的点
( ,8)
A m
和
(2,8)
B
，那么m
的值是（
）
A．2
B．2
C．8
D．8
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数
2
y
ax
的图像的性质，根据抛物线
2
y
ax
关于y 轴对称的性质，由于点A 和
点B 的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答．
【详解】解：
抛物线
2(
0)
y
ax
a
的对称轴为y 轴，且点
( ,8)
A m
和
(2,8)
B
的纵坐标均为8 ，
点A 和点B 关于y 轴对称，
2
m ，
故选：B．
27．（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么
1a ，2a ，3a 的大小关系是（
）
A．
1
2
3
a
a
a
B．
3
1
2
a
a
a
C．
1
3
2
a
a
a
D．
3
2
1
a
a
a
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆
开口方向和大小与a 的关系是解题关键．
直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a 的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
2
1
y
a x
的开口向上，
1
0
a
，
2
2
y
a x
与
2
3
y
a x
开口向下，则
2
3
0,
0
a
a
，
∵
2
2
y
a x
的开口大于
2
3
y
a x
开口，
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∴
2
3
a
a
∴
2
3
a
a
，
∴
3
2
1
a
a
a
故选：D．
28．（25-26 九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距
离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点O为坐标原点，水平方向为x 轴，以过点O垂直于x 轴
的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（
）
A．
2
1
9
y
x
B．
2
1
6
y
x
C．
2
2
9
y
x
D．
2
1
4
y
x
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解．
根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为
0,0 ，则可设该函数解析式为
2
0
y
ax
a
，将点
6, 4
代入
函数解析式求解即可．
【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为
0,0 ，
设该函数解析式为
2
0
y
ax
a
，
∵当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m．
则点
6, 4
B
，
将点
6, 4
B
代入可得，
2
4
6
a
，
解得
1
9
a
，
∴抛物线的表达式为
2
1
9
y
x
．
故选：A ．
29．（25-26 九年级上·四川广元·期中）已知点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
是函数
2
3
y
m
x
的图象上的两点，且当
1
2
0
x
x
时，有
1
2
y
y
，则m 的取值范围是______
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【答案】
3
m
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由函数形式可知其为二次函数，根据当
1
2
0
x
x
时，有
1
2
y
y
，判断函数在
0
x
时递减，故
3
0
m
，解不等式可得m 的取值范围．
【详解】解：当
3
0
m
时，
可得：
0
y
，
无论x 为何值，均有
1
2
0
y
y
，
不符合题意；
当
3
0
m
时，函数
2
3
y
m
x
是二次函数，
其图象为抛物线，
当
1
2
0
x
x
时，有
1
2
y
y
，
3
0
m
，
解得：
3
m
．
故答案为：
3
m
．
30．
（25-26 九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系xOy 中，点
1,1
A
，
2,1
B
，若抛物线
2
0
y
ax
a
＝
与线段AB 有公共点，则a 的取值范围是____．
【答案】
1
4
a
/ 1
4
a
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
分别把A 、B 点的坐标代入得a 的临界值，根据二次函数的性质可得到a 的取值范围．
【详解】解：因为抛物线
2
0
y
ax
a
＝
与线段AB 有公共点，则抛物线开口必须向上，
2
0
y
ax
a
＝
的顶点坐标为
0,0 ，对称轴为y 轴，
