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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 25.2.4 根与系数的关系—解一元二次方程 知识点一 根与系数的关系 定义：一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根分别为𝑥1、𝑥2，这两个根与方程的系 数𝑎、𝑏、𝑐有如下关系：𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎，𝑥1𝑥2 = 𝑐 𝑎。 推导过程：由一元二次方程的公式法可得，当∆≥0时，方程有两个实数根，分别为 𝑥1 = −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 ， 𝑥2 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 不难发现： 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏+ √𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 + −𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = −2𝑏 2𝑎= −𝑏 𝑎 𝑥1𝑥2 = −𝑏+ √𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 ∙−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = (−𝑏)2 −(𝑏2 −4𝑎𝑐) 4𝑎2 = 𝑐 𝑎 拓展延伸 对于根与系数的关系的推导，我们还有更具一般性的做法： 若一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的左侧可以分解因式为𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)，那么方 程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根为𝑥1、𝑥2。反过来，若一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的 两个根为𝑥1、𝑥2，则 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) 即 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎𝑥2 −𝑎(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑎𝑥1𝑥2 由此可得 −𝑎(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑏 , 𝑎𝑥1𝑥2 = 𝑐 因此 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎，𝑥1𝑥2 = 𝑐 𝑎 特别提醒 ①应用根与系数的关系之前，必须且只需满足三个条件，缺一不可： • （1）是一元二次方程（𝑎≠0）； • （2）是标准形式（𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，𝑎, 𝑏, 𝑐必须是最简合并后的系数）； 第二十五章 一元二次方程 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 • （3）有实数根（Δ ≥0）。 ②两根之和𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎中有一个致命的负号；两根之积𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑐 𝑎 则没有负号。 ③当方程缺一次项（𝑏= 0）或缺常数项（𝑐= 0）时，必须明确写出 𝑏= 0 或 𝑐= 0 代入， 不能空着。尤其当 𝑐= 0 时，两根之积为 0，意味着至少有一根为 0，这个意义要理解。 归纳总结 一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根分别为𝑥1、𝑥2，这两个根与方程的系数 𝑎、𝑏、𝑐有如下关系：𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎，𝑥1𝑥2 = 𝑐 𝑎。有时，我们会将该关系式称为“韦达 定理”。 知识点二 根与系数的关系基础对称式 ⚫ 二次变形： 𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 (𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 𝑥1𝑥22 + 𝑥2𝑥12 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) ⚫ 三次变形： 𝑥1𝑥23 + 𝑥2𝑥13 = 𝑥1𝑥2(𝑥12 + 𝑥22) = 𝑥1𝑥2[(𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2] 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥12 −𝑥1𝑥2 + 𝑥22) = (𝑥1 + 𝑥2) [(𝑥1 + 𝑥2)2 −3𝑥1𝑥2] ⚫ 分式变形： 1 𝑥1 + 1 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥2 𝑥1 + 𝑥1 𝑥2 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 𝑥1𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 𝑥1𝑥2 1 𝑥12 + 1 𝑥22 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 (𝑥1𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 (𝑥1𝑥2)2 ⚫ 绝对值变形： |𝑥1 −𝑥2| = √(𝑥1 −𝑥2)2 = √(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 拓展延伸 层级一：“降次代换”处理非对称式（重点！） 