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26.2.2 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的图象与性质
知识点一 𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒌的图象与性质
首先，我们在同一个坐标系下，画出𝑦=
1
2 𝑥2、𝑦=
1
2 𝑥2 + 2、𝑦=
1
2 𝑥2 −2的图象：
按照五点作图法，得出以下各组数据：
𝑥
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦= 1
2 𝑥2
…
1
0.5
0
0.5
1
…
𝑦= 1
2 𝑥2 + 2
…
4
2.5
2
2.5
4
…
𝑦= 1
2 𝑥2 −2
…
0
−1.5
−2
−1.5
0
…
描出图象：
第二十六章
二次函数
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完成下列表格，进行对比：
函数
𝑦= 1
2 𝑥2 + 2
𝑦= 1
2 𝑥2
𝑦= 1
2 𝑥2 −2
开口方向
开口向上
开口向上
开口向上
顶点坐标
(0,2)
(0,0)
(0, −2)
对称轴
𝑦轴
𝑦轴
𝑦轴
不难发现，这三个函数顶点坐标不同，再观察三个图象之间的位置关系，把抛物线
𝑦=
1
2 𝑥2向上平移2 个单位长度，就得到抛物线𝑦=
1
2 𝑥2 + 2；把抛物线𝑦=
1
2 𝑥2向下
平移2 个单位长度，就得到抛物线𝑦=
1
2 𝑥2 −2。
所以我们认为，随着𝑘的变化，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘的图象会向上或向下平移。
当𝑘> 0时，即把抛物线𝑦= 𝑎𝑥2向上平移|𝑘|个单位长度，得到抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘；
当𝑘< 0时，即把抛物线𝑦= 𝑎𝑥2向下平移|𝑘|个单位长度，得到抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘。
特别提醒
𝑦= 𝑎𝑥2上下平移前后，改变的是顶点的纵坐标（好比从(0,0)变成(0, 𝑘)），它的最值也
会随之发生改变，而以下几个性质不会发生改变：①开口方向和大小（𝑎的符号和数
值都没有发生改变）；②对称轴（仍是𝑦轴，即𝑥= 0）；③抛物线的形状，更直观的理
解，可以认为是对整个抛物线“整体搬家”。
归纳总结
二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘(𝑎≠0)的图象性质：
𝑎> 0
图象
𝑘> 0
𝑘< 0
开口方向
开口向上
顶点坐标
(0, 𝑘)
对称轴
𝑦轴
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增减性
当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小
最值
𝑥= 0时，函数取最小值为𝑘
𝑎< 0
图象
𝑘> 0
𝑘< 0
开口方向
开口向下
顶点坐标
(0, 𝑘)
对称轴
𝑦轴
增减性
当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而增大
最值
𝑥= 0时，函数取最大值为𝑘
知识点二 𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐的图象与性质
在同一坐标系中，画出𝑦=
1
2 𝑥2、𝑦=
1
2 (𝑥+ 1)2、 𝑦=
1
2 (𝑥−1)2的图象，再对它们的
性质进行对比。
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函数
𝑦= 1
2 (𝑥+ 1)2
𝑦= 1
2 𝑥2
𝑦=
1
2 (𝑥−1)2
开口方向
开口向上
开口向上
开口向上
顶点坐标
(0, −1)
(0,0)
(0,1)
对称轴
𝑥= −1
𝑥= 0
𝑥= 1
经过对比，可以发现，把抛物线𝑦=
1
2 𝑥2向左平移1 个单位长度，就得到抛物线𝑦=
1
2 (𝑥+ 1)2; 把抛物线𝑦=
1
2 𝑥2向右平移1 个单位长度，就得到抛物线𝑦=
1
2 (𝑥−1)2;
所以我们认为，随着ℎ的变化，二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2的图象会向左或向右平移。
当ℎ> 0时，即把抛物线𝑦= 𝑎𝑥2向右平移|ℎ|个单位长度，得到抛物线𝑦=
𝑎(𝑥−ℎ)2；
当ℎ< 0时，即把抛物线𝑦= 𝑎𝑥2向左平移|ℎ|个单位长度，得到抛物线𝑦=
𝑎(𝑥−ℎ)2。
拓展延伸
关于求二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2的对称轴的问题，有一个非常简单的办法，那就是：
对称轴直线𝑥等于括号内𝑥之后的数字的相反数，例如：
𝑦= 2(𝑥−2)2的对称轴为：直线𝑥= 2；其中，括号内𝑥之后的数为“−2”,因此对称
轴就是“−2”的相反数，即2.
