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3.3 轴对称与坐标变化
5大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（3道）
一、坐标系上点关于坐标轴的对称
1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．(−1,2) B．(1,−2) C．(−1,−2) D．(2,−1)
2．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）在平面直角坐标系中，点P(2,−3)关于y轴对称的点的坐标为
（ ）
A．(−2,−3) B．(2,3) C．(−3,−2) D．(3,−2)
3．（北京市顺义区2024一2025学年下学期八年级教学质量检测数学试卷）在平面直角坐标系中，点
A(1,2)关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．(1,2) B．(−1,2) C．(−1,−2) D．(1,−2)
4．（24-25八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)关于x轴的对称点的坐标是
（ ）
A．(2,3) B．(2,−3) C．(−2,3) D．(−2,−3)
二、坐标系上点关于其他直线对称的变化
1．（2025·山西·模拟预测）剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，
点A与点B对称，点C与点D对称．将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(3,0)，(5,0)，
(1,4)，则点D的坐标为 ．
2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知△ABC(1)画出△ABC关于直线x=2对称的图形△A B C ；并直接写出△A B C 的面积____；
1 1 1 1 1 1
(2)若点P(a,b)在△ABC内部，点P和点P 关于直线x=2对称，则P 的坐标是______；
1 1
3．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点P(2m+4,m−1)．
(1)若点P在x轴上，求m的值；
(2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标；
(3)若点P(8,1)与点Q(a,b)关于直线x=1对称，则点Q的坐标是______．
4．（24-25八年级上·重庆江北·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为
A(−2,4),B(−1,1),C(−3,2)．
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形为△A B C ，并写出顶点A 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△ABC关于直线x=1所对称的图形△A B C ，并写出顶点A 的坐标；
2 2 2 2
(3)在y轴上画出点P，使△PAB的周长最小．
三、坐标系上的对称变化
1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且
OA=2，AB=4，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于点D，则点D的坐标为 ．2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，
B(−5,3)，C(−2,2)．
(1)请在图中画出 △ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的△A B C ；
1 1 1
(2)△A B C 关于原点对称得到△A B C ，请在图中画出△A B C ；并写出A 坐标；
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
(3)求△ABC的面积．
3．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图所示，左、右两幅图案关于y轴对称，右边图案中的左、右两
朵花花心的坐标分别是(2,5)和(3,4)．
(1)试确定左边图案中的左、右两朵花花心的坐标；
(2)如果将右边图案沿x轴向右平移2个单位长度，那么它的左、右两朵花花心的坐标将发生什么变化？
4．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
(2)直接写出点A关于x轴的对称点A 的坐标．
2
四、坐标系中的动点问题
1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点A(3,7),B(3,2)，点P为直线AB上一点，且PA=4PB，则
点P的坐标为（ ）
( 1)
A．(3,1) B．(3,3) C．(3,3)或 3, D．(3,1)或(3,3)
3
2．（24-25七年级下·重庆大足·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点
，且a，b满足 ，连接 ．
A(a,0),B(0,b) (a−6) 2+❑√b−8=0 AB
(1)请直接写出a，b的值；
(2)若点P(m,0)满足△ABP的面积等于12，求点P的坐标；
(3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上
以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当△ABD的面积等于△ABC面积的2倍时，请直接写出点C的坐标．
3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点
C，已知 ， ，其中a，c满足关系式 ，点P从O点出发沿折线
A(a,0) C(0,c) (a−6) 2+❑√c+8=0
OA→AB→BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
(1)a= ；c=_________；
(2)当点P到AB的距离为4个单位长度时，求t的值；
(3)点P在运动过程中，连接OP，PC．
①用含t的代数式表示点P的坐标；
1
②是否存在点P使得三角形OPC的面积是四边形OABC面积的 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存
3
在，请说明理由．
4．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践，如图在长方形ABCO中，O为平面直角坐
标系的原点，点A坐标为(4,0)，点C的坐标(0,6)，且点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单
位长度的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动，
(1)求点B的坐标
(2)当点P移动到4秒时，请求出点P的坐标．
(3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间．五、坐标系上的最短路径问题
1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2)，
B(2,0)，C(5,3)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB C ；
1 1
(2)若点P为y轴上一动点，使得PB +PC 值最小，在y轴上画出点P（保留作图痕迹），并直接写出点P
1 1
的坐标______．
2.（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）（1）请在给定的平面直角坐标系中画出△ABC关于y轴对称的图形
△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）在y轴上找出一点M，使MB+MC的值最小．（不写画法，保留画图痕迹）
3．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)，
B(2,1)，C(5,1)．(1)请画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ，并分别写出A ，B ，C 的坐标．
1 1 1 1 1 1