当所求代数式不对称时（如𝑥1 2 + 2𝑥2），不能直接套用公式，因为根与系数的关系只保证 对称式的值唯一。 • 策略：利用根的定义降次。 因为𝑥1是根，所以𝑥1 2 = −𝑏𝑥1 −𝑐（假设𝑎= 1便于理解），将𝑥1 2降为一次，再结合 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 两根和（或积）求解。这种方法无缝衔接高中“整体代换”思想。 层级二：根与系数的关系与判别式的“双剑合璧”（压轴题方向） 对于含参方程，题目给出两根的特殊关系（如𝑥1 = 2𝑥2，或𝑥1 2 + 𝑥2 2 = 5），需要联立： • 根与系数的关系给出等式关系； • 判别式Δ ≥0给出参数的取值范围，用来验根。切记，算出参数值后必须带回Δ验 证！ 归纳总结 先观察要求的代数式是否为对称式： ①若是，则需要将根与系数的关系的二次变形、三次变形、分式变形和绝对值变形的式 子灵活代入，求值即可； ②若不是，即要求的代数式为非对称式，则需要对式子中的最高次项进行降次处理。 易错点 1 不验证方程是否有解，直接用根与系数的关系求值 • 错例：对于方程𝑥2 + 𝑥+ 4 = 0，认为其存在两个根为𝑥1、𝑥2，且𝑥1 + 𝑥2 = −1， 𝑥1𝑥2 = 4 • 错因：思维惰性，只关注“求和求积”的公式，完全忘了根与系数的关系的“适 用范围” • 规避方法：“入境检查”三步法，强行规定做题第一步不写任何关系式，先单独 写一行：① 𝑎=? , 𝑏=? , 𝑐=?；② Δ =. ..；③ Δ ≥0。三行写完，才允许动笔写“由韦 达定理得”。 易错点 2 符号惯性出错 • 错例：对于方程𝑥2 + 5𝑥+ 6 = 0，𝑥1 + 𝑥2忘带负号，得到𝑥1 + 𝑥2 = 5 • 错因：受小学加法影响，潜意识认为“和一定是正数”，忽视了公式本身的负号 • 规避方法：代入根与系数的关系式时，不要直接出结果，而是先把𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎写 出来，再代数计算。 易错点 3 忽略系数𝒂 • 错例：对于方程2𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0，得出𝑥1𝑥2 = 1，却忘了除以2 • 错因：死记公式𝑥1𝑥2 = 𝑐，漏掉了分母的𝑎 • 规避方法：“公式完整性”的仪式感，每写一次根与系数的关系式时，强制要求 先写下完整的𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎，𝑥1𝑥2 = 𝑐 𝑎，再代入数字，禁止跳写为𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 易错点 4 “降次”时思维混乱 • 错例：对于方程2𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0，其存在两个不同的根𝑥1、𝑥2，需要求2𝑥1 2 + 𝑥2， 得到的是2𝑥1 2 + 𝑥2 = −3𝑥1 + 1 + 𝑥2 • 错因：没有理解“根的定义”是用来替换高次的，机械记忆步骤，导致𝑥2替换时 正负号颠倒 • 规避方法：先写根义，再降次，比如𝑥1满足 2𝑥1 2 −3𝑥1 + 1 = 0 ⇒2𝑥1 2 = 3𝑥1 − 1，必须原封不动移项，并要求在草稿纸上画箭头标明“降次替换处”，不可心算跳步 易错点 5 由两根关系求参数时不验证∆ • 错例：已知关于𝑥的方程𝑥2 −(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 + 1 = 0的两个实数根为𝑥1、𝑥2，且 满足(𝑥1 −1)(𝑥2 −1) = 4，求𝑚的值。最后得出𝑚= 3或−1 • 错因：缺乏“取值范围”的全局观念，认为代数方程解出来就结束了 • 规避方法：验根是最后一颗扣子，我们可以规定所有含参方程题，解出参数后， 必须将每个值重新代入原方程的Δ中计算。若Δ < 0，坚决舍去 • 题型一：不解方程求两根之和或之积 方法技巧 熟记根与系数的关系，主要注意以下几点： ①符号不要代错； ②系数需要找准； ③公式需要记清楚，不要出现分子分母倒置的情况； ④计算不要出错。 1.若 1x ， 2x 是一元二次方程 2 5 6 0 x x − + = 的两个根，则 1 2 1 2 x x x x + − 的值是（ ） A．11 − B．11 C．1 D．1 − 2.已知 1x ， 2x 是一元二次方程 2 2 9 0 x x + − = 的两个根，则 1 2 1 2 2 x x x x + − 的值为（ ） A．16 B．16 − C．20 D．20 − 3.已知 1x ， 2x 是一元二次方程 2 5 8 0 x x − − = 的两个根，则 1 2 1 2 x x x x + − 的值为（ ） A．13 B．13 − C．3 D．3 − 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 4.