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第28章 锐角三角函数 培优卷
满分120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则tanα的值是（ ）
3 4 3 4
A. B. C. D.
5 5 4 3
【答案】 C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】正切的定义：正切=对边：邻边
3
【解答】由图可知tanα= ，
4
故选C.
【点评】本题是基础应用题，只需学生熟练掌握正切的定义，即可完成.
2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则
BC的长为（ ）
学科网（北京）股份有限公司4√3
A. 2 B. C. 2 √3 D. 4 √3
3
【答案】 B
【考点】含30°角的直角三角形，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°
∴∠A=30°
∵CD=2，DE=1，
∴AD=2，AC=AD+DC=4，
由∠A=∠A，∠DEA=∠C=90°，得
△ABC∽△ADE，
BC AC
∴ =
DE AE
BC 4
∴ =
1 √3
4√3
∴BC= ．
3
故答案为：B．
【分析】根据含30°角的三角形的边的关系得出AD=2，进而得出AC=AD+DC=4，然后判断出
BC AC
△ABC∽△ADE，，根据相似三角形对应边成比例得出 = ,从而得出答案。
DE AE
3. ( 3分 ) 如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
12 5 5 12
A. B. C. D.
5 12 13 13
【答案】 D
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示：
1 5
由题意，得：tanα=i= = ，
2.4 12
设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，
学科网（北京）股份有限公司则斜边= √25x2+144x2 =13x，
12x 12
则cosα= = ．
13x 13
故选D．
【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而
可求出斜坡坡角的余弦值．
4. ( 3分 ) 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作
∠EAF=45°，边 AF 交 CD 于点 F ，连接 EF ，则下列说法中：① ∠EAB=30° ；②
BE+DF=EF ；③tan∠AFE=3；④ S =6 正确的有( )
ΔCEF
A. ①②③ B. ②④ C. ①④ D. ②③④
【答案】 D
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，计算器—三角函数
【解析】【解答】证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠D=90°，
∴∠ABG=90°=∠D，
∵△ABG和△ADF中，
AB=AD
{∠ABG=∠D
BG=DF
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠1=∠2，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠2+∠3=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠GAE=∠EAF=45°．
在△AEG和△AEF中，
AG=AF
{∠GAE=∠EAF
AE=AE
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴GE=EF，
∵GE=BG+BE，DF=BG，
∴EF=DF+BF，故②符合题意，
∵BE=EC=3，AB=6，
BE 1
∴tan∠3= = ，
AB 2
∴∠3≠30°，故①不符合题意，
设DF=x，则EF=x+3，
在Rt△EFC中，∵EF2=CF2+EC2 ，
∴（x+3）2=32+（6-x）2 ，
∴x=2，
∴DF=BG=2，
AB
∴tan∠AFE=tan∠G= =3 ，故③符合题意，
BG
1 1
∴S = ⋅CE⋅CF= ×3×4=6 ，故④符合题意．
ΔCEF 2 2
故答案为：D．
【分析】延长延长CB到G，使BG=DF，连接AGCB到G，使BG=DF，连接AG，根据已知条件判定
△ABG≌△ADF（SAS），对应角相等，再判定△AEG≌△AEF（SAS）。因此可得出GE=EF，GE=BG+BE，
DF=BG，所以EF=DF+BF。设DF=x，在直角三角形ECF中，勾股定理即可求x，即而求出tan∠AFE，
S△CEF列出表达式代数即可。根据∠EAB的正切函数值，可以判定∠EAB的度数。
5. ( 3分 ) 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= √2 ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】 C
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
AE AF
∴ = ，
BC CF
1 1
∵AE= AD= BC，
2 2
AF 1
∴ = ，
CF 2
∴CF=2AF，故④正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
1
∴BM=DE= BC，
2
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
学科网（北京）股份有限公司∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
b 2a
由△BAE∽△ADC，有 = ，即b= √2 a，
a b
DC b √2
∴tan∠CAD= = = ．故②不正确；
AD 2a 2
正确的有①③④，
故答案为：C．
【分析】只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可判断①正误；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，
推出AE和CF的关系即可判断④正误；只要证明DM垂直平分CF，即可证明③；设AE=a，AB=b，则
AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a和b的关系，可得tan∠CAD的值即可判断②的正误，于是得到四个结
论中正确结论.