𝑦= −(𝑥+ 3)2的对称轴为：直线𝑥= −3；其中，括号内𝑥之后的数为“+3”,因此对
称轴就是“+3”的相反数，即−3.
归纳总结
二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2(𝑎≠0)的图象性质：
𝑎> 0
图象
ℎ> 0
ℎ< 0
开口方向
开口向上
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顶点坐标
(ℎ, 0)
对称轴
直线𝑥= ℎ
增减性
当𝑥> ℎ时，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑥< ℎ时，𝑦随𝑥的增大而减小
最值
𝑥= ℎ时，函数取最小值为0
𝑎< 0
图象
ℎ> 0
ℎ< 0
开口方向
开口向下
顶点坐标
(ℎ, 0)
对称轴
直线𝑥= ℎ
增减性
当𝑥> ℎ时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥< ℎ时，𝑦随𝑥的增大而增大
最值
𝑥= ℎ时，函数取最大值为0
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知识点三 𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的图象与性质
在同一坐标系中，画出𝑦=
1
2 𝑥2、𝑦=
1
2 (𝑥+ 1)2、 𝑦=
1
2 (𝑥+ 1)2 −1的图象，对比三个
函数图象的各项性质，并观察三个图象之间的位置关系。
函数
𝑦= 1
2 𝑥2
𝑦= 1
2 (𝑥+ 1)2
𝑦= 1
2 (𝑥+ 1)2 −1
开口方向
开口向上
开口向上
开口向上
顶点坐标
(0,0)
(−1,0)
(−1, −1)
对称轴
直线𝑥= 0
直线𝑥= −1
直线𝑥= −1
最值
最小值0
最小值0
最小值−1
从中观察顶点坐标的位置变化：
(0,0) (−1,0) (−1, −1)
从中观察对称轴的位置变化：
𝑥= 0 𝑥= −1 𝑥= −1
不难看出：
𝑦=
1
2 𝑥2 𝑦=
1
2 (𝑥+ 1)2 𝑦=
1
2 (𝑥+ 1)2 −1
向左平移 1 个单位
向下平移 1 个单位
向左平移1 个单位
向下平移1 个单位
向左平移1 个单位
未移动
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因此我们可以得到结论：
𝑦= 𝑎𝑥2 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘
通过图象可以看出，𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘(𝑎≠0)的顶点为(ℎ, 𝑘)，我们也称该式为“顶
点式”。
归纳总结
二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘(𝑎≠0)的图象性质：
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘
𝑎> 0
𝑎< 0
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
(ℎ, 𝑘)
(ℎ, 𝑘)
对称轴
直线𝑥= ℎ
直线𝑥= ℎ
增减性
当𝑥> ℎ时，𝑦随𝑥增大而增大
当𝑥< ℎ时，𝑦随𝑥增大而减小
当𝑥> ℎ时，𝑦随𝑥增大而减小
当𝑥< ℎ时，𝑦随𝑥增大而增大
最值
当𝑥= ℎ时，函数最小值为𝑘
当𝑥= ℎ时，函数最大值为𝑘
易错点 1 顶点坐标写反
•
错例：对于二次函数𝑦= 2(𝑥+ 3)2 −1，顶点坐标写成(3, −1)或(−3,1)；
•
错因：受“括号内符号看反”的惯性影响，认为“有加号就是正，有减号就是
负”，反向记忆；
•
规避方法：可以通过计算的方法保证不出错，令括号内的整体等于“0”，即𝑥+
