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分层作业
26.2.2 y=a(x-h)²+k 的图象性质
目录
A 组巩固过关
题型01 y=ax²+k 的函数图象
题型02 y=a(x-h)²的图象和性质
题型03 y=a(x-h)²+k 的图象和性质
题型04 待定系数法求解析式
题型05 二次函数的图象平移问题
题型06 与顶点式相关的字母参数讨论
题型07 二次函数的最值问题
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
y=ax²+k 的图象和性质
1．（25-26 九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数
2
2
1
y
x
的图象性质说法不正确的是（
）
A．因为
0
a
，所以抛物线开口向上
B．当
0
x
时，函数y 有最大值1
C．当
0
x
时，函数y 随x 的增大而增大D．抛物线的顶点坐标是
0,1
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次
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函数性质，
0
a
时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线
0
x
，当
0
x
时函数递增；顶点坐标可直
接由解析式得出，然后问题可求解．
【详解】解：∵二次函数
2
2
1
y
x
，
2
0
a
，
∴抛物线开口向上，A 正确；
当
0
x
时，
1
y ，因为
0
a
，顶点为最小值点，故B 错误；
对称轴为直线
0
x
，
0
a
，当
0
x
时，y 随x 增大而增大，C 正确；
顶点坐标为
0,1 ，D 正确；
故选B．
2．（25-26 九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线
2
0
y
ax
c a
的图象不经过三四象限，下列说法正确的是
（
）
A．
0,
0
a
c
B．
0,
0
a
c
C．
0,
0
a
c
D．
0,
0
a
c
【答案】D
【分析】本题考查二次函数
2
y
ax
c
的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶
点位置，即可确定a 、c 的取值范围．
【详解】解：∵抛物线
2
0
y
ax
c a
的图象不经过第三、四象限，
∴抛物线开口向上，且顶点在y 轴非负半轴上，即
0
a
，
0
c
，
故选：D．
3．（2026·吉林·模拟预测）若点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
是函数
2
(
0)
y
ax
c a
上的两点，若
1
2
x
x
且
1
2
0
x
x
，
则
1y ________
2y ．（填“ ”、“”或“ ”）
【答案】
【分析】先确定抛物线
2
(
0)
y
ax
c a
的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A 和点B 到对称轴的距
离大小，根据二次函数的性质比较
1y 和
2y 的大小．
【详解】解：对于二次函数
2
y
ax
c
，
0
a
，
抛物线开口向上，对称轴为y 轴（即直线
0
x
），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的
函数值越大，点到y 轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较
1x 与
2x 的大小，
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1
2
x
x
，
1
2
0
x
x
，
1
2
x
x
，
当
2
0
x
时，
1
2
0
x
x
，可得
1
2
1
2
0
x
x
x
x
，即
1
2
x
x
；
当
2
0
x
时，
2
2
x
x
，可得
1
2
1
2
1
2
0
x
x
x
x
x
x
，即
1
2
x
x
，
综上可得
1
2
x
x
，即点A 到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故
1
2
y
y
．
4．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
2
3
4
y
x
x
；
(2)
2
1
2
y
x
x
；
(3)
2
3
7
2 7
2
y
x
x
；
(4)
2
100
5
y
x
；
(5)
2
6
12
y
x
x
；
(6)
2
3
4
1
2
y
x
x
．
【答案】(1)
抛物线的开口向上，对称轴为直线
3
2
x
，顶点坐标3 7
,
2 4
；
(2)抛物线的开口向下，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标
1,2
；
(3)抛物线的开口向上，对称轴为直线
7
7
x
，顶点坐标
7 1
,
7
2
；
(4)抛物线的开口向下，对称轴为直线
0
x
（y 轴），顶点坐标
0,100 ；
(5)抛物线的开口向下，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标
1,6 ；
(6)抛物线的开口向下，对称轴为直线
4
3
x
，顶点坐标
4 11
,
3 3
．
【分析】将抛物线解析式化为顶点式即可解答．
【详解】（1）解：
2
2
3
7
3
4
2
4
y
x
x
x
，且1
0
，
则抛物线的开口向上，对称轴为直线
3
2
x
，顶点坐标为3 7
,
2 4
；
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（2）解：
2
2
2
1 2
2
1
1
2
y
x
x
x
x
x
，且1
0
，
则抛物线的开口向下，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为
1,2
；
（3）解：
2
2
3
7
1
7
2 7
7
2
7
2
y
x
x
x
，且7
0
，
则抛物线的开口向上，对称轴为直线
7
7
x
，顶点坐标为
7 1
,
7
2
；
（4）解：
2
2
100
5
5
100
y
x
x
，且5
0
，
则抛物线的开口向下，对称轴为直线
0
x
（y 轴），顶点坐标为
0,100 ；
（5）解：
2
2
6
12
6
1
6
y
x
x
x
，且6
0
，
则抛物线的开口向下，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为
1,6 ；
（6）解：
2
2
3
3
4
11
4
1
2
2
3
3
y
x
x
x
，且
3
0
2
，
则抛物线的开口向下，对称轴为直线
4
3
x
，顶点坐标为
4 11
,
3 3
．
5．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数
2
1
1
1
4
y
x
与
2
2
1
1
4
y
x
的图象，并说明这两个函数图
象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5 个方面进行说明）．
【答案】图见解析，相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y 轴．不同点：①开口方向不同，函数
2
1
1
1
4
y
x
的图象开口向上，函数
2
2
1
1
4
y
x
的图象开口向下；②增减性不同，当
0
x
时，1y 随x 的增大而增大，
2y
随x 的增大而减小，当
0
x
时，1y 随x 的增大而减小，函数
2y 随x 的增大而增大；③顶点不同，函数
2
1
1
1
4
y
x
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的图象的顶点坐标为
0,1 ，函数
2
2
1
1
4
y
x
的图象的顶点坐标为
0, 1
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图像可得二
次函数的性质，进行分析比较即可．
【详解】解：画出这两个函数的图象如图所示．
相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y 轴．
不同点：①开口方向不同，函数
2
1
1
1
4
y
x
的图象开口向上，函数
2
2
1
1
4
y
x
的图象开口向下；
②增减性不同，当
0
x
时，1y 随x 的增大而增大，
2y 随x 的增大而减小，当
0
x
时，1y 随x 的增大而减小，
函数
2y 随x 的增大而增大；
③顶点不同，函数
2
1
1
1
4
y
x
的图象的顶点坐标为
0,1 ，函数
2
2
1
1
4
y
x
的图象的顶点坐标为
0, 1
．
题型02
y=a(x-h)²的图象和性质
6．（25-26 九年级上·上海·阶段检测）抛物线
2
2
4
y
x
的顶点在（
）
A．x 轴上
B．y 轴上
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置．
【详解】解：
2
2
4
y
x
顶点坐标为
4,0 ，在x 轴上，
故选：A．
7．（25-26 九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线
2
1
y
x
，下列说法错误的是（
）
A．开口向上
B．当
1
x 时，y 随x 的增大而减小
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C．当
1
x 时，函数值最小
D．将抛物线向左平移1 个单位长度得到
2
y
x
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．
抛物线
2
(
1)
y
x
的二次项系数为正，开口向上，顶点为