6. ( 3分 ) 如图，在 △ABC 中， ∠BAC=45° ， D 为 AC 上一点，连接 BD ，将 △BDC 沿
7√2 1
BD 翻折，点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处，连 CE .若 AD= ， tan∠ABD= ，则 CD 的
2 3
长度为（ ）
5√2 6√2 3√2 7√2
A. B. C. D.
2 5 2 3
【答案】 A
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，记 BD,CE 交于 N, 过 D 作 DM⊥AB 于 M, 过 D 作 DH⊥BC
于 H,
学科网（北京）股份有限公司∵∠ABD=∠CBD,
∴DM=DH,
1 1
BC·DH CD·ℎ
2 2
∴ = ,
1 1
AB·DM AD·ℎ
2 2
∵△ABD,△CBD 中 AD,CD 上的高相等，
BC CD
∴ = ,
AB AD
7√2
∵ ∠BAC=45° ， AD= ，
2
7√2 √2 7
∴AM=DM=AD·cos45°= × = ,
2 2 2
1
∵ tan∠ABD= ，
3
DM 1
∴ = ,
BM 3
7 21
∴BM=3× = ,
2 2
7 21
∴ AB= + =14,
2 2
由对折可得： DC=DE,BC=BE,
∴BD 是 CE 的中垂线，
∴BD⊥CE,
1
∵ tan∠ABD= ，
3
EN 1
∴ = ,
BN 3
设 EN=x, 则 BN=3x,
学科网（北京）股份有限公司∴BE=√x2+9x2=√10x=BC,
21
∴ME= −√10x,
2
BC CD
∵ = ,
AB AD
√10x CD
∴ = ,
14 7√2
2
√5
∴CD= x=DE,
2
√5 2 7 2 21 2
∴( x) =( ) +( −√10x) ,
2 2 2
整理得： 5x2−12√10x+70=0,
7
∴x = √10,x =√10,
1 5 2
7 7
检验：当 x = √10 时， BE=√10x=√10× √10=14=AB, 不合题意舍去，取 x =√10,
1 5 5 2
√5 √5 5√2
∴ CD= x= ×√10= .
2 2 2
故答案为：A
【分析】设BD、CE交于N，过D作DM⊥AB于M，过D作DH⊥BC于H，先利用角平分线的性质证明：
BC AB 7 1 21
= ， 再求解再求解AM = DM = AD.cos45°= ， 由tan∠ABD= , 求解BM= ，
CD AD 2 3 2
EN 1
AB=14，再证明BD时CE的中垂线，由 = , 设EN=x 则BN=3x，求解BE=√x2+9x2=√10x可得
BN 3
21 BC CD √5
ME= -√10x, 由 = , 可得CD= x=DE，再利用勾股定理列方程，解方程并检验即得答案.
2 AB AD 2
7. ( 3分 ) 如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足
为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ α ，则MN可用 α 表示为（ ）
学科网（北京）股份有限公司α α
A. rsinα B. 2rsin C. rcosα D. 2rcos
2 2
【答案】 A
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
DM DC DM DN
∴ = ， 即 = ,
DN DO DC DO
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
MN DN
∴ = ，
CO OD
DN
∵sin∠AON= ,
OD
MN
∴sin∠AON= ,
CO
学科网（北京）股份有限公司MN
即sinα= ,
r
∴MN= rsinα ，
故答案为：A.
【分析】连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，先根据圆周角定理推得角相等，再证明
△CMD∽△OND，由相似三角形的性质得比例式，然后转换比例，再证△DMN∽△DCO，从而可把sinα转
MN
换成用 来表示，则MN长可求.
r
8. ( 3分 ) 如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=2√3 ， BC=3 .点 P 为 ΔABC 内一点，
且满足 PA2+PC2 =AC2 .当 PB 的长度最小时， ΔACP 的面积是（ ）
3√3 3√3
A. 3 B. 3√3 C. D.
4 2
【答案】 D
【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ∵PA2+PC2=AC2
∴ ∠APC=90°
1
取 AC 中点O，并以O为圆心， AC 长为半径画圆
2
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
∴AO=PO=CO
学科网（北京）股份有限公司1 1
∵CO= AC= ×2√3=√3,BC=3
2 2
∴BO=√BC2+CO2=2√3
∴BP=BO−PO=√3
∴ 点P是BO的中点
1
∴ 在 RtΔBCO 中， CP= BO=√3=PO
2
∴ ΔPCO 是等边三角形
∴ ∠ACP=60°
∴ 在 RtΔAPC 中， AP=CP×tan60°=3
1 3×√3 3√3
∴S = AP×CP= = .
ΔAPC 2 2 2
1
【分析】由勾股逆定理得出∠APC为90°，取 AC 中点O，并以O为圆心， AC 长为半径画圆，则知
2
当B、P、O三点共线时，BP最短，再求出OC的长，然后利用勾股定理求出BO，再根据线段间的关系求
出△PCO为等边三角形，得出∠ACP为60°，利用三角函数的定义求出AP，代入面积公式计算即可.
