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分层作业
3.2 平面直角坐标系
目 录
A 组 巩固过关
题型01 象限的判断
题型02 确定坐标系内点的坐标
题型03 点到坐标轴的距离
题型04 点在坐标轴上的性质
题型05 与坐标轴平行的性质
题型06 坐标系内两点之间的距离
题型07 坐标平移的性质
题型08 探究坐标规律
题型09 中点坐标公式
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
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象限的判断
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点
(
)
2, 5
A −
−
位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．下列各点在第四象限的是（ ）．
A．(
)
4,5
B．(
)
2,3
−
C．(
)
4, 5
−
−
D．(
)
3, 2
−
3．法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标
系中，关于点(
)
3,2
−
和(
)
3, 2
−
，下列结论正确的是（ ）
A．横坐标相同
B．纵坐标相同
C．所在象限相同
D．到y 轴距离相等
4．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ）
A．(
)
2,4
B．(
)
6, 4
−
C．(
)
4,5
−
D．(
)
1, 5
−−
5．点
(
)
,
A a
b
−
在第二象限，则点
(
)
,
B ab b 在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．(
)
1,2
B．(
)
2, 3
−
C．(
)
2,1
−
D．(
)
2, 2
−
−
7．在平面直角坐标系中，点(
)
3,
5
2
A
−
−
所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．在平面直角坐标系中，点(
)
2
3,
1
P
a
−
−
所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9．在平面直角坐标系中，点P 在第四象限，且到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为1，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
1, 4
−
B．(
)
1,4
−
C．(
)
4, 1
−
D．(
)
4,1
10．如图，下列说法中错误的是（ ）
题型01
答案第3 页，共25 页
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A．点A的坐标是(
)
4, 2
−
B．点B 的纵坐标是0
C．点C 的横坐标是1
D．点D 位于第三象限
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(
)
2, 3
−
，则点P 在第______象限．
12．在平面直角坐标系中，点
( 1
3)
P −−
,
在第________象限．
确定坐标系内点的坐标
一、单选题
1．方格纸上有A，B 两个点，若以点B 为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(
)
2, 3
−
．若以点A为
原点建立平面直角坐标系（x 轴和y 轴的方向不变），则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
2,3
−
B．(
)
2, 3
−
C．(
)
3,2
−
D．(
)
3, 2
−
2．象棋是我国传统智力运动，国家级非物质文化遗产，也是中华文化的重要载体，兼具娱乐、竞技与教育
价值．如图，已知棋子“车”的坐标为(
)
2,2
−
，棋子“马”的坐标为(
)
1,2 ，则棋子“炮”的坐标为（ ）
A．(
)
3,1
−
B．(
)
1,3
C．(
)
1,3
−
D．(
)
3,1
3．平面直角坐标系中，叶片两点坐标为(
)
0,5
A
，
(
)
1,3
B −
，则底部C 点坐标为（ ）
题型02
答案第4 页，共25 页
A．(
)
4,0
B．(
)
0, 4
−
C．(
)
4,0
−
D．(
)
0,4
4．昆明部分景点在地图上的位置如图所示，若西山的位置坐标为(
)
3, 1
−
−
，世博园的位置坐标为(
)
2,1 ，则
官渡古镇的位置坐标为（ ）
A．(
)
4, 1
−
B．(
)
3, 2
−
C．(
)
5, 2
−
D．(
)
2, 3
−
−
二、填空题
5．如图，正方形ABCD的边长为6 ，点A的坐标为(
)
4,2
−
，AB 平行于x 轴，则点C 的坐标为 __________ ．
6．某公园部分景点位置都在如图所示的正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x 轴，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，表示听雨轩的点的坐标为(
)
0, 2
−
，表示荷花池的点的坐标为(