3 = 0，求出的𝑥就是顶点坐标横坐标，而顶点坐标的纵坐标就是顶点式最后面的常
数，一定要带上前面的符号。
易错点 2 对称轴写错
•
错例：对于二次函数𝑦= −(𝑥−2)2 + 5，对称轴写成𝑦轴或𝑥= 2但无法理解；
•
错因：只关注顶点，却忘了对称轴是“穿过顶点的竖直线”，缺乏“顶点横坐标
即为对称轴”的关联意识；
•
规避方法：对称轴就是直线𝑥= ℎ，对称轴和顶点坐标横坐标是一样的，并非所有
的对称轴都是𝑦轴。
向左/右平移|ℎ|个单位
向上/下平移|𝑘|个单位
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易错点 3 平移方向混淆
•
错例：描述𝑦= 𝑥2变成𝑦= (𝑥−3)2 + 2时，说成“向左平移3 个单位、向上平移2
各单位”；
•
错因：将一些代表负面意义的词和主观想法强行联系在一起，亦或是和数轴上的
点的平移混淆，认为往左平移就是减，往右平移就是加，引起这样错误的知识迁移；
•
规避方法：除了“上加下减，左加右减”的方法之外，还可以看顶点如何移动，
顶点的移动路径，就代表函数图象的移动路径。例如：原来的顶点是(0,0)，变化之后
顶点是(3,2)，从(0,0)变成(3,2)需要先向右移动3 个单位，再向上移动2 个单位。
易错点 4 增减性不换“参照系”
•
错例：对于二次函数𝑦= 2(𝑥−1)2 + 3，仍说“当𝑥< 0时，𝑦随着𝑥的增加而减
小”；
•
错因：思维惯性，依然以𝑦轴为界，忘记了对称轴已经右移到𝑥= 1；
•
规避方法：做题第一步先写出对称轴𝑥= ℎ，并在草稿纸上画出这条虚线竖线，所
有讨论增减性的问题，必须以这条线为分界。
易错点 5 最值与开口方向“脱钩”
•
错例：对于二次函数𝑦= −3(𝑥+ 2)2 −4，认为有最小值−4；
•
错因：只记住了“最值是𝑘”，但忘了前提是“开口向上才有最小值，开口向下才
有最大值”；
•
规避方法：先看𝑎确定函数有最大值还是最小值，再看对𝑥的取值范围是否有限
制，如果𝑥可以取全部实数，则最值在顶点位置处；如果𝑥也有对应的取值范围，再判
断端点值与顶点的大小，即可确定最值。
•
题型一：𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒌的图象及性质
方法技巧
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘的开口方向、开口大小、对称轴、增减性都和𝑦= 𝑎𝑥2一样，只有顶点坐标
和最值不同，𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘的顶点坐标是(0, 𝑘)，而它的最值也是𝑘。
当提到两个函数图象开口大小一样时，则代表|𝑎|相同；反之，若|𝑎|相同，则代表两个函
数图象开口大小也是一样的。
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1.（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数
的图象，下列说法正确的
是（ ）
A．开口向下
B．与y 轴交于点
C．对称轴是直线
D．顶点坐标为
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出
与y 轴交点坐标，逐一判断选项即可.
【详解】解：∵二次函数解析式为
，其中二次项系数
∴抛物线开口向上，A 错误；
令
，得
，因此抛物线与y 轴交于点
，B 错误；
对于形如
的二次函数，对称轴为直线
，因此C 正确；
的顶点坐标为
，因此D 错误.
2．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线
，则顶点
坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：∵ 抛物线顶点式为
，对应顶点坐标为
.
∴ 抛物线
的顶点坐标为
.