一元二次方程 2 3 4 0 x x− − = 的两根为 1x ， 2x ，则 1 2 1 2 x x x x + + = ______． 题型二：利用根与系数的关系求代数式的值 方法技巧 需要对以下公式熟练掌握，并灵活变形代入： ⚫ 二次变形： 𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 (𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 𝑥1𝑥22 + 𝑥2𝑥12 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) ⚫ 三次变形： 𝑥1𝑥23 + 𝑥2𝑥13 = 𝑥1𝑥2(𝑥12 + 𝑥22) = 𝑥1𝑥2[(𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2] 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥12 −𝑥1𝑥2 + 𝑥22) = (𝑥1 + 𝑥2) [(𝑥1 + 𝑥2)2 −3𝑥1𝑥2] ⚫ 分式变形： 1 𝑥1 + 1 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑥2 𝑥1 + 𝑥1 𝑥2 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 𝑥1𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 𝑥1𝑥2 1 𝑥12 + 1 𝑥22 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 (𝑥1𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 (𝑥1𝑥2)2 ⚫ 绝对值变形： |𝑥1 −𝑥2| = √(𝑥1 −𝑥2)2 = √(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 若要求的代数式为非对称式，则需要对其中的高次项进行降次处理，可将其中一个 解代回原方程，将最高次项单独保留在等号一侧，其他低于该项的，移至等号另一 侧，最后代入到要求的代数式中化简即可。 1.已知 1x 、 2x 是一元二次方程 2 3 2 6 0 x x + − = 的两根，则( )( ) 1 2 1 1 x x + + 的值是（ ） A． 8 3 − B． 5 3 − C． 4 3 − D．4 3 2.若，是一元二次方程 2 2 3 1 0 x x − −= 的两个根，则 1 1 + 的值为（ ）． A．3 B．3 − C．1 3 D． 1 3 − 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 3.若 1 2 , x x 是一元二次方程 2 2 2026 0 x x − − = 的两个实数根，则 2 1 1 2 x x x − + 的值是（ ） A．2024 B．2026 C．2028 D．4052 4.设 1x ， 2x 是一元二次方程 2 4 4 0 x x − − = 的两个根，则 2 2 1 2 x x + =（ ） A．4 B．8 C．24 D．26 5.已知m ，n 是方程 2 2025 7 0 x x + + = 的两个根，则( )( ) 2 2 2024 6 2026 8 m m n n + + + + = （ ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 6.已知实数a、b 是方程 2 2 1 0 x x − −= 的两个根，则 3 6 a a b + + 的值是（ ） A．14 B．14 − C．17 2 D．10 7.如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足 2 3 m m − = ， 2 3 n n − = ，那么代数式 2 2 2 14 n mn m − + + 的值是（ ） A．23 B．24 C．25 D．26 8.已知a，b 是一元二次方程 2 3 1 0 x x + + = 的两个实数根，则 b a a b + 的值为（ ） A．3 − B．3 C．1 3 D．3 ± 9.已知a ，b 是一元二次方程 2 3 5 0 x x + − = 的两个根，则 2 3 5 a b ab − −+ 的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．15 10.已知关于x 的方程( ) 2 1 2 1 0 m x mx m + − + −= ． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知 1x 和 2x 是该方程的两个根，求出 1 2 2 x x − 的值．（用含m 的代数式表示） 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 题型三：利用根与系数的关系求参数的值 方法技巧 ①列等式：根据题意（如两根倍数、倒数、平方和等），写出𝑥1 + 𝑥2、𝑥1𝑥2（含 参），代入条件构建关于参数的方程； ②解方程求参数：解出参数的可能取值； ③验根定范围：若题干中已强调方程的根的情况，则必须将每个解代回判别式Δ ≥0 （或Δ > 0）验证，必要时需要舍去使方程无实根的值；同时注意隐含约束（如分式 分母不为0、几何边长为正等）。 1.若关于x 的一元二次方程 2 27 0 x mx − + = 两根为 1x 、 2x ，且 1 2 3 x x = ，则m 的值为 （ ） A．12 B．9 C．12 D．9 2.若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 0 4 k x k x + − + = 的两根互为倒数，则k 的值为（ ） A．