)
2,1
−
，则表示月
季园的点的坐标是______．
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三、解答题
7．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，三角形ABC 的三个顶点都是格点，以某条水平直线为
x 轴，建立平面直角坐标系，使三角形ABC 的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
(1)在图中画出满足条件的平面直角坐标系；
(2)写出点
,
A B 的坐标；
(3)y 轴上有一点P ，三角形PAB与三角形ABC 的面积相等，写出点P 的坐标．
点到坐标轴的距离
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点
(
)
3, 2
A −
−
到x 轴的距离为（ ）
A．2
B．3
C．3
−
D．2
−
2．在平面直角坐标系中，若点
(2,2
6)
M
a +
到x 轴的距离等于到y 轴的距离，则a 的值为（ ）
A．2
−
B．4
−
C．2 或4
D．2
−或4
−
3．已知点
(
)
,
P x y 到y 轴的距离为3,
2
y =
，且
0
xy
，则点P 的坐标是（ ）
A．(
)
3, 2
−
B．(
)
3,2
−
C．(
)
3,4
−
D．(
)
3, 4
−
4．若A在第四象限，且点A到x 轴的距离为7，到y 轴的距离为4，则点A的坐标为（ ）
A．(
)
4, 7
−
B．(
)
5, 7
−
C．(
)
7, 4
−
D．(
)
7, 5
−
5．若x 轴上的点P 到y 轴的距离是7，则点P 的坐标是（ ）
题型03
答案第6 页，共25 页
A．(
)
0,7
B．(
)
7,0
C．(
)
7,0 或(
)
7,0
−
D．(
)
0,7 或(
)
0, 7
−
6．在平面直角坐标系中，点
(
)
2, 6
P
−
到x 轴与y 轴的距离之和是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
7．在平面直角坐标系中，坐标为(
)
3
,2
1
a
a
−
+
的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a 的
值为（）
A．4
B．4
−
C．2
3
D．
2
3
−
8．已知点
(
)
2
3,
2
P
m
m
+
−
，若点P 到两坐标轴的距离相等，则m 的值为（ ）
A．5 或1
3
B．5
−或
1
3
−
C．5 或
1
3
−
D．5
−或1
3
二、填空题
9．点(
)
3,7
−
到x 轴上的距离是_____．
10．在平面直角坐标系中，若点A在x 轴上方，到x 轴的距离是3 个单位长度，到y 轴的距离是5 个单位长
度，则点A的坐标是__________．
11．已知点(
)
3
6,2
P
x
x
−
−
在第二象限，且点P 到y 轴的距离为3，则x 的值是________．
12．已知点(
)
2,3
6
P a
a
−
+
到x 轴、y 轴距离相等，则a =__________．
13．在平面直角坐标系中，点
(
)
1,2
P
到y 轴距离为________．
14．已知平面直角坐标系内的点M 的坐标为(
)
3
2,2
1
m
m
−
+
，且点M 到x 轴的距离为5，则m 的值为
____________．
15．点
(
)
2,
1
P
a +
在第一象限，且到y 轴的距离是到x 轴距离的3 倍，则a 的值是____________．
三、解答题
16．已知平面直角坐标系中有一点
(
)
1,2
3
M m
m
+
−
，若点M 到x 轴的距离为3，求点M 的坐标．
17．已知点
(
)
3,2
1
P m
m−
+
，试分别根据下列条件求出点P 的坐标．
(1)点P 的纵坐标比横坐标大3；
(2)点P 到x 轴的距离为2，且在第四象限．
18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P 到x 轴、y 轴的距离的较大值称为点P 的“长距”，点Q 到x
轴、y 轴的距离相等时，称点Q 为“完美点”．
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(1)点
(
)
4,3
A −
的“长距”为____________；
(2)若点(
)
3
2 , 1
B
a
−
−
是“完美点”，求a 的值；
(3)若点
(
)
3
3 ,3
1
C
b
b
−
+
的“长距”为3，且点C 在第一象限内，将点C 沿水平方向进行平移得到点D，使点D
为“完美点”，且点D 也在第一象限，求点D 的坐标．
点到坐标轴上的性质
一、单选题
1．已知点Q(3n
9,n
1)
−
+
在x 轴上，则n 的值是（ ）
A．1
−
B．3
−
C．1
D．3
2．点
(
)
,
P x y 在y 轴上，且到原点的距离是2，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
2,0
B．(
)
2,0 或(
)
2,0
−
C．(
)
0,2
D．(
)
0,2 或(
)
0, 2
−
3．点
(
)
3,
1
P a
b
+
+
在平面直角坐标系的x 轴上，并且点P 到y 轴的距离为2，则a
b
+
的值为（ ）
A．1
−
B．2
−
C．1
−或6
−
D．2
−或6