1,0 是最小值点；向左平移1 个单位得
2
y
x
；当
1
x 时，y 随x 增大而增大．
【详解】解：∵
2
(
1)
y
x
中
1
0
a
，
∴开口向上，A 正确；
∵
2
(
1)
y
x
∴顶点坐标为(1,0) ，
∴当
1
x 时，y 取最小值，C 正确；
将抛物线向左平移1 个单位，x 替换为
1
x ，
得
2
2
[(
1) 1]
y
x
x
，D 正确；
当
1
x 时，
1
0
x
，且随x 增大而增大，
2
(
1)
y
x
随x 增大而增大，故B 错误．
故选：B．
8．（25-26 九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数
2
1
y
x
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据
二次函数的性质，由二次函数
2
1
y
x
得到其顶点坐标与开口方向；然后根据顶点坐标与开口方向，判
定出函数图象即可．
【详解】解：∵二次函数
2
1
y
x
的顶点坐标为
1,0
，
∴二次函数图象的顶点在x 轴负半轴上，
又∵
1
0
a
，
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∴开口向上．
故选：D．
9．（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）若
1
2,
A
y
，
2
3,
B
y
，
3
2,
C
y
在二次函数
2
1
y
x
的图象上，
则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）．
【答案】
3
1
2
y
y
y
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
通过计算二次函数
2
(
1)
y
x
在各点的函数值，比较
1y ，
2y ，
3y 的大小．
【详解】解：对于点
1
2,
A
y
，
2
2
1
( 2 1)
( 3)
9
y
，
对于点
2
3,
B
y
，
2
2
2
( 3 1)
( 4)
16
y
，
对于点
3
2,
C
y
，
2
2
3
(2 1)
1
1
y
，
∴
3
1
2
y
y
y
．
故答案为：
3
1
2
y
y
y
．
10．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）已知
0
a
，设函数
2
2
2
1
2
3
1
2
3
y
a x
y
a x
y
a x
，
，
．直
线x
m
与函数
1
2
y
y
，
，
3y 的图象分别交于点
1
2
3
A m c
B m c
C m c
,
，
,
，
,
．若
2
3
1
c
c
c
，则m 的取值范
围是___________
【答案】
5
2
2
m
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x
m
与二次
函数图象的交点进行判断即可．
【详解】解：函数
2
2
2
1
2
3
1
2
3
y
a x
y
a x
y
a x
，
，
图象的对称轴分别为直线：
1
x ，
2
x
，
3
x
，
联立
2
2
2
y
a x
与
2
3
3
y
a x
，
2
2
2
3
a x
a x
，解得
5
2
x
，
即
2
2
2
y
a x
与
2
3
3
y
a x
的交点的横坐标为5
2 ，
同理可得，
2
1
1
y
a x
与
2
3
3
y
a x
的交点的横坐标为2，
如图，
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由图可知，当
5
2
2
m
时，
2
3
1
c
c
c
，
故答案为：
5
2
2
m
．
题型03
y=a(x-h)²+k 的图象和性质
11．（25-26 九年级上·河北石家庄·期末）对于抛物线
2
2
6
y
x
，下列结论：①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线
2
x
；③顶点坐标为
2,6 ；④当
2
x
时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数顶点式
2
y
a x
h
k
的性质，确定开口方向、对
称轴、顶点坐标及增减性即可．
【详解】解：∵抛物线为
2
2
6
y
x
，
∴
1
0
a
，
2
h
，
6
k
.
①∵
0
a
，∴开口向下，正确；
②对称轴为直线
2
x
h
，正确；
③顶点坐标为
,h k ，即
2,6 ，正确；
④∵
0
a
，开口向下，∴当
2
x
时，y 随x 增大而减小，正确.
∴所有结论均正确，共4 个.
故选：D．
12．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线
2
2
1
3
y
x
，下列说法正确的是（
）
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A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为
1,3
C．抛物线的对称轴为直线
1
x
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而减小
【答案】B
【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为
2
2
1
3
y
x
，
∴
2
0
a
，
∴抛物线开口向上，故A 错误；
顶点坐标为
1,3 ，故B 正确；
对称轴为直线
1
x ，故C 错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x ，
∴当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，故D 错误．
13．现有一组抛物线：
2
2
2
1
2,
2
4
3
6
y
x
y
x
y
x
,
，…，则这组抛物线的顶点都在（
）
A．直线
2
y
x
上
B．直线
2
y
x
上
C．抛物线
2
2
y
x
上
D．抛物线
2
y
x
上
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的顶点及一次函数的性质，设这组抛物线的顶点为
,2
n
n ，再代入各个选项
一一判断即可．
【详解】解：由题意可设这组抛物线的顶点为
,2
n
n ，
A、将
,2
n
n 代入
2
y
x
中，得2
2
n
n
，顶点在直线
2
y
x
上，本选项符合题意；
B、将
,2
n
n 代入
2
y
x
中，得2
2
n
n
，顶点不在直线
2
y
x
上，本选项不符合题意；
C、将
,2
n
n 代入
2
2
y
x
中，得
2
2
2
n
n
，顶点不在抛物线
2
2
y
x
上，本选项不符合题意；
D、将
,2
n
n 代入
2
y
x
中，得
2
2n
n
，顶点不在抛物线
2
y
x
上，本选项不符合题意；
故选：A
14．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数
2
1
y
x
k
（k 为常数），若点
1
1,
A
y
，
2
2,
B
y
，
3
4,
C
y
都在该函数的图象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是（
）
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A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
1
3
y
y
y
C．
3
2
1
y
y
y
D．
2
3
1
y
y
y
【答案】B
【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出
三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为
2
1
y
x
k
，1
0
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线
1
x ，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵2
1
1
1 1
2
4
1
3
，
∴
2
1
3
y
y
y
．
题型04
待定系数法求解析式
15．（25-26 九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线
2
2
y
x
与抛物线
2
2
y
ax
的开口方向和开口大小相同，
则a __．
【答案】2
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a 的值决定是解题的关键．
根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数的正负决定，开口大小由二次项系数的绝对值决定．由于两
抛物线开口方向和大小相同，故二次项系数相等．
【详解】解：∵抛物线
2
2
y
x
与抛物线
2
2
y
ax
的开口方向和开口大小相同，
∴
2
a
．
故答案为：2．
16．（25-26 九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线
2
y
a x
h
的对称轴为直线
1
x ，且过点
1, 4
，
求抛物线的解析式．
【答案】
2
1
y
x
【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据抛物线
2
y
a x
h
的对称轴为直线
1
x ，
得
1
h ，再把
1, 4
代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
抛物线
2
y
a x
h
的对称轴是直线
1
x ，
1
h
，