3．（25-26 九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数
的图象的顶点坐标是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数
的顶点坐标
为
，据此可得答案．
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【详解】解：二次函数
的图象的顶点坐标是
，
故选：C．
4．（25-26 九年级上·江苏扬州·期末）抛物线
的顶点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公
式．
利用形如
的二次函数的顶点坐标为
即可求解．
【详解】解：∵形如
的二次函数，其顶点坐标为
，
∴抛物线
的顶点坐标为
，
故选：D．
5．（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）抛物线
的对称轴是（ ）
A．直线
B．
轴
C．
轴
D．直线
【答案】C
【分析】把抛物线化成顶点式
，进而即可得到答案；
本题考查了抛物线的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键
【详解】解：根据题意，得
，
∴ 抛物线的顶点坐标为
，
∴抛物线的对称轴为
,即y 轴
故选：C
6．（25-26 九年级上·湖北恩施·期末）对任何实数
，抛物线
和
，以下
说法正确的是（ ）
A．形状相同
B．顶点相同
C．最小值相同
D．最大值相同
【答案】A
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【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线
是由抛物线
向上（下）平移
个单位得到，进而求解．
【详解】解：∵抛物线
是由抛物线
向上（下）平移
个单位得到，
∴抛物线
和
形状相同， 故A 正确，符合题意；
∵抛物线
，开口向上，顶点坐标为
，有最小值为m；抛物线
，开口
向上，顶点坐标为
，有最小值为0．故B、C、D 错误，不符合题意；
故选：A．
7．（25-26 九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线
的顶点坐标是
，且形
状及开口方向与抛物线
相同，则a，c 的值分别为（ ）
A．
，2
B．
，
C．
，2
D．
，
【答案】A
【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数
a 决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a 相同，再将顶点坐标代入解析式即可
求出c．
【详解】∵抛物线
的形状及开口方向与
相同，
∴
，
∵抛物线的顶点坐标是
，
∴将
，
代入解析式
得：
，
∴
．
8．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数
，当
时，
的
取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据二次函数
，得出开口方向向下，对称轴是y 轴，结合
，
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得出
的取值范围是
，即可作答．
【详解】解：∵二次函数
，
，对称轴为
轴，
∴该函数图象开口向下，当
时，y 随x 的增大而减小，当
时，y 随x 的增大而增
大，当
时，y 取得最大值5，
当
时，
，
当
时，
，
∴当
时，y 的取值范围是
．
题型二：𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒌上的点坐标相对大小
方法技巧
若需要比较函数上的点的纵坐标相对大小：
①找对称轴；
②标点；
③若点分布在对称轴同一侧，则根据函数增减性直接得到结论；若点分布在对称轴两
侧，则看点的相对高低：越高的点，纵坐标的值越大；越低的点，纵坐标的值越小。
当然，也可以选择将𝑥的值代入到函数中求出𝑦进行比较，这种方法更直接一些。
1.（2026·吉林长春·一模）若点
和点
都在抛物线
上，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【分析】直接将点的横坐标代入抛物线解析式，得到
与
的表达式，即可比较大小．
【详解】解：
点
和点
都在抛物线
上，
将
代入解析式得
；
将
代入解析式得
；
，
．
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故选：
．
2．（25-26 九年级上·福建厦门·期末）已知点
在抛物线
上，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较．通过将点的横坐标代入抛物线解析式，
直接计算纵坐标值，并比较大小即可．
【详解】解：∵点
在抛物线
上，
∴
，
，
∴
．
故选：A
题型三：𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐的图象及性质
方法技巧
熟记𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2的以下各项性质：
①对称轴：直线𝑥= ℎ；
②顶点坐标：(ℎ, 0)；
③增减性：描述增减性时，是以直线𝑥= ℎ未分界线的，并非是𝑦轴。
确认图象时，主要看以下几个关键点：①开口方向；②对称轴；③顶点坐标。
1.（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）抛物线
的对称轴是（ ）
A．直线
B．直线
C．
轴
D．直线
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数顶点式的意义，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键．
直接利用二次函数顶点式求出对称轴即可．
【详解】∵
∴对称轴为直线
，
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故选：B．
