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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
第二十三章 旋转·基础通关
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点 于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律．根据原点对称的性质，两个对称点的
横纵坐标均互为相反数，直接应用即可得出答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 ．
故选：C．
2．下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它
的中心旋转角 后，能够与它本身重合，则角 的大小可以为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图
形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为 ，
∴该叶片图案绕中心至少旋转 后能与原来的图案重合，
∴角 的大小可以为 ，
故选：B．
4．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转得到 ．当 恰好落在 上时，
连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
【详解】解：由旋转的性质可知， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ．
故选：B
5．如图， 绕点O旋转 得到 ，下列说法错误的是（ ）A． 与 关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转
，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的性
质进而可得答案．
【详解】解： 绕点O旋转 得到 ，
A、 与 关于点O成中心对称，符合题意
B、点B和点E关于点O对称，说法正确，不符合题意；
C、∵ 绕点O旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴说法正确； 不符合题意；
D、∵ 绕点O旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴说法正确； 不符合题意；
故选A．
6．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点均为格点（网格线的交点），将 绕某点顺时针旋转，
每次旋转 ．已知第1次旋转结束时，得到 （点 ， ， 均为格点），则第82次旋转结束时，
点 的对应点的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得 的对应点为 ， 的对应点为 ， 的
对应点为 ，同时旋转中心在 和 的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，然后得到每旋转4次一
个周期，由 得到第82次旋转结束时，点 的对应点的坐标和点H的坐标相等，进而求解
即可．掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
由旋转的性质可得 的对应点为 ， 的对应点为 ， 的对应点为 ，
∴交点在 和 的垂直平分线上，如图，
∴旋转中心的坐标为 ，
如图所示，设旋转中心为M，将 绕点M顺时针旋转 得到 ，将 绕点M顺时针旋转
得到 ，将 绕点M顺时针旋转 得到 ，∴每旋转4次一个周期
∵
∴第82次旋转结束时，点 的对应点的坐标和点H的坐标相等
∴点 的对应点的坐标为 ．
故选：A．
7．如图，在 中， ，将 绕顶点A按顺时针方向旋转得到 ，当 首次
经过点D时，旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角．
根据平行四边形的性质得到 ，由旋转的性质得到 ， ，根据
等边对等角得到 ，即可求出旋转角 的度数．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ 绕顶点A按顺时针方向旋转得到 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
8．如图，抛物线 与 轴交于点 ， 为 轴负半轴上一点，将线段 绕点 顺时针旋转
得到线段 ，若点 恰好在抛物线上，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，能作辅助
线构造全等三角形是解题的关键．先求出 ，然后设点 的坐标为 ，过点 作 于点 ，
证得 ，即可得点 的坐标为 ，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：令 ，则 ，
，
设点 的坐标为 ，过点 作 于点 ，
由旋转可得： ， ，，
，
，
，
， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
把 代入 得 ，
解得 ， 舍去 ，
点 的坐标为 ，
故选：D．
9．如图，矩形 绕点D逆时针旋转 得到矩形 ，连接 交 于点E，F为 的中点，
连接 交 于点G，连接 ， ．给出下面四个结论：① ；② ；③ ；
④ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【分析】连接 ，根据旋转性质可以确定 ，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得
出结论①；根据旋转性质证明 从而得出结论②；证明 ，通过勾
股定理从而得出结论③；延长 交 于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④．
【详解】解：如图，连接 ，矩形 绕点D逆时针旋转 得到矩形 ，
，
F为 的中点，
，故①正确；
矩形 绕点D逆时针旋转 得到矩形 ，
， ，
，
，
， F为 的中点，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，故②正确；
， , ，
，
，为等腰直角三角形，
，故③正确；
如图，延长 交 于点H，
， ，