把
1
x 代入解析式，得
2
1
1
a
，解得
1
a ，
把
2
x
代入解析式，得
2
2
1
a ，解得
1
4
a
，
因为抛物线
2
0
y
ax
a
＝
与线段AB 有公共点，
则
1
4
a
故答案为：
1
4
a
．
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31．如图，点A，B 在抛物线
2
1
4
y
x
上．已知点A，B 的横坐标分别为2
，4，直线AB 与y 轴交于点C ．
(1)求直线AB 的函数解析式；
(2)在x 轴上找一点P，使PA
PC
的值最小，请求出此时点P 的坐标及PA
PC
的最小值．
【答案】(1)
1
2
2
y
x
(2)
4 ,0
3
P
，PA
PC
的最小值为13
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质
是解题关键．
（1）先根据二次函数的解析式求出
2,1
A
，
4,4
B
，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出
0,2
C
，再作点C 关于x 轴的对称点
0, 2
C
，连接AC，交x 轴于点P ，则点P 即为所求，
利用待定系数法求出直线AC的解析式，则可得点P 的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值．
【详解】（1）解：将
2
x 代入
2
1
4
y
x
得：
2
1
2
1
4
y
，
∴
2,1
A
，
将
4
x
代入
2
1
4
y
x
得：
2
1
4
4
4
y
，
∴
4,4
B
，
设直线AB 的函数解析式为
0
y
kx
b k
，
将点
2,1
A
，
4,4
B
代入得：
2
1
4
4
k
b
k
b
，解得
1
2
2
k
b
，
∴直线AB 的函数解析式为
1
2
2
y
x
．
（2）解：将
0
x
代入
1
2
2
y
x
得：
2
y
，
∴
0,2
C
，
如图，作点C 关于x 轴的对称点
0, 2
C
，连接AC，交x 轴于点P ，
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由轴对称的性质得：PC
PC
，
∴PA
PC
PA
PC
，
由两点之间线段最短可知，当点, ,
A P C共线时，PA
PC
的值最小，即PA
PC
的值最小，最小值为
2
2
2
0
1 2
13
AC
，
∴AC与x 轴的交点P 即为所求，
设直线AC的函数解析式为
0
y
mx
n m
，
将点
2,1
A
，
0, 2
C
代入得：
2
1
2
m
n
n
，解得
3
2
2
m
n
，
∴直线AC的函数解析式为
3
2
2
y
x
，
将
0
y
代入
3
2
2
y
x
得：
3
2
0
2 x
，解得
4
3
x
，
∴此时点P 的坐标为
4 ,0
3
，
综上，此时点P 的坐标为
4 ,0
3
，PA
PC
的最小值为13 ．
32．如图，已知点
2,0
6,0
A
B
、
和
4,2
C
，平移ABC 得到A B C
，顶点A 、B
C
、
分别与顶点A
B
C
、、
对应.如果点A
B
、
都在抛物线
2
1
2
y
x
上，那么点C 到点C的距离是___________.
【答案】2 5
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【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的
关键．设ABC 沿x 轴正方向平移m 个单位，沿y 轴正方向平移n 个单位，得到点A、B的坐标，根据抛物
线
2
1
2
y
x
，求得m 、n 的值，进而求出点C 到点C的距离即可．
【详解】解：设ABC 沿x 轴正方向平移m 个单位，沿y 轴正方向平移n 个单位，
则点
2
,
A
m n
、
6
,
B
m n
，
由于点A、B都在抛物线
2
1
2
y
x
上，
则
2
2
1
1
2
6
2
2
m
m
，
解得
4
m ，
将
4
m 代入
2
1 2
2
n
m
得：
2
1
2
4
2
2
n
，
∴
2
2
4
2
2 5
CC
，
故答案为：2 5 ．
33．（25-26 九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数
2
2
y
x
，
四边形OACB 为矩形，A ，B 在抛物线上，当A ，B 运动时，点C 也在另一个二次函数图像上运动．设
,
C x y ，
则y 关于x 的函数表达式为________
【答案】
2
2
1
y
x
【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，矩形的性质，中点公式，勾股定理，解题的关键是根据
四边形OACB 是矩形列出关于m，n，x，y 的方程组．
过A 作AD
x
轴于D，过B 作BE
x
轴于E，连接AB 、OC ，设
2
( ,2
)
A m
m
，
2
( ,2
)
B n
n
，又
( , )
C x y ，根据四
边形OACB 是矩形，可得
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
4
4
m
n