2．（25-26 九年级上·河北邢台·期末）下列抛物线的顶点坐标为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为
，则抛物线的
对称轴为直线
，顶点坐标为
．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐
标，然后进行判断．
【详解】解：A、
，顶点坐标为
，本选项不符合题意；
B、
，顶点坐标为
，本选项不符合题意；
C、
，顶点坐标为
，本选项符合题意；
D、
，顶点坐标为
，本选项不符合题意；
故选：C．
3．（25-26 九年级上·上海·阶段检测）抛物线
的顶点在（ ）
A．
轴上
B．
轴上
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置．
【详解】解：
顶点坐标为
，在
轴上，
故选：A．
4．（25-26 九年级上·青海西宁·期末）某抛物线与抛物线
的形状相同，且顶点为
，开口向下．该抛物线的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】本题主要考查了二次函数
的图象和性质．根据二次函数
的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点
式解答即可．
【详解】解：∵抛物线与抛物线
的形状相同，且顶点为
，开口向下．
∴该抛物线的函数表达式为
．
故选：C．
5.（2026·福建厦门·三模）已知抛物线
，其中
，该抛物线示意图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的顶点式
确定顶点坐标以及开口方向，结合
确定顶
点在坐标系中的位置即可解答．
【详解】解：∵ 抛物线的解析式为
，
∴该抛物线的顶点坐标为
，抛物线开口向上，
∵
，
∴顶点
在 x 轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A 符合题意．
6．（25-26 九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数
的图象
可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及
开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数
得到其顶点坐标与开口方向； 然
后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可．
【详解】解：∵二次函数
的顶点坐标为
，
∴二次函数图象的顶点在
轴负半轴上，
又∵
，
∴开口向上．
故选：D．
7．（25-26 九年级上·广东深圳·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式，判断图象即可．
【详解】解：∵
，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线
，顶点坐标为
；
∴符合条件的只有选项D；
故选D．
题型四：根据函数的增减性求取值范围
方法技巧
若根据函数的增减性求𝑥的取值范围，直接利用函数的增减性性质求不等式即可；
若是根据函数的增减性求参数的取值范围，则先确定函数的增减性，再和题干中描
述的增减性对照，对参数取合适的范围即可。
1.（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数
，当
时，
随
的增大而增
大，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合
二次函数的增减性和题目条件求解
的取值范围．
【详解】解：∵二次函数解析式为
，且
，
∴函数图象开口向上，对称轴为直线
，
∴当
时，
随
的增大而增大，
∵当
时，
随
的增大而增大，
∴
．
2．（25-26 九年级上·安徽池州·期末）在二次函数
的图象上，若y 随x 的增大
而增大，则x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的增减性，先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据开口
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方向判断函数的增减区间即可．
【详解】解：∵二次函数
的二次项系数为
，
∴该函数图象开口向上，
又∵该函数的对称轴为直线
，
∴当
时，y 随x 的增大而增大，
故选：D．
题型五：𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐上的点坐标相对大小
方法技巧
和在𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘上的点坐标判断的方法类似，在𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2上：
①找对称轴；
②标点；
③点若分布在对称轴同一侧，则按照增减性直接判断即可；若分布在对称轴两侧，
则需要对比点的相对高低，越高的点，𝑦值越大。
当然也可以选择直接代点计算，比较大小。
1.（2025 九年级上·上海·专题练习）已知
、
和
都在抛物线
上，那么
、
和
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各
点在抛物线上的
值，比较大小即可．
【详解】解： ∵
、
和
都在抛物线
上，
∴
，
，
，
∴
，
故选：A．
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2．（25-26 九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数
的图象上有
，
，
三点，则
的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，先理解题意，再直接计算出各点的函数值，最后比
较大小，即可作答．
【详解】解：∵二次函数
的图象上有
，
，
三点，