−
4．七年级（1）班同学开展“数学趣味闯关”活动，第一关的题目是：若点
(
)
,
P x y 在x 轴上，且到y 轴的距
离为3，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
3,0
B．(
)
0,3 或(
)
0, 3
−
C．(
)
3,0 或(
)
3,0
−
D．(
)
0,3
5．已知点(
)
4,3
6
A a
a
−
+
在y 轴上，则点A到x 轴的距离是（ ）
A．4
B．18
C．0
D．0 或18
6．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(
)
4,3
−
，点Q 在y 轴上，线段PQ 长度的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
7．若点
(
)
3,4
A a
a
−
+
在y 轴上，则点
(
)
1
,
B
a a
−
到x 轴的距离是___________．
8．在平面直角坐标系中，若点
(
)
1,
3
P a
b
+
+
在y 轴上，且点P 到x 轴的距离为2，则a
b
+
的值为_______．
题型04
答案第8 页，共25 页
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，有一点
(
)
2
3,3
3
P
a
a
−
+
．
(1)若点P 在x 轴上，求点P 的坐标；
(2)若点P 在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点P 的坐标．
与坐标轴平行的性质
一、单选题
1．已知点
(
)
2, 1
P
−
，PH
x
∥轴，且
3
PH = ，则点H 的坐标为（ ）
A．(
)
5, 1
−
B．(
)
2,2
C．(
)
2, 4
−
或(
)
1, 1
−
−
D．(
)
1, 1
−
−
或(
)
5, 1
−
2．已知平面直角坐标系中有
(
)
3,
A
a 和
(
)
, 4
B b −
两点，且点A在第四象限，
5
AB =
，直线AB
y
∥
轴，则a
b
−
的值为（ ）
A．2
−或12
−
B．2
−
C．12
−
D．2 或12
3．已知点
(
)
2,4
A −
与点(
)
,
B m n 在同一条平行于y 轴的直线上，且点B 到x 轴的距离为3，则点B 的坐标为
（ ）
A．(
)
2,3
−
B．(
)
3, 2
−
或(
)
3,2
C．(
)
2,3
−
或(
)
2, 3
−
−
D．(
)
2,3 或(
)
2, 3
−
4．在平面直角坐标系中，已知(
)
3,2
A −
，(
)
3,4
B
，
(
)
,
C x y ，若AC
x
∥轴，则当线段BC 的长最小时，点C
的坐标为（ ）
A．(
)
3,0
−
B．(
)
3,0
C．(
)
3,2
D．(
)
0,2
5．已知点
(
)
3, 4
A
−
与点
(
)
3,2
B
，下列说法不正确的是（ ）
A．
,
A B 都在第三象限
B．AB
y
轴
C．AB
x
⊥
轴
D．
6
AB =
6．已知直线//
l x 轴且与x 轴的距离等于5，则直线l 与y 轴交点坐标是（ ）
A．(
)
0,5 或(
)
0, 5
−
B．(
)
5,0 或(
)
5,0
−
C．(
)
0,5
D．(
)
0, 5
−
7．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是2，PQ
x
∥
轴，若
4
PQ =
，
题型05
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则点Q 的坐标是（ ）
A．(
)
6, 3
−
或(
)
2, 3
−
−
B．(
)
6,3 或(
)
2,3
−
C．(
)
2,1 或(
)
2, 7
−
D．(
)
1, 2
−−
或(
)
7, 2
−
8．已知A点坐标为(
)
3,5 ，线段AB 平行于x 轴，且
5
AB =
，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
2,5
−
或(
)
8,5 B．(
)
2,5 或(
)
3,10
C．(
)
3,0 或(
)
3,10
D．(
)
3,0 或(
)
8,5
9．在平面直角坐标系中，点
(
)
3, 2
A
−
，
(
)
1,
B
m
−
，且AB 平行于x 轴，则m 的值是（ ）
A．3
B．3
−
C．2
D．2
−
10．已知点A 的坐标为( ,3
)
a
a
−
，下列说法正确的是（ ）
A．若点A 在y 轴上，则
3
a =
B．若点A 在一三象限角平分线上，则
1
a =
C．若点A 到x 轴的距离是3，则
6
a =
D．若点A 在第四象限，则a 的值可以为4
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知
(
)
2,1 ,
A
AB x 轴，且
5
AB =
，则点B 的坐标为__________．
12．已知直线PQ
x
∥
轴，且点
(
)
2
3,
6
P
a
a
−
+
，点
(
)
4,4
Q
，则PQ = ________．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
2
4,3
1
P
m
m
−
+
．
(1)当点P 在第三象限的角平分线上时，求出点P 的坐标；
(2)当直线PA平行于x 轴，且(
