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分层作业
26.2.1
2
y
ax
的图象性质
题型01
2
y
ax
的函数图象
1.C
2．B
3．y 轴（或直线
0
x
）
0,0
0
下
下
高
4．8
5．【详解】（1）解：列表：
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
27
12
3
0
3
12
27
…
在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示．
（2）解：列表：
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
1
3
0
1
3
4
3
3
…
在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示．
题型02
2
y
ax
的增减性
6．C
7．D
8．D
9．A
10．A
题型03
2
y
ax
字母系数a 的讨论问题
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11．A
12．D
13．a
b
14．
0
a
15．4（答案不唯一）
16．【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
ax
经过点
1,3 ，
∴
2
3
1
a
，
∴
3
a
；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为
2
3
y
x
，
当
2
x 时，
2
3
2
3
4
1
2
y
．
题型04
2
y
ax
的规律探究问题
17．C
18．8
题型05
2
y
ax
与一次函数的综合
19．【详解】（1）解：
1,1
B
代入二次函数
2(
0)
y
ax
a
得
2
1
1
a
，
解得
1
a ，
向左平移2 个单位长度所得的图像的函数表达式为：
2
2
y
x
；
（2）设直线AB 的解析式为
0
y
kx
b k
，
将
2 0
A
，和
11
B ，代入直线AB 的解析式得
0
2
1
1
k
b
k
b
ìïíï
=
´
=
´ +
î
+
，
解得
1
2
k
b
，
直线AB 的解析式为
2
y
x
，
联立直线AB 与抛物线
2
y
x
得
2
2
y
x
y
x
ìïíï
= - +
î =
，
解得
1
1
2
2
1,
1
2,
4
x
y
x
y
ì
=
=
ïí
= -
=
ïî
，
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交点C 坐标为
2 4
，，
1
1
2
4
2 1
3
2
2
OBC
OAC
OAB
S
S
S
=
-
=
创
-
创
=
△
△
△
；
（3）设(
)
2
,
D x x
，要求OAD 面积等于
OBC
△
的面积为3 ，
得
2
1
2
3
2
x
创
=
，
解得：
1
3
x
，
2
3
x
，
代入抛物线
2
y
x
得
1
2
3
3
y
y
ìïíï
=
î
=
，
点D 的坐标为
3,3 或
3,3
．
20．【详解】（1）解：在
2
3
y
x
中，当
1
x 时，
2 1 3
1
y
，
∴
1, 1
A
，即
1
b ，
把点A 的坐标代入
2
0
y
ax
a
得
2
1
1
a
，
∴
1
a ；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为
2
y
x
，
∴对称轴为y 轴，函数图象开口向下，
∴当
0
x
时，二次函数
2
y
x
的函数值y 随x 的增大而增大；
（3）解：联立
2
2
3
y
x
y
x
，解得
3
9
x
y
或
1
1
x
y
，
∴点B 的坐标为
3, 9
．
21．【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
x
与直线
3
y
x
h
都经过点
1,k ，
∴
21
1
k
，
把
1, 1
代入
3
y
x
h
，
得1
3 1
h
，
∴
4
h ，
（2）解：依题意，设此抛物线的解析式为
2
y
ax
，
由（1）得
4
1
h
k
,
，
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∵抛物线恰好经过点
,h k ，
∴抛物线恰好经过点
4, 1
，
∴
2
1
4
a
，
解得
1
16
a
．
∴
2
1
16
y
x
．
题型06
2
y
ax
与几何的综合问题
22．A
23．
1,1
1,0 或
2,0 或
2,0 或
2,0
24．【详解】（1）解：
二次函数
(
)
2
0
y
ax
a
=
¹
的图象经过点
4,4
，
(
)
2
4
4
a
\
=
-
g
，
解得：
1
4
a
，
二次函数的解析式为
2
1
4
y
x
；
（2）解：将
1
y 代入
2
1
4
y
x
，
解得：
1
2
x
，
2
2
x ，
点M 、N 的坐标分别为
2,1
，
2,1 ，
2
2
4
MN
，
2
FM
FN
，
PMN 是等边三角形，
易得点P 在y 轴上，且
4
PM
，
MN
x
∥轴，
90
PFM
，
2
2
4
2
2 3
PF
\
=
-
=
，
点F 的坐标为
0,1 ，
点P 的坐标为
0,1
2 3
或
0,1 2 3
．
25．【详解】解：如图，
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抛物线
2
y
ax
的对称轴为y 轴，且AB
x 轴，
OA
OB
,
AOB 为直角三角形，
AOB
是等腰直角三角形，
AOB
关于y 轴对称，
A
点和B 点到y 的距离相等，
4
AB
，
2
AC
，
A
点的横坐标为2
，
AOB是等腰直角三角形，
45
OAB
，
2
AC
OC
，
A
点纵坐标为2 ，即
2,2
A
，
将
2,2
A
代入
2
y
ax
得，
1
2
a
．
故答案为：1
2 ．
26．B
27．D
28．【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为
0,0 ，
设该函数解析式为
2
0
y
ax
a
，
∵当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m．
则点
6, 4
B
，
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将点
6, 4
B
代入可得，
2
4
6
a
，
解得
1
9
a
，
∴抛物线的表达式为
2
1
9
y
x
．
故选：A ．
29．
3
m
30．
1
4
a
31．【详解】（1）解：将
2
x 代入
2
1
4
y
x
得：
2
1
2
1
4
y
，
∴
2,1
A
，
将
4
x
代入
2
1
4
y
x
得：
2
1
4
4
4
y
，
∴
4,4
B
，
设直线AB 的函数解析式为
0
y
kx
b k
，
将点
2,1
A
，
4,4
B
代入得：
2
1
4
4
k
b
k
b
，解得
1
2
2
k
b
，
∴直线AB 的函数解析式为
1
2
2
y
x
．
（2）解：将
0
x
代入
1
2
2
y
x
得：
2
y
，
∴
0,2
C
，
如图，作点C 关于x 轴的对称点
0, 2
C
，连接AC，交x 轴于点P ，
由轴对称的性质得：PC
PC
，
∴PA
PC
PA
PC
，
由两点之间线段最短可知，当点, ,
A P C共线时，PA
PC
的值最小，即PA
PC
的值最小，最小值为
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2
2
2
0
1 2
13
AC
，
∴AC与x 轴的交点P 即为所求，
设直线AC的函数解析式为
0
y
mx
n m
，
将点
2,1
A
，
0, 2
C
代入得：
2
1
2
m
n
n
，解得
3
2
2
m
n
，
∴直线AC的函数解析式为
3
2
2
y
x
，
将
0
y
代入
3
2
2
y
x
得：
3
2
0
2 x
，解得
4
3
x
，
∴此时点P 的坐标为
4 ,0
3
，
综上，此时点P 的坐标为
4 ,0
3
，PA
PC
的最小值为13 ．
32．2 5
33．
2
2
1
y
x
34．A
35．C
36．B
37．B
38．D
39．2025
2026
39．A．
40．4 2n
41．
4
4
2024
2025