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抛物线解析式为
2
1
y
a x
，
抛物线经过
1, 4
，
4
4a
，
解得
1
a ，
抛物线解析式为
2
1
y
x
．
17．（25-26 九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线
4 ²
y
a x
经过点
3 2
M ，，解答下列问题：
(1)求此抛物线的解析式；
(2)填空：
①此抛物线的开口
；顶点坐标是
；对称轴是；
②当x 时，y 随x 的增大而减小；
③当x
时，函数有最值为；
【答案】(1)此抛物线的解析式为
2
4 ²
y
x
(2)①向上；
4,0
；
4
x ；②
4
＜
；③
4
，小，0
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键；
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数
²
y
a x
h
图像和性质即可得出．
【详解】（1）解：把
3 2
M ，代入解析式得：
2
3
4
2
a
，
解得
2
a
，
∴此抛物线的解析式为：
2
4 ²
y
x
；
（2）①∵
2
0
a ＞，
∴所以此抛物线开口向上；
∵
²
y
a x
h
顶点为
,0
h
，对称轴为x
h
，
∴此抛物线顶点坐标是
4,0
；对称轴是
4
x ；
②∵此抛物线开口向上，对称轴是
4
x ，
∴当
4
x
＜
时，y 随x 的增大而减小；
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③∵
2
0
a ＞，顶点坐标是
4,0
，
∴当
4
x
时，函数有最小值为0 ；
故答案为：①向上；
4,0
；
4
x ；②
4
＜
；③
4
，小，0 ．
18．（25-26 九年级下·广东深圳·开学考试）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式．
(1)抛物线的顶点为
3, 1
，与y 轴的交点是
0, 4
；顶点式：___________；
(2)抛物线与x 轴交于点
1,0
M
，
2,0
N
，且经过点
12, ；一般式：___________；
(3)与抛物线
2
3
y
x
形状相同，开口方向相反，顶点坐标是
5,0
的抛物线；顶点式：___________；
(4)将抛物线
2
2
1
y
x
x
先绕原点旋转180，再向下平移5 个单位长度得到的新抛物线；顶点式：
___________；
(5)将抛物线
2
y
x
先向下平移2 个单位长度，再沿直线=
3
y
翻折后的抛物线．一般式：___________．
【答案】(1)
2
1
3
1
3
y
x
(2)
2
2
y
x
x
(3)
2
3
5
y
x
(4)
2
1
3
y
x
(5)
2
4
y
x
【分析】（1）设抛物线的顶点式为
2
3
1
0
y
a x
a
，再代入
0, 4
计算即可得出结果；
（2）设抛物线的解析式为
1
2
0
y
a x
x
a
，再代入
1,2 计算即可得出结果；
（3）由题意可得所求抛物线
3
a
，再结合顶点式的特征即可得出结果；
（4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为
2
1
2
y
x
，
再由平移的性质即可得出结果；
（5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为
2
2
y
x
，再由折叠的性质得出抛物线
2
2
y
x
沿直线
=
3
y
翻折后的顶点坐标为
0, 4
，开口方向相反，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为
3, 1
，
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∴设抛物线的顶点式为
2
3
1
0
y
a x
a
，
∵抛物线与y 轴的交点是
0, 4
，
∴
2
0
3
1
4
a
，
解得：
1
3
a
，
∴
2
1
3
1
3
y
x
；
（2）解：∵抛物线与x 轴交于点
1,0
M
，
2,0
N
，
∴设抛物线的解析式为
1
2
0
y
a x
x
a
，
∵抛物线过点
1,2 ，
∴
1 1
1 2
2
a
，
∴
1
a ，
∴
2
1
2
2
y
x
x
x
x
；
（3）解：∵所求抛物线与抛物线
2
3
y
x
形状相同，开口方向相反，
∴所求抛物线
3
a
，
∵所求抛物线顶点坐标是
5,0
，
∴
2
3
5
y
x
；
（4）解：∵
2
2
2
1
1
2
y
x
x
x
，
∴将抛物线
2
2
1
y
x
x
先绕原点旋转180，得到的抛物线的解析式为
2
1
2
y
x
，
∴再向下平移5 个单位长度得到的新抛物线为
2
1
3
y
x
；
（5）解：将抛物线
2
y
x
先向下平移2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为
2
2
y
x
，
∵抛物线
2
2
y
x
的顶点坐标为
0, 2
，
∴抛物线
2
2
y
x
沿直线=
3
y
翻折后的顶点坐标为
0, 4
，开口方向相反，
∴翻折后的抛物线的解析式为
2
2
0
4
4
y
x
x
．
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19．（25-26 九年级上·宁夏中卫·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
与x 轴交于,
A B 两点，其中点A 的坐标为
3,0
，与y 轴交于点C ，点
2, 3
D
在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2)顶点为
1, 4
，对称轴为直线
1
x
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式．
（1）由待定系数法，将
3,0
A
、
2, 3
D
代入抛物线表达式解方程组即可得到答案；
（2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标．
【详解】（1）解：
抛物线
2
y
x
bx
c
过
3,0
A
、
2, 3
D
，
9
3
0
4
2
3
b
c
b
c
，
解得
2
3
b
c
，
∴抛物线的表达式为
2
2
3
y
x
x
；
（2）解：
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
，
∴顶点为
1, 4
，对称轴为直线
1
x ．
题型05
二次函数的图象平移问题
20．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线
2
8
15
y
x
x
向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度
后，得到的抛物线解析式是（
）
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A．
2
1
3
y
x
B．
2
7
3
y
x
C．
2
1
1
y
x
D．
2
7
1
y
x
【答案】C
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最
后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变．
【详解】解：∵
2
2
8
15
4
1
y
x
x
x
，
∴原抛物线的顶点坐标为
4, 1
，
∵将顶点向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度，
∴平移后顶点的横坐标为4
3
1
，纵坐标为1
2
1
，
即新顶点坐标为
1,1
，
∵抛物线平移后二次项系数不变，
∴平移后抛物线的解析式为
2
1
1
y
x
．
21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线
2
3
2
y
x
先向左平移2 个单位，再向
上平移6 个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（
）
A．
2,6
B．
2,8
C．
2, 8
D．
2, 8
【答案】B
【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出
顶点坐标即可．
【详解】解：∵原抛物线解析式为
2
3
2
y
x
，根据平移法则，向左平移2 个单位，再向上平移6 个单位，
∴新抛物线解析式为
2
3(
2)
2
6
y
x
，
整理得
2
3(
2)
8
y
x
，
∴平移后抛物线的顶点坐标为
2,8
．
22．将抛物线
2
1
3
2
y
x
x
向下平移1 个单位，再向右平移4 个单位，求所得抛物线的开口方向、对称
轴和顶点坐标．
【答案】开口方向向下，对称轴为直线
3
x
，顶点坐标为
5
3, 2
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【分析】本题先将原抛物线配方化为顶点式，再利用抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”
得到平移后抛物线的顶点式，根据二次项系数判断开口方向，从顶点式直接得到对称轴和顶点坐标．
【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式：
2
2
2
2
1
1
1
1
1
7
3
2
3
(
1)
3
(
1)
2
2
2
2
2
2
y
x
x
x
x
x
x
抛物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为
1
0
2
，开口方向向下．
根据平移规则，向下平移1 个单位，再向右平移4 个单位后，顶点坐标变化为：横坐标1 4
3
，纵坐标
7
5
1
2
2