∴对于点
：
；
∴对于点
：
；
∴对于点
：
；
∵
，
∴
，
故选：C．
3．（25-26 九年级上·广东江门·期中）若点
，
，
都在二次函数
的图象上，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，通过直接计算各点的函数值，比较大小．
【详解】解：
二次函数为
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
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，
，
，
故
．
故选
．
4．（25-26 九年级上·天津东丽·期末）已知点
，
和
都在二次函数
的图象上，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的大小比较．
通过直接计算各点的函数值，比较大小即可．
【详解】解：∵点
，
和
都在二次函数
的图象上，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
即
．
故选：C．
5．（24-25 九年级上·安徽蚌埠·期中）若点
，
，
都在二次函数
的图象上，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，当
时，函数图象的点到对称轴的距离越
远，函数值越大，当
时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越小．
先求得函数图象的开口方向和对称轴，再根据各点离对称轴的距离大小即可判断．
【详解】解：由
得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线
，
∵点
，
，
都在二次函数
的图象上，且
，
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∴
，
故选：B．
6．（24-25 九年级上·北京·期中）若
，
，
为二次函数
图象上的三点，则
，
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．首先根据二次函数的解析式得到抛物线的对称轴为
且开口向上，其中点
和
在对称轴左侧，
在对称轴右侧，
找到点
关于对称轴的对称点，然后再根据二次函数的性质得到
．
【详解】解：
二次函数
的对称轴为
，且开口向上，
在对称轴左侧
随
的增大而减小，在对称轴右侧
随
的增大而增大，
和
在对称轴左侧，
在对称轴右侧，
点
关于对称轴的对称点是
，
，
故选：B．
题型六：二次函数对称性的应用
方法技巧
二次函数的图象具有对称性，若在对称轴一侧存在一点，则关于对称轴𝑥= ℎ对称
后，必然也会存在一点在函数图象上，并且这两个点的函数值相同。例如：
对于二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘，其对称轴为直线𝑥= ℎ，设在对称轴左侧图象上存
在点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，将其关于对称轴对称后，存在与之对应的点𝐵(𝑥2, 𝑦2)，并满足以下关
系：
𝑥1+𝑥2
2
= ℎ，𝑦1 = 𝑦2。
1.（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线
交x 轴于点
，若
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，则n 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线与
轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是
掌握二次函数的性质．
根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线
，则点
与点
关于直线
对
称，然后根据点
在
与
之间可判断点
在
与
之间，从而得到
的取值
范围．
【详解】解：∵抛物线
的对称轴为直线
，
而抛物线交
轴于点
，
∴点
与点
关于直线
对称，
∵
，
即点
在
与
之间，
点
在
与
之间，
，
故选：C．
2．（23-24 九年级上·浙江杭州·阶段检测）设函数
，
，直线
与函数
，
的图象分别交于点
，
，得（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关
键．根据题意分别画出
，
的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若
，则
，
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故A 选项错误；
如图所示，若
，则
或
，
故B、D 选项错误；
如图所示，若
，则
，
故C 选项正确；
故选：C．
3．（22-23 九年级上·浙江杭州·期末）设函数
，
，直线
的
图象与函数
，
的图象分别交于点
，
，得（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
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【分析】将
代入两个函数得到
和
的表达式，再结合各选项中
，
的大小关系，
比较
和
的大小即可得到答案．
【详解】解：依题意，
，
，
∴
若
，
∵
，∴
，
∵
，
，∴
，即
，
∴
，即
，C 正确，D 错误．
若
，
，
，
，得
，
，A 错误．
若
，
，无法确定
的正负，无法得到
，B 错误．
4．（2021·湖南长沙·二模）已知二次函数
（h 为常数），当自变量x 的值满足
1≤x≤3 时，其对应的函数值y 的最小值为1，则h 的值为（ ）
A．2 或4
B．0 或4
C．2 或3
D．0 或3
【答案】B
【分析】根据函数的对称轴为：x=h 和
的位置关系，分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：x=h，
①当
时，x=3 时，函数取得最小值1，即
，
解得h=4 或h=2（舍去）；
②当