x
m
n
y
m
m
n
n
x
y
，即可解得
2
2
1
y
x
．
【详解】解：如图，过A 作AD
x
轴于D，过B 作BE
x
轴于E，连接AB 、OC ，
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∵A ，B 在抛物线
2
2
y
x
上，
设
2
( ,2
)
A m
m
，
2
( ,2
)
B n
n
，
∵四边形OACB 是矩形，
( , )
C x y
∴AB 与OC 中点重合，AB
OC
，
而
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
2
4
4
AB
AO
BO
m
m
n
n
m
m
n
n
，
∴
2
2
2
4
2
4
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
4
4
m
n
x
m
n
y
m
m
n
n
x
y
，
整理得
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
4
4
m
n
x
m
n
y
m
m
n
n
x
y
∴
2
2
2
4
2
4
2
2
4
4
2
2
m
m
n
n
m
n
m
n
整理得：
2
2
2
8
2
1 4
0
mn
m n
mn
mn
，
解得：
0
mn
或
1
4
mn
，
又∵
2
2
2
2
m
n
x
m
n
y
，
∴
2
2
2
2
m
n
mn
x
，
∴
2
2
2
2
2
4
2
m
n
mn
x
∴
2
2
4
y
x
mn
，
当
0
mn
时，则
2
2
y
x
（舍去）
当
1
4
mn
时，则
2
2
1
2
4
2
1
4
y
x
x
，
28 / 38
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故答案为：
2
2
1
y
x
．
34．（25-26 九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形OABC 是边长为2 2 的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹
角为15，点B 在抛物线
2
0
y
ax
a
的图象上，则a 的值为（
）
A．
1
6
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
【答案】A
【分析】连接OB ，根据正方形的对角线平分一组对角线可得
45
BOC
，过点B 作BD
x
轴于D，然后
求出
30
BOD
，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得
1
2
BD
OB
，再利用勾股定理
列式求出OD ，从而得到点B 的坐标，再把点B 的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【详解】解：如图，连接OB ，
∵四边形OABC 是边长为2 2 的正方形，
∴
2
2
45
2 2
2 2
4
BOC
OB
，
，
过点B 作BD
x
轴于D，
∵OC 与x 轴正半轴的夹角为15，
∴
45
15
30
BOD
，
∴
2
2
2 3
1
2
2
BD
OB
OD
OB
BD
，
，
∴点B 的坐标为
2 3, 2
，
∵点B 在抛物线
2
0
y
ax
a
的图象上，
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∴
2
2 3
2
a ，
解得：
1
6
a
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边
的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB 与x 轴的夹角
为30，然后求出点B 的坐标是解题的关键．
35．（25-26 九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，Rt OAB 的顶点
2,4
A
在抛物线
2
y
ax
上，将Rt OAB 绕
点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（
）
A．
2,2
B．
2, 2
C．
2,2
D．
1,2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、图形的旋转变换，解题的关键是利用旋转的坐标变化规律确
定线段CD的位置，再结合抛物线解析式求交点坐标．
1．代入点A 坐标求出抛物线解析式；
2．根据旋转规则确定点C
D
、
的坐标，得到CD的纵坐标；
3．将CD的纵坐标代入抛物线解析式，求出点P 的横坐标，得到点P 坐标．
【详解】解：将( 2,4)
A
代入
2
y
ax
，
得
2
4
( 2)
a
，
解得
1
a ，
故抛物线解析式为
2
y
x
．
Rt OAB 绕点O顺时针旋转90得到OCD，
则( 2,4)
A
旋转后对应
(4,2)
C
且CD
AB ，
故CD的纵坐标为2 ．
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点P 在CD上，故其纵坐标为2 ；
