3.3 ～3.4 中心对称与图案设计
课堂知识梳理
1、成中心对称：
两个图形中的一个绕某一点（旋转中心）旋转180度，能够与另一个图形重合。
性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连的线段经过对称中心，且
被对称中心平分。
2、中心对称图形：
一个图形绕某一个点旋转180度能与自身重合
特例图形：既满足轴对称又中心对称的图形：正偶边形，圆，正方形，
长方形。
只是轴对称：正奇边形，等腰三角形，等腰梯形。
只是中心对称：平行四边形
3、对称时的坐标变化：
关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数
关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数
总述，关于哪个轴对称哪个坐标不变，另一个坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数
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培优第一阶——基础过关练
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、该选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意；
B、该选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、该选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、该选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故选：A．
1【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四
边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等
腰梯形，圆等等．
2．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论中不成立的是（ ）
A．点A与点A'是对称点 B．BO=B'O
C．AB∥A'B' D．∠ACB=∠C' A'B'
【答案】D
【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，
∴点A与A'是一组对称点，BO=B'O，AO=A'O，AB=A'B'，
∴△ABO≌△A'B'O，
∴∠ABO=∠A'B'O，
∴AB∥A'B'.
所以A，B，C正确；
∴A，B，C都不合题意．
∵∠ACB与∠C' A'B'不是对应角，
∴∠ACB=∠C' A'B'不成立．
故选：D．
3.将点P(3,5)绕原点顺时针旋转180°，点P的对应点的坐标为（ ）
A．P(−3,5) B．P(3,−5) C．P(−3,−5) D．P(−5,−3)
【答案】C
【详解】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P'，
∵P点坐标为P(3,5)，
∴点P'的坐标(−3,−5)．
故选：C．
4．如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），
则点A'的坐标为（ ）
2A．（-a，-b） B．（-a，-b-1） C．（-a，-b+1） D．（-a，-b-2）
【答案】D
【详解】解：根据题意，点A、A'关于点C对称，设点A' 的坐标是（x，y），
a+x b+ y
则 =0， =−1，
2 2
解得x=−a，y=−b−2，
∴点A'的坐标是(−a，−b−2)．
故选：D．
5．下列命题正确的个数是（ ）
①两个全等三角形必关于某一点中心对称
②关于中心对称的两个三角形是全等三角形
③两个三角形对应点连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称
④关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】两个全等三角形不一定关于某一点中心对称，所以①的说法错误；
关于中心对称的两个三角形是全等三角形是中心对称的性质，所以②的说法正确；
两个三角形对应点连线都经过同一点，且对应点到这一点的距离相等，那么这两个三角形
关于该点成中心对称，所以③的说法不正确；
关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心，是中心对称的性质，所以④的
说法正确．
所以正确的共2个，
故选：B
6．点A(−1,a)与点A' (b,2)关于原点对称，则(a+b) 2023=________．
【答案】−1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可求出答案．
【详解】解：∵点A(−1,a)与点A' (b,2)关于原点对称，
∴b=1，a=−2，
则(a+b) 2023=(−2+1) 2023=−1．
故答案为：−1．
37.如图，△ABC与△AB' C' 关于点A对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB'的长
为 _____．
【答案】4
【详解】解：∵ ABC与 AB' C' 关于点A对称，
∴ ABC≌ AB' C△ '， △
∴△AB'=AB△，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB=2AC=2，
∴AB'=2，
∴BB'=AB+AB'=2+2=4，
故答案为：4．
8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
(1)把△ABC绕着点O逆时针旋转180°，画出旋转后对应的△A B C ：
1 1 1
(2)根据作图写出点A 和B 的坐标．
1 1
【答案】(1)答案见详解；
(2)A (2,−3)、B (3,−1)．
1 1
【详解】（1）解：如图所示，△A B C 为所画；
1 1 1
4（2）解：由图形可知：A(−2,3)、B(−3,1)；
根据题意，△A B C 与△ABC关于原点成中心对称，
1 1 1
∴点A与点A 关于原点对称，点B与点B 关于原点对称，
1 1
故点A 和B 的坐标：A (2,−3)、B (3,−1)．
1 1 1 1
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，
连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
(1)填空：E是线段CD的 ，点A与点F关于点 成中心对称，若AB＝AD+BC，则
ABF是 三角形．
(2)四边形ABCD的面积为12，求 ABF的面积．
△
【答案】(1)中点，E，等腰
△
(2)12
【详解】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在 ADE与 FCE中，
¿，
△ △
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵AB＝AD+BC，BF＝CF＋BC＝AD＋BC，
5∴AB＝BF，
则△ABF是等腰三角形．
故答案为：中点，E，等腰；