，
，
，即 ，
，
，
，故④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全
等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
10．如图，正六边形 的顶点 对应的坐标分别为 和 ，将正六边形 沿
轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在 轴上，有下列说法：
①滚动一次后，点 落在点 处；
②正六边形 的顶点不可能和点 重合；
③在滚动过程中，顶点 可能和点 的重合．其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形的性质和旋转的性质．核心素养表现为空间观念和推理能力．
根据正多边形的内角和定理得到 ， ，如图，连接 ，过点 作 于点 ，由
含 角的直角三角形的性质，旋转的性质，数学结合分析即可求解．
【详解】解：在正六边形 中，每个内角的度数为 ，即 ，
∵顶点 对应的坐标分别为 和 ，
∴正六边形 的边长为2，即 ，
如图，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，
， ，
， ， ，
滚动一次后，点 落在 处，
点 的坐标为 ，①正确；
点 的坐标为 ，每滚动一次，落在 轴上的边的右侧顶点的横坐标就会增加2，
正六边形 的顶点不可能和点 重合，②正确；
由图可知，当正六边形滚动三次后，点 的坐标为 ，③正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（填序号）
①等边三角形；②直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形【答案】 /
【分析】③本题⑤主⑤要③考查了中心对称图形和轴对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形和轴对称的定义，
轴对称，把一个图形一部分沿着某一条直线折叠，能够与另一部分重合的图形；中心对称，一个图形围绕
着某一个旋转180度能够与原来的图形重合；旋转图形，一个图形围绕着某一个点旋转任意角度能够与原
来的图形重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：等边三角形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；一般的直角三角形既不是轴对称
图形也不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；长方形、圆既是轴对称图形又
是中心对称图形．
故答案为：③⑤ ．
12．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ．
【答案】M
【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角
等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．
判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解．
【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是 ，
因此格点M就是所求的旋转中心．
故答案为：M．
13．如图，在 中， 为 的中点，点 在 边上（不与端点重合），将
射线 绕点 顺时针旋转 后与 交于点 ，则四边形 的面积是 ．【答案】9
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质．连接
，证明 ，可得 ，从而得到四边形 的面积
，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积．
故答案为：9
14．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形 的顶点 与正方形 的中心重合．在正方形
绕点 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作
于点P， 于点Q，则可证明 ，得出 ，根据
得出答案即可．
【详解】解：如图，过点E作 于点P， 于点Q，
则 ，
∵点E是正方形 的中心，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
15．如图，在正方形内有一点 ，连接 ， ， ，将 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
点 恰好在线段 上，若 ， ，则 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转得到 ， ，
，结合勾股定理求出 ，求出 结合勾股定理即可得到答案．
【详解】解：∵ 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
16． 中， ， ，点 是 的中点，将 绕点 向三角形外部旋转 角时
，得到 ，当 恰为等腰三角形时， 的值为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是学会题分类讨
论的思想思考问题．分三种情形讨论①如图1中，当 时，②如图2中，当 时，③如图3
中，当 时，分别利用全等三角形的性质计算即可．
【详解】解：在 中，
，
，
①如图1中，
当 时，
在 和 中，
，
，
．
②如图2中，当 时，同理可证 ，，
．
③如图3中，当 时，同理可证 ，
，
故答案为 或 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．如图，在 中， ， ， ，将 逆时针旋转一角度后与 重
合，且点D恰好是 的中点．
(1)旋转中心是点 ， 的长为 ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)A，(2)
【分析】本题考查了旋转的相关知识点．
（1）由“ 顺时针旋转一定角度后与 重合”可得旋转中心点，根据旋转的性质得出
， ，据此可求得 ；
（2）根据旋转的性质得出 ．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
即 ，