2 − B．2 C．2 或2 − D．1 3.如果方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的两根是 1x ， 2x ，那么 1 2 b x x a − + = ， 1 2 c x x a = ，若关于x 的方程 ( ) 2 2 1 1 0 x k x k − − + + = 的两个实数根满足关系式 1 2 1 x x − = ，则k 的值为（ ） A．11 B．1 − C．11或1 − D．11或1 −或1 4.若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 2 0 x k x k − + + + = 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且( )( ) 1 1 13 + + = ，求k 的值． 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 5.已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 3 0 x m x m + − + = 的两个不相等的实数根，满足 1 1 1 + = ，求m 的值． 6.已知关于x 的一元二次方程( )( ) 2 4 x x k + − = ． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设( )( ) 2 4 x x k + − = 的两个实数根分别为 1x 、 2x ，若 2 2 1 2 34 x x + = ，求k 的值． 7.关于x 的一元二次方程 2 3 1 0 x x m + + −= 的两个实数根分别为 1x ， 2x ． (1)求m 的取值范围； (2)若 1 2 1 2 2 0 x x x x + − = ，求m 的值． 8.已知关于x 的一元二次方程 2 4 0 x x m − − = 有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3 倍，求m 的值． 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 题型四：已知方程的一个根求另一个根 方法技巧 常见的方法有两种： ①直接代入已知的根，先将方程中未知的系数求出来，再解方程求另一个根； ②先观察方程中已知的系数，根据根与系数的关系，把能求出来的两根关系的式子 表达出来，再代入已知的那个根，即可求出另一个根。 1.若关于x 的一元二次方程 2 3 0 x mx− + = 的一个实数根为1，则另一实数根为（ ） A．4 − B．3 − C．2 D．3 2.已知 1 x = 是关于x 的一元二次方程 2 3 7 2 0 x mx − − = 的一个根，则方程的另一个根为 （ ） A．2 B．3 2 C．1 D． 2 3 − 3.已知关于x 的一元二次方程 2 2 3 1 0 x ax a − − + = 有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且 2 2 26 + = ，求a 的值． 4.已知关于x 的一元二次方程² 1 0 x kx + −= ． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求k 的值和方程的另一个根． 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 5.已知关于x 的方程： ( ) 2 2 2 0 x m x m + + + = ． (1)求证：不论m 取何实数，该方程总有实数根； (2)若该方程的一个根为 1 x = ，求 m 的值及方程的另一个根． 6.已知关于x 的方程 2 4 0 x x c − + = (1)当方程的一个根为2 时，求c 的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 7.已知关于x 的一元二次方程 2 2 1 x mx − = ，其中m 为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为1 −，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于2 ，另一个根小于2 ，求m 的取值范围． 题型五：根与系数的关系与几何的综合问题 方法技巧 （Ⅰ）解题框架： ①建立等式：利用根与系数的关系写出两根和、积（含参数），作为几何量的代数表 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 达式； ②代入几何条件：如面积（𝑆= 1 2 𝑎𝑏）、周长（2(𝑎+ 𝑏)）、勾股定理（𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2），转化为含参数的方程； ③验证限制：必须同时满足——判别式Δ ≥0确保根存在、两根为正（边长）、三角 形三边关系（两边之和大于第三边）、等腰分类讨论。 （Ⅱ）关键警示： • 求参数后必须回代判别式验根，舍去使Δ < 0或边长为负的值； • 遇到等腰三角形，需分类讨论哪两边为腰，验证是否满足三边关系。 （Ⅲ）总结：列根与系数的关系式→代几何→验三关（判别式、正根、几何约束）。 1. Rt ABC △ 的面积是S，一直角边AC 长是x，根据题意可列方程 ( ) 1 2 x x m S + = ．若该方 程的两根为 1 2 , , x a x b = = 其中 0 a ， 0 b ，则另一直角边BC 长是（ ） A．a b + B．a b − C．ab − D．b − 2. 已知矩形的两条邻边长是方程 2 10 24 0 x x − + = 的两个根，则矩形的周长是（ ） A．