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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 28.2.3 关于原点对称点的坐标 （导学案） （1）理解平面内点关于原点对称的坐标变化规律，熟记公式：点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).能 熟练求出任意点关于原点的对称点坐标，能根据两点原点对称的关系求解参数、未知数.掌握在平面直角坐 标系中，作几何图形关于原点对称图形的规范步骤.能精准区分关于x轴、y轴、原点对称的三种坐标变换规 律，避免混淆. （2）通过动手描点、计算对比、小组归纳，经历原点对称坐标规律的推导全过程，培养观察归纳、数形结 合的探究能力.通过例题实操、规范解题，掌握坐标变换类题型的解题思路，提升几何与代数结合的综合应 用能力. （3）感受几何变换与代数运算的内在联系，体会数学的统一性、简洁性.在规律探究和辨析对比中，培养 严谨的数学思维，养成规范解题、规范作图的学习习惯. 重点:掌握点关于原点对称的坐标变化规律并熟练应用，利用坐标规律求对称点坐标、作关于原点对称的几 何图形. 难点:区分x轴、y轴、原点三种对称的坐标规律，避免公式混用；灵活利用原点对称坐标规律解决含参数的 综合计算问题. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1. 旧知复习 （1）提问：点关于x轴、y轴对称的坐标规律是什么？ 关于x轴对称，横不变、纵相反；关于y轴对称，纵不变、横相反. （2）回顾：中心对称的本质是什么？ 图形绕定点旋转180°后与另一图形重合，对应点连线过对称中心且被平分. 2. 设问启思：在平面直角坐标系中，若将一个点绕坐标原点旋转180°，得到它的对称点，横纵坐标会发 生怎样的变化？ 3. 导入课题：今天我们探究中心对称在坐标系中的应用——关于原点对称点的坐标. 【学法指导】 新知自研：自研课本第103-104页的内容 【学法指导】自研课本P103-104 页内容 (一)原点对称坐标规律 活动1. 探究 如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标.A(4， 0)，B(0，-3)，C(2，1)，D(一1, 2)，E(一3，一4).这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 动手实操：学生在坐标系中描出以下各点：A(2,1)、B(-1,3)、C(-2,-2)、D(4,-3)，分别画出各点绕原点 旋转180°后的对称点. 师生共同整理坐标，观察变化规律. 归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y），关于原点的对称点为P'（-x，-y). 口诀：原点对称，横纵全变号. （二）三种对称规律对比辨析 师生共同梳理核心区别，突破易错混淆点： 1. 关于x轴对称：P(x,y)→(x,-y)（横不变，纵变号） 2. 关于y轴对称：P(x,y)→(-x,y)（纵不变，横变号） 3. 关于原点对称：P(x,y)→(-x,-y)（横纵全变号） （三）关于原点对称的点的坐标的应用 问题：利用关于原点对称点，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形，对于一些规 则几何图形，与在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形类似，只要先求出已知图形中的一些特殊点 （如多边形的顶点）关于原点对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于原点对称 的图形. 解决问题：如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出△ABC关于原点对称的图形. 解决问题的依据：直接套用“横纵坐标全部变相反数”的规律即可求解. 具体解决方法：点P(x，y)关于原点的对称点为P'(-x，-y)，因此△ABC的三个顶点A（-4，1)，B（-1，-1)， C（-3，2)关于原点的对称点分别为A'(4，-1)，B'(1，1)，C'(3. -2)，依次连接A'B'，B'C'，C'A'，就可 得到与△ABC关于原点对称的△A'B'C. 【自研自探】 自研课本P103-104 页内容 典型例题 例1.已知点P(a+1,2)与点Q(-3,b-2)关于原点对称，求a、b的值。 【分析】本题为中档综合题型，考查原点对称规律的逆向应用，利用“对称点横、纵坐标分别互为相反数” 列方程求解参数，实现几何规律与代数方程的结合. 【详解】解：∵ 点P与点Q关于原点对称 ∴ 两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数可得方程组： a+1+(-3)=0，2+(b-2)=0 解得：a=2，b=0 答：a的值为2，b的值为0. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 例2.如图， 各顶点的坐标分别为 ， ， ． (1)将 先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到 ，请在平面直角坐标系中画出 ； (2)将 绕点 逆时针旋转 后得到 请在平面直角坐标系中画出 ； (3)若 与 关于原点中心对称，则点 的坐标为________． 