，即新顶点坐标为
5
3, 2
．
平移后抛物线的顶点式为
2
1
5
(
3)
2
2
y
x
，可得对称轴为直线
3
x
．
因此所得抛物线开口向下，对称轴为直线
3
x
，顶点坐标为
5
3, 2
．
题型06
与几何的综合问题
23．（2023·浙江台州·模拟预测）已知二次函数
2
y
a x
m
n
经过点
1
2
2,
8,
y
y
，
，若
1
2
y
y
，则下列说
法正确的为（
）
A．当
0
a
时，
5
m
B．当
0
a
时，
3
m
C．当
0
a
时，
3
m
D．当
0
a
时，
3
m
【答案】D
【分析】根据解析式可得对称轴，当
0
a
时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当
0
a
时，
函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据
1
2
y
y
讨论求解即可．
【详解】解：∵二次函数的解析式为
2
y
a x
m
n
，
∴对称轴为直线x
m
，
当
0
a
时，则函数图象开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵二次函数
2
y
a x
m
n
经过点
1
2
2,
8,
y
y
，
，
1
2
y
y
，
∴
2
8
m
m
，
∴
2
2
2
8
m
m
，
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∴
2
2
4
4
16
64
m
m
m
m
，
解得
3
m
；
当
0
a
时，则函数图象开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵二次函数
2
y
a x
m
n
经过点
1
2
2,
8,
y
y
，
，
1
2
y
y
，
∴
2
8
m
m
，
∴
2
2
2
8
m
m
，
∴
2
2
4
4
16
64
m
m
m
m
，
解得
3
m
．
24．（25-26 九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数
2
y
2( x
1)
3
的图象上有三个不同的点
1,
A x m ，
1
2,
B x
x n
，
2,
C x m ，则n 的值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，求出点B 的横坐标，再代入函数解
析式计算n 即可．
【详解】解：
二次函数
2
2
1
3
y
x
的对称轴为直线
-1
x
，
点
1,
A x m 和
2,
C x m 纵坐标相同，
A
、C 两点关于抛物线对称轴对称，
可得
1
2
1
2
x
x
，
即
1
2
2
x
x
，
点B 的横坐标为
1
2
2
x
x
，
将
2
x - 代入函数解析式得：
2
2
2 1
3
2 1 3
5
n
．
25．（25-26 九年级下·河北沧州·阶段检测）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函
数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点
0,2
A
，点
2,0
C
，则互异二次函数
2
y
x
m
m
的图象与正方形OABC 有交点时，m 的最大值和最小值分别是（
）
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A．4，1
B．5
17
2
，1
C．4，0
D．5
17
2
，1
【答案】D
【分析】由题意可得，互异二次函数
2
y
x
m
m
的顶点为
,
m
m
在直线y
x
上运动，结合正方形的
性质可得
2,2
B
，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过
点A ，再逐渐经过点O，点B ，点C ，最后在经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O、
点B 和点C ，故只需要算出当函数经过点A 以及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．
【详解】解：如图：由题意可得，互异二次函数
2
y
x
m
m
的顶点为
,
m
m
在直线y
x
上运动，
∵在正方形OABC 中，点
0,2
A
，点
2,0
C
，
∴
2,2
B
，
从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A ，再逐渐经过
点O，点B ，点C ，最后在经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O、点B 和点C ，
∴只需要算出当函数经过点A 以及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值，
当互异二次函数
2
y
x
m
m
经过点
0,2
A
时，
2
0
2
m
m
，
解得
2
m
或
1
m ，
当互异二次函数
2
y
x
m
m
经过点
2,2
B
时，
2
2
2
m
m
，
解得：
5
17
2
m
或
5
17
2
m
，
∴互异二次函数
2
y
x
m
m
的图象与正方形OABC 有交点时，m 的最大值和最小值分别是5
17
2
，1
．
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26．（25-26 九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数
2
(
)
y
x
m
n
（m，n 为常数）的图象经过点
(3,2)
A
．
(1)将该函数图象向右平移4 个单位后仍过点A，则m ______；
(2)当0
2
m
时，求n 的取值范围；
(3)当0
2
x
时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______．
A．M 随m 的增大而增大
B．M 随m 的增大而减小
C．M 随m 的增大先增大后减小
D．M 随m 的增大先减小后增大
【答案】(1)1
(2) 7
1
n
(3)A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二
次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据题意，得出关于m 的方程，据此进行求解即可；
（2）根据题意，结合m 的范围进行计算即可求n 的取值范围；
（3）对m 的取值范围进行分类讨论，据此进行判断即可．
【详解】（1）解：将二次函数
2
(
)
y
x
m
n
的图象向右平移4 个单位后得到函数
2
(
4)
y
x
m
n
，
点
(3,2)
A
平移后对应点的坐标为
7,2 ，
新图象对称轴是直线
3
7
5
2
x
，顶点坐标是
5,n ；
4
5
m
，
1
m ，
故答案为：1；
（2）当0
2
m
时，
0
m
时，
2
y
x
n
，
将
(3,2)
A
代入，2
9
n
，
7
n
，
2
m
时，
2
2
y
x
n
，
将
(3,2)
A
代入，
2
2
3
2
n
，
1
n
，
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n 的取值范围为7
1
n
；
（3）解：因为函数
2
y
x
m
n
的对称轴为直线x
m
且开口向上，
所以当0
2
x
时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标．
当
1
m 时，
2
2
M
m
n
；
当
1
m 时，
2
0
M
m
n
，
又因为
2
2
3
n
m
，
所以当
1
m 时，
2
2
2
2
3
2
3
M
m
m
m
，
则M 随m 的增大而增大；
当
1
m 时，
2
2
2
3
6
7
M
m
m
m
，
所以M 随m 的增大而增大，所以A 选项符合题意．
故答案为：A．
27．（25-26 九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数
2
(
2)
1(
0)
y
a x
a
(1)若该函数的图象经过点(0,1)求二次函数的解析式；
(2)若点
1
,
M m y
和
2
3,
N m
y
是该函数图象上的两个点
①当
1
2
y
y
时，求m 的取值范围；
②若M、N 两点分别在对称轴的两侧，当
3
m
x
m
时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a 的
取值范围____________．
【答案】(1)
2
1
1
2
2
x
y
(2)①
1
2
m
；②1
4
9
9
a
【分析】（1）将点
01, 代入
2
2
1
y
a x
，用待定系数法求解即可；
（2）①将
1
,
M m y
和
2
3,
N m
y
代入得
2
2
1
2
2
1
1
1
y
a m
y
a m
，
，由
1
2
y
y
得：
2
2
2
1
1
1
a m
a m
，再求解即可；
②因为点M 和N 在对称轴
2
x
的两侧，所以：
2
3
m
m
，解得1
2
m
．在
3
m
x
m
上，函数在
2
x
处取得最小值1
．最大值与最小值之差为1，所以最大值为0，且最大值在端点x
m
或
3
x
m
处取
得．再分类讨论求解即可．
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【详解】（1）解：将点
01, 代入
2
2
1
y
a x
得：
2
1
0
2
1
4
1
a
a
解得
1
2
a
，
所以二次函数解析式为
2
1
1
2
2
x
y
；
（2）解：①点
1
,
M m y
和
2
3,
N m
y
在图象上，则：
2
2
1
2
2
1
1
1
y
a m
y
a m
，
，
由
1
2
y
y
得：
2
2
2
1
1
1
a m
a m
，
两边消去1
并除以正数a 得：
2
2
2
1
m