9. ( 3分 ) 如图，一块含有 30° 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 O 重合， 30° 角的顶点 A 在反
k 4
比例函数 y= 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y= 的图象上，则 k 的值为（ ）
x x
A. 12 B. -12 C. 3 D. -3
【答案】 B
【考点】反比例函数的图象，反比例函数系数k的几何意义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
∴△CAO∽△DOB，
AO 2
∴ S ： S = ( ) ，
△CAO △DOB BO
学科网（北京）股份有限公司k
∵ 30° 角的顶点 A 在反比例函数 y= 的图象上，
x
√3
∴tan30°=OB：OA= ，
3
∴ S ： S =3：1，
△CAO △DOB
k 4
∵点 A 在反比例函数 y= 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y= 的图象上，
x x
|k| 4
∴ S = ， S = =2，
△CAO 2 △DOB 2
|k|
∴ ：2 =3：1，
2
∴ |k| =12，
k
∵反比例函数 y= 的图象在第二象限，
x
∴k= -12，
故答案为：B．
【分析】在反比例函数中求K的值，一定是利用图象上一点的横纵坐标的乘积来求。有图象知，只有一
k
个点A过反比例函数y= ， 因此过点A做AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，这属于K字型相似，由此可
x
证△CAO∽△DOB，再根据30°角，可求出正切值，也就是OB:OA=√3:3 ， 面积比就是3:1。根据
|x||y| |K| 4
S = = ,S = =2，再根据比值=3:1，可求得|k|=12，再根据图象在第二象限，k＜
△AOC 2 2 △DOB 2
0，所以k=-12。
10. ( 3分 ) 在边长为1的正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点都在格点上，AB，CD交于点E，则
tan∠AED的值为( )
学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. √2 C. 2 D. √5
【答案】 C
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连结AF，交CD于点F，如图所示，
∵四边形ACGD是正方形，
1 1
∴DF=CF= CD ， GF= AG ， CD⊥AG ， CD=AG ，
2 2
∴DF=AF，
由题意得AC∥BD，
∴△ACE~△DBE ，
CE AC 1
∴ = = ，
DE BD 3
CE 1
∴ = ，
CF 2
1 1
∴CE=CF= DF= AF ，
2 2
AF
在Rt△AEF中，tan∠AED= =2 ，
EF
故答案为：C.
【分析】连结AF，交CD于点F，由题意得出四边形ACGD是正方形，根据正方形的性质即可得出
1 1
DF=CF= CD ， GF= AG ， CD⊥AG ， CD=AG ， 然后根据AC∥BD，得出
2 2
学科网（北京）股份有限公司CE AC 1 CE 1
△ACE~△DBE ， 从而得出 = = ， 进而得出 = ， 在Rt△AEF中，根据正切函数
DE BD 3 CF 2
的定义即可求解.
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，折线 AB−BC 中， AB=3 ， BC=5 ，将折线 AB−BC 绕点A按逆时针方向旋
转，得到折线 AD−DE ，点B的对应点落在线段 BC 上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接
CE ，若 CE⊥BC ，则 tan∠EDC= ________°.
24
【答案】
7
【考点】勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AC 、AE ，过点A作AF⊥BC于F ,作AH⊥EC于H.
∵CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC
∴四边形AFCH是矩形，
∴AF=CH，
∵将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE
∴AD=AB=3、BC=DE=5，∠ABC=∠ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AC=AE，
∵AC=AE，AB=AD，AF⊥BC，AH⊥EC，BF=DF，CH=EH
∴ AB2=AF2+BF2,DE2=DC2+CE2
∴ 9=AF2+BF2,25=(5−2BF) 2+4AF2
学科网（北京）股份有限公司9 12
∴BF= ，AF=
5 5
24 9 7
∴ EC=2CH=2AF= ,CD=5−2× =
5 5 5
EC 24
∴ tan∠EDC= =
CD 7
故答案为：2
【分析】连接AC 、AE ，过点A作AF⊥BC于F ,作AH⊥EC于H.再证明四边形AFCH是矩形,可得
AF=CH ,由旋转的性质可得AD=AB=3、BC=DE=5，∠ABC=∠ADE，则△ABC≌△ADE，即AC=AE ；再由
等腰三角形的性质和勾股定理可得BF、AF、EC、CD的长，最后根据正切定义解答即可.