将
2
y
代入抛物线
2
y
x
，得
2
x
（舍去负根，因P 在第一象限），
( 2,0)
B
旋转后对应
(0,2)
D
，
故CD是从
(4,2)
C
到
(0,2)
D
的线段，
纵坐标恒为2 ．
代入
2
y
x
得
2
x
（
2
x
舍去），
故
( 2,2)
P
．
故选：C．
36．（25-26 九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，点
,
A a b 是抛物线
2
1
2
y
x
上位于第二象限的一动点，
OB
OA
交抛物线于点
,
B c d ．当点A 在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①ac
bd
；②
4
ac ；
③AOB 的面积为定值；④直线AB 必过一定点．其中正确的结论有（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，正确的计算是解题的关键．
由点的坐标，根据勾股定理可得②正确，进而可以判断①，由
,
A a b ，
,
B c d 在抛物线
2
1
2
y
x
上，得到
2
2
1
1
,
2
2
b
a d
c
，结合直线AB 解析式可得
1
2
2
y
a
c x
，进而判断④，根据割补法进行列式计算，即
可判断③．
【详解】解：
,
A a b ，
,
B c d
∴
2
2
2
AB
a
c
b
d
2
2
2
2
2
2
a
ac
c
b
bd
d
2
2
2
2
2
a
b
c
d
ac
bd
31 / 38
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则
2
2
2
2
2
2
,
OA
a
b OB
c
d
，
OB
OA
，
2
2
2
AB
AO
BO
即
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
d
ac
bd
a
b
c
d
0
ac
bd
，
即ac
bd
，
故①正确，
,
A a b ，
,
B c d 在抛物线
2
1
2
y
x
上
2
2
1
1
,
2
2
b
a d
c
，
∵ac
bd
，
2
2
1
4
ac
bd
a c
，
4
ac
，
故②正确，
,
A a b ，
,
B c d 在抛物线
2
1
2
y
x
上，
2
2
1
1
,
2
2
b
a d
c
，
∴
2
1
, 2
A a
a
，
2
1
, 2
B c
c
设直线AB 的解析式为
0
y
mx
n m
，
将
2
1
, 2
A a
a
，
2
1
, 2
B c
c
代入y
mx
n
得
2
2
1
2
1
2
am
n
a
cm
n
c
，
1
2
1
2
2
m
a
c
n
ac
，
1
2
2
y
a
c x
，
当
0
x
时，则y
0
2
2
，
直线AB 必过一定点
0 2
，，
故④正确，
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分别过点
,
A B 作AC
x
轴，作BD
x
轴，
∴
AOB
ACO
DBO
ACDB
S
S
S
S
梯形
1
1
2
2
2
AC
BD
CO
OD
AC
CO
OD
BD
1
1
2
2
2
b
d
a
c
b
a
c
d
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ab
ad
cb
cd
ab
cd
1
1
2
2
ad
cd
1
1
2
2
ad
cd
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
a
c
c
a
2
2
1
1
4
4
ac
ca
2
2
1
1
4
4
ca
ac
1
4 ac a
c
1
4
4
a
c
a
c
c
a
∵,c a 都是会变化的，
故
AOB
S
c
a
不为定值，
故③不正确．
故选B
37．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数
2
y
x
，当m
x
n
时，有p
y
q
，则下列说法：①当
1
q
p
时，n
m
有最大值；②当
1
n
m
时，q
p
有最大值．正确的判断是（
）
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A．①②都正确
B．①正确②错误
C．①错误②正确
D．①②都错误
【答案】B
【分析】
2
y
x
是开口向上，对称轴为y 轴，最小值为0 的二次函数，根据区间位置分类讨论，分别判断两
个说法的正误即可．
【详解】解：
2
y
x
开口向上，对称轴为
0
x
，
0
x
时y 随x 增大而减小，
0
x
时y 随x 增大而增大．
①当
1
q
p
，
若包含原点，
则y 的最小值
0
p
，
得
1
q ，
对应x 范围为1
1
x
，
此时
1
1
2
n
m
．
若不包含原点，全在
0
x
侧，
则
2
p
m
，
2
q
n
，
可得
2
2
1
n
m
，
即
1
n
m
n
m
，
得
1
1
2
n
m
n
m
．
全在
0
x
侧，同理可得
2
n
m
．
因此n
m
最大值为2 ，存在最大值，
故①正确.