m
，
展开得
2
2
4
4
2
1
m
m
m
m
，化简得：4
4
2
1
m
m
，
6
3
m
，
1
2
m
，
所以m 的取值范围是
1
2
m
；
②因为点M 和N 在对称轴
2
x
的两侧，所以：
2
3
m
m
，
解得1
2
m
．
在
3
m
x
m
上，函数在
2
x
处取得最小值1
．最大值与最小值之差为1，
所以最大值为0，且最大值在端点x
m
或
3
x
m
处取得．
情况一：当x
m
时取得最大值0 则：
2
2
1
0
a m
，
解得
2
1
2
a
m
．同时，当
3
x
m
时函数值不超过0：
2
1
1
0
a m
，
代入a 得：
2
2
1
1
2
m
m
，
因为
2
2
0
m
，两边乘以
2
2
m
得：
2
2
1
2
m
m
展开化简得6
3
m
，
即
1
2
m
．
结合1
2
m
，得
1
1
2
m
．
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此时
2
1
2
a
m
，当m 从1
增大到1
2 时，a 从1
9 增大到4
9 （因为
1
m
且
1
2
m
可取），
所以1
4
9
9
a
．
情况二：当
3
x
m
时取得最大值0 则：
2
1
1
0
a m
，
解得
2
1
1
a
m
．
同时，当x
m
时函数值不超过0：
2
2
1
0
a m
，
代入a 得：
2
2
2
1
1
m
m
，
因为
2
1
0
m
，两边乘以
2
1
m
得：
2
2
2
1
m
m
，
展开化简得6
3
m
，
即
1
2
m
．
结合1
2
m
，得1
2
2
m
．
此时
2
1
1
a
m
，当m 从1
2 增大到2 时，a 从4
9 减小到1
9 （因为
2
m
且
1
2
m
可取），
所以1
4
9
9
a
．
综合两种情况，a 的取值范围是1
4
9
9
a
．
故答案为：1
4
9
9
a
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论
是解答本题的关键．
33．（2025 九年级上·江苏无锡·专题练习）若二次函数
2
2
y
x
m
，当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，则m
的取值范围是（
）
A．
1
m
B．
1
m
C．
1
m
D．
1
m
【答案】C
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【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的开口方向与对称轴，结合增减性确定
对称轴的位置．
先判断二次函数的开口方向，确定其增减性与对称轴的关系；再根据“
1
x 时y 随x
增大而减小”的条件，得出对称轴与
1
x 的位置关系，进而求出m 的取值范围．
【详解】解：二次函数
2
2(
)
y
x
m
=
-
，其二次项系数2
0
，故抛物线开口向上．
∵开口向上的二次函数，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，且该函数的对称轴为x
m
，
又∵当
1
x 时，y 随x 的增大而减小，
∴对称轴x
m
需满足
1
m ．
故选：C．
34．（2026·江苏南京·三模）若二次函数
2
y
x
m
m
( m 为常数)的图像与x 轴有两个不同的交点，则该函
数图像的顶点在(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出m 的取值范围，最后根据坐标符号判断
顶点所在象限．
【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式
2
(
)
y
x
m
m
，
∴函数顶点坐标为
,
m m
．
∵二次函数图像与x 轴有两个不同交点，将解析式展开得
2
2
2
y
x
mx
m
m
，
∴判别式
2
2
Δ
(2 )
4 1 (
)
4
0
m
m
m
m
，
解得
0
m
．
∵
0
m
，
∴
0
m
，顶点横坐标为正，纵坐标m 为负，
∴顶点坐标在第四象限．
35．
（2026·吉林长春·模拟预测）已知
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
是抛物线
2
y
x
c
上的两点．若
1
2
0
x
x
且
1
2
x
x
，
则
1y ________
2y ．（填“ ”、“”或“ ”）
【答案】
【分析】根据点在抛物线上得到
1y 与
2y 的表达式，对
1y 和
2y 作差，结合已知条件
1
2
0
x
x
和
1
2
x
x
判断差
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的符号，即可比较
1y 和
2y 的大小．
【详解】解：∵
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
是抛物线
2
y
x
c
上的两点，
∴
2
1
1
y
x
c
，
2
2
2
y
x
c
，
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
x
c
x
c
x
x
x
x
x
x
，
∵
1
2
x
x
，
∴
1
2
0
x
x
，
又∵
1
2
0
x
x
，
∴
1
2
1
2
0
x
x
x
x
，即
1
2
0
y
y
，
∴
1
2
y
y
．
故答案为：．
36．（25-26 九年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，已知抛物线
2
4
y
x
．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）；
(2)该抛物线
2
4
y
x
可由抛物线
2
y
x
向___________平移___________个单位得到；
(3)当1
2
x
时，y 的取值范围是___________．
【答案】(1)见解析
(2)上；4
(3)0
4
y
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解
题的关键．
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（1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为
0,4 ，经过点
1,3
，
1,3 ，
2,0
，
2,0 ，即可
画出大致图象；
（2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可；
（3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为
0,4 ，则离对称轴越远，函数值越
小，据此可确定
2
x
时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为
2
4
y
x
，
该抛物线的顶点坐标为
0,4 ，开口向下，
令
0
y
，则
2
x ，即该抛物线经过点
2,0
和点
2,0 ，
令
3
y
，则
1
x ，即该抛物线经过点
1,3
和
1,3 ，
∴此抛物线的大致图象如下图所示：
（2）解：抛物线
2
4
y
x
可由抛物线
2
y
x
向上平移4 个单位可得到．
故答案为：上，4．
（3）解：∵抛物解析式为
2
4
y
x
，
∴抛物线开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为
0,4 ，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵
2
0
2
0
1
1
，
∴当1
2
x
，且
2
x
时，函数有最小值，最小值为
2
2
4
0
，
又∵顶点坐标为
0,4 ，即当
0
x
时，函数有最大值，最大值为4，
∴当1
2
x
时，0
4
y
．
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37．（25-26 九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为A ，且与y 轴交于点B ．
(1)求A ，B 两点的坐标；
(2)若点C 为点B 关于对称轴对称的点，点P 在抛物线上且在第一象限内，且
8
PBC
S
，求点P 的坐标．
【答案】(1)
1,0
A
，
0,2
B
(2)
1
5,10
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质：
（1）根据二次函数
2
2
1
y
x
的性质解答即可；
（2）设点P 的坐标为
,
,
0,
0
p
p
p
p
x
y
x
y
，根据抛物线的对称性可求出点C 的坐标，再由
8
PBC
S
，即
可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为A ，
∴点
1,0
A
，
当
0
x
时，
2
2 0 1
2
y
，
∴点
0,2
B
；
（2）设点P 的坐标为
,
,
0,
0
p
p
p
p
x
y
x
y
，
∵
2
2
1
y
x
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x ，
∵点C 为点B 关于对称轴对称的点，点
0,2
B
，
∴点
2,2
C
，
∴
2
BC
，
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∵
8
PBC
S
，
∴
1
2
8
2
p
BC
y
，
即
1
2
2
8
2
p
y
，
解得：
10
p
y
，
∵点P 在抛物线上，将
10
p
y
代入抛物线
2
2
1
y
x
得，
2
2
1
10
x
，
解得：
1
5
x
，
∵在第一象限内，
∴
1
5
x
，
∴点P 的坐标为
1
5,10
．
38．
（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线．如