12. ( 4分 ) 如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．连结CE交边AD于点F ． 如果
DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于________．
6√5
【答案】
5
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到，
∴Rt△BCD≅Rt△BED，CE⊥BD。
∴AD=BC=4，AB=CD=ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
又∵BD=DB
∴Rt△DAB≅Rt△BCD
∴Rt△DAB≅Rt△BED，
∴AB=ED，∠ABD=∠EDB,
∴四边形ABDE是等腰梯形，
∵CE⊥BD，AE∥BD
学科网（北京）股份有限公司∴CE⊥AE，∠EAD=∠ADB=∠DBC
∵∠DBC+∠FCB=90°，∠FBC+∠FCD=90°，
∴∠DBC=∠FCD
∴Rt△BCD≅Rt△CDF
FD CD 1 CD
∴ = ， 即 =
CD BC CD 4
∴CD=2或-2（舍去）
CD 1
在Rt△BCD中，tan∠DBC= = ，
BC 2
∵∠EAD=∠DBC
1
∴tan∠EAD=
2
1
在Rt△AEF中，EF= AE
2
由勾股定理得，AE2=AF2-EF2
即AE2=(AD−FD) 2− (1 AE ) 2
2
1
∴AE2=(4−1) 2− AE2
4
6√5
解得：AE= ．
5
6√5
故答案为： ．
5
【分析】由折叠的性质可得Rt△BCD≅Rt△BED，由矩形的性质可证明Rt△DAB≅Rt△BCD，故可得
Rt△DAB≅Rt△BED，再证明Rt△CDF≅Rt△BCD求得CD=2，在Rt△AEF中由勾股定理可得解．
13. ( 4分 ) 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边
AC上运动，则线段DP的最小值为________，四边形DPQB面积的最大值为________．
学科网（北京）股份有限公司√3 13√3
【答案】 ；
2 2
【考点】垂线段最短，三角形的面积，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，当P在E的位置时，
DP最短，
√3
∴DP =DE=ADsin60°=2× =√3 ，
最小
2
1 1 √3
S = PQ×DE= ×1×√3= ，
△DPQ 2 2 2
当Q到DB的距离最大时，△BDQ的面积最大，则四边形DPQB面积的最大，这时Q与C重合，
√3
∴BD边上的高h=CF=BC×sinB=6× =3√3 ，
2
1 1
∴S = BD×QF= ×（6-2）×3√3=6√3 ，
△BQD最大 2 2
√3 13√3
四边形DPQB面积的最大值= S S =6√3+ = ，
△BQD最大+ △DPQ 2 2
学科网（北京）股份有限公司√3 13√3
故答案为： ， .
2 2
【分析】连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，根据垂线段最短的性质可知当P在E的
位置时，DP最短，然后在Rt△AED中，利用三角函数求出AE长即可； 四边形DPQB面积等于△PDQ的
面积与△BQD的面积之和，由于△DPQ的面积是定值，则只要求△PDQ的面积最大即可；由于其底边BD
一定，只要求BD上的高最大即可，由题意可知这时Q与C重合，于是根据等边三角形的性质求出高h，
则其面积可求，最后求四边形DPQB面积即可.
14. ( 4分 ) 如图.在边长为6的正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别在 BC ， CD 上， BC=3BE 且
BE=CF ， AE⊥BF ，垂足为 G ， O 是对角线 BD 的中点，连接 OG 、则 OG 的长为
________.
8
【答案】 √5
5
【考点】勾股定理，正方形的性质，圆周角定理，解直角三角形
1
【解析】【解答】解：如图，连接 OA ，以 AB 为半径， AB 的中点 M 作圆，过 O 作
2
ON⊥AG
∵ ABCD 是正方形， BD 是对角线
∠ABO=45°
∵A´O=A´O
学科网（北京）股份有限公司∴∠AGO=∠ABO=45° ，
1
AN=NE= AE
2
∵ ABCD 是正方形， BC=3BE
∴AB=BC=6,
∴BE=2
AE=√AB2+BE2
=√62+22=2√10
1 1
∵ AB×BE= AE×BG
2 2
AB·BE 6×2 3
∴BG= = = √10
AE 2√10 5
在 Rt△ABE 中
BE 2 1
tan∠EAB= = =
AB 6 3
BG 9
∴AG= = √10
tan∠GAB 5
∵NG=AG−AN
1
=AG− AE
2
9
= √10−√10
5
4
= √10
5
在 Rt△ONG 中
4√10
NG 5 8
OG= = = √5
cos∠NGO √2 5
2
8
故答案为 √5 .
5
1
【分析】连接 OA ，以 AB 为半径， AB 的中点 M 作圆，过 O 作 ON⊥AG ， 利用正方形
2
的性质及勾股定理求出AB、BE、AE，利用直角三角形ABE的面积不变，可求出BG，在 Rt△ABE 中，
学科网（北京）股份有限公司BG NG
由AG= 求出AG，由NG=AG-AN求出GN，在 Rt△ONG 中，利用OG= 求出
tan∠GAB cos∠NGO
OG即可.
15. ( 4分 ) 如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 △DAE 按逆时针
AE 2
方向旋转得 △DCF ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N.若 = ，则 sin∠EDM= ________.
DN 5
√5
【答案】
5
【考点】勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC= CD=DA=1， BD=√2 .
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°.
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x.
∵AB∥DC，
∴ △FNC~△FEB .
NC FC
∴ = .