10 B．12 C．20 D．24 3. 如果关于x 的方程( )( ) 2 3 6 0 x x x n − − + = 有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的 三边之长，则n 的取值范围为（ ） A．0 9 n B． 27 4 n C．27 9 4 n D．27 9 4 n 4.已知ABC 的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 2 0 x n x n n − − + − = 的两 个根，第三边BC 的长是10． (1)求证：无论n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n 为何值时，ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？ 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 5.关于x 的一元二次方程 2 2 2 1 0 x kx k − + −= ①求证：无论k 取何值，方程总有两个不相等实数根． ②若ABC 两边AB 、AC ( ) AB AC 的长是这个方程的两根，且斜边 10 BC = ．问k 为何 值时，ABC 是直角三角形． 6. 已知四边形ABCD相邻两边AB ，AD的长度分别是关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 0 x a x a + − + = 的两个实数根 1x ， 2x ． (1)若四边形ABCD为菱形，求a 的值； (2)若四边形ABCD为矩形，且该矩形对角线AC 的长度为7 ，求a 的值． 7.已知关于x 的方程 ( ) 2 2 2 1 0 x k x k k − + + + = ． (1)求证：无论k 取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若等腰ABC 的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长． 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 题型六：根与系数的关系与最值问题 方法技巧 （Ⅰ）若代数式是用方程的两个根表示的： ①先对代数式拆括号、通分（如果有需要的话）、合并、化简； ②从原方程中，将两根之和、两根之积表示出来； ③代回要求的代数式，利用平方式的性质求最值即可。 （Ⅱ）若代数式是用方程中的系数表示的： ①根据题干中描述的两根之间的等量关系，表达出对应的等量关系式； ②将根与系数的关系代入到等量关系式后，用其中一个系数表示另一个系数，并将 该关系式记为“式𝑎”； ③把“式𝑎”代入要求的代数式中，可以通过配方，或直接根据平方式的性质，求代数 式的最值。 1.已知关于x 的一元二次方程 2 1 0 ax bx + + = 的两根之差为2，则代数式 2 12a b − 的最大值为 （ ） A．8 − B．2 − C．4 D．10 2.已知m ，n 是一元二次方程 2 1 0 x kx + + = 的两个实数根，p ，q 是一元二次方程 2 0 x x k + + = 的两个实数根，则 2 2 2 m n p q k n m + + + − 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知关于x 的方程( )( ) 2 1 2 x x m − − = ． (1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若 1x ， 2x 是方程的两根． ①当 1 1 x = −时，求m 的值； ②直接写出代数式( )( ) 1 2 1 1 x x − − 的最小值． 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 4.请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （ 0 a ， 2 4 0 b ac − ）的两根 1x ， 2x 有如下的关系： 1 2 b x x a + = − ， 1 2 c x x a = ； 材料2：如果实数m 、n 满足 2 1 0 m m − −= 、 2 1 0 n n − −= ，且m n ，则可利用根的定义构 造一元二次方程 2 1 0 x x − −= ，将m 、n 看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m 、n 满足m n p + = − 、mn q = ，则可利用韦达定理构造一元二次方程 2 0 x px q + + = ，则此方程一定有m 、n 两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程 2 1013 0 x x − − = 的两根分别为a 、b ，求 2 2 a b + 的值． (2)已知不相等的两个实数p 、q 满足 2 2 4 6 4 6 0 p p q q + − + + − = ，求 2 5 p pq p q − + + 的 值． (3)已知实数a 、b 、c 满足 2 0 a b c + + = 、 2 2 0 ab c c − −+ = ，求c 的最大值． 5.设 1x ， 2x 是关于x 的一元二次方程 2 2 3 2 0 x x m − + − = 的两根． (1)当 1 1 x = −时，求 2x 及m 的值； (2)求证：无论m 取何值，方程总有2 个实数根． (3)求证：( )( ) 1 2 1 1 0 x x − − ． 