第28章锐角三角函数（B卷）_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第2套）

《第二十八章 锐角三角函数》测试卷（B 卷） （测试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．sin30°=（ ） 2 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 3 2．(tan30o)0的值是( ) 3 A． B．0 C．1 D． 3 3 3．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ） 3 5 1 A． B． C． D．2 3 3 2 4．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以 40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的 距离为（ ）. A．20海里 B．10 3海里 C．20 2 海里 D．30海里 5．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ） 20 20 A． B．20tan37° C． D．20sin37° sin370 tan370 6．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB的值为（ ） [来源:学科网][来源:Z§xx§k.Com] A．1 B．1 C． 2 D．3 3 2 2 5 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（ ） 13 12 5 13 12 A． B． C． D. 13 12 12 5 8．一辆汽车沿倾斜角α的斜坡前进800米，则它上升的高度是（ ） A．800•sinα米 B． 米 C．800•cosα米 D． 米 9．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的⊙O交x轴正半轴为M，P为圆上一点，坐标为（ ，1），则 3 cos∠POM=（ ）A． 3 B．1 C． 3 D． 2 2 2 3 2 10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD、DEEB、ABCD、DEEB、ABCD…按如图所示的方式放置，其中 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 3 3 3 点B 在y轴上，点C、E、E、C、E 、E、C…在x轴上，已知正方形ABCD 的边长为1，∠BCO=60°， 1 1 1 2 2 3 4 3 1 1 1 1 1 1 BC∥BC∥BC…则正方形A B C D 的边长是（ ） 1 1 2 2 3 3 2015 2015 2015 2015 A．（1 ）2014 B．（1 ）2015 C．（ 3 ）2015 D．（ 3 ）2014 2 2 3 3 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．已知∠A是锐角，且tanA= ，则∠A=_____． 12．在 中， ，当已知 和 时，求 ，则 ________． 13．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度 是____m(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)． 14．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交 边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点。则 AOE与 BMF的面积比为_________． △ △15．求值：sin60°-tan30°= ______ ． 16．计算： ﹣tan45°的值是_____． [来源:学科网] 17．如图，若 ，则 ________． 18．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水 箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米， ∠CED=60°．则垂直支架CD的长度为________厘米（结果保留根号）． 19．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面 AB=12米，背水坡面CD= 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，则CE的长为 ______米． 20．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，AC和BD相交于点E.若AD∥BC，BD⊥AD，2DE＝BE， 3 AD＝BD，则∠BAC＋∠BCA的度数为_______．三、解答题（共60分） 21．（本题5分） ． tan45sin454sin30cos45 6sin60 22．（本题6分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正 上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度． （结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7） [来源:Z。xx。k.Com] 23．（本题6分）一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°，求 塔高和此人在地面时到塔底的距离．[来源:学科网] 24．（本题6分）如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公 路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（ 3 +l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号） 25．（本题8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测 得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上． （1）求斜坡CD的高度DE； （2）求大楼AB的高度（结果保留根号）26．（本题9分）小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的 仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20 米． 3 （1）求出大厦的高度BD； （2）求出小敏家的高度AE． 27．（本题9分）已知：如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为4，AB=8． （1）求OB的长； （2）求sinA的值．28．（本题10分）已知：等边△ABC的边长为a． 探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形 且MN= a； 3 探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F． ①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证 明）：结论1．OD+OE+OF= 3 a；结论2．AD+BE+CF=3 a； 2 2 ②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不 成立，请说明理由．（测试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．sin30°=（ ） A． 2 B．1 C． 3 D． 3 2 2 2 3 【答案】B 【解析】 根据特殊角的三角函数值进行解答即可 [来源:学科网] 2． 的值是( ) (tan30o)0 A． 3 B．0 C．1 D． 3 3 【答案】C 【解析】 任何非零实数的零次幂都为1.故选C. 3．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ） A． 3 B． 5 C．1 D．2 3 3 2 【答案】D 【解析】 由图可得，tanα=2÷1=2． 故选D．4．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以 40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的 距离为（ ）. A．20海里 B．10 海里 C．20 海里 D．30海里 3 2 【答案】C．5．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树 的高AB（单位：米）为（ ） 20 20 A． B．20tan37° C． D．20sin37° sin370 tan370 【答案】B． 【解析】 AB 如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC= ，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B． BC 6．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB的值为（ ） A．1 B．1 C． 2 D．3 3 2 2 【答案】A 5 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（ ） 13 12 5 13 12 A． B． C． D. 13 12 12 5 【答案】D 【解析】5 ∵sinA= ，∴设BC=5x，AB=13x，则AC= AB2 BC2 =12x， 13 AC 12 故tan∠B= = ．故选D． BC 5 8．一辆汽车沿倾斜角α的斜坡前进800米，则它上升的高度是（ ） A．800•sinα米 B． 米 C．800•cosα米 D． 米 【答案】A 9．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的⊙O交x轴正半轴为M，P为圆上一点，坐标为（ ，1），则 3 cos∠POM=（ ） A． 3 B．1 C． 3 D． 