②当
1
n
m
，即
1
n
m
，
若全在
0
x
侧，
则
2
2
2
2
(
1)
2
1
q
p
n
m
m
m
m
.
m 可取任意大的正数，
2
1
m
随m 增大无限增大，不存在最大值，
故q
p
没有最大值，
②错误．
综上，①正确②错误．
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38．（2026·江苏盐城·三模）小雨同学用计算机软件绘制函数
2
1
2
2
2
y
x
x
的图象后，将其对称轴左侧的
图象作关于x 轴对称的图象，得到新的图象G（如图所示）．若点
1
1
0.2,
A
y
，
2
2
0.4,
A
y
，
3
3
0.6,
A
y
，
，
19
19
3.8,
A
y
，
20
20
4,
A
y
都在图象G 上，这20 个点的横坐标从0.2 开始依次增加0.2 ，则
1
2
3
y
y
y
…
19
20
y
y
的值是（
）
A．2
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】由图象可得，函数图象关于点
2,0 中心对称，结合题意可得
1
2
3
19
20
10
20
y
y
y
y
y
y
y
，
求出
10
0
y
，
20
2
y
，即可得解．
【详解】解：ݕ펠
ͳ
ʹ ݔʹ െʹݔʹ 펠
ͳ
ʹ ሺݔെʹሻʹ，
∴抛物线的对称轴为直线
2
x
，顶点坐标为(2,0) ，
∵将对称轴左侧的图象作关于x 轴对称，
∴图象G 关于点(2,0) 中心对称，
∵这20 个点的横坐标从0.2 开始依次增加0.2 ，
∴0.2
3.8
0.4
3.6
1.8
2.2
2
2
2
2
，
∴
1
19
0
y
y
，
2
18
0
y
y
，……，
9
11
0
y
y
，
∴
1
2
3
19
20
10
20
y
y
y
y
y
y
y
，
∵
10
10
2,
A
y
，
20
20
4,
A
y
，
∴当
2
x
时，
10
0
y
，当
4
x
时，
2
20
1
4
2
2
2
y
，
∴
1
2
3
19
20
10
20
2
y
y
y
y
y
y
y
．
39．（2026·山东东营·模拟预测）观察规律1
1
1
1 2
2
，1
1
1
2 3
2
3
，1
1
1
3 4
3
4
，…，运用你观察到的规
律解决以下问题：如图，分别过点
,0
nP n
（
1
n 、2、…）作x 轴的垂线，交
2
y
x
的图象于点
n
A ，交直
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线y
x
于点
n
B ，则
1
1
2
2
2025
2025
1
1
1
A B
A B
A
B
的值为________．
【答案】2025
2026
【分析】根据点
nP 的坐标确定
n
A 和
n
B 的横坐标，代入函数解析式求出纵坐标，进而表示出线段
n
n
A B 的长度．
【详解】解：
点
nP 的坐标为
,0
n
，且
n
n
A B
x
轴，
点
n
A 和
n
B 的横坐标均为n ，
点
n
A 在抛物线
2
y
x
上，点
n
B 在直线y
x
上，
点
n
A 的坐标为
2
,n n
，点
n
B 的坐标为
,n
n
，
2
2
1
n
n
A B
n
n
n
n
n n
，
1
1
1
1
(
1)
1
n
n
A B
n n
n
n
，
1
1
2
2
2025
2025
1
1
1
A B
A B
A
B
，
1
1
1
1
1
1
2
2
3
2025
2026
，
1
1
2026
=
-
，
2025
2026
=
．
39．（2024·广东·中考真题）若点
1
2
3
0,
, 1,
, 2,
y
y
y
都在二次函数
2
y
x
的图象上，则（
）
A．
3
2
1
y
y
y
B．
2
1
3
y
y
y
C．
1
3
2
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
【答案】A
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【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解
析式得出函数图象的对称轴是y 轴（直线
0
x
），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，