)
4, 5
A −
−
，求出点P 的坐标．
14．已知点
(
)
3
2,2
4
A
a
a
+
−
，试分别根据下列条件，求出a 的值并写出点A的坐标．
(1)点A在x 轴上；
(2)经过点
(
)
3
2,2
4
A
a
a
+
−
，
(3,4)
B
的直线，与x 轴平行；
(3)点A到两坐标轴的距离相等．
15．已知点
(
)
2
4,3
1
M
a
a
+
−
．
答案第10 页，共25 页
(1)若点M 在y 轴上，求出点M 的坐标；
(2)若点N 的坐标为(
)
6,11 ，直线MN
x
轴，求出点M 的坐标；
(3)若点M 在第四象限，且它到x 轴的距离与y 轴的距离相等，求出点M 的坐标．
坐标系内两点之间的距离
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点
(
)
5, 6
P
−
到原点的距离为（ ）
A．5
B．
61
C．6
D．5 11
2．在平面直角坐标系中，描出(
)
(
)
0, 3 ,
4,0
A
B
−
，连接AB ，则线段AB 的长为（ ）
A．7
B．5
C．1
D．7
3．如图，已知在平面直角坐标系中，点
,
A B 的坐标分别为(
) (
)
12,0 , 0,9 ，连接AB ，取AB 的中点C ，连接OC ，
则OC 的长度为（ ）
A．6
B．7.5
C．8
D．9
4．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
2,3
M −
，
(
)
1,3
N
，则线段MN 的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
2 3
A
，，以原点O为圆心，OA为半径画弧，交x 轴的正半轴于点B ，则
点B 的坐标是（ ）
A．(
)
13,0
B．(
)
3,0
C．(
)
0, 13
D．(
)
0,3
6．跨学科 一束光线从y 轴上一点
(
)
0,1
A
出发，经过x 轴上点C ，然后反射经过点
(
)
3,3
B −
，则光线从点A
到点B 经过的路线长是（ ）
题型06
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A．4
B．5
C．13
D．6
7．平面上三个点
, ,
A B C 的坐标分别是
(
)
(
)
1, 4 ,
3,0
A
B
−
，
(
)
0, 3
C
−
，则ABC
是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．以上都不是
二、填空题
8．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
2,3
A
，点
(
)
2,6
B −
，那么线段AB 的长是________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，已知点
( 3,2)
A −
、
(1,4)
B
．
(1)求A、B 两点间的距离；
(2)如果点P 在x 轴上，且满足PA
PB
=
，求点P 的坐标．
10．小明在探索平面直角坐标系中任意两点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
之间的距离时，通过构造如图所示的直角
三角形，由勾股定理得
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
=
−
+
−
．若
(
)
1,3
A −
，
(
)
2, 1
B
−
，求AB 的长．
11．如图，在平面直角坐标系中有三点(
)
4,0
A −
，
(
)
0,2
B
和
(
)
2, 2
C
−
．
答案第12 页，共25 页
(1)求点A和点B 之间的距离；
(2)请判断ABC
的形状，并说明理由．
12．【问题情境】在平面直角坐标系xOy 中，有不重合的两点
(
)
1
1
,
A x y
和点
(
)
2
2
,
B x
y
，小明在学习时发现，
若
1
2
x
x
=
，则AB
y
∥
轴，且线段AB 的长度为
1
2
y
y
−
，若
1
2
y
y
=
，则AB
x
∥轴，且线段AB 的长度为
1
2
x
x
−
．
(1)【类比应用】若点
(
)
2,1
A −
，
(
)
2,1
B
，则AB
x
∥轴，AB 的长度为______；
(2)【联系拓展】已知点
(
)
,2
M m
，
(
)
2,2
N m +
，
①若线段MN 与y 轴交于点C，点C 把线段MN 分成1:2的两部分时，求m 的值；
②若点
(
)
2,3
A −
，
(
)
2,1
B
，求AB 的长．
坐标平移的性质
一、单选题
1．点
(
)
3, 5
A −
−
向左平移3 个单位，再向上平移4 个单位到点B，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
1, 8
−
B．(
)
1, 2
−
C．(
)
6, 1
−
−
D．(
)
0, 1
−
2．线段CD是由线段AB 平移得到，(
)
1,4
A −
的对应点为
(
)
3,6
C
，则点
(
)
3, 1
B
−
的对应点D 的坐标为（ ）
A．(
)
5,1
B．(
)
5, 3
−
C．(
)
7,1
D．(
)
7, 3
−
3．将点(
)
2,2
4
P m
m
+
+
向右平移若干个单位长度后得到点
(
)
4,6
P
，则m 的值为（ ）
A．1
B．4
C．2