时，x=1 时，函数取得最小值1，即
，
解得h=0 或h=2（舍去）；
③当
时，x=h 时，函数取得最小值1，不成立，
综上，h=4 或h=0，
故选：B．
【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键．
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题型七：𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的图象及性质
方法技巧
二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘的几条重要性质如下：
①顶点坐标：(ℎ, 𝑘)
②对称轴：直线𝑥= ℎ
③增减性：以直线𝑥= ℎ为分界线描述，即：当𝑥> ℎ时，𝑦随𝑥的增大而…；当𝑥< ℎ
时，𝑦随𝑥增大而…;
1.（21-22 九年级上·广西百色·阶段检测）抛物线
的对称轴是（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
【答案】A
【分析】抛物线顶点式的形式为
，其对称轴为直线
．
【详解】解：抛物线
的对称轴是直线
．
2．（22-23 九年级上·江苏宿迁·开学考试）抛物线
的顶点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：
抛物线为
，
顶点坐标是
．
3．（22-23 九年级下·江苏苏州·开学考试）由二次函数
，可知（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线
C．其图象与y 轴交点的纵坐标为1
D．当
时，y 随x 的增大而减小
【答案】D
【分析】根据二次函数顶点式
的性质，逐项判断即可得到正确结果．
【详解】解：对于二次函数
，其中
，
，
，
，
抛物线开口向上，A 选项错误；
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顶点式
的对称轴为直线
，
对称轴为直线
，B 选项错误；
抛物线与
轴交点，令
代入解析式：
，
与
轴交点纵坐标为
，不是，C 选项错误；
抛物线开口向上，对称轴为
，
当
时，
随
的增大而减小，D 选项正确
故选：D．
4．（2022 九年级上·广西南宁·专题练习）二次函数
的对称轴，顶点坐标
分别是（ ）
A．直线
，
B．直线
，
C．直线
，
D．直线
，
【答案】B
【详解】二次函数
，对称轴为直线
，顶点坐标为
．
对于二次函数
，
∵
，
∴二次函数
的图像开口向上，
∵
，
，
∴二次函数
的对称轴为直线
，顶点坐标为
．
5．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线
，下列说法正确的是
（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．
时，
随
增大而增大
【答案】C
【分析】根据顶点式
的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性
即可得到答案．
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【详解】解：
，
∴顶点坐标为
，对称轴为直线
，故B 错误，C 正确；
∵
，
∴抛物线开口向下，故A 错误，
∴当
时，
随
的增大而减小，故D 错误．
6．（2025·广东广州·二模）已知二次函数
，其顶点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求
解．
【详解】解：二次函数顶点式的形式为
，其顶点坐标为
．
∵已知二次函数为
，对比顶点式可得
，
∴该二次函数的顶点坐标为
．
7．（2022 九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数
，当
时，y
的取值范围____________．
【答案】
【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当
时，函数有最大值2，然后分别将
和
代入求解判断即可．
【详解】解：∵
中，
，
∴该二次函数图象的开口向下，
当
时，函数有最大值2，
当
时，
，
当
时，
，
∴当
时，
的取值范围是
．
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题型八：由𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的增减性求参数取值范围
方法技巧
当已知两点在抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘上时，若有给定的函数值的大小关系或增减
性，可以通过以下方法求参数取值范围：
①不等式法：直接将假设好的两个点的横坐标代入到二次函数表达式中，得出与之
对应的函数值，再根据给定的函数值的不等关系，列不等式，求解即可；
②性质法：利用二次函数自身的性质，先确定其开口方向以及对称轴，画草图，再
根据给定的增减性，与之对照，找到对称轴和参数之间的关系即可。
1．（25-26 九年级上·天津武清·阶段检测）点
都在抛物线
上．若
，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m 的
不等式．
根据
列出关于m 的不等式即可解得答案．
【详解】∵点
在抛物线
上，
∴
，
．
∵
，
∴
，
解得
．
故m 的取值范围为
．
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2．（25-26 八年级下·北京·期末）在二次函数
中，当
时，y 随x 的增
大而增大，则实数m 的值可以是______．（写出一个满足条件的m 值）
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到
的取值范围，任取一个范围内的值
即可．
【详解】解：二次函数
中，二次项系数为
，因此抛物线开口向上，对称
轴为直线
，
∴在对称轴右侧，
随
的增大而增大，
∵当
时，
随
的增大而增大，
∴
，
∴
的值可以是（答案不唯一，满足