∵ 顺时针旋转一定角度后与 重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为 ；
∴ ， ，
∵点D恰好成为 的中点，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A， ；
（2）解：∵ 顺时针旋转一定角度后与 重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为 ；
∴ ，
故答案为： ．
18．如图所示的正方形网格中， 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列
问题：
(1)将 绕点O顺时针旋转90度，得到 ．在图中画出旋转后的 ；
(2)作 关于坐标原点成中心对称的 ；(3) 的坐标_________， 的坐标_________．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)
【分析】本题考查坐标与图形变换，旋转和中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质，是解题的关键：
（1）根据旋转的性质，画出 即可；
（2）根据中心对称的性质，画出 即可；
（3）根据图形直接写出两个点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）如图， 即为所求；
（3）由图可知： ．
19．如图，点 为等腰直角三角形 斜边 上一动点（点 不与线段 两端点重合），将 绕点顺时针方向旋转 到 ，连接 、 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长；
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）由旋转性质得： ， ，结合等腰直角三角形性质可利用“边角边”证明
，最后由全等三角形性质即可得证；
（2）结合全等三角形性质、等腰直角三角形性质推得 是直角三角形，由勾股定理求出 、 ，
则 ．
【详解】（1）证明：由旋转性质得： ， ，
是等腰直角三角形，
， ，
即 ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
．
（2）解：依题得： ， ，
中， ，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
中， ，
．
【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解
题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形 ，在打开医药箱的过程
中，矩形 （箱盖）可以绕点 逆时针旋转，落在 的位置，且 ，
．
(1)如图2，当旋转角 时，求点 与点 之间的距离；
(2)如图2，当旋转角 时，求点 到 的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判定 是等边三角形，解答即可；
（2）过点 作 于点 ，垂足为点 ，且与 交于点 ．利用等边三角形的性质，勾股定理，
矩形的性质解答即可．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接 ，由题意得 ，
是等边三角形，
，故点 与点 之间的距离为 ．
（2）解：过点 作 于点 ，垂足为点 ，且与 交于点 ．
由题易得四边形 为矩形，
，
由（1）可知 ，则
答：点 到 的距离为 ．
21．如图1，正方形 和正方形 三点共线， ， ．将正方形 绕点
逆时针旋转 ，连接 ．
(1)如图2，求证： ；
(2)如图3，在旋转的过程中，当 三点共线时，试求 的长；
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知相
关知识是解题的关键．
（1）根据正方形的性质可得 ， ， ，再求出 ，然后
利用“边角边”证明 ，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）过点 作 于 ，根据正方形的性质与勾股定理得 ，从而求得 ，再在在
中，由勾股定理，求得 ，即可由 求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：如图所示，过点 作 于 ，
∵在正方形 中，， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ．
22．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点（点 在点 的
左侧）．
(1)求 ， 两点的坐标．
(2)将直线 向上平移 个单位长度后，平移后的直线与抛物线 仅有1个公共点，求
的值．
(3)将直线 绕点 顺时针旋转 ，得到直线 ， 为旋转后的直线与抛物线 的交点，求
点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与二次函数交点的计算，一
次函数图形平移的性质，二次函数与几何图形的综合运用是关键．
（1）联立方程组求解即可；
（2）根据函数的平移得到平移后的解析式为 ，根据只有一个交点得到关于 的一元二次方程的判别式 ，由此即可求解；
（3）根据题意，过点 作 轴于点 ，过点 作 延长线于点 ，设旋转后的直线与 轴交
于点 ，则 ，可得 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，
，则 ，运用待定系数法得到直线 的解析式，联立方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，联立方程组得， ，
解得， ，
∴ ；
（2）解：直线 向上平移 个单位长度后的解析式为 ，
∵平移后的直线与抛物线 仅有1个公共点，
∴ ，整理得， ，
∴ ，
解得， ；
（3）解：如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 延长线于点 ，设旋转后的直线与
轴交于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
联立直线 于抛物线 为方程得， ，
解得， ，
∴ ．
23．如图，两个等腰直角 和 中， ．
(1)观察猜想如图1，点E在 上，线段 与 的数量关系是________，位置关系是_________．(2)探究证明把 绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗?说明理由；