D．0
二、填空题
4．在平面直角坐标系中，将点(
)
5,3
−
向右平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，所得点的坐标是
______．
5．点P 先向下平移2 个单位，再向右平移3 个单位后，则得到点
(
)
2,5
B −
，则点P 的坐标为_______．
题型07
答案第13 页，共25 页
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6．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B 在直角坐标系中的坐标分别为
(
)
1,2
A −
、(
)
2,3
B −
，当飞机A
飞到指定位置的坐标是(
)
2, 1
−
时，飞机B 的坐标是_____．
三、解答题
7．ABC
沿x 轴正方向平移10 个单位长度得到DEF
，ABC
的顶点坐标如图所示．
(1)点D的坐标是________，点E 的坐标是________；
(2)求四边形ACED的面积．
8．三角形ABC 与三角形A B C
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出三角形ABC 各顶点的坐标：A_____，B______，C______
(2)三角形A B C
是由三角形ABC 经过怎样的平移得到的？
(3)求三角形ABC 的面积．
探究坐标规律
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1．将长方形OABC沿x 轴翻转1 次，点A落
在点
1A 处，翻转2 次，点A落在点
2
A 处，翻转3 次，点A落在点
3A 处（点
3A 与点
2
A 重合），翻转4 次，点A
落在点
4A 处，以此类推…翻转2026 次后，点
2026
A
的坐标为（ ）
题型08
答案第14 页，共25 页
A．(
)
3041,0
B．(
)
3039,2
C．(
)
3035,0
D．(
)
3033,2
2．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动
2 个单位长度，其坐标为：
(
)
1 0,2
A
，
(
)
2 2,2
A
，
(
)
3 2,0
A
，
(
)
4 4,0
A
，
(
)
5 4,2
A
，
(
)
6 6,2
A
，
(
)
7 6,0
A
其行走路
线如图所示，则点
2026
A
的坐标为（ ）
A．(
)
2024,2
B．(
)
1012,0
C．(
)
2026,2
D．(
)
1012,2
3．在平面直角坐标系中，对于点
( , )
P x y ，我们把点
(
)
1,
1
P
y
x
−+
+
叫做点P 伴随点，已知点
1A 的伴随点为
2
A ，
点
2
A 的伴随点为
3A ，点
3A 的伴随点为
4A ，，这样依次得到点
1A ，2
A ，3A ，，n
A ，若点
1A 的坐标为(
)
2,4 ，
则点
2026
A
的坐标为（ ）
A．(
)
2,4
B．(
)
2, 2
−
−
C．(
)
3,3
−
D．(
)
3, 1
−
4．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1 个单位长度，
得到点
(
)
1 0, 1
A
−
，
(
)
2 1, 1
A
−
，
(
)
3 1,0
A
，
(
)
4 1,1
A
，……那么点
24
A 的坐标是（ ）
A．(
)
7, 1
−
B．(
)
7,0
C．(
)
8,0
D．(
)
8,1
二、填空题
答案第15 页，共25 页
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5．在平面直角坐标系中，对于点
(
)
,
P x y ，我们把
(
)
1
1,
1
P y
x
−
−−
叫作点P 的“友好点”．已知点
1A 的“友好点”
为
2
A ，点
2
A 的“友好点”为
3A ，点
3A 的“友好点”为
4A ，……，这样依次得到各点．若点
1A 的坐标为(
)
1 2, ，则
点
2026
A
的“友好点”是____________．
中点坐标公式
一、单选题
1．已知线段AB 的中点为坐标原点O．若点A的坐标为(
)
2,11 ，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
2, 11
−
−
B．(
)
11, 2
−
−
C．(
)
11,2
D．(
)
2,11
−
二、填空题
2．在平面直角坐标系中，点
(
)
1,2
M
和点
(
)
5,8
N
的中点坐标为 ______．
3．如图，平面组合图形中，点
(
)
1,3
A
、
(
)
2,1
B
，则该平面组合图形的重心的坐标为_____．
三、解答题
4．如图，在直角坐标平面内，点A、B 、C 都是格点．
(1)写出图中点A、B 、C 的坐标是：A___________，B___________，C ___________
(2) ABC
的面积是___________．
(3)如果点P 在AC 边上，BP平分ABC
的面积，那么点P 的坐标是___________
5．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科
题型09
答案第16 页，共25 页
学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现
