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2022-2023学年北京八中九年级（上）段考数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题．
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与
原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中
心对称图形．
故选：D．
2．若点 A（a+b，1）与点 B（﹣5，a﹣b）关于原点对称，则点 P（a，b）的坐标是
（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）
【答案】A
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的方程组，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a+b，1）与点B（﹣5，a﹣b）关于原点对称，
∴ ，
解得： ，
故点P（a，b）的坐标是（2，3）．
故选：A．
3．如图，△OAB绕点O逆时针旋转75°到△OCD的位置，已知∠AOB＝40°，则∠AOD等
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学科网（北京）股份有限公司于（ ）
A．55° B．45° C．40° D．35°
【答案】D
【分析】首先根据旋转角定义可以知道∠BOD＝75°，而∠AOB＝40°，然后根据图形即
可求出∠AOD．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转75°到△OCD的位置，
∴∠BOD＝75°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝75°﹣40°＝35°．
故选：D．
4．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB＝
3，BC＝4，那么阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】根据矩形的中心对称性，运用中心对称图形的性质，易知阴影面积＝三角形
AOB或COD的面积．
【解答】解：∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，
∴△BOE≌△DOF．
∴阴影面积＝△AOB的面积＝ AB•BC＝3．
故选：D．
5．如图，将△ABC 先向上平移 1 个单位，再绕点 P 按逆时针方向旋转 90°，得到
△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
【答案】D
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方
向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．
【解答】解：如图，
△A′B′C′即为所求，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B
的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小
是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，由等腰三角形的性质可
求∠CDA＝∠CAD＝50°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，
∴∠CDA＝∠CAD＝50°，
∴∠BAD＝80°，
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方
向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接B'B，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
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学科网（北京）股份有限公司∴AC＝A'C，AB＝A'B'，∠A＝∠CA'B'＝60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C＝60°，
∴∠B'A'B＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠ACA'＝∠BCB'＝60°，BC＝B'C，∠CB'A'＝∠CBA＝90°﹣60°＝30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B＝60°，
∵∠CB'A'＝30°，
∴∠A'B'B＝30°，
∴∠B'BA'＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，
∴AB＝12，
∴A'B＝AB﹣AA'＝AB﹣AC＝6，
∴B'B＝6 ，
故选：D．
8．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转
60°得到△BAE，连接ED，若BC＝10，则△AED的周长的最小值是（ ）
A．10 B． C． D．20
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，可证△DBE是等边三角
形，可得BD＝DE＝6，当BD⊥AC时，BD的值最小．由直角三角形的性质可得出答
案．
【解答】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，
∴△DBE是等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司∴BD＝DE＝6，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+BD，
∴BD的值最小时，△AED的周长有最小值，
当BD⊥AC时，BD的值最小．
∵∠C＝60°，
∴BD＝5 ，
∴△AED的周长的最小值是10+5 ．
故选：C．
二、填空题．
9．在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条
件，这个条件可以是 不唯一，可以是： AB ∥ CD 或 AD ＝ BC ，∠ B + ∠ C ＝ 180 ° ，
∠ A + ∠ D ＝ 180 ° 等 ．（只要填写一种情况）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出
相应的条件，得出此四边形是中心对称图形．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴当AD＝BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）
或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）时，或∠B+∠C＝180°或
∠A+∠D＝180°等时，四边形ABCD是平行四边形．
故此时是中心对称图形，
故答案为：AD＝BC或AB∥CD或∠B+∠C＝180°或∠A+∠D＝180°等．
10．时钟从上午8时到中午12时，时针沿顺时针方向旋转了 12 0 度．
【答案】120°．
【分析】根据钟面角的意义和大小计算方法，可算出答案．
【解答】解：从上午8时到中午12时，时针就从指向8，旋转到指向12，共顺时针转了
4个“大格”，
而每个“大格”相应的圆心角为30°，
所以，30°×4＝120°，
故答案为：120°．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（0，2）．将线段AB绕点A顺时
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学科网（北京）股份有限公司针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为 （ 3 ， 1 ） ．
【答案】（3，1）．
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．证明△AOB≌△CHA（AAS），推出OA＝CH＝
1，OB＝AH＝2，可得结论．
【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H．
∵A（1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∵∠AOB＝∠AHC＝∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠BAO＝∠ACH，
在△AOB和∠CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴OA＝CH＝1，OB＝AH＝2，
∴OH＝OA+AH＝1+2＝3，
∴C（3，1），
故答案为：（3，1）．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，若O是正方形ABCD的中心，直角∠MON绕点O旋
转，则∠MON与正方形的边围成的四边形的面积是 4 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】4．
【分析】根据∠DOC＝∠MON＝90°，推出∠EOD＝∠FOC，又有∠OCF＝∠ODE，
OD＝OC，可证△ODE≌△OCF，根据全等三角形的面积相等，将 S四边形OEDF 转化为
S△DOC ，得出与正方形面积S的关系．
【解答】解：连接OD、OC．
∵O为正方形的中心，
∴∠DOC＝ ＝90°
∵∠MON＝90°，
∴∠FOC+∠DOF＝∠EOD+∠DOF＝90°，
∴∠EOD＝∠FOC，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠OCF＝∠ODE＝45°，
在△ODE和△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF（ASA），
∴S△EDO +S△DOF ＝S△FOC +S△DOF ，