即可）．
3．（25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知
关于
的二次函数
，
当
时，
随
的增大而减小，则实数
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数开口向下时，在对称轴右侧函数值随自变
量增大而减小；根据条件
时
减小，可确定对称轴位置需满足的不等式．
【详解】解：二次函数
的对称轴为直线
，且抛物线开口向下，
当
时，
随
的增大而减小．
当
时，
随
的增大而减小，
，解得
．
故答案为：
．
4．（25-26 九年级上·江西宜春·期末）抛物线
，当
时，
随
增大
而增大，则
的取值范围是___________．
【答案】
2
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于
的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为
是解题关键．
【详解】解：∵抛物线解析式为
， 且二次项系数
，
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∴抛物线开口向上，对称轴为
，在对称轴右侧
随
增大而增大，
∵当
时，
随
增大而增大，
∴
，
解得：
，
即
的取值范围是
．
故答案为：
．
题型九：𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的性质综合应用
方法技巧
对于二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘的性质综合应用题，有以下几点性质需要重点关
注：
①抓顶点：由解析式直接得顶点(ℎ, 𝑘)，对称轴𝑥= ℎ；
②看开口：𝑎> 0向上，𝑎< 0向下，其决定增减性和最值类型；
③对称性：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称，横坐标满足以下关系：
𝑥1 + 𝑥2 = 2ℎ；
④比大小：点到对称轴的距离越远，𝑎> 0时𝑦越大，𝑎< 0时𝑦越小；
⑤区间最值：若区间含顶点，最值在顶点处；若不含，在端点处取得。注意分情况
讨论。
1．（25-26 九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知抛物线
，点
，
在抛物线上，若对于满足
的任意实数
，
总成立，则实数m
的取值范围是________．
【答案】
或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握性质是关键．
由题意得抛物线的对称轴为直线
，得点D 关于对称轴的对称点为
，分两种情
况，当点E 在点D 右侧时；当点E 在点
的左侧时，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵抛物线解析式为
，
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∴抛物线的对称轴为直线
，
∴点D 关于对称轴的对称点为
，
当点E 在点D 右侧时，
满足
的任意实数
，
总成立，则需要
，
从而得
；
当点E 在点
的左侧时，
对于满足
的任意实数
，
总成立，
则需要
，从而得
，
解得
；
综上，满足条件的m 取值范围为：
或
；
故答案为：
或
．
2．（24-25 九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数
，当
时，
的最小值为
，则
的值为_____．
【答案】
或6
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，
根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知
的对称轴为直线
，顶点坐标为
，分两种情况讨论：当
时，
；当
时，在
，
，即可求解答案．
【详解】解：
的对称轴为直线
，
顶点坐标为
，
当
时，在
，函数有最小值
，
∵
的最小值为
，
∴
，
∴
；
当
时，离对称轴越远，函数值越小，
在
，
，
，
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∴当
时，函数有最小值，
∴
，
解得
；
综上所述：
的值为6 或
．
故答案为：6 或
．
3．（25-26 九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数
（
为常数，且
）中x 和y 满足下表：
x
…
1
3
5
6
…
y
…
5
0
0
12
m
①
；②
；③若点
在此抛物线上，则n 的值为
；④点
为该函数图象上的两点，则当
时，
；⑤若当
，函数有最小值12，则
或8．其中正确的是________．
【答案】②④⑤
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，求自变量的值，根
据表格分析函数值先减小再增大，则抛物线开口向上，即可判断①，根据表格数据即可判
断②，根据
，
在抛物线上，则
或
，即可判断③，待定系数法求得
解析式，进而判断④，根据
，函数有最小值12，分两种情况，即可求解．
【详解】解：根据表格可得当
或时，
∴抛物线的对称轴为直线
，
∴顶点坐标为
，
由表格可得，函数值先减小再增大，则抛物线开口向上，
∴
，故①错误，
∴当
时，
，故②
，正确，
∵点
在此抛物线上，
在此抛物线上，对称轴为直线
∴
或
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∴
或
，故③错误，
∵顶点坐标为
，
设抛物线解析式为
，代入
得
解得：
∴抛物线解析式为
点
、
为该函数图象上的两点，
∴
∵
∴
解得：
，故④正确；
当
时，
解得：
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
，
当
时，
随
的增大而增大，当
时，
随
的增大而减小，
∵当
，函数有最小值12，
∴
或
，
当
时，则
，解得：
当
时，则
，故⑤正确；
综上所述，②④⑤正确．
故答案为：②④⑤．