(3)拓展延伸：把 绕点C在平面内自由旋转，若 ， ，当A、E、D三点在直线上
时，请直接写出 的长．
【答案】(1)相等，垂直
(2)（1）中的结论还成立，理由见解析
(3) 的长的长为17或31
【分析】（1）延长 交 于 ，证明 ，得出 ， ，再由三
角形内角和定理求出 ，即可得解；
（2）延长 交 于 ，证明 ，得出 ， ，再由三角形内角
和定理求出 ，即可得解；
（3）分两种情况：当射线 在直线 上方时，作 于 ；当射线 在直线 的下方时，作
于 ，分别利用等腰三角形的性质、勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，延长 交 于 ，
，
∵ 和 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴点E在 上，线段 与 的数量关系是相等，位置关系是垂直；
故答案为：相等；垂直
（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：
如图，延长 交 于 ，
，
∵ 和 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，当射线 在直线 上方时，作 于 ，
，
∵ 为等腰直角三角形，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当射线 在直线 的下方时，作 于 ，
，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的长的长为17或31．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，
熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
24．在平面直角坐标系中，已知矩形 ，点 ，现将矩形 绕点O逆时针旋转
得到矩形 ，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．(1)如图1，当点E落在边 上时，线段 ，旋转角 °；
(2)在（1）的条件下，求直线 的函数表达式；
(3)如图2，当C、E、F三点在一直线上时， 所在直线与 分别交于点H、M，求线段 的长
度．
【答案】(1) ，45；
(2) ；
(3)2
【分析】（1）由矩形的性质得， ， ， ，根据勾股定理求得 ，进而
可求出 ，进而可求出旋转角；
（2）由（1）可得 ，求得直线 的表达式为 ，过点G作 轴于点A，利用勾股定
理求得 ，设 的函数表达式为 ，再利用待定系数法求解即可；
（3）过点M作 于点N，连接 、 ，旋转的性质得 ， ，再根据等腰三
角形的性质得 ，证明四边形 是矩形，可得 ，可证 ，可得
，设 ，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ， ，
∵矩形 是矩形 旋转得到，
∴ ， ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ，45；
（2）解：由（1）可知， ，
设直线 的表达式为 ，
把点 代入得， ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
设 的函数表达式为 ，
过点G作 轴于点A，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把点 代入 得， ，
解得 ，
∴ 的函数解析式为 ；（3）解：如图，过点M作 于点N，连接 、 ，
∵矩形 是矩形 旋转得到，
∴ ， ，
∵C、E、F三点在一条直线上，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴线段 的长度为2；
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质与判定、勾股定理、旋转的性质、全等三
角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．【课本再现】
如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边
长相等，四边形 为两个正方形的重叠部分，正方形 可绕点 转动．
【问题发现】
（1）①线段 之间的数量关系是_______________；
②在①的基础上，连接 ，则线段 之间的数量关系是____________．
【拓展应用】
（2）如图2，若矩形 的一个顶点 是矩形 对角线 的中点， 与边 相交于点 ，延
长 交 于点 ， 与边 相交于点 ，连接 ．矩形 可绕点 转动，猜想
之间的数量关系，并进行证明．
【类比迁移】
（3）如图3，在 中， ，点 在边 的中点处，它的两条边
和 分别与直线 相交于点 ． 可绕点 转动，当 时，请直接写出 的
面积．
【答案】（1）① ② （2） ，证明见解析（3） 或
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判
定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．（1）①根据题型先证明 ，进而即可得出线段 之间的数量关系；
②根据 ，得出 ，进而根据勾股定理得出 ，根据线段之间的数量
关系，即可得出结论；
（2）猜想： ，连接 ，延长 交 于 ，证明 ，再利用勾股
定理证明即可；
（3）设 ，分两种情况讨论：①当点 在线段 上时，②当点 在 延长线上时，结合勾股定理，
即可求解．
【详解】解：（1）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ；理由如下：
连接 ，如图2：∵ 为矩形中心，
∴ ，
延长 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ；
（3）设 ，
①当 在线段 上时，如图3，∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
又由（2）易知 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，即 ，
；
②当点 在 延长线上时，
同理可证 ，
∴ ，
又在 中，
，
∴ ，
解得 ，即 ，
；
故 的面积为 或 ．