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴△ABF的面积为12．
10．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长
均为1，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网
格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
(1)在图①中以线段AB为边画一个四边形ABEF，使四边形ABEF既是轴对称图形又是中
心对称图形；
(2)在图中以线段CD为边画一个四边形CDGH，使四边形CDGH只是中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，四边形ABEF是正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形
（2）解：如图所示，四边形CDGH只是中心对称图形
611．请认真观察图（1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1： ；特征2： ．
(2)请在图（2）中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征（用阴影表
示）．
【答案】(1)是轴对称图形；是中心对称图形
(2)见解析
【详解】（1）解：根据题意得：
特征1：是轴对称图形，特征2：是中心对称图形；
（2）解：画出图如图所示：
．
12．下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂
上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)在图（1）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但
不是中心对称图形；
(2)在图（2）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，
但不是轴对称图形；
(3)在图（3）中选取2个小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形（请
7选用两种不同的方案，分别填在图（3）两个图形中）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：画出下列其中一种即可．
（2）解：画出下列其中一种即可．
（3）解：画出下列其中两种即可．
13．如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且
AE=CF，求证：BF=DE．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵△AGB与△CGD关于点G中心对称，
∴BG=DG，AG=CG，
∵AE=CF，
∴AG−AE=CG−CF，
∴EG=FG，
又∵∠DGE=∠BGF，
∴△DGE≌△BGF(SAS)，
∴BF=DE．
培优第二阶——拓展培优练
814． 2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形
中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
15．如图，已知等边△ABC和等边△BDE，其中A、B、D三个点在同一条直线上，且
AB<BD，连接AE、CD．则下列关于图形变换的说法正确的是（ ）
A．△BDE可看作是△ABC沿AB方向平移所得
B．△ABC和△BDE关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称
C．△BCD可看作是由△ABE绕点B顺时针方向旋转60°所得
D．△ABC和△BDE关于点B成中心对称
【答案】C
【详解】解：A、∵AB<BD，
∴△BDE不能看作是△ABC沿AB方向平移所得，说法错误；
B、∵AB<BD，
∴△ABC和△BDE不关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称，说法错误；
C、∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴ ABE≌△CBD（SAS），
又∵∠ABC＝60°，
△
∴△BCD可看作是由△ABE绕点B顺时针方向旋转60°所得，说法正确；
9D、由中心对称的性质可知：△ABC和△BDE不关于点B成中心对称，说法错误；
故选：C．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），(−1,0)
．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P ，使得点P 与点O关于点A成中心
1 1
对称；第二次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P ，使
2 2 1 3
得点P 与点P 关于点C成中心对称：第四次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点A成中
3 2 4 4 3
心对称；第五次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点B成中心对称；…，照此规律重复下
5 6 4
去，则点P ❑ 的坐标为（ ）
2 013
A．（2，2） B．(−2,2) C．(0,−2) D．(−2,0)
【答案】C
【详解】解：∵点P 与点O关于点A成中心对称，
1
∴P(2，0)，
1
过P 作PD⊥OB于点D，
2 2
∵P 与点P 关于点B成中心对称，
2 1
∴PB=P B，
1 2
在△PBO和△PBD中
1 2
¿，
∴△P BO≌△PBD，
1 2
∴PD=PO=2，BD=BO=1，
2 1
∴OD=2，
∴P(-2，2)，
2
同理可求：P(0，-2)，P(2，2)，P(-2，0)，P(0，0)，P(2，0)，
3 4 5 6 7
从而可得出6次一个循环，
102013
∵ =335…3，
6
∴点P 的坐标为(0，-2)．
2013
故选C．
17．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地
砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【答案】11
【详解】解：如图，连接DK，DN，
∵∠KDN=∠MDT=90°，
∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S DKM=S DNT，
1
∴S △ DMN △ T=S DKN= 大正方形的面积，
四边形 4
△ 1
∴正方形ABCD的面积=4× ×9+2=11．
4
11故答案为：11．
18．如图， 在平面直角坐标系中，
若△ABC与△A B C 关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是______．
1 1 1
【答案】(3，−1)
【详解】解：如图，连接A A ，CC ，两连线的交点，即为对称中心E点，
1 1
∴对称中心E点的坐标是(3，−1)．