果抛物线
2
1
2
:
C
y
x
x
与抛物线
2
2 :
C
y
x
h
b
是关于y 轴的对称曲线，则h
b
的值为（
）
A．3
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于y 轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶
点关于y 轴对称，先求出
1
C 的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到h 和b 的值，即可计算出结果
【详解】解：
抛物线
2
1 :
2
C
y
x
x
与抛物线
2
2 :
C
y
x
h
b
是关于y 轴的对称曲线，
二者开口大小方向一致，顶点坐标关于y 轴对称，
对
1
C 配方得
2
2
2
(
1)
1
y
x
x
x
，
1
C
的顶点坐标为
1, 1
，
点
1, 1
关于y 轴对称的点的坐标为
1, 1
，即
2
C 的顶点坐标为
1, 1
，
又
2
C 的顶点式为
2
(
)
y
x
h
b
，其顶点坐标为
,h b ，
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1
h
，
1
b ，
1
1
2
h
b
39．（25-26 九年级上·江苏宿迁·期末）当1
3
x
时，二次函数
2
2
(
)
1
y
x
m
m
的最大值是5，则m 的
值为______．
【答案】2 或
5
2
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需
结合对称轴位置与1
3
x
的关系分类讨论．
【详解】函数
2
2
(
)
1
y
x
m
m
的图象开口向下，对称轴为直线x
m
，顶点坐标为
2
,
1
m m
，
当1
3
m
≤
≤时，最大值在顶点处，则
2
1
5
m
，
解得
2
m
或
2
m - （舍去），
2
m
；
当
1
m
时，在1
3
x
时，y 随x 的增大而减小，
最大值在
1
x 处取得，即
1
2
5
y
m
，
解得
5
2
m
，且
5
1
2
，符合条件；
当
3
m
时，在1
3
x
时，y 随x 的增大而增大，
最大值在
3
x
处取得，即
3
6
8
5
y
m
，
解得
13
6
m
，但13
3
6
，不符合
3
m
，故舍去；
因此m 的值为2 或
5
2
．
40．（25-26 九年级上·浙江温州·自主招生）定义
max
,
a a
b
a b
b a
b
，已知函数
2
max 2
1
f x
x
ax
b
，
，其中
0
a
，若
f x 的最小值为1，则a
b
_________．
【答案】
1
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合设
2
1
g x
x
，
2
h x
ax
b
，可证明当0
1
x
时，
1
g x ，则当0
1
x
时，
2
h x
ax
b
的值一定要大于或等于1，再根据二次函数的增减性推出
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0
1
1
h
b
a
b
，结合
f x 的最小值为1 确定
1
1
f
，据此可得答案．
【详解】解：设
2
1
g x
x
，
2
h x
ax
b
，
当
1
2
x
时，
2
1
2
1
g x
x
x
，
当
1
2
x
时，
2
1
g x
x
，
∴当
1
2
x
，
2
1
g x
x
随x 增大而减小，当
1
2
x
时，
2
1
g x
x
随x 增大而增大；
当
0
x
时，
2
1
1
g x
x
，当
1
x 时，
2
1
1
g x
x
，
∴当0
1
x
时，
1
g x ；
∵
0
a
，
∴
2
h x
ax
b
的图像开口向下，
∴当
0
x
时，函数
2
h x
ax
b
有最大值，最大值为b；
∵
f x 的最小值为1，
∴当0
1
x
时，
2
h x
ax
b
的值一定要大于或等于1，
∵函数
2
h x
ax
b
开口向下，对称轴为y 轴，
∴当0
1
x
时，
h x 的值随x 的增大而减小，
∴当
1
x 时，
1
h x
a
b
，且
0
1
1
h
b
h
a
b
，
又∵
f x 的最小值为1，且当
0
x
或
1
x 时，
1
g x ，
∴
1
1
f
，即1
1
h
a
b
，
故答案为：1．
41．（2025·上海·一模）如果抛物线
1
C 的顶点在抛物线
2
C 上时，抛物线
2
C 的顶点也在抛物线
1
C 上，此时我们
称抛物线
1
C 与
2
C 是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线
2
2
1
y
x
是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达
式可以是______（只需写出一个）．
【答案】
2
2
4
1
y
x
x
（答案不唯一）
【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据“互为关联”的定义，需找到另一抛物线，其顶点在给定抛物线
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2
2
1
y
x
上，且给定抛物线的顶点也在该抛物线上，通过设另一抛物线的顶点坐标，代入条件求解即可．
【详解】解：给定抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为
0, 1
，
设另一抛物线方程为
2
y
a x
m
n
，则顶点坐标为
,
m n ，
根据题意，
2
2
1
n
m
，
将点
0, 1
代入得
2
1
0
a
m
n
，即
2
1
am
n
，
将
2
2
1
n
m
代入得
2
2
1
2
1
am
m
，整理得
2
0
2
m
a
，
由于顶点不同，则
0
m
，故
2
0
a
，即
2
a ，
取
1
m ，则
2
2 1
1 1
n
，
故另一抛物线可以为
2
2
1
1
y
x
，即
2
2
4
1
y
x
x
．
故答案为：
2
2
4
1
y
x
x
（答案不唯一）．
42．已知点
P m a
,
在抛物线
2
1
y
a x
上，且点P 在第一象限内．
(1)求m 的值；
(2)过点P 作PQ
x
∥轴交抛物线
2
1
y
a x
于点Q，若
3
a
，试求点P，Q 与原点O 围成的三角形的面积．
【答案】(1)2
(2)3
【分析】本题考查了点与抛物线的关系，抛物线的对称性及三角形面积公式．
（1）先代入点P 的坐标到抛物线中，根据点P 在第一象限内即可求得m 的值；
（2）先确定抛物线的解析式，再求出点P 和点Q 的坐标，得出PQ 的值，最后利用三角形面积公式即可求
出其面积．
【详解】（1）解：∵点
,
P m a 在抛物线
2
1
y
a x
上，且在第一象限，
∴
0
m
，
∴
2
1
a
a m
可得
2
1
1
m
，解得
2
m
或
0
m
，
∴
2
m
．
（2）解：∵
3
a
，
∴
2,3
P
，抛物线的解析式为
2
3
1
y
x
，
∵PQ
x
∥轴，
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∴点Q 的纵坐标为3，
将
3
y
代入
2
3
1
y
x
，得
2
3
3
1
x
，
解得
2
x
或
0
x
，
∴点Q 的坐标为
0,3 ，
∴
2
PQ
，
∴
1
3
2
3
2
PQO
S
△
．
43．（25-26 九年级上·河南信阳·阶段检测）根据背景素材，探索解决实际问题
素材一
乒乓球发球机的运动路线
如图1 所示，乒乓球台规格约是长为3m ，宽为1.5m 的矩形，球网高度约为
0.15m ．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O 正上方的点P 处．
素材二
如图2 所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M 处，且球的运动
路线是一条形状不变的抛物线，以O 为原点，桌面中轴线所在直线为x 轴，
建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为
2
0.25(
1)
0.64
y
x
．
素材三
如图3 所示，若乒乓球落在中轴线点M 处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当
球与O 点的水平距离为3.2m 时，球的高度为0.42m；当球与O 点的水平距离
为3.6m 时，达到最高点，此时球与桌面的距离是m
h
．
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问题解决
任务一：研究乒乓球着
落点问题
（1）点M 的坐标为__________；
任务二：研究乒乓球反
弹后的最大高度
（2）求h 的值；
任务三：研究乒乓球是
否出界问题
（3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，
此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球落点的坐标；若不能实现，请
说明理由．
【答案】
（1）
2.6,0
M
（2）h 的值为0.5
（3）球能落到对方台面上，落球点为
0.6,0
【分析】本题考查二次函数的实际应用与一次函数的解析式，理解题意把函数问题转化为方程问题是解题
关键．
（1）将
0
y
代入解析式进行计算即可；
（2）利用待定系数法求出反弹后的抛物线解析式，求出顶点坐标，h 就是顶点的纵坐标；
（3）根据（2）中求得的顶点坐标和擦网点的坐标计算出直线的解析式，进而算出球着落点的坐标，并判
断是否出界．
【详解】解：（1）将
0
y
代入
2
0.25(
1)
0.64
y
x
，得，
2
0.25(
1)
0.64
0
x
，
解得
1
2.6
x
，
2
0.6
x
（负值舍去），