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 题型七：与根与系数的关系相关的新定义 方法技巧 一般的，新定义题目会对方程的两个根的关系重新进行定义，可能会涉及到两者的 差值、两者之间的倍数关系，因此在做题时，一方面要遵循题干中所给的等量关 系，通过假设，尽可能保证含有一个未知量；一方面要对计算的代数式进行转化， 具体的，可以使用等量代换法对参数进行替换。 1.如果关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x 的方程 2 2 0 px x q + + = 是倍根方程，则pq 的值为（ ） A．7 8 B．8 9 C．2 D．4 2.如果关于x 的一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 有两个实数根，且其中一个根是另一个 根的n 倍，则称这样的方程为“n 倍方程”，以下关于n 倍方程的说法正确的是（ ） ①方程 2 3 2 0 x x − + = 是2 倍方程；②若( )( ) 3 1 0 x mx − + = 为3 倍方程，则 1 9 m = − ；③若 p ，q 满足 8 pq = ，则关于x 的方程 2 6 0 px x q − + = 为2 倍方程；④若关于x 的方程 2 0 ax bx c + + = 为n 倍方程，则 ( ) 2 2 1 nb n ac = + ． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 3.小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如 图所示．如果 1x ， 2x ， 3x 是一元三次方程 ( ) 3 2 0 0 ax bx cx d a + + + = 的三个根，请你类比 小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为 1x ， 2x 是方程的根，根据方程根的定义 得到 2 1 2 ( )( ) ax bx c a x x x x + + = − − 展开右边得到 2 2 1 2 1 2 ( ) ax bx c ax a x x x ax x + + = − + + 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 对比后得 1 2 1 2 ( ) , bx a x x x c ax x = − + = 整理后得到 1x + 2x b a = − ， 1x 2x c a = 则 1 2 3 x x x 用系数可以表示为（ ） A．b a B． b a − C．d a D． d a − 4.学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x 的一元二次方程 2 0 x x m + − = 开展 探究． (1)当 1 m = 时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b 满足 2 0 a a m + − = ， 2 3 9 0 b b m + − = ，且3a b ，求3a b + 的值； (3)若两个不相等的实数p，q 满足 2 p p m mq + − = ， 2 q q m mp + − = ，求证： 2 pq m = ． 5.已知关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = 有两个实数根 1x ， 2x ，若满足 1 2 1 x x − = ，则 此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ① 2 0 x x − = ；② 2 4 5 0 x x− − = (2)已知关于x 的方程 2 2 0 x ax + = 是“差根方程”，求a 的值． (3)已知ABC 是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，若ABC 的两边AB 、AC 的长是一个 二次项系数为1 的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 6.定义：如果关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （ 0 a ）有两个实数根，且其中一个根 比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ① 2 6 x x + = ；② 2 3 2 0 x x + + = ；③ 2 1 0 49 x − = ；④ 2 5 6 x x − = −． (2)若方程 2 2 1 0 x x k + − + = 是“邻根方程”， 1x ， 2x 是方程的两根，求： ①请求出k 的值； ②求方程的两个根． 7.新定义：已知关于x 的一元二次方程 2 1 1 1 0 a x b x c + + = 的两根之和 1 2 + x x 与两根之积， 1 2 x x 分别是另一个一元二次方程 2 2 2 2 0 a x b x c + + = 的两个根，则一元二次方程 2 2 2 2 0 a x b x c + + = 称为一元二次方程 2 1 1 1 0 a x b x c + + = 的“再生韦达方程”，一元二次方程 2 1 1 1 0 a x b x c + + = 称为“原生方程”． 比如：一元二次方程 2 2 3 0 x x − − = 的两根分别为 1 2 3, 1 x x = = −，则 1 2 1 2 2, 3 x x x x + = = −， 所以它的“再生韦达方程”为 2 6 0 x x− + = ． (1)已知一元二次方程 2 5 6 0 x x − + = ，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程” 2 30 0 x x + − = ，求它的“原生方程”．