故答案为：(3，−1)
19．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC称为“基本图形”，且各点的坐标分别为
A(0,1)，B(2,0)，C(4,4)．
12(1)画出“基本图形”关于原点O对称的△A B C ，并写出A ,B ,C 的坐标．A （____，
1 1 1 1 1 1 1
____），B （____，____），C （____，____）；
1 1
(2)画出“基本图形”关于x轴的对称△A B C ；
2 2 2
2
(3)已知P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABC面积的 ，求点P的坐标．
5
【答案】(1)图见解析，0,−1，−2,0，−4,−4
(2)见解析
(3)(0,3)或(0,−1)
【详解】（1）如图所示△A B C 就是所求，
1 1 1
A (0,−1)，B (−2,0)，C (−4,−4)．
1 1 1
（2）如图所示△A B C 就是所求
2 2 2
（3）设P点坐标为(0,a)．
1 1 1
因为S =4×4− ×4×2− ×4×3− ×2×1=5，
△ABC 2 2 2
1 2
则S = ×2×|a−1|=5× ，解得a=−1或3，
△ABP 2 5
∴点P的坐标为(0,3)或(0,−1)．
20．图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称
为格点，线段AB的端点均在格点上，请在给定的网格中分别按要求画图．
13(1)在图①中，找一个格点C，使以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形．
(2)在图②中，找两个格点D，E，使以点A，B，D，E为顶点的四边形是中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图①，点C为所作．
（2）解：如图②，点D、E为所作．
21．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC绕C点顺时针旋转90°得到的△A B C，直接写出B 的坐标为______；
2 2 2
(3)若P为y轴上一点，求PA+PC的最小值．
14【答案】(1)见解析
(2)图见解析，B (−1,−1)
2
(3)见解析，PA+PC的最小值为√34
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C即为所求，B (−1,−1)；
2 2 2
故答案为：(−1,−1)；
（3）如图，点P即为所求，此时PA+PC=PA+PC'=AC'，即PA+PC的最小值为AC'，
AC'=√32+52=√34，
∴PA+PC的最小值为√34．
22．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与
自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋
转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图
1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③
圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，
180°，将图形补充完整．
15【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析
【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是
中心对称图形，
故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．
故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只
有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题
③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．
（4）图形如图所示：
培优第三阶——中考沙场点兵
23．（2022·山东淄博·统考中考真题）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
16B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
24．（2022·江苏徐州·统考中考真题）下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
25．（2022·贵州遵义·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点A(a,1)与点B(−2,b)关于
原点成中心对称，则a+b的值为（ ）
A．−3 B．−1 C．1 D．3
【答案】C
【详解】解：∵点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称，
∴a=2,b=−1，
∴a+b=2−1=1，
故选C．
26．（2022·湖南湘西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q
（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝_____．
【答案】−3
【详解】解：根据P、Q两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，
∴m−2=−5，
∴m=−3，
故答案为：−3．
27．（2022·四川广安·统考中考真题）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的
几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边
三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个
阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规
定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
17【答案】见解析
【详解】解：如下图所示：
28．（2022·吉林·统考中考真题）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶
点称为格点．其中点A，B，C均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．
(1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
(2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【详解】（1）解：如图①，四边形ABCD是轴对称图形．
（2）解：先将点B向左平移2格，再向上平移1个可得到点A，
则将点C按照同样的平移方式可得到点E，
如图②，平行四边形ABCE是中心对称图形．
1819