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∴
2.6,0
M
；
（2）设反弹后抛物线解析式为
2
(
3.6)
y
a x
h
，
由题意可知，反弹后的抛物线过点
2.6,0 ，
3.2,0.42 ，
将
2.6,0 ，
3.2,0.42 代入解析式，得，
2
2
0.42
(3.2
3.6)
0
(2.6
3.6)
a
h
a
h
，
解得，
0.5
0.5
a
h
，
∴
2
0.5(
3.6)
0.5
y
x
，顶点坐标为
3.6,0.5 ，
∴
0.5
h
；
（3）能．理由如下：
由题意可知，反弹后最高点为(3.6,0.5) ，球擦网点为
1.5,0.15 ，
设过这两点的直线解析式为y
kx
b
，依题意得，
3.6
0.5
1.5
0.15
k
b
k
b
，
解得，
1
6
1
10
k
b
，
∴
1
1
6
10
y
x
，
令
0
y
，得1
1
0
6
10
x
，
解得，
0.6
x
，
∴球能落到对方台面上，落球点为
0.6,0 ．
44．（2026·山东德州·二模）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
（a，b，c 为常数，
0
a
，
0
b
）的顶点为P，与y
轴交于点C，O 为坐标原点．
(1)当
2
a
，
4
b ，
3
c 时，则该抛物线顶点P 的坐标为________；
(2)若2
0
a
b
．
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①M 是抛物线上第一象限内一点，设
2,
M
m ，
90
MOP
，且OM
OP
，求c 的值；
②若抛物线与x 轴的一个交点坐标为
3,0 ，点D 在抛物线的对称轴上，当2DC
DP
的最小值为1
3
时，
求a 的值．
【答案】(1)
1, 5
(2)①1；②1
【分析】（1）将
2
a
，
4
b ，
3
c 代入，把抛物线化为顶点式即可；
（2）①过M 点作MN
x
轴于点N，过P 点作PE
x
轴于点E，先证
AAS
MON
OPE
≌
，进而得到
1, 2 ,
2,1
P
M
，再代入抛物线求解；
②过点P 作直线PG 与直线
1
x 成30角，与抛物线的交点为G，交y 轴于点H，过点D 作DQ
PG
，垂
足为Q，连接CD．由
1
2
DC
DP
DC
DQ
CQ
，可知当C，D，Q 三点共线，且CQ
PG
时，
1
2
DC
DP
取得最小值，即2DC
DP
取得最小值，过点P 作直线PG 与直线
1
x 成30角，过点C 作CF
PG
∥
交x 轴
于F，解直角三角形得到F 点坐标为
3 ,0
a
，可求出直线CF 的解析式为
3
3
y
x
a
，再求出直线PG 的
解析式为
3
4
3
y
x
a
，然后根据CH
OH
OC
进行求解．
【详解】（1）解：∵
2
y
ax
bx
c
，
2
a
，
4
b ，
3
c ，
∴
2
2
2
4
3
2
1
5
y
x
x
x
，
∴该抛物线顶点P 的坐标为
1, 5
；
（2）解：①如图1，过M 点作MN
x
轴于点N，过P 点作PE
x
轴于点E．
∵2
0
a
b
，
∴
2
b
a
，
∴
2
2
y
ax
ax
c
，
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∴抛物线的对称轴为直线
1
x ，
∵MN
ON
PE
ON
，
，
∴
90
MNO
OEP
，
∴
90
90
OMN
MON
MON
EOP
，
∴
OMN
POE
，
在
MON
△
和OPE 中，
OMN
POE
MNO
OEP
OM
OP
，
∴
AAS
MON
OPE
≌
，
∴MN
OE
ON
PE
，
，
∵
2,
M
m ，
∴
,
2
MN
OE
m ON
PE
，
∴P 点坐标为
, 2
m
，
∵P 为抛物线的顶点，
∴P 点坐标为
1, 2
P
，
∴
1
m ，
∴M 点坐标为
2,1
M
，
将
1, 2
P
，
2,1
M
代入
2
2
y
ax
ax
c
，得：
2
2
4
4
1
a
a
c
a
a
c
，
解得：
3
1
a
c
，
∴c 的值为1；
②∵
1
2
2
2
DC
DP
DC
DP
，
∴当
1
2
DC
DP
取得最小值时，2DC
DP
的值最小．
由①知
2
b
a
，抛物线的对称轴为直线
1
x ，
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∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为
3,0 ，
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为
1,0
，
∴抛物线的解析式为
2
1
3
2
3
y
a x
x
ax
ax
a
，
∴C 点坐标为
0, 3a
，顶点P 坐标为
1, 4a
，
∵
0
a
，
∴3
0
4
0
3
a
a
OC
a
，
，
，
如图2，过点P 作直线PG 与直线
1
x 成30角，与抛物线的交点为G，交y 轴于点H，过点D 作DQ
PG
，
垂足为Q，连接CD．
在Rt PDQ 中，
1
sin30
2
DQ
PD
PD
，
∴
1
2
DC
DP
DC
DQ
CQ
，
∴当C，D，Q 三点共线，且CQ
PG
时，
1
2
DC
DP
取得最小值，即2DC
DP
取得最小值，
在Rt
CHQ
△
中，
30
CHQ
DPQ
，
∴
1
3
2
2
1
3
2
CH
CQ
，即
1
3
OH
OC
，
过点C 作CF
PG
∥
交x 轴于F，
∴
30
OCF
，
在Rt
OCF
△
中，tan
OF
OCF
OC
，即
3
3
3
OF
a
，
∴
3
OF
a
，即F 点坐标为
3 ,0
a
，
设直线CF 的解析式为
3
y
kx
a
，
∴0
3
3
ak
a
，
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∴
3
k
，
∴直线CF 的解析式为
3
3
y
x
a
，
∵PG
CF
‖
，
∴设直线PG 的解析式为
3
y
x
m
，
把
1, 4
P
a
代入得：4
3
a
m
，
解得：
4
3
m
a
，
∴直线PG 的解析式为
3
4
3
y
x
a
，
∴
4
3
OH
a
，
∴
4
3
3
3
CH
OH
OC
a
a
a
，
∴1
3
3
a
，
∴
1
a ．
45．（25-26 九年级上·甘肃庆阳·期中）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数
2
3
3
4
y
x
的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
(1)函数
2
3
3
4
y
x
的自变量x 的取值范围是____________；
(2)①列表：如表是x，y 的几组对应值，其中m ____________，n ____________；
x
…
4
3
2
1
0
1
2
3
4
…
y
…
9
15
4
0
m
3
n
0
15
4
9
…
②描点：根据表中的数值描点
,x y ，请补充描出点
1,m
，
1,n ；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；
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(3)请观察函数图象，当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围为____________．
(4)若点
,
A e p ，
,
B f q 均在该函数图象上，且|
| | | 2
f
e
，则p 与q 的大小关系是____________．
【答案】(1)全体实数
(2)①9
4 ，9
4 ；②图象见详解；③图象见详解
(3) 2
0
x
或
2
x
(4) p
q
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据函数解析式可直接进行求解；
（2）把
1
x 或
1
x 代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作
图；
（3）根据函数图象可直接进行求解；
（4）由图象易得点A、B 在2
2
x
之间的函数图象上，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由
2
3
3
4
y
x
可知：自变量为全体实数；
故答案为全体实数；
（2）解：①当
1
x 时，则有
2
3
9
1
3
4
4
m
；
当
1
x 时，则有
2
3
9
1
3
4
4
n
；
故答案为9
4 ，9
4 ；
②所描点
1,m
，
1,n 如图所示；
③所作函数图象如图所示：
小学
初中
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（3）解：由（2）中函数图象可知：当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围为2
0
x
或
2
x
；
故答案为2
0
x
或
2
x
；
（4）解：∵点
,
A e p ，
,
B f q 均在该函数图象上，且|
| | | 2
f
e
，
∴根据（2）中函数图象可知：点A、B 在2
2
x
之间的函数图象上，
由图象可知在2
2
x
之间的函数图象开口向下，对称轴为直线
0
x
，
∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大，
∴当0 |
| | | 2
f
e
时，p 与q 的大小关系是p
q
；
故答案为p
q
．
46．（25-26 九年级上·江苏南京·期末）课本内容再探索（一）
课本中研究了二次函数
2
(
1)
2
y
x
的图像与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下：
函数图像
图像特征与函数性质
推理论证
①
函数的最大（小）值