【分析】对于（1），根据点的平移规则：横坐标右移加、纵坐标下移减，计算出A、B、C平移后的对应点 坐标，再顺次连接三点得到平移后的三角形． 对于（2），先确定旋转中心，再根据绕定点逆时针旋转 的坐标变换规则，分别计算A、B、C旋转后的对 应点坐标，顺次连接三点得到旋转后的三角形． 对于（3），因为关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以直接根据点A的坐标计算其中心对 称点的坐标． 【详解】（1）解：根据平移规则，点 向下平移4个单位、向右平移1个单位后坐标变为 ， 计算得 各顶点坐标： ， ， ， 在坐标系中描点顺次连线即可得到所求三角形． （2）解：将 各顶点与旋转中心 连接， 将线段绕旋转中心逆时针旋转 ，得到 各顶点坐标： ， 描点顺次连线即可得到 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴ 各顶点坐标为 ， 描点顺次连线即可得到 ， 的坐标为 ． 第二环节 合作探究 1.讨论原点对称坐标的规律？ 2.讨论三种对称的坐标规律？ 3.讨论关于原点对称的点的坐标的应用？ 拓展提升：1.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ． (1)画出 关于原点 对称的 ；（点 、 、 的对应点分别为 、 、 ） (2)将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，画出 并写出点 的坐标．（点 、 的对应点 分别为 、 ）. 【详解】(1)如图所示， 即为所求， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图所示， 即为所求， 课本课堂P104练习 1.（25-26潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ． (1)描出点 ， ， ，并画出 ； (2)将 向右平移4个单位得到 ，再画出 关于点 成中心对称的 ； (3)若 为 边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为 ，则 的坐标为______． 【详解】(1)点 ， ， ， 即为所求， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2) ， 即为所求， （3）解：∵ 为 边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 2．（25-26.河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， （每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的 ； (2)画出 关于原点O成中心对称的 ； (3)将 绕点C逆时针旋转 ，画出旋转后得到的 ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】(1)如图， 为所求 (2)如图， 为所求 (3)如图， 为所求 3．（25-26.阜新期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示 的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上． (1)将 向右平移4个单位长度得到 ，请画出 ； (2)画出 关于点O的中心对称图形 ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)点M、N是x轴上的动点（点M在点N的左边），且 ，直接写出 的最小值____________． 【详解】(1) (2) （3）解：如图，将点 向右平移一个单位得 ，过点 作关于x轴的对称点 ，连接 ， 与x轴交点N， ∴ ， ∴ ， ∴当点 ，N，C三点共线时， 有最小值，最小值为 的长度， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 知识技能：（1）核心规律：点P(x,y)关于原点对称点为P'(-x,-y)，横纵坐标全部变号；（2）核心技能： 能快速求任意点的原点对称坐标、能独立完成坐标系图形原点对称作图；（3）综合能力：能利用原点对称 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 规律列方程，求解参数、未知数；（4）规律辨析：熟记x轴、y轴、原点三类对称坐标变化区别. 思想方法：（1）数形结合思想：将图形180°旋转变换，转化为代数坐标运算，以数解形、以形助数；（2） 特殊到一般思想：通过特殊点坐标探究，归纳出通用坐标变换公式；（3）类比归纳思想：类比坐标轴对称 规律，对比学习原点对称规律，构建系统知识框架. 易错提醒：（1）规律混淆：x轴对称变纵号、y轴对称变横号、原点对称全变号，严禁混用公式；（2）符 号错误：负数、0的对称坐标计算易出错，牢记“互为相反数”；（3）作图误区：必须先求所有顶点对称 坐标，不可凭肉眼大致画图，顶点遗漏、连线混乱；（4）逆向误区：两点关于原点对称，需横、纵坐标分 别互为相反数，单一坐标相反不成立.
