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23.2 中心对称（第三课时）
【A组-基础题】
1．在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 的坐标是( )
A． B． C． D．
【详解】∵点 关于原点的对称点为 ，
∴ 的坐标为（-1，-2），
故选D．
2．在平面直角坐标系中，点 关于原点 的对称点是点 ，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【详解】∵ ，
∴OA= =5，
∵点 关于原点 的对称点是点 ，
∴OA= =5，
故选：C．
3．如图,在平面直角坐标系中, MNEF的两条对角线ME,NF交于原点O,点F的坐标是(3,2),
▱
则点N的坐标为( )
A．(-3,-2) B．(-3,2) C．(-2,3) D．(2,3)【详解】对于平行四边形MNEF，点N的对称点即为点F，
所以点F到X轴的距离为2，到Y轴的距离为3．
即点N到X、Y轴的距离分别为2、3，且点N在第三象限，
所以点N的坐标为（-3，-2）
故选：A
4．(2022自贡市中考)如图，菱形 对角线交点与坐标原点 重合，点 ，则点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为 ，
故选C．
5．已知点A(a，2018)与点A′(－2019，b)是关于原点O的对称点，则a＋b的值为( )
A．1 B．5 C．6 D．4
【详解】解：∵点A(a，2018)与点A′(−2019，b)是关于原点O的对称点，
∴a=2019，b=−2018，
∴a+b=1，
故选A.
6．已知点 关于原点对称的点在第四象限，则 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：点 关于原点对称的点为 ，
∵ 在第四象限，
∴ ，解得 ，
∴在数轴上表示为：
，
故选：B．
7．若点 与点 关于原点对称则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解： 点 与点 关于原点对称，
，解得： ，
故点 的坐标是 ．
故选： ．
8．已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）【详解】A、点 先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点 ，则点 的坐标为
，即为 ，则此项说法错误，不符题意；
B、绕原点按顺时针方向旋转 的点坐标变换规律：横、纵坐标互换，且纵坐标变为相反
数，
则点 绕原点按顺时针方向旋转 后到点 ，则点 的坐标为 ，此项说法正确，符
合题意；
C、点坐标关于原点对称的变换规律：横、纵坐标均变为相反数，
则点 与点 关于原点中心对称，则点 的坐标为 ，此项说法错误，不符题意；
D、点坐标关于 轴对称的变换规律：横坐标不变、纵坐标变为相反数，
则点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ，此项说法错误，不符题意；
故选：B．
9．已知点A(a＋b，4)与点B(－2，a－b)关于原点对称，则a2－b2等于( )
A．8 B．－8 C．5 D．－5
【详解】∵点A（a+b，4）与点B（-2，a-b）关于原点对称，
，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-4）=-8．
故选B．
10．在平面直角坐标系中，有 ， ， ， 四点，其中，关于
原点对称的两点为（ ）
A．点 和点 B．点 和点 C．点 和点 D．点 和点
【详解】解：B(2,−1)与 关于原点对称，
故选：D．
11．已知点A（ ， ）与点B（ ， ）关于原点对称，若 ，则 的值为
（ ）
A．2 B． C． D．【详解】解: ∵A（ ， ）与点B（ ， ）关于原点对称，
∴ = - ， = - ，
∵ + =2，
∴ + = - - = -( + )=-2,
故选D.