EB FB
1−5x 2x
∴ = .
1−2x 1+2x
整理得， 6x2+5x−1=0 .
1
解得， x = ， x =−1 （不合题意，舍去）.
1 6 2
1 2
∴ AE=2x= ，EB=1−2x= .
3 3
学科网（北京）股份有限公司√ 1 2 √10
∴ DE=√AD2+AE2= 12+( ) = .
3 3
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，
设DP=y，则 BP=√2−y .
∵ EB2−BP2=EP2=DE2−DP2 ，
2 2 √10 2
∴ ( ) −(√2−y) 2=( ) −y2 .
3 3
2√2
解得， y= .
3
√ √10 2 2√2 2 √2
∴ EP=√E2D−DP2= ( ) −( ) = .
3 3 3
∴在Rt△DEP中，
√2
EP 3 √5 √5
sin∠EDP= = = .即 sin∠EDM= .
ED √10 5 5
3
√5
故答案为：
5
NC FC
【分析】根据旋转的性质，可设AE=CF=2x，DN=5x，证明△FNC~△FEB ， 可得 = ， 据
EB FB
此求出x值即得AE、BE，利用勾股定理求出DE，过点E作EP⊥BD于点P，设DP=y，则 BP=√2−y
由EB2−BP2=EP2=DE2−DP2 建立y方程，求出y值即得DP，利用勾股定理求出EP，在Rt△DEP
EP
中，由sin∠EDP= 计算即得.
ED
16. ( 4分 ) 将一副三角板如图放置在一起，使得等腰直角 △ABD 与直角 △ACD 的斜边重合，其中
AD=4,∠B=∠C=90°,∠CAD=30° ，则点B到边 AC 的距离为________.
学科网（北京）股份有限公司【答案】 √3−1
【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：过B作 BE⊥AC 于E，
∵AD=4 ， ∠ABF=∠C=90° ， ∠CAD=30° ，
1
∴CD= AD=2 ， AB2+BD2=AD2=16 ，
2
∵AB=BD ，
∴2AB2=16 ，
∴AB=BD=2√2 ，
∵∠ABF=∠C ， ∠AFB=∠DFC ，
∴ΔABF∽ΔDCF ，
BF AB 2√2
∴ = = =√2 ，
CF DC 2
设 CF=x ，则 BF=√2x ，
∴DF=BD−BF=2√2−√2x ，
∵DF2=CD2+CF2 ，
∴(2√2−√2x)
2=22+x2
，
解得 x =4−2√3 ， x =4+2√3>AD （不合题意，舍去），
1 2
即 CF=4−2√3 ，
∴BF=4√2−2√6 ，
√3
∵AC=AD⋅cos∠CAD=4× =2√3 ，
2
∴AF=AC−CF=2√3−(4−2√3)=4√3−4 ，
学科网（北京）股份有限公司1 1
∵S = AB⋅BF= AF⋅BE ，
ΔABF 2 2
AB⋅BF 2√2×(4√2−2√6) 2(2−√3)
∴BE= = = =√3−1 ，
AF 4√3−4 √3−1
故答案为： √3−1 .
【分析】过B作 BE⊥AC 于E，利用直角三角形的性质求出CD、AB，证明ΔABF∽ΔDCF ，可得
BF AB
= =√2 ， 设 CF=x ，则 BF=√2x ，DF=BD−BF=2√2−√2x ，由
CF DC
DF2=CD2+CF2可建立关于x方程，求出x值即得CF、BF，从而求出AC=AD⋅cos∠CAD=2√3
1 1
，继而可得AF=AC−CF=4√3−4 ， 根据S = AB⋅BF= AF⋅BE求出BE即得结论.
ΔABF 2 2
17. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系中，有一个 Rt△OAB ， ∠ABO=90° ， ∠AOB=30° ，直角
边 OB 在y轴正半轴上，点A在第一象限，且 OA=1 ，将 Rt△OAB 绕原点O逆时针旋转 30° ，同
时把各边长扩大为原来的2倍（即 OA =2OA ），得到 Rt△OA B ，同理，将 Rt△OA B 绕原点
1 1 1 1 1
O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到 Rt△OA B ，…，依此规律，得到
2 2
Rt△OA B ，则点 B 的纵坐标为________．
2021 2021 2021
【答案】 3×22019
【考点】锐角三角函数的定义，探索图形规律
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，
√3
∴OB＝OA•cos∠AOB＝ ，
2
√3
由题意得，OB＝2OB＝ ×2，
1 2
√3
OB＝2OB＝ ×22 ， ……
2 1 2
学科网（北京）股份有限公司√3
OB＝ ×2n＝ √3 ×2n−1 ，
n 2
∵2021÷12＝168……5，
√3
∴点B 的纵坐标为： √3 ×22020×cos60°= √3 ×22020× ＝3×22019 ，
2021 2
故答案为：3×22019 ．
【分析】由锐角三角函数的定义，结合直角三角形的性质，探究图形的规律，根据规律计算得到点的纵坐
标即可。
18. ( 4分 ) 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B(2√3,2) ，点A在x轴上，点C
在y轴上，P是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC ，过点P作 PD⊥PC ，交x轴于点
D.则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）
① OA=BC=2√3 ；
②当点D运动到 OA 的中点处时， PC2+PD2=7 ；
√3
③当 OD=PD 时，点D的坐标为 ( ,0) ；
3
④在运动过程中， ∠CDP 是一个定值.