在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：(
)
(
)
(
)
(
)
1,1 ,
5,1 ,
4, 2 ,
4,6
A
B
C
D
−
−
−
，并连接AB
CD
，
，请
写出线段AB 的中点坐标：___________，线段CD的中点坐标：___________．
(2)探究迁移
如果有
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
两点，那么线段MN 的中点坐标是___________．
(3)拓展应用
已知三点
(
)
(
)
(
)
4, 2
3, 1
1, 4
E
F
G
−
−
−
−−
，
，
，点
(
)
,
H x y 与点E
F
G
，，
中的一个点构成的线段的中点与另外两
个点构成的线段的中点重合，求点H 的坐标．
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，AB
y
∥
轴，
1
AB = ，点A 的坐标为(
)
2,3
−
，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
2,4
−
B．(
)
1,3
−
C．(
)
2,4
−
或(
)
2,2
−
D．(
)
1,3
−
或(
)
3,3
−
2．如图，在边长均为1 的网格纸上建立平面直角坐标系，x 轴、y 轴都在网格线上，网格纸被撕掉了一部分，
已知点M 的坐标为(2,5) ，则点N 的坐标为（ ）
答案第17 页，共25 页
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A．(1,3)
B．( 1,3)
−
C．(1,4)
D．( 1,4)
−
3．如图，在平面直角坐标系中，点(
)
2,3
A
，
(
)
2,3
B −
，
(
)
2, 1
C
−
−
，
(
)
2, 1
D
−
，点P 从点A 出发，以每秒2
个单位长度的速度沿A
B
C
D
A
→
→
→
→
路径循环运动，则第2026 秒时点P 的坐标是（ ）
A．(
)
2,3
−
B．(
)
2,3
C．(
)
2, 1
−
−
D．(
)
2, 1
−
4．已知点
(
)
0
0
,
E x
y
，
(
)
2
2
,
F x
y
，且
(
)
1
1
,
M x y
是EF 的中点，则
0
2
1
2
x
x
x
+
=
，
0
2
1
2
y
y
y
+
=
，也可以理解为点
E 关于点M 的对称点为F ．在平面直角坐标系中，有点
(
)
1, 1
A
−
，(
)
1, 1
B −
−
，点
(
)
0,2
P
关于A的对称点为
1P ，
1P 关于B 的对称点为
2P ，则点
2P 的坐标是（ ）
A．(
)
4,2
−
B．(
)
2, 4
−
C．(
)
4,0
D．(
)
4,2
二、填空题
5．如图，将“马”的小篆字体放在平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为(2,1),( 1,2)
−
，则点C 的坐标
为_________．
6．已知平面直角坐标系中，点
(
)
7,
2
P a
a
−
+
在第二象限，且它到x 轴的距离是它到y 轴距离的2 倍，则P
点坐标为______．
7．A，B 两点的坐标分别为(
)
2,4 ，(
)
6,0 ，点P 是x 轴上一点，且三角形ABP的面积为8，则点P 的坐标为
____．
三、解答题
8．已知点(
)
3,2
1
P m
m−
+
，试分别根据下列条件求出点P 的坐标．
答案第18 页，共25 页
(1)点P 的纵坐标比横坐标大3；
(2)点P 到x 轴的距离为2，且在第四象限．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知
( ,0),
( ,0)
A a
B b
其中 a， b 满足
(
)
2
3
1
0
b
a
−
+
+
=
，点M 为第三象限
内一点．
(1)请直接写出A、B 两点的坐标：A（ ，0），B（ ，0）；
(2)若M 为( 2,
)
m
−
，请用含m 的式子表示ABM
的面积；
(3)若
(
)
1
2
11
M
m m
−
−
，
到坐标轴的距离相等，MN
AB
∥
且MN
AB
=
，求N 点坐标．
10．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面
积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点
(
)
4,4
P
分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成
长方形OAPB的周长与面积数值均为16，则点P 是“优美点”．
(1)判断点(
)
2,2 是否是“优美点”?说明理由；
(2)若点
(
)
4,
M
m
−
是“优美点”，求m 的值；
(3)已知点(
)
,3
P a
是“优美点”，过点P 作PB
y
⊥
轴于点B ，点E 在线段PB上，且
2
OBE
OEP
S
S
−
=
△
△
，求点E
的坐标．
11．问题背景：
在平面直角坐标系中，已知点
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，点C 是线段AB 的中点，则点C 的坐标为
答案第19 页，共25 页