12．（1）点 关于y轴的对称点坐标是_________；点A关于原点的对称点的坐标是
________；点A关于x轴对称的点的坐标为__________；
（2）若 和点 关于x轴对称，则 ______， ______；
（3）已知点 与点 关于x轴对称，则 _______；
（4）已知点 与点 关于y轴对称，则 ______， _______．
【详解】解：（1）点 关于y轴的对称点坐标是（1，2）；点A关于原点的对称点的
坐标是（1，-2）；点A关于x轴对称的点的坐标为（-1，-2）；
（2）∵ 和点 关于x轴对称，
∴ 解得 ；
（3）∵点 与点 关于x轴对称，
∴ ，∴ ；
（4）∵点 与点 关于y轴对称，
∴ 则 ．
故答案为：（1，2）；（1，-2）；（-1，-2）；-2，3；1；-1，2．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为（2，2）
请解答下列问题：
(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△ABC，并写出 A 的坐标．
1 1 1 1(2)画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到的△ABC，并写出 A 的坐标．
2 2 2 2
(3)画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的△ABC，并写出 A 的坐标．
2 2 2 3 3 3 3
【详解】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△AB1C，如图所示，此时A 的坐标为（﹣
1 1 1
2，2）；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△AB2C，如图所示，此时A 的坐标为
2 2 2
（4，0）；
（3）画出△AB2C 关于原点O成中心对称的△AB3C，如图所示，此时A 的坐标为（﹣4，
2 2 3 3 3
0）．
【B组-提高题】
14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(-a，a)(a>0)，点B(-a-4，a+3)，C为该直
角坐标系内的一点，连结AB，OC．若AB∥OC且AB=OC，则点C的坐标为________
【详解】如图∵AB∥OC，AB=OC
易证△ABD≌△OCE≌△OFC
∴BD=CE，AD=OE
∵点A(-a，a)(a>0)，点B(-a-4，a+3)
∴AD=-a-（-a-4）=4，BD=a+3-a=3
∴OE=4，CE=3
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（-4,3）
∵点C和点C关于原点对称
∴C的坐标为（4，-3）
故答案为（-4,3），（4，-3）.
15．在如图所示的平面直角坐标系中， 是边长为2的等边三角形，作 与
关于点 成中心对称，再作 与 关于点 成中心对称，如此作下去，
则 (n是正整数)的顶点 的坐标是_______．
【详解】解：∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1∴A 的坐标为（1， ），B 的坐标为（2，0），
1 1
∵△BAB 与△OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵2×2-1=3，2×0- =- ，
∴点A 的坐标是（3，- ），
2
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵2×3-1=5，2×0-（- ）= ，
∴点A 的坐标是（5， ），
3
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
4 3 3
∵2×4-1=7，2×0- =- ，
∴点A 的坐标是（7，- ），
4
…
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×4-1，…，
∴An的横坐标是2n-1，An 的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1，
2 +1
∵当n为奇数时，An的纵坐标是 ，当n为偶数时，An的纵坐标是- ，
∴顶点An 的纵坐标是 ，
2 +1
∴△BnAn Bn （n是正整数）的顶点An 的坐标是（4n+1， ），
2 2 +1 2 +1 2 +1
故答案为：（4n+1， ）．
16．定义：将函数 的图象绕点 旋转 ，得到新的函数 的图象，我们称函数 是
函数关于点 的相关函数． 例如：当 时，函数 关于点 的相关函
数为 ．当 ， 时
①一次函数 关于点 的相关函数 ；
②点 在函数关于点 的相关函数的图象上，求 的值．
函数 关于点 的相关函数 ，则 ；
当 时，函数 关于点 的相关函数的最大值为 ，
求 的值．
【详解】解：（1）①当 时，则 ，∴ 关于原点对称的函数为y=x+1；
②∵y＝−ax2−ax+1＝−a(x+ )2+1+ a，
∴y=-ax2-ax+1关于点P(0，0)的相关函数为y＝a(x− )2−1− a，
∵点A( ，− )在函数y＝a(x− )2−1− a的图象上，
∴− ＝a( − )2−1− a，
解得a= ，
（2）∵函数y=(x-1)2+2的顶点为(1，2)，函数y=-(x+3)2-2的顶点为(-3，-2)，这两点关
于点P中心对称，
∴ ＝m，
∴m=-1，
故答案为：-1．
（3）∵y＝x2−mx− m2＝(x− m)2− m2，
∴y＝x2−mx− m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝−(x− m)2+ m2，①当 m≤m−1，即m≤-2时，y有最大值是6，
∴−(m−1− m)2+ m2＝6，
∴m＝1− ，m＝1+ （不符合题意，舍去），
1 2
②当m−1≤ m≤m+2时，即-2＜m≤4时，当x＝ m时，y有最大值是6，
∴ m2＝6∴m＝2 ，m＝−2 （不符合题意，舍去），
1 2
③当 m＞m+2，即m＞4时，当x=m+2时，y有最大值是6，
∴−(m+2− m)2+ m2＝6，
∴m＝−2±2 （不符合题意，舍去），
综上，m的值为1− 或2 ．