再比较即可．
【详解】解∶二次函数
2
y
x
的对称轴为y 轴，开口向上，
∴当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，
∵点
1
2
3
0,
, 1,
, 2,
y
y
y
都在二次函数
2
y
x
的图象上，且0
1
2
，
∴
3
2
1
y
y
y
，
故选∶A．
40．（2025·山东东营·中考真题）二次函数
2
y
x
的图象如图所示，点
0
B 位于坐标原点，点
1
B ，
2
B ，…，
n
B
在y 轴的正半轴上，点
1A ，
2A ，…，
n
A ，点
1
C ，
2
C ，…，
n
C 在二次函数的图象上，四边形
0
1
1
1
B ABC ，四边
形
1
2
2
2
B A B C ，…，四边形
1
n
n
n
n
B
A B C
－
都是正方形，则正方形
1
n
n
n
n
B
A B C
－
的周长为______．
【答案】4 2n
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律
是解题的关键．
根据正方形性质得
0
1
1
90
B AB
和
0
1
1
B A B
△
是等腰直角三角形．设
0
1
1
B A B
△
的直角边长为
1
m ，则
1
2
2
,
2
2
A
m
m
，代入抛物线的解析式中解得
1
2
m
，则
0
1
1
B A B
△
的直角边长为
2 ，同理可求得等腰直角
1
2
2
B A B 的直角边长为2 2 ，依此类推，等腰直角
1
n
n
n
B
A B
﹣
的直角边长为
2n，即可求得其周长．
【详解】解：∵四边形
0
1
1
1
B ABC 是正方形，，
∴
0
1
1
90
B AB
，
0
1
1
B A B
△
是等腰直角三角形．
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设
0
1
1
B A B
△
的直角边长为
1
m ，则
1
2
2
,
2
2
A
m
m
；
代入抛物线的解析式中得：
2
2
2
2
2
m
m
，
解得
1
0
m
（舍去），
1
2
m
；
故
0
1
1
B A B
△
的直角边长为
2 ，
同理可求得等腰直角
1
2
2
B A B 的直角边长为2 2 ，
…
依此类推，等腰直角
1
n
n
n
B
A B
﹣
的直角边长为
2n，
故正方形
1
n
n
n
n
B
A B C
﹣
的周长为4 2n．
故答案是：4 2n．
41．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线
1,2,3,
x
i i
与x 轴相交于点
iA ，
与抛物线
2
1
4
y
x
相交于点
iB ，连接
1
i
i
A B ，
1
i
i
B A 相交于点
i
C ，得
i
i
i
ABC 和
1
1
i
i
i
A B C
△
，若将其面积之比记
为
1
1
i
i
i
i
i
i
A B C
i
A
B
C
S
a
S
△
△
，则
2024
a
__________．
【答案】
4
4
2024
2025
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证
1
1
i
i
i
i
i
i
A B C
A B C
∽
，
得到
1
1
2
1
1
i
i
i
i
i
i
A B C
i
i
i
A
B
C
i
i
S
A B
a
S
A B
，进行求解即可．
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【详解】解：∵作直线
1,2,3,
x
i i
与x 轴相交于点
iA ，与抛物线
2
1
4
y
x
相交于点
iB ，
∴
i
i
A B
x
轴，且
2
1
, 4
iB
i
i
，
∴
2
1
4
i
i
A B
i
，
∵
1
1
i
i
i
i
A B
A B
∥
，
∴
1
1
i
i
i
i
i
i
A B C
A B C
∽
，
∴
1
1
2
2
2
2
1
1
1
i
i
i
i
i
i
A B C
i
i
i
A
B
C
i
i
S
A B
i
a
S
A B
i
，
∴
2
2
4
2024
2
4
2024
2024
2025
2025
a
；
故答案为：
4
4
2024
2025 ．