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1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
+
+
．如：已知点
(
)
(
)
2,2 ,
4,6
A
B
−
−
，则线段AB 的中点
(
)
,
C x y 的坐标：
2
4
2
3
x
，
2
6
4
2
y
+
=
=
，故点C 的坐标为(
)
3,4
−
．解决问题：
(1)已知点(
)
6, 2
A
−
，
(
)
3, 3
B
−
−
，则线段AB 的中点的坐标是_____．
(2)若已知点
(
)
5,9
M −
，且线段MN 的中点坐标为
(
)
1,5
P −
，求点N 的坐标．
(3)已知三点
(
)
3, 2
D
−
，
(
)
2, 3
E −
−
，
(
)
1,2
F
，若第四个点
(
)
,
Q x y 与D 、E 、F 中的任意一个点构成的线段
的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点Q 的坐标．
12．在平面直角坐标系中，规定某一点到x 轴、y 轴距离的较小值称为该点的“短距”．若某点到x 轴，y 轴
距离相等，则称该点为“完美点”．
(1)点
(
)
2,3
M −
的“短距”是________；
(2)若点
(
)
2
5,1
4
N
n
n
−
−
是“完美点”，求点N 的坐标；
(3)若坐标系第三象限内存在一点(
)
6,3
1
a
−
+
，且它的“短距”是5，现有一点Q ，点Q 的坐标为(
)
4
2 , 8
a
−
−
，
试说明点Q 是“完美点”．
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点
(
)
1
1
,
A x y
与(
)
2
2
,
B x
y
的“非常距离”，给出如下定义：若
1
2
1
2
x
x
y
y
−
−
，则点A 与点B 的“非常距离”为
1
2
x
x
−
；若
1
2
1
2
x
x
y
y
−
−
，则点A 与点B 的“非常距离”
为
1
2
y
y
−
．
(1)填空：已知点(
)
3,6
A
与点(
)
5,2
B
，则点A 与点B 的“非常距离”为 ．
(2)已知点
(
)
1,2
C −
，点D 为y 轴上的一个动点．若点C 与点D 的“非常距离”为2，求点D 的坐标．
14．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：
【问题情境】
在平面直角坐标系中不重合的两点
(
)
1
1
,
M x y
和点
(
)
2
2
,
N x
y
，
答案第20 页，共25 页
若
1
2
x
x
=
，则MN
y
∥轴，且线段MN 的长度为
1
2
y
y
−
；
若
1
2
y
y
=
，则MN
x
轴，且线段MN 的长度为
1
2
x
x
−
；
(1)【实践操作】
根据上面的结论，计算：
①已知：点
(
)
5, 2
E
−
、点
(
)
5,2
F
，线段EF =________；
②若点
(
)
1,1
M −
、
(
)
1,
N a
a
+
，且MN
x
轴，求MN 的长度．
(2)【拓展应用】
如图，在平面直角坐标系中，
(
)
1,2
A −
，
(
)
, 4
B m −
，
(
)
2,
C
n ，且满足
1
2
0
m
n
+ +
+
=
，
①请直接写出m 、n 的值；
②是否存在点
1
, 2
P t
t
，使三角形APB的面积等于三角形ABC 面积的2 倍．若存在，请求出点P 坐标；若
不存在请说明理由．
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得
到点
(
)
1 1,0
A
，
(
)
2 1, 1
A
−
，
(
)
3 0, 1
A
−
，
(
)
4
1, 1
A
−
−
，
(
)
5
1,0
A
−
，
(
)
6
1,1
A
−
，
(
)
7 0,1
A
，
(
)
8 1,1
A
，
(
)
9 2,1
A
，…，
则
2025
A
的坐标为（ ）
答案第21 页，共25 页
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A．(
)
22,23
B．(
)
23,22
C．(
)
22, 23
−
−
D．(
)
23, 22
−
−
二、填空题
2．如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点均在第四象限，其中点(
)
, 1
A a −
，点
(
)
, 3
B m −
，若AO
AB
=
，
90
OAB
=
，则a 的值为________．
3．光纤通讯是利用光的全反射原理进行光信号传输．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x 轴
建立平面直角坐标系，如图，一束光从
(
)
0
2, 1
A
−
−
出发，在
(
)
1 2,1
A
经过第1次全反射到达
(
)
2 6, 1
A
−
，在
2
A 经
过第2 次全反射到达
(
)
3 10,1
A
，在
3A 经过第3次全反射到达
(
)
4 14, 1
A
−
，依此类推，
（1）经过第5次全反射到达
6
A ，则
6
A 的坐标为________；
（2）经过第2n （n 为正整数）次全反射到达
2
1
n
A
+ ，则
2
1
n
A
+ 的坐标为________．