【答案】 ①②④
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2 √3 ，2），
∴OA=BC=2 √3 ；故①正确；
②∵点D为OA的中点，
1
∴OD= OA= √3 ，
2
∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+（ √3 ）2=7，故②正确；
③∵B（2 √3 ，2），四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=2，
学科网（北京）股份有限公司AB √3
∵ tan∠AOB= = ，
OA 3
∴∠AOB=30°，
∵ OD=PD
∴∠DOP=∠DPO=30°，
∵ PD⊥PC ，即 ∠DPC=90°
∴∠OPC=60°，
∵ CO⊥x 轴， PD⊥PC
∴ O、D、P、C 四点在以 CD 为直径的圆上，如图
∴ ∠ODC=∠OPC=60°
OC
∴ tan∠ODC= = √3
OD
√3 2√3
∴ OD= OC= ，
3 3
2√3
∴当 OD=PD 时，点D的坐标为（ ，0）.故③错误，
3
④如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF=OC=2，
设PE=a，则PF=EF-PE=2-a，
PE OC √3
在Rt△BEP中， tan∠CBO= = = ，
BE BC 3
学科网（北京）股份有限公司∴BE= √3 PE= √3 a，
∴CE=BC-BE=2 √3 - √3 a= √3 （2-a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD=90°，
∵∠CPE+∠PCE=90°，
∴∠FPD=∠ECP，
∵∠CEP=∠PFD=90°，
∴△CEP∽△PFD，
CE PC
∴ = ，
PF PD
PC CE √3(2−a)
∴ tan∠PDC= = = =√3 ，
PD PF 2−a
∴∠PDC=60°，故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据矩形的性质及点B坐标，可得OA=BC=2 √3 ， 据此判断即可；
1
②由点D为OA的中点，可得OD= OA= √3 ，根据勾股定理可得PC2+PD2=CD2=OC2+OD2 ， 代入
2
数据计算并判断即可；
③先求出∠OPC=60°，由CO⊥x 轴， PD⊥PC ， 可得O、D、P、C 四点在以 CD 为直径的
OC
圆上，利用圆周角定理可得∠ODC=∠OPC=60° ， 从而得出tan∠ODC= = √3 ， 据此判断
OD
即可；
④如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，可得四边形OFEC是矩形，即得EF=OC=2，设
PE=a，则PF=EF-PE=2-a，根据三角函数的定义可得BE= √3 PE= √3 a，从而求出CE=BC-BE= √3 （2-
CE PC PC CE
a），可证△CEP∽△PFD，可得 = ，可求出tan∠PDC= = =√3 ， 即得∠PDC=60°，据
PF PD PD PF
此判断即可.
三、解答题
19. ( 7分 ) 某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西
两端A、B间的距离.于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一
点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向.请你根据以
学科网（北京）股份有限公司上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB的长.（结果精确到1米）（参考数据：sin73°≈0.9563，
cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709， √2 ≈1.414.）
【答案】 解：∵∠BCD＝45°，CD⊥AB，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD.
∵BC＝350米，
√2
∴CD＝BD＝350× ＝175 √2 ≈175×1.414＝247.45米，
2
∴AD＝CD•tan73°≈247.45×3.2709≈809.38米，
∴AB＝AD+BD＝809.38+247.45≈1057（米）.
答：“东州湖”东西两端之间AB的长为1057米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先根据题意得出△BCD是等腰直角三角形，故可得出CD＝BD，再由锐角三角函数的定
义得出AD的长，进而可得出结论.
20. ( 7分 ) 在棚户区改造时，要拆除废旧烟囱 AB （如图），在烟囱正西方向的楼房 CD 的顶端C处，
测得烟囱的顶端A的仰角为 45° ，底端B的俯角为 30° 已量得 DB=24m .拆除时若让烟囱向正东方
向倒下，试问：距离烟囱正东方向 35m 远的一棵大树是否会被歪倒的烟囱砸到？请说明理由.（参考数据：
√3≈1.732 ）
【答案】 解：距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着. 理由如下：
∵ DB=24 m，∠GCB=30°，∠ACG=45°，
∴ CG=24 m，
学科网（北京）股份有限公司√3
∴ BG=CG·tan30°=24× =8√3,
3
AG=CG·tan45°=24 m，
∴ AB=AG+GB=24+8√3≈37.86 m，
∵ 37.86 ＞35，
∴距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可以求得AG和GB的长，从而可以求得AB的长，然后与35比较大小即可解
答本题.