当
1
x 时，y 有最小值，最小
值为2．
∵
2
1
0
x
（当且仅当
1
x 时，
等号成立），
∴
2
1
2
2
x
．
∴当
1
x 时，y 有最小值，最小
值为2．
函数的变化趋势
当
1
x
时，y 随x 的增大而减
任取图像上两点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
．
当
1
2
1
x
x
时，③……
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小；
当
1
x 时，y 随x 的增大而增
大．
当
1
2
1
x
x
时，同理可得当
1
x 时，y 随x 的增大而增大．
图像的对称性
图像关于②对称．
④
(1)在①处画出该函数的图像，并填写②处的空格；
(2)③处的论证思路如下，将其补充完整；
(3)写出④处的论证图像对称性的过程．
【答案】(1)图见解析，直线
1
x
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．
（1）列表、描点、连线，即可作出函数图像，根据函数图像知函数图像关于直线
1
x 对称；
（2）根据图示求解即可；
（3）分别求得横坐标
1
x
t
和
1
x
t
时y 的值，得到点
1
,t y
和
1
,t y
关于直线
1
x 对称，据
此即可证明结论成立．
【详解】（1）解：由题意得
2
1
2
y
x
，
列表
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x
3
2
1
0
1
y
6
3
2
3
6
描点、连线，函数图像如图所示：
观察图像得：图像关于直线
1
x 对称．
②处的空格为直线
1
x ；
（2）解：∵
2
1
2
y
x
图像是任意两点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x y
，
∴
2
1
1
1
2
y
x
，
2
2
2
1
2
y
x
，
∴
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
y
y
x
x
x
x
x
x
，
∵
1
2
1
x
x
，
∴
2
1
0
x
x
，
1
2
2
x
x
，
∴
2
1
0
y
y
，即
2
1
y
y
，
∴当
1
2
1
x
x
时，y 随x 的增大而减小；
（3）证明：任取一个点的横坐标
1
x
t
，对应点的坐标为
1
,
P
t y
，
∴
2
2
1
1
2
2
y
t
t
，
而
1
x
t
时，
2
2
2
1
1
2
2
2
y
t
t
t
，
∴点
1
,t y
和
1
,t y
关于直线
1
1
1
2
t
t
x
对称，
∴
2
1
2
y
x
的图像关于直线
1
x 对称．
47．（25-26 九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系
数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线
2
0.5
y
x
与
2
2
y
x
是共生抛物线
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已知抛物线
2
1
2
2
1
3
C
y
x
：
的顶点是点P ，它的共生抛物线
2
C 的顶点是Q ；
(1)点P 的坐标是___________，抛物线
2
C 的函数关系式是___________．
(2)当x 的取值范围是___________时，抛物线
1
C 与
2
C 的函数值都随x 的增大而减小．
(3)直线y
m
与抛物线
1
2
C
C
、
均有两个交点，这些交点从左到右分别是A
B
C
D
，，，
．
①求m 的取值范围是___________；
②在抛物线
2
C 上是否存在一点K ，使
KPQ
△
是以PQ 为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出K 点的
坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2,1
；
2
3
2
1
2
y
x
(2) 2
2
x
(3)①1
1
m
；②
0,5
【分析】（1）根据抛物线
1
C 的解析式可得点P 的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线
2
C 的顶点
坐标和二次项系数，据此可得答案；
（2）根据（1）所求分别求出抛物线
1
C 和
2
C 的函数值随x 的增大而减小时x 的取值范围即可得到答案；
（3）①求出直线y
m
经过点Q 和点P 时m 的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P 为
直角顶点和点Q 为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K 的坐标，再验证点K 是否在抛
物线
2
C 上即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
1
2
2
1
3
C
y
x
：
的顶点是点P ，
∴点P 的坐标为
2,1
，
∵抛物线
2
1
2
2
1
3
C
y
x
：
的共生抛物线
2
C 的顶点是Q ，
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∴
2, 1
Q
，且抛物线
2
C 的二次项系数为
1
3
2
2
3
，
∴抛物线
2
C 的解析式为
2
3
2
1
2
y
x
；
（2）解：∵抛物线
1
C 的解析式为
2
2
2
1
3
y
x
，且
2
0
3
，
∴抛物线
1
C 的开口向下，对称轴为直线
2
x ，
∴当
2
x ，
1
C 的函数值随着x 的增大而减小；
∵抛物线
2
C 的解析式为
2
3
2
1
2
y
x
，且3
0
2
，
∴抛物线
2
C 的开口向上，对称轴为直线
2
x
，
∴当
2
x
，
2
C 的函数值随着x 的增大而减小；
综上所述，当2
2
x
时，抛物线
1
C 与
2
C 的函数值都随x 的增大而减小；
（3）解：①如图所示，
当直线y
m
恰好经过点P 时，则
1
m ，
当直线y
m
恰好经过点Q 时，则
1
m ，
由函数图象可知，当1
1
m
时，直线y
m
与抛物线
1
2
C
C
、
分别有两个不同的交点；
②如图所示，当点P 为直角顶点时，
过点P 作RT
y
∥轴，过点K 作KR
TR
⊥
，过点Q 作QT
TR
⊥
，
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∴
90
PRK
QTP
∠
∠
，
由题意得，
90
PK
PQ
KPQ
，∠
，
∴
90
RPK
TPQ
RPK
RKP
∠
∠
∠
∠
，
∴
TPQ
RKP
∠
∠
，
∴
AAS
TPQ
RKP
≌
，
∴RK
PT
RP
QT
，
，
∵
2,1
2, 1
P
Q
，
，
∴
1
1
2
2
2
4
RK
PT
RP
QT
，
，
∴
0,5
K
，
在
2
3
2
1
2
y
x
中，当
0
x
时，
2
3 0
2
1
5
2
y
，
∴点
0,5
K
在抛物线
2
3
2
1
2
y
x
上，此时符合题意；
如图所示，当点Q 为直角顶点时，同理可得
4,3
K
，
在
2
3
2
1
2
y
x
中，当
4
x
时，
2
3 4
2
1
5
2
y
，
∴点
4,3
K
不在抛物线
2
3
2
1
2
y
x
上，此时不符合题意；
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综上所述，点K 的坐标为
0,5 ．
48．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线
2
1
3
4
2
y
x
的顶点坐标是（
）
A．
3,4
B．
3,4
C．
3, 4
D．
3, 4
【答案】A
【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式
2
(
)
y
a x
h
k
的顶点坐标为
,h k
是
解题关键．
根据二次函数的顶点式
2
(
)
y
a x
h
k
的顶点坐标为
,h k ，直接读取函数中的h 和k 值．
【详解】∵抛物线为
2
1 (
3)
4
2
y
x
，与顶点式
2
(
)
y
a x
h
k
对比，
得
3
h
,
4
k
，
∴顶点坐标为
3,4 ，
故选：A．
49．（2025·四川·中考真题）对于抛物线
2
2
1
3
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为
1,3
C．抛物线的对称轴为直线
1
x
D．当
3
x 时，y 随x 的增大而增大
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式为
2
2
1
3
y
x
，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为
1,3 ，当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
∴A、C 选项不符合题意，B 选项符合题意；
因为当3
1
x
时，y 随x 的增大而减小，故D 选项不符合题意．
故选：B．
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50．（2026·广西·中考真题）二次函数
2
(
20)
26
y
x
的最小值为__________．
【答案】26
【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最
小值．
【详解】解：由二次函数解析式
2
(
20)
26
y
x
可知，该解析式为顶点式，二次项系数
1
0
a
，
因此抛物线开口向上，函数存在最小值，
该二次函数的顶点坐标为
20,26 ，
因此当
20
x
时，二次函数取得最小值26 ．