4．在如图所示的平面直角坐标系中，点(
)
4,0
A −
，(
)
6,0
B
，
(
)
2,4
C
，
(
)
3,2
D −
，在y 轴上找一点P ，使三
角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，则点P 的坐标为____________．
答案第22 页，共25 页
5．新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若点
(
)
,
P x y ，点
(
)
,
Q ax
y x
ay
+
+
，则称点Q 是点P 的“ a 级关联点”
（其中a 为常数，且
0
a
）．若点(
)
,3
1
P x
x +
的“3级关联点”在坐标轴上，则x 的值是________．
三、解答题
6．已知平面直角坐标系中，
(
)
,
A a b ，
(
)
,1
B c
，且(
)
2
2
2
4
0
a
b
a
c
b
+
+
+
+
−
=
．
(1)直接写出A，B 两点坐标：A（____，_____），B （____，_____），并在图（1）中画出点A，点B ；
(2)连接AB ，OA，OB ，直线AB 交y 轴于点C ，交x 轴于点D ．
①求ABO
的面积；
②求点C，点D 的坐标；
(3)点P 是射线AB 上不与点A重合的一动点，连接OP ，当
2
5
BOP
AOP
S
S
△
△
时，直接写出P 点横坐标
P
x 的取
值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点
(
)
,2
A a
，
(
)
0,
B
b ，且
5
4
0
a
b
+
+
−
=
．
答案第23 页，共25 页
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(1)点A坐标________、点B 的坐标________；
(2)如图，
(
)
,0
C m
是x 轴正半轴上一点，AC 与y 轴交于点D ，当
1
2
AD
CD =
时，
①ABD
与BCD
面积之比为________．
②求ABC
的面积；
③求出点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，P 为y 轴上一动点，设P 的纵坐标为t ，当t 取何范围时，
2
ACP
ABC
S
S
△
△
，请直接写
出t 的取值范围．
8．在平面直角坐标系中，(
)
,6
A m
，
(
)
,0
B n
，其中m ，n 满足
4
8
0
m
n
−
+
−
=
．
(1)如图1，已知点
(
)
2, 5
C −
−
，求ABC
的面积；
(2)如图2，过点A向y 轴作垂线，垂足为D ，请问在x 轴的上方是否存在点E ，使EAD
与EOB
的面积相
等，且
EAB
△
的面积是EOD
面积的3 倍？若存在，求出E 点坐标；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．点(
)
2,5 所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案第24 页，共25 页
2．如图为省城迎泽公园部分景点分布示意图．将其放在平面直角坐标系内，若用(
)
5,3
−
表示赏荷栈道的位
置，用(
)
4, 2
−
−
表示泽众书院的位置，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为（ ）
A．(
)
3,0
B．(
)
3,1
C．(
)
2,1
D．(
)
1,3
3．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标是（ ）
A．( 3, 2)
−
−
B．( 3,2)
−
C．(3,2)
D．(3, 2)
−
4．在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
2
2,
1
P
a
−
+
所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P 到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点P 的坐标是
（ ）
A．(4
5)
−
，
B．(5,
)
−4
C．( 4 5)
−，
D．( 5, )
−
4
二、填空题
6．点
(
)
1,
2
P
a +
在第一象限，则实数a 的取值范围是___________．
7．若点
(
)
3
1 2
P
m
m
+
−
，
在x 轴上，则点P 的坐标是________．
8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种
运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy 中，将
点(
)
,x y 中的x ，y 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x ，y 均为正整数．例
如，点(
)
6,3 经过第1 次运算得到点(
)
3,10 ，经过第2 次运算得到点(
)
10,5 ，以此类推．则点(
)
1,4 经过2024
答案第25 页，共25 页
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次运算后得到点________．