21. ( 7分 ) 如图正方形OABC的边长等于2，且AO边与x轴正半轴的夹角为60º，O为原点坐标，求点B
的坐标.
【答案】 解：过点A作AM⊥y轴于点M.
∵OA与x轴的夹角为60°，
∴OA与y轴的夹角为30°，OA=OC=2，
∴AM=2×sin30°=1,OM=2×cos30°= √3 ，
故点A的坐标为(1, √3 )；
过点C作CN⊥x轴于点N.
∵OC与x轴的夹角为30∘，
∴ON=2×cos30°= √3 ,CN=2×sin30°=1，
故点C的坐标为(− √3 ,1).
设点B的坐标为(a,b)，
过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司∵OB= 2√2 ,BD=b−1,CD= √3 +a，
a2+b2=(2√2) 2
∴ { ，
(a+√3) 2+(b−1) 2=22
解得：b= √3 +1,a=1− √3 ，
∴点B的坐标为(1− √3 , √3 +1).
【考点】点的坐标，正方形的性质，解直角三角形
【解析】【分析】 过点A作AM⊥y轴于点M ，利用三角函数求出AM的长，得到点A的坐标，再设点B
的坐标为 (a,b)， 过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D， 列出方程组求解即可。
22. ( 5分 ) 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断
面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽
AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：
sin54.5°≈0.81 ， cos54.5°≈0.58 ， tan54.5°≈1.40 ， sin26.5°≈0.45 ， cos26.5°≈0.89 ，
tan26.5°≈0.50 ）
【答案】 解：过 B 作 BH⊥AD 于 H ，过 C 作 CQ⊥AD 于 Q ，
∴∠BHA=∠CQD=90°，
∵ 四边形 ABCD 为等腰梯形，
∴AB=DC,∠BAD=∠CDA,
∴∠BAH=∠CDQ,
∴△BHA≌△CQD(AAS),
学科网（北京）股份有限公司∴AH=DQ, BH=CQ,
设 AH=DQ=x,CQ=BH= y,
∵∠MAE=26.5°，
∴∠QAC=26.5°，
CQ y
∴tan26.5°= = ,
AQ x+180
∵ 四边形 ABCD 为等腰梯形， ∠ABC=54.5°，
∴AD//BC,
∴∠BAH=54.5°，
BH y
∴tan54.5°= = ,
AH x
y
=0.50
180+x
∴{
y
=1.40
x
x=100
解得： { ,
y=140
x=100
经检验： { 是原方程的解，且符合题意，
y=140
∴BC=HA+AD+DQ=100+180+100=380.
∴ 燕尾槽的里口宽BC为 380 毫米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过 B 作 BH⊥AD 于 H ，过 C 作 CQ⊥AD 于 Q ，先证明：
△BHA≌△CQD ，可得 AH=DQ, BH=CQ, 设 AH=DQ=x,CQ=BH= y, 再利用锐角三角函
数建立方程组，解方程组求解 x,y ，从而可得答案．
23. ( 7分 ) 如图，在 ▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 √3 ，在AB边的下方作射线
AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，
连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。
学科网（北京）股份有限公司【答案】 解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝ 2√3 ，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝ 4√3 ，AC＝ √3 BC＝6，∠ABC＝60°，
∵∠EPB＝∠EBP＝60°，
∴△EPB是等边三角形，
∴∠PEB＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠EPB+∠BCE＝180°，
∴P，B，C，E四点共圆，
∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，
∵∠TCB＝∠CBT＝60°
∴△TCB是等边三角形，
∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝ 2√3 ，
∵∠BAG＝∠BAC＝30°，
∴∠APC＝90°，
3√3 1 3
∴PA＝AT•cos30°＝3，AN＝PA•cos30°＝ ，PN＝ PA＝ ，PC＝ √3 PA＝ 3√3 ，
2 2 2
5√3
∴BN＝AB﹣AN＝ ，
2
∵∠PBE＝∠CBT＝60°，
∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，
学科网（北京）股份有限公司∵∠PCM＝∠PNB＝90°，
∴△PCM∽△BNP，
CM PC
∴ = ，
PN BN
CM 3√3
=
∴ 3 5√3 ，
2 2
9
∴CM＝ ，
5
∵PA⊥PC，CM⊥PC，
∴CM∥PA，
AF PA 3 5
= = =
∴ FC CM 9 3 ，
5
5 15
∴AF＝ AC＝ ．
8 4
15
故答案为 ．
4
【考点】含30°角的直角三角形，平行四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三
角形
【解析】【分析】如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．首先证明
∠APC＝90°，解直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性质求出CM，由CM∥PA，推出
AF PA 5
= = ，由此即可解决问题．
FC CM 3
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F ， 使CF＝GC
， 以DC ， CF为邻边作菱形DCFE ， 连接CE ．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
（2）连接DF ， 若BC＝ √3 ，求DF的长．
学科网（北京）股份有限公司【答案】 （1）解：四边形CEDG是菱形，
证明：∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，∴GB=GC=GD，
∵CF=GC，∴GB=GC=GD=CF，
∵四边形DCFE是菱形，∴CD=CF=DE，DE∥CG，
∴DE=GC，∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD=GC，∴四边形CEDG是菱形
（2）解：方法一：设DF交CE于点N，如图所示：
∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠GCD=∠GDC =∠CGD =60°，
∴∠DCF=180°﹣∠GCD=180°﹣60°=120°，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°.