2 2 2 3 2 【答案】A 【解析】作PA⊥x轴于A， ∵点P的坐标为（ ，1）， 3 ∴OA= ，PA=1， 3 由勾股定理得，OP=2 ， cos∠POM=OA = 3 ， OP 2 故选A． 10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD、DEEB、ABCD、DEEB、ABCD…按如图所示的方式放置，其中 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 3 3 3 点B 在y轴上，点C、E、E、C、E、E、C…在x轴上，已知正方形ABCD 的边长为1，∠BCO=60°， 1 1 1 2 2 3 4 3 1 1 1 1 1 1 BC∥BC∥BC…则正方形A B C D 的边长是（ ） 1 1 2 2 3 3 2015 2015 2015 2015 A．（1 ）2014 B．（1 ）2015 C．（ 3 ）2015 D．（ 3 ）2014 2 2 3 3 【答案】D．二、填空题（每小题3分，共30分） 11．已知∠A是锐角，且tanA= ，则∠A=_____． 【答案】30° 【解析】 ∵∠A是锐角，tanA= ，∴∠A=30°．故答案为：30°． 12．在 中， ，当已知 和 时，求 ，则 ________． [来源:学科网] 【答案】 【解析】 如图， ∵已知∠A和a，求c， ∴sinA= ， ∴c= ． 故选：A． 13．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度 是____m(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．【答案】 ∴ ，解得：AB= . 故答案为： . 14．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交 边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点。则 AOE与 BMF的面积比为_________． △ △ 【答案】 【解析】连接MF，作AG⊥BC交BC于点G，作MH⊥BC交BC于点H，∴∠EAO=∠ACB=30°，∴OE=OA·tan30°= x，AE= =2 x， ∴S = OA·OE= x2， △AOE ∵在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF， ∴AE=CF=2 x， ∴BF=6 x－2 x=4 x， ∴S = BF·MH=2 x2， △BMF ∴S ∶S =( x2)∶(2 x2)=3∶4. △AOE △BMF 故答案为3∶4. 15．求值：sin60°-tan30°= ______ ． 【答案】 【解析】 原式= - = .16．计算： ﹣tan45°的值是_____． 【答案】0 17．如图，若 ，则 ________． 【答案】 【解析】 ∵ + =90°， ∴ . 故答案为： . 18．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水 箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米， ∠CED=60°．则垂直支架CD的长度为________厘米（结果保留根号）． 【答案】3819．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面 AB=12米，背水坡面CD= 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，则CE的长为 ______米． 【答案】8． [来源:学科网] 【解析】 分别过A、D作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G． 在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，∴sin∠B= ，∴AF=12× =6 . 易知四边形AFGD是矩形，∴DG=AF=6 . 在Rt△DGC中，CD=12 ，DG=6 ，∴GC= =18. 在Rt△DEG中，tanE＝ = ，∴EG=26， ∴CE=GE-CG=26-18=8． 故答案为8． 20．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，AC和BD相交于点E.若AD∥BC，BD⊥AD，2DE＝BE， 3 AD＝BD，则∠BAC＋∠BCA的度数为_______． [来源:学科网]【答案】60° 三、解答题（共60分） 21．（本题5分） ． tan45sin454sin30cos45 6sin60 【答案】 . 2 【解析】 2 1 2 3 = 2 3 2 = . 1 4   6  2 2 2 2 2 2 2 2 22．（本题6分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正 上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度． （结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7） 【答案】308米解得：x= 1000 ≈ 1000 ≈308米， 3 tan681 1.72.51  ∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米． 23．（本题6分）一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°，求 塔高和此人在地面时到塔底的距离． 【答案】塔高是75米，此人在地面时到塔底的距离是25 米． 3 【解析】 设BC=x米，则DE=BC=x米．AD ∵直角△ADE中，tan∠ADE= ， DE ∴AE=DEtan30°=xtan30°= 3 x（米）． 3 同理，直角△ABC中，AC=BCtan60°= x（米）， 3 根据题意得： x﹣ 3 x=50， 3 3 解得：x=25 ， 3 则AC= x=75（米）． 3 答：塔高是75米，此人在地面时到塔底的距离是25 米． 3 24．（本题6分）如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公 路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（ 3 +l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号） 【答案】供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300 米． 225．（本题8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测 得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上． （1）求斜坡CD的高度DE； （2）求大楼AB的高度（结果保留根号） 【答案】（1）2米；（2）（6+）或（6-）米.26．（本题9分）小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的 仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20 米． 3 （1）求出大厦的高度BD； （2）求出小敏家的高度AE． 【答案】（1）（20 +20）（2）20 3 CD 在Rt△ACD中，tan30°= ， AC ∴CD=AC•tan30°=20 × 3 =20（米）， 3 3 ∴BD=BC+CD=20 +20（米）； 3 ∴大厦的高度BD为：（20 +20）米； 3 [来源:学_科_网Z_X_X_K]（2）∵四边形AEDC是矩形， ∴AE=CD=20米． ∴小敏家的高度AE为20米． 27．（本题9分）已知：如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为4，AB=8． （1）求OB的长； （2）求sinA的值． 【答案】（1） （2） 5 2 5 5 28．（本题10分）已知：等边△ABC的边长为a． 探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形 且MN= a； 3 探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F． ①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证 明）：结论1．OD+OE+OF= 3 a；结论2．AD+BE+CF=3 a； 2 2②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不 成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；（2）①：结论1成立．证明见解析；②：结论2成立． ∴△MNG为等边三角形． 在Rt△ABM中，BM= AB a 2 3 ，   a sinM sin60 3 在Rt△BCN中，BN= BC a 3 ，   a tanN tan60 3 ∴MN=BM+BN= a． 3 （2）①：结论1成立． 证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°， ∴△AGH是等边三角形， ∴GH=AH． ∵OE⊥BC， ∴OE∥HM， ∴四边形OEMH是矩形， ∴HM=OE． ∴OD+OE+OF=OD+HM+OF= 3 OG+ 3 HC+ 3 OH= 3 （GH+HC）= 3 AC= 3 a． 2 2 2 2 2 2 （2）②：结论2成立． 证明：如图4，连接OA、OB、OC， 根据勾股定理得： BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①， CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②， AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2， ∴BE2+CF2+AD2=（a-AD）2+（a-BE）2+（a-CF）2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2 3 整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF= a． 2