(2)请画出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ，△A B C 的面积为______．
2 2 2 2 2 2
(3)在y轴上画出点P使PA+PB最小．
4．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A(−4,4)、
B(−2,1)、C(0,3)．
(1)求△ABC的面积；
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
(3)在y轴上有一点M，使得AM+BM的值最小，请直接写出点M的坐标：________（横、纵坐标值精确
到整数值）
1．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点 ，点 关于y轴对称，则 的值（ ）
M(a,3) N(2,b) (a+b) 2024
A．−3 B．−1 C．1 D．3
2．（24-25七年级下·重庆·期末）若点A(4,m+3)与点B(n−2,5)关于x轴对称，则m+n的值为．
3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，
C(3,4)．
(1)请画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)△A B C 的面积是____________．
1 1 1
4．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(3,0)，且平行于y
轴，给出如下定义：点P(x,y)先关于y轴对称得点P ，再将点P 关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P
1 1
关于y轴和直线l的二次反射点．
(1)已知A(−4,0)，B(−2,1)，写出点A、点B关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′的坐标；
(2)若点C的坐标是(a,0)，其中a<0，点C关于y轴和直线l的二次反射点是点C′，求线段CC′的长．
5．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为(2,4)，
(1,2)，(5,3)和(−1,−2)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A B C （点A ，B 分别是点A，B的对应点），并写出点C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)在图中的平面直角坐标系中画出点E，使得以D，E，A ，B 四点组成的四边形是轴对称图形，且对称
1 1
轴是y轴，并写出点E的坐标．
6．（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在
x轴、y轴上， x轴， 轴，点B的坐标为 ，且 ．
BC∥ BA⊥x (a,b) (a−6) 2+|b−4)=0
(1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________．
(2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形OPA的
面积与长方形OABC面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间；
(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形APQ的面积是长方形OABC的面积的2倍？若
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点E是第一象限内一点，且EN⊥x轴，
过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，已知点A(0,m)，N(n,0)，且❑√m−4+|n−6)=0．若点P从点
E出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1个单位长度的速
度沿x轴向右移动.(1)m= ，n= ，点E坐标为 .
(2)求经过几秒AP=OQ？
(3)若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是10cm2，请直接写出此时点P的坐标.
8．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(b,0)，其中a，b满
足 ．
❑√a+1+(b−3) 2=0
(1)填空：a=_____，b=_____；
(2)若在第三象限内有一点M(−2,m)，用含m的式子表示△ABM的面积．
3
(3)在（2）条件下，当m=− 时，点P是x轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，
2
求点P的坐标．
9．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，
AB=CD=4，BC=DE=3，有个点P从A→B→C→D运动，每秒钟1个单位，同时点Q从
O→E→D也以每秒1个单位运动，运动时间为t，(1)写出B，C，D三个点坐标．
(2)当t=6秒时，求△OPQ的面积．
(3)当P到x轴距离等于Q到y轴距离时，求时间t．
1．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，A(0,6)，B(−12,0)，过A，B两点分
别作y轴，x轴的垂线交于点C．
(1)点C的坐标为__________；
(2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段CB，BO上以2个单位长度每秒的速度沿着C→B→O运动，
到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段BO向原点运动，到达原点
时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段BO上时，t取何值，P、Q、C三点
构成的三角形面积为1？
(3)如图2，点M(m,n)在线段AB上，且m，n满足|m−n)=10，点N在y轴的负半轴上，连接MN交x轴
于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为S ，记N、O、K三点构成的三角形面积为S ，若S =S ，
1 2 1 2
求点N的坐标．
2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点
A(2,3),B(4,5)，求线段AB的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如
下：在平面直角坐标系中，设 要求线段． 的长度可以用如下的方法，如图，
P (x ,y ),P (x ,y ), P P
1 1 1 2 2 2 1 2
过 P 作x轴的垂线，垂足为A，过P 作x轴的垂线，垂足为B，线段AB长度可表示AB=x −x ，P 作y
1 2 2 1 1
轴的垂线，垂足为C，过 P 作y轴的垂线，垂足为D，延长CP 交 P B于点E，则线段CD的长度可以表
2 1 2
示CD= y −y ，CD=P E，Rt△P P E中，∠P EP =90°，据勾股定理可得：
2 1 2 1 2 1 2
P P =❑√P E2+P E2=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 1 2 2 1 2 1(1)【解决问题】
①则线段AB长度是______；
②如果点N(−3,5)， 点 M(−5,−7)，线段MN长度是______．
(2)【知识迁移】
①点 ，在x轴上找一点P，使得 的值最大，请直接写出这个最大值是
P (−2,3),P (3,5) PP −PP
3 4 4 3
______；
②点 ，在x轴上找一点 ，使得 最小，请直接写出这个最小值是______．
P (−2,3),P (3,5) P′ P′P +P′P
3 4 4 3
(3)【拓展延伸】
①代数式 的最小值是______；
❑√x2−8x+41+❑√x2−4x+13
②代数式 的最大值是______．
❑√x2−24x+153−❑√x2+4
3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．建立以点
A为坐标原点，AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，
(1)求B，C两点的坐标．
(2)在y轴上找一点P，使△ACP面积为3，求点P的坐标．
(3)找一点Q（不与C重合），使△ABQ与△ABC全等，求点Q的坐标．