BC √3 √3
在Rt△BCD中，tan60°== ，∴CD= ＝ =1，
CD tan60∘ √3
∵四边形DCFE是菱形，
1 1
∴DN=FN，CN⊥DF，∠DCE=∠FCE= ∠DCF= ×120°=60°，
2 2
√3 √3
在Rt△CND中，DN=CD•sin∠DCE=1×sin60°=1× = ，
2 2
√3
∴DF=2DN=2× = √3 ．
2
方法二：证明△FDG≌△BCD，得DF=BC= √3 .
【考点】菱形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）证出GB=GC=GD=CF ， 由菱形的性质的CD=CF=DE ， DE∥CG ， 则
DE=GC ， 证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
1 √3
（2）过点G作GH⊥BC于H ， 设DF交CE于点N ， 由等腰三角形的性质得CH=BH= BC= ，
2 2
证出△CDG是等边三角形，得∠GCD=60°，由三角函数定义求出CG=1，则CD=1，由菱形的性质得
学科网（北京）股份有限公司√3
DN=FN ， CN⊥DF ， ∠DCE=∠FCE=60°，由三角函数定义求出DN= ， 则DF=2DN=√3.
2
25. ( 13分 ) 如图，在⊙ O 中， AB 是直径， AB⊥CD ，垂足为P，过点 D 的 ⊙O 的切线与
AB 的延长线交于点 E , 连接 CE .
（1）求证： CE 为⊙ O 的切线；
（2）若⊙ O 半径为3， CE=4 ，求 sin∠DEC .
【答案】 （1）证明：连接 OC 、 OD
∵ DE 为 ⊙O 的切线
∴ ∠ODE=90°
∵ AB 是直径， AB⊥CD
∴ CP=DP ， ∠CPE=∠DPE=90°
又∵ PE=PE
∴ △PCE≌△PDE(SAS)
∴ ∠CEP=∠DEP ， CE=DE
又∵ OE=OE
∴ △OCE≌△ODE(SAS)
∴ ∠OCE=∠ODE=90°
∴ CE 为⊙ O 的切线；
学科网（北京）股份有限公司（2）解：过点 D 作 DF⊥CE 于点 F ，如下图：
由（1）得 DE=CE=4
在 Rt△OCE 中， OC=3 ， CE=4 ，∴ OE=√OC2+CE2=5
OC×CE 12
∴ CP= = （等面积法）
OE 5
24
∴ CD=2CP=
5
设 EF=x ，则 CF=4−x
在 Rt△DCF 和 Rt△≝¿ 中，
24 2
DF2=CD2−CF2=( ) −(4−x) 2 ， DF2=DE2−EF2=42−x2
5
24 2
∴ ( ) −(4−x) 2=42−x2
5
28
解得 x=
25
96
DF=√42−x2=
25
DF 24
∴ sin∠DEC= =
DE 25
【考点】三角形全等的判定，勾股定理，垂径定理，切线的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 OC、OD ， 先证△PCE≌△PDE(SAS) ， 再证
△OCE≌△ODE(SAS) ， 可得∠OCE=∠ODE=90° ， 根据切线的判定定理即证；
（2） 过点 D 作 DF⊥CE 于点 F ， 在 Rt△OCE 中 利用勾股定理求出OE=5，利用面
12 24
积相等求出CP= ， 由垂径定理可得CD=2CP= ， 设 EF=x ， 则 CF=4−x ，
5 5
24 2
在 Rt△DCF 和 Rt△≝¿ 中，由勾股定理可得 DF2=CD2−CF2=( ) −(4−x) 2 ，
5
学科网（北京）股份有限公司DF
DF2=DE2−EF2=42−x2 ，据此建立方程，求出x值即可求出DF，由sin∠DEC= 即可求出结论.
DE
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