即 S四边形OEDF ＝S△DOC ，
故答案为：4．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以
某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是 （ 1 ，﹣ 1 ） ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见试题解答内容
【分析】利用网格特点，作AD和BE的垂直平分线，它们相交于点P，然后写出P点坐
标即可．
【解答】解：如图，将△ABC以P点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，
所以旋转中心的坐标为（1，﹣1）．
故答案为（1，﹣1）．
14．如图所示，已知抛物线C ，抛物线C 关于原点中心对称．如果抛物线C 的解析式为y
1 2 1
＝ （x+2）2﹣1，那么抛物线C 的解析式为 y ＝﹣ （ x ﹣ 2 ） 2 + 1 ．
2
【答案】见试题解答内容
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．
【解答】解：根据题意，﹣y＝ （﹣x+2）2﹣1，得y＝﹣ （x﹣2）2+1．
故答案为：y＝﹣ （x﹣2）2+1．
15．在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为m，OP看作由x轴的正半轴绕原点逆时
针旋转而成，旋转角为 （0°≤ ＜360°），则用[m，a]表示点P的雷达坐标，则点P
α α
（﹣3，3）的雷达坐标为 [ 3 ， 135° ] ．
【答案】[3 ，135°]．
【分析】先计算出点P（﹣3，3）到原点的距离，再求出点P（﹣3，3）与x轴的正半
轴的夹角，然后利用新定义表示出雷达坐标．
【解答】解：点P（﹣3，3）到原点的距离为3 ，
因为点P（﹣3，3）在第二象限的角平分线上，
所以点P（﹣3，3）与x轴的正半轴的夹角为135°，
所以点P（﹣3，3）的雷达坐标为[3 ，135°]．
故答案为：[3 ，135°]．
16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示）把线段AE绕点
A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 1 或 5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上
的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可
知．
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学科网（北京）股份有限公司【解答】解：旋转得到F 点，
1
∵AE＝AF ，AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
1
∴△ADE≌△ABF ，
1
∴F C＝1；
1
旋转得到F 点，同理可得△ABF ≌△ADE，
2 2
∴F B＝DE＝2，
2
F C＝F B+BC＝5．
2 2
三、解答题．
17．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图①，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
（2）在图②中，画出一个与△ABC成中心对称的三角形．
【答案】图形见解答．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角
形；
（2）根据中心对称的性质即可画出一个与△ABC成中心对称的三角形．
【解答】解：（1）如图①，△A′B′C即为所求；
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图②，△A″B″C即为所求．
18．如图，有一张纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你画一条
直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据矩形以及菱形的性质得出它们的中心，进而得出平分面积的直线．
【解答】解：如图所示：NO即为所求，
连接BF，AE，交于点O，连接EC，BD交于点N，
此时过点O的直线平分矩形FABE面积，过点N的直线平分菱形EBCD，
故ON平分这张纸片面积．
19．如图，P为正方形ABCD内一点，且BP＝2，PC＝3，∠APB＝135°，将△APB绕点B
顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，求AP的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】1．
【分析】根据旋转性质可得∠APB＝∠CP'B＝135°、∠ABP＝∠CBP'、BP＝BP'、AP＝
CP'，由∠ABP+∠PBC＝90°知△BPP'是等腰直角三角形，进而根据∠CP'B＝135°可得
∠PP'C＝90°，由此可利用勾股定理即可CP的值，则AP的长也可求出．
【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，
∴∠APB＝∠CP'B＝135°，∠ABP＝∠CBP'，BP＝BP'，AP＝CP'，
∵∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠CBP'+∠PBC＝90°，即∠PBP'＝90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P＝45°，
∵∠APB＝∠CP'B＝135°，
∴∠PP'C＝90°，
∵BP＝2，
∴PP′＝ ＝2 ，
∵PC＝3，
∴CP'＝ ＝ ＝1，
∴AP＝CP′＝1，
故AP的长为1．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得
到△DEC，求AE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，连接AD，由题意得：CA＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD为等边三角
形根据AC＝AD，CE＝ED，得出AE垂直平分DC，于是求出EO＝ DC＝ ，OA＝
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学科网（北京）股份有限公司AC•sin60°＝ ，最终得到答案AE＝EO+OA＝ +
【解答】解：如图，连接AD，
由题意得：CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD＝CA，∠DAC＝∠DCA＝∠ADC＝60°；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝AD＝2
∵AC＝AD，CE＝ED，
∴AE垂直平分DC，
∴EO＝ DC＝ ，OA＝CA•sin60°＝ ，
∴AE＝EO+OA＝ + ．
思考题：
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．
【答案】（1）（0，1）；（2）（3，﹣9a+1）；（3） ＜a≤ ．
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝3，求出b＝﹣6a，进而得出抛物线解析式，最后
将x＝3代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；
（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线
y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），进而判断出x ＜0，x ＞6，得出AB＝|x ﹣x |＞
A B B A
第14页（共17页）
学科网（北京）股份有限公司6，判断出此种情况不符合题意，
②当a＞0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距
离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x＝1时，得出a﹣6a+1≥0，求出
a≤ ，再根据y顶点 ＝﹣9a+1＜0，即可得出答案．
【解答】解：（1）针对于抛物线y＝ax2+bx+1，
令x＝0，则y＝1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，
∴﹣ ＝3，
∴b＝﹣6a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，
当x＝3时，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣9a+1）；
（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，
由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），
∵抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝3，
∴x ＜0，x ＞6，
A B
∴AB＝|x ﹣x |＞6，
B A
∵AB≤4，
∴此种情况不符合题意，
②当a＞0时，抛物线的开口向上，
由（2）知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，
在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，
0），
∵AB≤4，
∴当x＝1时，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，
第15页（共17页）
学科网（北京）股份有限公司∴a≤ ，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴y顶点 ＝﹣9a+1＜0，
∴a＞ ，
∴ ＜a≤ ．
第16页（共17页）
学科网（北京）股份有限公司第17页（共17页）
学科网（北京）股份有限公司
